Hàm tăng chậm và dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————– TẠ THỊ HỒNG THỨC HÀM TĂNG CHẬM VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS... Năm 2012,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

TẠ THỊ HỒNG THỨC

HÀM TĂNG CHẬM VÀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên, 2020

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS NgôVăn Định, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy đã trựctiếp hướng dẫn tận tình và động viên em trong suốt thời gian nghiêncứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy cô khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy lớp caohọc Toán K12b

Em cũng xin cảm ơn đến các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đãtạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ em trong quá trình học tập

và nghiên cứu tại trường

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học

và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Em mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Dãy số và giới hạn dãy số 5

1.2 Hàm số và giới hạn hàm số 7

1.3 Tính liên tục và đạo hàm của hàm số 8

1.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 10

Chương 2 Hàm tăng chậm và dãy số 13

2.1 Định nghĩa và ví dụ 13

2.2 Tính chất của hàm tăng chậm 13

2.3 Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm 20

2.4 Hàm tăng chậm và dãy số trung bình nhân 31

Chương 3 Hàm α-tăng chậm 35

3.1 Định nghĩa và ví dụ 35

3.2 Tính chất 36

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Cho f (x) là một hàm số xác định trên khoảng [a, ∞) thỏa mãn f (x) >

0 , lim

x→∞f (x) = ∞ và đạo hàm liên tục f0(x) > 0 Hàm số f (x) được gọi

là tăng chậm nếu thỏa mãn điều

lim

x→∞

f0(x)

f (x) x

số Các kết quả này tiếp tục được ông phát triển và công bố một số kếtquả trong bài báo “Integer sequences, functions of slow increase, and theBell numbers” xuất bản năm 2011 Sau đó, các hàm tăng chậm đượcnhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu Năm 2012, Shang [4] đã

mở rộng khái niệm hàm tăng chậm để định nghĩa và nghiên cứu về cáchàm α-tăng chậm, đồng thời nghiên cứu một số áp dụng tính chất củacác hàm α-tăng chậm để nghiên cứu một số dãy số

Mục tiêu của đề tài là trình bày lại các kết quả nói trên về hàm tăngchậm và về hàm α-tăng chậm Trước khi trình bày lại các kết quả này,luận văn nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức về dãy số thực, giới

hạn của dãy số thực, giới hạn của hàm số một biến số thực.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nộidung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương Trong chương

1, luận văn trình bày lại một số kiến thức về dãy số, giới hạn dãy số, giớihạn của hàm số một biến số thực, đạo hàm, đại lượng vô cùng bé, đạilượng vô cùng lớn Các nội dung này được sử dụng cho các chương saucủa luận văn Chương 2 của luận văn trình bày khái niệm của hàm tăngchậm, một số kết quả của các hàm tăng chậm và áp dụng vào nghiêncứu một số dãy số nguyên Nội dung của chương 2 được tham khảo từhai bài báo [2] và [3] của Jakimczuk Dựa vào bài báo [4] của Shang,luận văn trình bày trong chương 3 khái niệm và tính chất của các hàmα-tăng chậm, cũng như một số áp dụng của các hàm số này vào nghiêncứu dãy số

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Dãy số và giới hạn dãy số

Một dãy số trong X ⊂ R là bộ vô hạn có thứ tự các số trong X

tụ về a và ký hiệu là

lim

n→∞xn = a hay lim xn = a hay xn → a, khi n → ∞

Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn của dãy số:

• Định nghĩa giới hạn của dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạngđầu của dãy

xn < −E, với mọi n > NE.

Nếu dãy số (xn) có giới hạn dương vô cùng hoặc âm vô cùng thì tanói (xn) là dãy phân kỳ

Dưới đây là một số tính chất của giới hạn dãy số thường được sử dụngtrong tính toán

Mệnh đề 1.1.3 (Tính bị chặn) Nếu (xn) hội tụ thì tồn tại M > saocho |xn| < M, ∀n

Mệnh đề 1.1.4 (Tính bảo toàn qua các phép toán) Giả sử (xn) và (yn)

là các dãy hội tụ Khi đó các dãy (xn+ yn), (xnyn), (xn

yn) (giả thiết thêmlim

tụ và với mọi n đủ lớn xn 6 yn Khi đó lim

n→∞xn 6 lim

n→∞yn.Mệnh đề 1.1.6 (Tính chất kẹp giữa) Giả sử với mọi n đủ lớn ta có

xn 6 yn 6 zn và lim

n→∞xn = lim

n→∞zn = a Khi đó lim

n→∞yn = a

1.2 Hàm số và giới hạn hàm số

Một hàm số một biến số thực là một ánh xạ

f : X → Y, x 7→ y = f (x)trong đó X, Y là các tập con của R Tập X gọi là miền xác định của f Tập f (X) = {y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là miền giá trị của f Cho f, g : X → R là hai hàm số xác định trên tập X Khi đó có thểđịnh nghĩa các hàm f ± g, f g,f

g (nếu g(x) 6= 0, ∀x ∈ X) một cách tựnhiên như sau

(f ± g) (x) = f (x) ± g (x) , f g (x) = f (x) g (x) ,f

g (x) =

f (x)

g (x), x ∈ X.Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai hàm số Khi đó hàm hợp

g ◦ f : X → Z định nghĩa là g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.2.1 (Tính đơn điệu) Cho f là một hàm số xác định trêntập X Hàm f gọi là tăng (tương ứng tăng ngặt ) trên X nếu x1, x2 ∈ Xthì x1 < x2 kéo theo f (x1) 6 f (x2) (tương ứng f (x1) < f (x2))

Hàm f gọi là giảm (tương ứng giảm ngặt ) trên X nếu x1, x2 ∈ X thì

x1 < x2 kéo theo f (x1) > f (x2) (tương ứng f (x1) > f (x2))

Định nghĩa 1.2.2 (Điểm tụ) Một điểm x là điểm tụ của tập hợp Akhi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khácvới x

x là một điểm tụ của A ⇔ ∀r > 0, ∃a ∈ A : 0 < d (x, a) < r

Định nghĩa 1.2.3 (Giới hạn) Cho hàm số f : X → R và a là điểm

tụ của X Hàm f gọi là có giới hạn L ∈ R khi x tiến tới a nếu với mọi

 > 0 bé tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho khi x ∈ X mà 0 < |x − a| < δ, thì

|f (x) − L| <  Khi đó ta viết lim

x→af (x) = L hay f (x) → L, khi x → a

Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn hàm số.

Cho f, g, ϕ : X → R là ba hàm số xác định trên X và a là điểm tụcủa X Giả sử lim

x→af g (x) = LM,lim

x→−∞f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > 0 : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x < −R

1.3 Tính liên tục và đạo hàm của hàm số

Định nghĩa 1.3.1 Cho f là hàm xác định trên một tập X chứa a Hàm

f gọi là liên tục tại a nếu lim

x→af (x) = f (a)

Lưu ý rằng nếu hàm số f (x) liên tục tại a thì với mọi dãy (xn) trong

X mà lim

n→∞xn = a ta có lim

n→∞f (xn) = f (a) Tổng, hiệu, tích, thương (vớiđiều kiện mẫu khác 0) của các hàm liên tục tại a là hàm liên tục tại a.Nếu f liên tục tại a và g liên tục tại f (a) thì hàm hợp g ◦ f liên tục tạia

Định nghĩa 1.3.2 Cho f (x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b) và

x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn lim

• Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại đó

• Nếu các hàm số u và v có đạo hàm tại x thì các hàm số u + v và

Định lý 1.3.3 (Định lý giá trị trung bình của Lagrange) Nếu f là hàm

số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại

c ∈ (a; b) sao cho

f0(c) = f (b) − f (a)

b − a .

Định lý 1.3.4 (Quy tắc L’Hôpital) Giả sử hai hàm số f, g có đạo hàm

và g0(x) 6= 0 trong khoảng (a; b) chứa x0 Giả sử

1.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một cách sơ lược khái niệm về cácđại lượng vô cùng bé và các đại lượng vô cùng lớn cũng như tính chấtcủa chúng Lưu ý rằng, ở đây chúng tôi trình bày các đại lượng này như

là các hàm số Ta cũng có các khái niệm này đối với các dãy số khi xemchúng như các hàm số xác định trên tập các số tự nhiên

Định nghĩa 1.4.1 Hàm số f (x) được gọi là một đại lượng vô cùng békhi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có

Dưới đây là một số tính chất của các vô cùng bé:

• Giả sử f(x), g(x), f1(x), g1(x) là các vô cùng bé khi x → x0 Nếulim

• Nếu f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 và f (x) = o(g(x))thì ta có f (x) + g(x) ∼ g(x).

Định nghĩa 1.4.2 Hàm số f (x) được gọi là một đại lượng vô cùng lớnkhi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có

vô cùng lớn tương đương và ta viết f (x) ∼ g(x)

Tương tự các vô cùng bé, các vô cùng lớn cũng có các tính chất sauđây:

• Giả sử f(x), g(x), f1(x), g1(x) là các vô cùng lớn khi x → x0 Nếulim

|f (x)| ≤ M g(x), ∀x ≥ x0.Với b thuộc khoảng xác định của f (x) và g(x), ta cũng viết

f (x) = O (g(x)) khi x → b

nếu tồn tại các số thực dương δ và M sao cho

x44! + · · ·

• Nếu k là một hằng số khác 0 thì O(|k|f(x)) = O(f(x)) và

f (x) = O(g(x)) kéo theo kf (x) = O(g(x))

x→∞f (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục

f0(x) > 0 Ta nói f (x) là hàm tăng chậm điều kiện sau được thỏa mãn

lim

x→∞

f0(x)

f (x)x

i) Nếu f (x) và g(x) là các hàm tăng chậm và C và α là các hằng sốdương thì các hàm số sau sẽ là hàm tăng chậm:

h0(x)

h(x) x

= g

0(x)

g(x) x

· f

0(g(x))

f (g(x)) g(x)

= 0 vì lim

x→∞g(x) = ∞

Vậy ta có lim

x→∞

h0(x)

h(x) x

= αx

α−1f0(xα)

f (x α ) x

(log f (x))0(log x)0 = f

0(x)

f (x) x

Hàm số f (x) tăng chậm khi và chỉ khi, với mọi giá trị α > 0, đạo hàmcủa hàm số f (x)

xα nhận giá trị âm từ một giá trị xα đủ lớn

Chứng minh Chúng ta có

ddx

Từ định lý trên, ta có hệ quả sau đây.

Hệ quả 2.2.4 Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì ta có các giới hạn sau

Chứng minh Giới hạn (2.6) là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.3 khi

β = 1 Giới hạn (2.7) là hệ quả trực tiếp của giới hạn (2.6) và giới hạn(2.1)

Cuối cùng, các đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) cho ta đẳng thức(2.8)

Ta có một hệ quả trực tiếp dưới đây, chính là một trường hợp riêngcủa Định lý 2.2.5 khi α = 0.

Hệ quả 2.2.6 Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì, với mọi số thực β, tacó

lim

x→∞

Z x α

- Trong trường hợp α = 0, ta có

Z x a

f (t)βdt ∼ xf (x)β (2.13)

- Trong trường hợp α = 0 và β = 1, ta có

Z x a

- Trong trường hợp α = 0 và β = −1, ta có

Z x a

Định lý 2.2.9 Nếu f (x) là hàm tăng chậm, f0(x) giảm và C > 0 thì

Bất đẳng thức (2.19) và giới hạn (2.1) kéo theo giới hạn (2.18).

Giả sử rằng C < 1 Tiếp tục áp dụng Định lý Lagrange, chúng ta lạicó

Định lý 2.2.10 Nếu f (x) là hàm tăng chậm, f0(x) giảm và 0 < C1 6

Bất đẳng thức (2.22) cùng với Định lý 2.2.9 cho chúng ta giới hạn (2.21)

2.3 Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm

Trong mục này, chúng ta chỉ xét các hàm tăng chậm có đạo hàmgiảm Cụ thể, chúng tôi trình bày một số áp dụng của chúng trong việcnghiên cứu một số dãy số nguyên Giả sử {An} là một dãy số nguyêndương tăng chặt sao cho

An ∼ nsf (n) , (A1 > 1) , (2.23)trong đó f (x) là một hàm tăng chậm Gọi ψ (x) là số số hạng của dãy{An} không vượt quá x

Ví dụ 2.3.1 Nếu An = pn là dãy số nguyên tố thì theo Định lý sốnguyên tố ta có s = 1 và f (x) = log(x) Nếu An = p2n thì chúng ta có

(iii) Nếu g(x) là hàm tăng chậm thì g (An)

Định lý 2.3.3 Nếu An là dãy số nguyên dương thỏa mãn (2.23) và g(x)

là hàm tăng chậm thì các khẳng định dưới đây là đúng

phương trình (2.24) Phương trình (2.26) và (2.27) là hệ quả trực tiếpcủa phương trình (2.24) và Định lý 2.2.10 Phương trình (2.28) là hệ quảtrực tiếp của phương trình (2.23) và (2.2) Phương trình (2.29) là hệ quảtrực tiếp của (2.28) Giới hạn cuối cùng là hệ quả trực tiếp của (2.23)((An/n) → ∞ ) và (2.24).

Định lý 2.3.4 Nếu An thỏa mãn (2.23) và g(x) là hàm tăng chậm thì

ta có

g(An) ∼ lg (n) ⇔ g (ψ (x)) ∼ 1

lg (x) (2.30)Nói riêng, ta có

log An ∼ s log n ⇔ log ψ (x) ∼ 1

s log x, (2.31)log log An ∼ log log n ⇔ log log ψ (x) ∼ log log x (2.32)Chứng minh Chúng ta có

Tiếp theo chúng tôi trình bày một kết quả về hàm số ψ(x) khi s = 1

và f (An) ∼ f (n) Trước tiên, chúng tôi nhắc lại không chứng minh một

f (t)dt.

Lưu ý rằng (xem (2.13))

Z n a

A i ≤A n

g(Ai)βg(An)β

P

A i ≤A n

g(Ai)βg(x)β

≤ ψ (An)P

A i ≤A n

g(Ai)βg(An+1)β

Từ đó suy ra phương trình (2.35) Nếu β < 0 thì (2.35) được chứng minhtương tự

Ví dụ 2.3.7 Xét dãy pn các số nguyên tố Trong trường hợp này chúng

ta có pn ∼ n log n và ψ (x) = π (x) ∼ x/ (log x) (Định lý số nguyên tố).Định lý sau đây, tổng quát hóa của Định lý 2.3.6, cho chúng ta thôngtin về ψ (x) khi f (An) ∼ lf (n)

s

Z x a

Bên cạnh đó nếu g(x) là hàm tăng chậm và g(Ax) ∼ l0g(x) thì

t−1+1s

sf (t)1s

dt ∼ x

1 s

f (x)1s

.Suy ra

ψ (x) ∼ l1s x1s

f (x)1s

⇔ ψ(x) ∼ l

1 s

s

Z x a

(log x)k+1k

Xét dãy Pn các lũy thừa của dãy số nguyên dương tăng chặt An thỏamãn (2.23) Chẳng hạn, nếu An = pn là dãy số nguyên tố thì Pn là dãycác lũy thừa của các số nguyên tố Gọi λ (x) là số phần tử của Pn khôngvượt quá x.

Định lý 2.3.10 Nếu An là dãy số nguyên dương tăng chặt thỏa mãn(2.23) thì

1log An ∼ 1

Lưu ý rằng (xem (2.15))

Z x 2

1log tdt ∼

1log x.

Ta lại có

1log A1 +

1s

ψ(x)

X

i=2

1log i1

s

Z ψ(x) 2

1log tdt + O (1) ∼

ψ (x)

s log ψ (x). (2.44)

Từ (2.42) và (2.45) suy ra

ψ (x) ≤ λ (x) ≤ h (x) ψ (x) log x

s log ψ (x),trong đó h (x) → 1 Tức là

Nếu chúng ta thay n = ψ (An) vào biểu thức (2.47) và tiến hành nhưtrong Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.6 thì chúng ta thu được (2.48).

Định nghĩa 2.3.12 Hàm tăng chậm f (x) được gọi là hàm phổ dụngkhi và chỉ khi với mọi dãy An thỏa mãn (2.23) ta có f (An) ∼ lf (n),trong đó l phụ thuộc vào dãy An

Ví dụ 2.3.13 Phương trình (2.28) cho thấy rằng f (x) = log x là mộthàm phổ dụng, trong trường hợp này l = s Phương trình (2.29) suy rarằng f (x) = log log x là một hàm phổ dụng, trong trường hợp này l = 1không phụ thuộc vào dãy An

Nhận xét 2.3.14 Nếu f (x) và g(x) là các hàm phổ dụng thì các hàm

số f (x)α(α > 0), Cf (x) (C > 0) và f (x)g(x) là các hàm phổ dụng Hơnnữa, nếu f (x)/g(x) là hàm tăng chậm thì nó cũng là một hàm phổ dụng.Định lý 2.3.15 Nếu f (x) là một hàm phổ dụng và An thỏa mãn (2.23)thì ta có

Chứng minh Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý 2.3.6

Chứng minh Ta sẽ chứng minh hàm tăng chậm sau đây không phải làmột hàm phổ dụng:

g (x) = elog log xlog x Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dãy An thỏa mãn (2.23) và

x→∞

g (An)

g (n) = ∞.

Suy ra điều cần chứng minh

2.4 Hàm tăng chậm và dãy số trung bình nhân

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về một số dãy

số trung bình nhân được xác định bởi các hàm tăng chậm Trước tiên,chúng tôi nhắc lại hai bổ đề dưới đây là những kết quả quen thuộc củagiải tích thực

Bổ đề 2.4.1 Nếu {sn} là dãy số dương có giới hạn s thì dãy số

{√n

s1s2 sn}cũng có giới hạn s

Bổ đề 2.4.2 Ta có giới hạn sau đây

lim

x→∞

n

√n!

Chứng minh Lưu ý rằng chúng ta luôn có thể giả sử rằng f (x) > 1 trênkhoảng [b, ∞) Vì log f (x) tăng và dương trong khoảng [b, ∞) nên

log f (x) dx + O (log f (n))

= n log f (n) +

Z n b

Z x b

Tức là

1n

n

X

i=b

log f (i) = log f (n) + o (1)

Suy ra điều cần chứng minh

Định lý 2.4.4 Giả sử An(n ≥ 0) là một dãy số dương sao cho

An

An−1 ∼ Cnαf (n)β, (2.60)trong đó f (x) là hàm tăng chậm trên khoảng [b, ∞), C > 0, α > 0 và β

là một số thực Nếu 1 ≤ n < b ta đặt f (n) = 1 Ta có các công thức sauđây

n , (2.62)log An = αn log n + βn log f (n) + (−α + log C) n + o (n) , (2.63)

1 n

n ∼ A

1 n−1

Suy ra

An ∼ eαA1+

1 n−1

n−1 Vậy (2.62) được chứng minh Từ (2.69) ta lại có

lim

x→∞

log f (x)log x = limx→∞

xf0(x)

f (x) = 0.

Cuối cùng, (2.65) là hệ quả trực tiếp của (2.63)

x→∞f (x) = ∞ và có đạo hàm liên tục f0(x) > 0.Với α > 0, hàm f (x) được gọi là hàm α-tăng chậm nếu

Dễ thấy rằng, hàm tăng chậm đã được trình bày ở chương trước chính

là hàm α-tăng chậm với α = 1 Dưới đây là một vài ví dụ điển hình chohàm α-tăng chậm:

• f(x) = x là hàm α-tăng chậm với α < 1

• f(x) = ln x và f (x) = ln ln x là các hàm α-tăng chậm với α ≤ 1