Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toánquốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán về dãy số được đề cập nhiều v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Dãy số, định nghĩa và tính chất 3

1.2 Giới hạn của dãy số 5

1.3 Một vài dãy số đặc biệt 6

2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số 10 2.1 Dãy số sinh bởi hàm đa thức 10

2.2 Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ 16

2.3 Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức 22

2.4 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt 24

3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số 28 3.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn của dãy số 28

3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của dãy số 35

3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn của dãy số 37

3.4 Xác định giới hạn của dãy tổng 42

4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 46 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số 46

4.2 Một số dạng toán khác 57

Mở đầu

Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong cácngành đại số và giải tích toán học Dãy số có một vị trí đặc biệt quan trọng trongtoán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vaitrò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyếtphương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáokhoa trung học phổ thông, nội dung đề cập đến dãy số rất ít Vì vậy học sinh gặprất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số khi tham giathi học sinh giỏi các cấp

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toánquốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán

về dãy số được đề cập nhiều và thường thuộc loại khó Các bài toán về ước lượng;xác định dãy số và tính giá trị các tổng, tích; các bài toán về cực trị, xác địnhgiới hạn dãy hay các tính chất của dãy số thường liên quan đến đặc trưng của dãytương ứng

Luận văn Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp nhằm nêu một

số phương pháp xác định dãy số, giới hạn của dãy số và các bài toán liên quan.Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ về dãy số

Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến dãy số

Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy sốChương này trình bày các bài toán liên quan đến xác định số hạng tổng quátcủa dãy số sinh bởi các hàm sơ cấp cơ bản đó là hàm đa thức, hàm phân thức hữu

tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit

Chương 3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số

Chương này trình bày một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số như

phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên líkẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange và xác định giới hạn của dãy tổng.Chương 4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số

Chương này trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất của dãy sốnguyên, các dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyênvới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của thầy, tới các thầy cô trongBan giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học.Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu

và các thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành đã tạo điều kiện cho tácgiả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Học viên

Phùng Thị Thu Hà

Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số

tự nhiên Với M⊂N, thay cho ký hiệu

u :M →R

n 7→ u(n)

ta thường dùng ký hiệu(u n ) hay {u n } với n ∈ M.

Dãy số được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử Dãy số được gọi là hữuhạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn Phần tử ui được gọi là phần tử thứ i củadãy

1.1.1 Dãy số đơn điệu

Dãy (un) được gọi là đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là tăng thực sự nếu un < un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là giảm thực sự nếu un > un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy đơn điệu tăng và dãy đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn) tăng, dãy (yn) tăng thì dãy (xn+ yn) tăng.

• Nếu dãy (xn) giảm, dãy (yn) giảm thì dãy (xn+ yn) giảm

• Nếu dãy (xn) tăng thì dãy (−xn) giảm, và nếu dãy (xn) giảm thì dãy (−xn)

tăng

• Nếu hai dãy số dương (xn), (yn) cùng tăng (giảm) thì dãy(xnyn) tăng (giảm)

• Một dãy số có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ dãy số (x n ) với

Dãy(u n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới nghĩa

là tồn tại một sốM và một số m sao cho

m ≤ un ≤ M, ∀n ∈N∗.

1.1.3 Dãy số Cauchy

Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số(u n ) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N 0 ∈

N: ∀m, n > N0 , |un− um| < ε.

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khi

và chỉ khi nó là dãy Cauchy

1.1.4 Dãy số tuần hoàn

Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un) được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộngtính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho

un+l = un, ∀n ∈N. (1.1)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un) thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ

Tương tự, ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tínhnếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho

usn = un, ∀n ∈N. (1.3)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số (un) thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ

cơ sở của dãy

Dãy số (un) được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyêndương s (s > 1) sao cho

1.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số(un)có giới hạn hữu hạn akhi n dần tới

vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và ε )sao cho với mọi n > N 0 ta có |u n − a| < ε.

lim

n→+∞ un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈N: ∀n > N0, |un− a| < ε.

Ta nói dãy số (un) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thựcdươngM lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiênN0 (phụ thuộc vào dãy số un và M) sao chovới mọi n > N0 ta có |un| > M.

n→+∞ un = a và a ≥ m

Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu vn ≤ un ≤ wn, ∀n ≥ N0, N0 ∈ N vàlim

Tính chất 1.1 Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d thì

u1 được gọi là số hạng đầu, q được gọi là công bội của cấp số nhân

Tính chất 1.2 Dãy số (un) là cấp số nhân với công bội q thì

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng dãy (un) (un 6= 0 với mọi n ∈ N) lập thành một

cấp số điều hòa khi và chỉ khi dãy đã cho thỏa mãn điều kiện

un+1 = 1

2

un − 1

un−1, ∀n ∈N∗.

được gọi là dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiêntrong nhiều lĩnh vực khác nhau Chúng ta có công thức sau đây để tìm số hạngtổng quát của dãy số Fibonacci:

Công thức Binet

un =



1 + √ 5 2

n

−



1 − √ 5 2

Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số Dãy

số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầux0 Do vậy sự hội tụ của dãy

số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm sốf (x)và x0 Một đặc điểm quan trọng củadãy số này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình

x = f (x) Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:

Định nghĩa 1.10 (xem [5]) Hàm sốf : D → D được gọi là một hàm số co trên D

nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| với mọi x, y thuộc

Xét ε > 0 Từ (1.5), doq < 1 và |xn−m− x0| bị chặn nên ta suy ra tồn tại N saocho qN |xn−m− x0| < ε Suy ra (xn) là dãy Cauchy và do đó nó hội tụ

sử dụng trong chương này là phương pháp ước lượng, phương pháp lượng giác vàphương pháp sử dụng hàm lặp.

2.1 Dãy số sinh bởi hàm đa thức

Bài toán 2.1 Cho a, c > 0 Xét dãy (a n ) xác định bởi:

u3= 4 cos3 3π

6 − 3 cos3π

6 = cos

32π 6

vuu

t1 +

√ 3 2

Do công thức lượng giáccos 4α = 8 cos4α − 8 cos2α + 1 nên

Thật vậy, (2.4) đã đúng với n = 2, n = 3 như trên

Giả sử (2.4) đúng với n = k, k ∈N∗ tức làyk = cos4k−1.π

12

.Khi đó yk+1= 8 cos4



4k−1. π12

Bài toán 2.5 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2014) Cho hai dãy số dương(xn), (yn)

3.2 n+1 ;

yn+1 = xn

xn+1 =

2 sin π3.2 n

2 sin π3.2 n+1

= 2 cos π

3.2 n+1

Điều này chứng tỏ (2.7) đúng với n + 1

Theo nguyên lý quy nạp ta có



= 2.Vậy các dãy (x n ), (y n ) có giới hạn hữu hạn và lim

n→+∞ x n = 0 và lim

n→+∞ y n = 2.Nhận xét 2.1 Đây là bài toán dễ nhất của kỳ thi Tuy nhiên, nếu không nhậnxét được tính chất đặc biệt của x 1 , y 1 thì rất khó khăn để giải bài toán này bằngphương pháp lượng giác

Tiếp sau đây ta sẽ xét một số bài toán xác định dãy số bằng phương pháp sửdụng hàm lặp.

Để tìm số hạng tổng quát của dãy số(un)bằng phương pháp hàm lặp ta thườngtìm các hàm số f (x) và h(x) sao cho

6 là nghiệm củaphương trình f (x) = x

Bài toán 2.7 (xem [1]) Cho dãy (un) như sau

Bài toán 2.9 Xét dãy (an) thỏa mãn các điều kiện sau

Thật vậy, ta có a1 = 1

2 −1

2 (đúng) Giả sử 1

2 − 12k < ak Suy ra

1 − ak < 1

2 +

1 2k =

k + 1 2k .

1

2 − 12(k + 1)

(điều phải chứng minh)

2.2 Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ

Bài toán 2.10 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2001, bảng B) Cho dãy (xn) xácđịnh bởi:







x1 = 23

1 2n − 1 − 1

2n + 1, ∀n = 1, 2,

nên

x1+ x2+ · · · + x2001 =1

1 − 13



+1

3 −15



=

2 tanπ8

8 = −1 −

√ 2

1 − tanπ

3 tan

π 8

= tanπ

3 +

π 8



+ tanπ8

1 − tan

π

3 +

π 8



tanπ8

= tan

π

3 + 2.

π 8

 Khi đó



+ tanπ8

1 − tanπ

3 + (n − 1)

π 8



tanπ8

n + 1

6n− 1 , ∀n ∈N

∗

Vậy nên trong lời giải trên ta đã xét xn− 4 và xn + 1.

Bài toán 2.13 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn) cho như sau

x1 = α ∈R, xn+1 = 8xn

4 + x 2 n

Bài toán 2.14 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn) cho như sau

x1= α > 0, xn+1 = x

3

n + 12xn3x 2

3 n−1 − 6x2n−1+ 12xn−1− 8

x3n−1+ 6x2n−1+ 12xn−1+ 8

3x2n−1+ 4 =

(xn−1+ 2)33x2n−1+ 4 . (2.14)Xét hàm số f (x) = x − 2

n + 24u 2

n + 1

= −(2u n + 1)416u 4

4n−1

2 + 2

2α − 1 2α + 1

n + 8xn +

√ 2

n + 8xn =

(xn+ √

2)44x 3

n + 8xn . (2.19)Mặt khác

xn+1−√2 = x

4

n + 12x2n+ 4 4x 3

n + 8xn −√2

n + 8xn . (2.20)Xét hàm số f (x) = x −

√ 2

α − √

2

α + √ 2

4 n−1 , ∀n ∈N∗.

2.3 Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức

Bài toán 2.17 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) xác định bởi:

Giả sử un = sin π

2 n−1 6.Khi đó un+1 =

2 n−1 6

Bài toán 2.18 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) xác định bởi:

2 n+1 , ∀n ≥ 1.Bài toán 2.19 Cho dãy (xn) xác định bởi:







x1 = 14

4 + 8u n+1 = 4 + 8u n + 16 + 16 √

1 + 2u n , ∀n ∈N∗. (2.26)Đặt vn = 2 √

1 + 2un, vn > 0 Từ (2.26) suy ra vn+12 = (vn+ 4)2, ∀n ∈N∗

Do vn > 0, ∀n ∈ N∗ nên vn+1 = vn+ 4, ∀n ∈N∗

Vậy (vn) là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu v1 = 6

Do đó vn = 6 + (n − 1)4 = 2 + 4n ⇒ un = 2(n2+ n), ∀n ∈N∗.

Suy ra

xn = 12n(n + 1) =

1 2

2.4 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt

2.4.1 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác

Bài toán 2.20 Cho dãy số (x n ) xác định như sau:

Trường hợp 1 Vớia = kπ, k ∈Z Từ công thức xác định dãy ta cóxn = a, ∀n ∈N.

Do đó dãy đã cho có giới hạn hữu hạn khin → +∞ và lim xn = a

Ta có f0(x) = 1 + cos x ≥ 0, ∀x ∈R, suy ra f (x) đồng biến trên R và do đó dãy

(xn) đơn điệu Ta xét các khả năng sau:

i) Nếu a ∈ (2kπ; (2k + 1)π), k ∈ Z thì sin a > 0 nên dãy (xn) đơn điệu tăng

Bằng quy nạp ta chứng minh xn ∈ (2kπ; (2k + 1)π), n ∈N.

Thật vậy, với n = 0 hiển nhiên x0 ∈ (2kπ; (2k + 1)π)

Giả sử đã có x n ∈ (2kπ; (2k + 1)π), n ∈N Do f (x) đồng biến trên R nên

2kπ = f (2kπ) < f (xn) = xn+1< f ((2k + 1)π) = (2k + 1)π

nghĩa là có xn+1∈ (2kπ; (2k + 1)π).

Theo nguyên lý quy nạp ta có xn ∈ (2kπ; (2k + 1)π), n ∈N.

Do dãy (xn) đơn điệu tăng và bị chặn trong khoảng (2kπ; (2k + 1)π) nên dãy (xn)

có giới hạn hữu hạn khi n → +∞

ii) Nếu a ∈ ((2k − 1)π; 2kπ), k ∈ Z thì sin a < 0 nên dãy (x n ) đơn điệu giảm Tương

tự trường hợp i), bằng quy nạp ta chứng minh được xn ∈ ((2k − 1)π; 2kπ), n ∈N.

Do dãy (xn) đơn điệu giảm và bị chặn trong khoảng ((2k − 1)π; 2kπ) nên dãy (xn)

có giới hạn hữu hạn khi n → +∞

2.4.2 Dãy số sinh bởi hàm siêu việt

Bài toán 2.21 Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) xác định bởi:

Bài toán 2.22 Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) xác định bởi:

Từ đó ta có(yn)là cấp số cộng với số hạng đầuy0= 101, công sai d = 1 Theo côngthức tổng quát của cấp số cộng ta được yn = 101 + n, suy ra công thức số hạngtổng quát của dãy (xn) là xn = (101 + n)7n.

Bài toán 2.23 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010) Cho dãy (a n ) xác định bởi:

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (an)

b) Chứng minh rằng (an) là dãy số giảm

Bài giải

a) Từ công thức (2.30) ta có ann = an−1n−1+ 2n−1+ 2.3n−1

Thay lần lượt n bởi n − 1, n − 2, , 2 ta được

an−1n−1 = an−2n−2+ 2n−2+ 2.3n−2 .

Vậy an > an+1, ∀n ≥ 2 nên (an) là dãy số giảm

Bài toán 2.24 Chứng minh rằng nếu dãy số (un) là một cấp số nhân với các sốhạng dương thì dãy số (vn) với vn = logaun, ∀n ∈ N, 0 < a 6= 1 sẽ lập thành mộtcấp số cộng

Bài giải.

Giả sử (un) là một cấp số nhân với công bội q

Xét dãy số (vn) với vn = logaun, ∀n ∈N, 0 < a 6= 1

Chương 3

Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số

3.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn

(3.1)

Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn Tìm giới hạn đó

2(xn+ 3) < 0.

Suy ra x n+1 < x n , ∀n ∈N∗ Do đó dãy số (x n ) là dãy giảm

Vì dãy số (xn) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn hữu hạn là b ≥ 1

Từ công thức (3.1), chuyển qua giới hạn ta được

b = b

2 + 7 2(b + 3) ⇔ b2+ 6b − 7 = 0 ⇔

"

b = 1

b = −7.

Vìb ≥ 1 nên được b = 1 hay lim xn = 1

Bài toán 3.2 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2012) Cho dãy(xn) xác định bởi:

k − 1, ∀k ≥ 3

⇔ k + 23k

k + 2

k − 1 + 2



≥ k + 3k

Vậy dãy (x n ) giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn là a

Từ công thức (3.2) chuyển qua giới hạn ta được

Xét các hàm số f (x) = 2x− (x + 2) và g(x) = 2x− x + 2

2

Ta có f0(x) = 2xln 2 − 1 > 0, ∀x ∈ (1; 2) và g0(x) = 2xln 2 − 1

2 > 0, ∀x ∈ (1; 2).Suy ra f và g đều đồng biến trên khoảng (1; 2) Do đó từ 1 < ak < 2 ta có

f (ak) < f (2) ⇒ 2ak − (ak+ 2) < 0

g(ak) > g(1) ⇒ 2ak − ak+ 2

2 > 0.

Vậy (3.5) đúng với mọin ∈ N∗

Tiếp tục ta sẽ chứng minh dãy (an) là dãy số tăng

nênn(x) là hàm số nghịch biến trên (1; 2]

Suy ra n(x) < n(1) = ln 4 + ln 2 − 3 = ln 8 − 3 < 0 hay ln 4 + x ln 2 − 1 − 2x < 0 với

x ∈ (1; 2]

Do đó, hàm số m(x) nghịch biến trên nửa khoảng (1; 2] và phương trình m(x) = 0

có không quá một nghiệm trên (1; 2]

Mặt khác m(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình m(x) = 0 Từ

đó suy ra L = 2

Vậy lim

n→+∞ a n = 2

Bài toán 3.4 Cho dãy số(un) xác định bởi:

Dự đoán dãy số (un) là dãy số dương và tăng

Ta sẽ chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp, tức là un+1> un, ∀n ≥ 2.

nên dãy(un) là dãy số dương tăng, suy ra un ≥ u1 = 1, ∀n ≥ 1

Hơn nữa, ta thấy ∀n ≥ 3, u n = √

hayu2n < 4u n ⇒ u n < 4 (do u n > 0), suy ra dãy (u n ) bị chặn trên bởi 4

Dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim

n→+∞ un = α.Khi đó α ≥ 1

Từ hệ thức truy hồi suy ra lim

suy ra α2= 4α Do α ≥ 1 nên α = 4.

Vậy lim

n→+∞ un = 4.

Bài toán 3.5 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2015) Cho a là một số thực không

âm và dãy (un) xác định bởi:

p

u 2

n + 3, ∀n ≥ 1.

(3.7)

a) Với a = 0, chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn Tìm giới hạn đó

b) Với mọi a ∈ [0; 1], chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn

Bài giải

a) Với a = 0, ta có dãy (un) xác định bởi u1 = 3, un+1 = 1

2un+

1 4

p

u 2

n + 3, ∀n ≥ 1.Xét hàm số f (x) = 1

2x +

1 4

x

√

x 2 + 3 > 0, ∀x > 0.