LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC " MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ HỌC VÀ DÃY SỐ " docx

vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng đại số và giảitoán Dãy số một vị trí biệt quan trọng trong toán không như là một đối tượng để nghiên mà đóng một vai trò như một môhình

Trườngđại khoa tựnhiên

1.1 Dãy số 3

1.1.1 kháiniệm bảnvề dãysố 3

1.1.2 định một dãysố 4

1.1.3 Một vài dãy số biệt 8

1.2 Số 1

1.2.1 Tính hết trongtập hợp số nguyên 1

1.2.2 số lớn nhất vàbội số nhỏnhất 1

1.2.3 Số nguyên tố 13

1.2.4 Đồng dư 13

1.2.5 Vài địnhlí bản số 14

1.2.6 Hàm phần nguyên 14

2 Dãysốvà tính phương 15 3 Dãysốvà tính hết 30 3.1 Dãy số vàsố nguyên tố 30

3.2 Tính hết trongdãy số 40

4.2 Sè víi d·y 68

vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng đại số và giải

toán Dãy số một vị trí biệt quan trọng trong toán không

như là một đối tượng để nghiên mà đóng một vai trò như một

môhìnhrời giải trong lý thuyếtphương trình,lý thuyếtxấp

xỉ,lý thuyếtbiểu vấnđề liên quanđếndãy sốrấtphong phú.Hiệnnay

nhiều tài liệu đề tới bài toán vềdãy số Tuynhiên, tài liệu này yếu

quantâm đến tính dãysố như:Giới hạn dãy số, số hạng tổngquát

dãy số, dãy số tăng, giảm,tính bị

Tính số phần tử một dãy số là một vấn đề khá thú vị

Nhữngbàitoán liênquantớivấnđề nàyđềulà bàitoánhayvàkhó giảluận

văn đã sưutầm, bàitoán này vàphân loại theo từng đề nhỏ

luận vănlàtrìnhbàymột hệthống, tiếtmộtsốbàitoán

về tính số phần tử trong một dãy số Luận văn thành 4

Chương1:Một sốkiến bị.Luậnvăntrìnhbàylại một hệ thống

kiến bản vềdãysốvà số làm sở giải bàitoán vềdãy

số trong sau Nội dung luận văn trìnhbày trong

Chương 2: Dãy số và tính phương Trong này giả đã hệ thống

một sốvấn đề nêuravềtính phươngđốivới phần tử dãysố, quađó ta

thấy nhữngdãy số gồmtoàn số phương một số phần tử nào đó trong

dãy số làsố phương

Chương3:Dãysố vàtính hết.Trong nàyđề đếntính hết

phần tử trong dãy số Trên sở lí thuyếtsố về tính hết giả

nội dung thành 2 phần: phần thứ nhất đã đề tớimột số bài toán về dãy

số nguyên tố, qua bài toán ta phần nào thấy tranh về sự phân

bố,khoảng giữahaisố nguyêntốliên tiếp,dãysốlấyvôsố giátrịnguyên tố ;

phần thứ hai đề đến một số bàitoán về tính hết phần tử trong một

dãy số một số số thứ tự phần tử đó trong dãy số

Chương 4: Số với dãy biệt Trong này giả đã đề tới

tính hết, tính phương và một số tính số với dãy số là

số sốnhân.Trong dãy đã xt bài toánvới nộidungnêu nên

mối liên hệ giữa tính hết, tính nguyên tố nhau và số thứ tự phần

tử trong dãysố, một số tính số

Luận văn hoànthành với sự hướngdẫn khoa tận tình, đáo

PGS.TS.phanhuykhải giảxin bày tỏ lòngbiết ơn sâu tớiThầy

giả xin thành ơn quý quan đã tạo điều kiện giúp đỡ về

mọi mặt để luận văn hoànthành đúng hạn

giảxin thành ơn thầy giáo, giáo đã nhiệt tìnhgiảng dạy

em thêmkiến

giảxinbàytỏlòngbiếtơn đếnnhữngngườithân, bạnbèvà bạnđồng

nghiệpđã tậntình giúp đỡ để tôi hoànthành luận văn này

Hà Nội,tháng 9 năm 2006

giả

LêVăn Tài

Một số kiến bị

1.1 Dãy số

1.1.1 khái niệm bản về dãy số

Địnhnghĩa1 Dãyu n làdãy sốu 1 , u 2 , u 3 , tuântheomột quyluậtnàođó

- sốu 1 , u 2 , u 3 , gọi làphầntử dãy

-Dãy gọi làvôhạnnếu vôhạnphầntử

- Dãy gọi là hữu hạnnếu số phầntử dãylà hữu hạn Phần tử u i gọi là sốhạngthứi dãy

Địnhnghĩa2 Dãyu 1 , u 2 , u 3 , gọi là:

-Dãyđơnđiệutăng nếuu n+1 > u n vớimọin = 1, 2,

-Dãyđơnđiệukhông giảmnếuu n+1 ≥ u n vớimọin = 1, 2

-Dãyđơnđiệugiảm nếuu n+1 < u n vớimọin = 1, 2,

-Dãyđơnđiệukhông tăngnếuu n+1 6 u n vớimọin = 1, 2,

Địnhnghĩa3 Dãyu 1 , u 2 , u 3 , gọilà:

-Bị trênnếutồntạisốK sao u n < K vớimọin = 1, 2,

-Bị dướinếutồntạisốm sao u n > mvớimọin = 1, 2,

-Dãybị là dãyvừabị trênvừabị dưới

Địnhnghĩa4 Dãyu 1 , u 2 , u 3 , gọilàdãydừng nếutồntạisốnguyên dươngN o sao

u n = C vớimọin ≥ N o,ở đâyC làmộthằng sốnàođó(vàgọi làhằngsố dừng)

Định nghĩa 5 Dãy u 1 , u 2 , u 3 , gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương n và sốnguyêndương k sao vớimọip = 1, 2, ta

u n+k−1 = u n+k−1+kp

Sốk gọi là kỳ dãy tuầnhoàn

Với dãysố ta địnhnghĩa php toán như sau:

Cho haidãy {u n } : u 1 , u 2 , u 3 , ã ã ã và{v n } : v 1 , v 2 , v 3 , ã ã ã Tađịnh nghĩa:

Địnhnghĩa6 Php haidãynóitrênlà dãy

Thíd:Dãy số {u n } địnhnhờ u n = 2n + 1 vớimọi

n = 0, 1, 2, ã ã ã là dãy sốtự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, ã ã ã

ý trong nhiều trường hợp dãy thể bắt đầu từ u 0 là ta xt dãy

u 0 , u 1 , u 2 , ã ã ã)

Thíd:Chodãy số {u n }, n = 0, 1, 2, ã ã ã địnhnhư sau:

Thíd:Cho sốtự nhiênk vàn.Lậphaidãy số{u j }, {v j }(j = 1, 2, ã ã ã , n)

như sau:

Chia k n thương là u 1 vàphần dư là v 1.thứ j : (j = 2, 3, ã ã ã , n) định u j vàv j như sau:

Trong phươngpháp để địnhdãy,người ta haysử dngphương pháp phương

trình trưng dãy Phươngpháp này dựa vàophương pháp saiphân sauđây

Sơ về phươngphápsai phân:

Định nghĩa 8 Cho hàm số y = f (x) Giảsử giá trị f (x) tại điểm x0, x0 + h, x0 + 2h, ã ã ã , x0+ nh, ã ã ã (hlàmộthằngsố)tươngứnglà:y0, y1, y2, ã ã ã , yn, ã ã ã.Khiđótagọihiệu

∆y i = y i − y i−1là saiphân 1 hàmf vớimọii = 1, 2, ã ã ã

∆ 2 y i = ∆y i − ∆y i−1 = (y i − y i−1 ) − (y i−1 − y i−2 ) = y i − 2y i−1 + y i−2làsaiphân

- Saiphân k một đa n sẽ bằng 0khi k > n; bằnghằng số khi

k = n (và lại nếusaiphân k một hàm màbằng hằngsốthìđó là

Phươngtrình saiphân (*) tính sau đây:

- Nếu y i , y i+1 , , y i+n và y ′

i , y ′ i+1 , , y ′

i+n là hai nghiệm (*), thì tổnghiệu y i ± y ′

i , y i+1 ± y ′

i+1 , ã ã ã , y i+n ± y ′

i+n là nghiệm (*)Nghiệm tổng quát (*) dạng y i = c 1 λ i

Chúý: Nếu phương trình trưng nghiệm bội, hạn λ1 bộis,thì

Tanhận thấy saiphân 2không đổi(bằng 2) Vậy dãyđã làdãy giá trị

tam haiax 2 + bx + c,trong đó xlà sốthứ tự số trongdãy

un= 3un−1− 2un−2 với n = 2, 3,

§ÞnhnghÜa 10 D·y u 1 , u 2 , u 3 , gäi lµ sè nh©n víi béi q, (q 6= 0, q 6= 1)

nÕunh­ta un= un−1q víimäin = 2, 3,

Địnhnghĩa11 Dãyu 1 , u 2 , địnhnhưsau:

2 + c 2

1 − √ 5 2

u 2 = 1 = c 1

 1 + √ 5 2

 n

− √ 1 5

 1 − √ 5 2

v) u n+1 u n+2 − u n u n+3 = (−1) n

;

vi) u 2 n − u n−1 u n+1 = (−1) n+1

1.2.1 Tính hết trong tập hợp số nguyên

Địnhnghĩa 1 Với haisố nguyêna và b,ta nóirằng a hết b (hay alà bội b,

hayb là a), nếutồntạisố nguyênk sao a = k.b ấykýhiệulà a

Cho a vàb là haisố nguyên dương

Địnhnghĩa3 số lớnnhất avàb (vàkýhiệulà CLN(a, b),hayđơngiản

là(a, b) )làsốnguyêndương lớnnhấtmà a vàb đều hết nó

Địnhnghĩa4 Bội số nhỏ nhất avà b(và kýhiệulàBCNN(a, b)hayđơn giản

là[a, b] )làsốnguyên dươngnhỏnhất hết avàb

Địnhnghĩa5 Chon sốnguyên a 1 , a 2 , , a n

i) Số nguyên dương d gọi là CLN a 1 , a 2 , , a n nếu như thoả mãn đồng thời hai

điềukiệnsau:

ii) Số nguyên dương b gọi là BCNN a 1 , a 2 , , a n nếu như thoả mãn đồng thời hai

i) Cho a vàb là số nguyên dương, khiđó ta (a, b) = (a, a + b)

ii) Cho m là một sốnguyên dương, khi đó ta

vi) Haisố nguyên liên tiếp thìnguyên tố nhau

vii) Với mọi sốnguyên dương a, bluôntồn tại số nguyên x, y sao

ax + by = (a, b).

viii) Hai số nguyên dươnga, blà số nguyên tố nhau khivà khi tồn tại

số nguyênx và ysao ax + by = 1.

Cho n là số nguyên dương (n > 1). Khi đó n luôn thể biểu diễn mộtduy nhất (không tínhđến sắp xếpthứ tự nhân tử)dướidạng sau.

n = p α 1

1 p α 2

2 ã ã ã p α k

k

trongđó k, α i (i = 1, k) là số tự nhiên p i (i = 1, k) là số nguyên tố thoả mãn

1 < p 1 < p 2 < ã ã ã < p k Khi đó dạng phân trên gọi là dạngkhai triển

số nguyên dươngn

Địnhlí

Tồntại vô hạn sốnguyên tố

Địnhlí bản về mối liên hệ giữatính hếtvà số nguyên tố

Giả sử a, b là hai số nguyên dương p là số nguyên tố sao ab

Địnhnghĩa6 Nếuhaisốnguyênavàb sốtựnhiênm (m 6= 0) sốdưthì

tanóia đồngdưvớib theomodulom vàviếta ≡ b (mod m).

a) Hai số nguyên a và b đồng dư với nhau theo modulo m (m là số nguyên dương)

khivà khi (a − b)

m.

b) Quan hệđồng dư là một quanhệ tương đươngtrên tập hợp số nguyên Z.

Nếu a ≡ b (mod m)và c ≡ d (mod m)thì

Định lí Femat nhỏ: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên tuỳ ý, thì

(a p

− a) ≡ p.Nói riêng khi(a, p) = 1,thì a p−1 ≡ 1 (mod p)

Định lí Euler: Nếu m là số nguyên dươngvà (a, m) = 1, thìa φ(m) ≡ 1 (mod m), ở

đây φ (m) là số nguyên dươngnhỏ hơn m nguyên tố nhauvới m (φ(m) gọi

làPhi- hàm Euler)

Địnhlí Wilson:p là sốnguyên tố khi và khi (p − 1)! + 1 hết p

Địnhlí Fermat-Euler: Nếup = 4k + 1thìtồn tại số nguyên dươnga, bsao

i

vi)Nếu n làsố tự nhiên thìn[x] 6 [nx]

vii) Với mọi sốtự nhiên n và q (q 6= 0) thìq h n

q i

6 n.

Dãy số và tính phương

Trong này đề tới một số bài toán về tính phương

phần tử trong một dãy số Nộidung bàitoán này như sau: Cho một

dãysố với tổngquát dướidạngtruy hồi,bàitoányêu minh

phần tử nào đó dãy là số phương phải tìm số phương trong

dãyđã Trong dãysố nguyên, nhiều dãysố màtất phần tử nó

đềulà số phương, nhưng định sốhạng tổng quát dãy số đó lạilà

một vấn đề rất khó khăn Trong định tổng quát, nhiều bài toán

ta phảimòmẫm,dự đoán rồidùng phương phápquy nạp để minh

Lờigiải

Lấy m= n= 0,thìtừ tính ii) dãyta

u 0 + u 0 = 1

2 (u0+ u0) ⇒ 2u0 = u0 ⇒ u0 = 0.

Lấy m = 1, n = 0, thìtừ tính ii)lại

Vậy điều khẳngđịnh đúng khin = k + 1

Theo nguyên lí quy nạp suy ra u n = n 2 , ∀n = 0, 1, 2, Như vậy mọi số hạngdãy số đã đều làsố phương

Bài toán2.Dãy số {un} địnhnhư sau:

Theo nguyên líquy nạptoán thì(3) đúng∀n = 2, 3,

Từ (3) tiếpsuy ra mọi sốhạng dãy{vn} đều làsố phương

Chứng minhrằngmọi số hạng dãy {s n }đều là số phương.

nguyên với mọik = 1, 2, .Vậy mọi số hạng dãy {s n }đều là số phương

Trong bài toán về tính phương phần tử trong dãy số,

giúpta giảiquyết bàitoánđã Trong một số trường hợpta thể sử dng

phươngpháp saiphân để tìmsố hạng tổngquát

Bài toán4.Dãy số {u n } địnhnhư sau:

b = 1

2 (3 − √ 8).

Vì vậy:

u n = 1 2

 (3 + √

n

(3 + √

8)n+1+ (3 − √ 8)n+12− 4 o =

= 1 2

 2n

+  √3 − 1

√ 2

# 2

.

√ 3) k

"

( √

3 + 1) n − ( √ 3 − 1) n

( √ 2) n+1

Trong nhiều bài toánvề số phương trong dãy số ta không sử dng

phương phápsaiphân để địnhsố hạng tổngquát dãy số Chúng ta

thể sử dng phươngpháp đặt ẩn ph, thể ta biến đổi truy hồi dãy

số đã tìm đặt ẩn ph một hợpđể đưa dãy số đã thành dãy

số là số số nhân thành một dãy số đơn giản hơn để khảo

sátdãy số đã

Điềuđó tỏrằng A n làsố phương với mọi n nguyên dương

Bài toán7.Dãy số nguyên {un} tính sau:

v n 2 = (v n−1 + 2u n ) 2 = v 2

n−1 + 4v n−1 u n + 4u 2

n = v 2 n−1 + 4(u n+1 − u n − u n−1 )u n + 4u 2

M = v n 2 − 4u n u n+1

Khi đó rõràng M + 4u n u n+1 làsố phương với ∀n = 1, 2,

Bài toán8.Chodãy số {un} địnhnhư sau:

Ta 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 ≡ 3 (mod 10).

Vậy ta u n ≡ 3 (mod 10), ∀ n ≥ 5.

Vì số phương thể tận bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 Nên u n không thể là sốphươngvới n ≥ 5

Tómlại: Trongdãysố{u n }nóitrên, haisốhạngu 1 vàu 3 làsố phương

Với nhữngdãy số dưới dạngsố hạng tổng quátthì làm làphải

biếnđổisố hạngtổngquáttheonộidungyêu bàitoánđặtra và minh

là số nguyên Taxtbài toánsau

Bài toán9.Dãy số {un} địnhnhư sau:

 n

−  √5 − 1

2

 n #

5hvớih ∈ Z Nhưvậy điềukhẳng

định đúngvới n = 2k + 1, 2k + 2.Theo nguyên líquy nạp suyra (6)đúng ∀n

Từ(6) suy ranếu n lẻ thìdo v n ∈ Z,nên u n = m 2

là số phương

Như vậy mọi số hạnglẻ dãy {u n }đều là số phương

Bài toán10 Dãy số {u n } địnhnhư sau:

u n = 2 8 + 2 11 + 2 n , n = 1, 2,

Tìmtất số hạng dãy màlà số phương

Lời giải

Giảsử số hạng u k dãy là số phương,điều đó nghĩa là:

Vậy số hạngu 12 là số hạngduy nhất dãy đã là số phương

Trongbài toánsau,trong giảiđã biến đổikho lođiều kiện đã để dẫn

đếnmộtphươngtrình hai nghiệmnguyên màbiệtsố∆ làbiểu

TasÏ minh r»ngvíi mäi n = 0, 1, 2,

ngiệmnguyên u n+1.Vì lẽ đó biệt

Ta minh một điều khẳngđịnhtổng quáthơn:

Mệnhđề: Giảsử p 1 , p 2 , p 3 , ã ã ã làdãy số nguyên tố sao p 1 = 2, p 2 ≥ 3,

p n+1 −p n ≥ 2, ∀n = 2, 3, Khiđótrongsố sốtựnhiêngiữasốs n = p 1 +p 2 +ã ã ã+p n

vàs n+1 = p 1 + p 2 + ã ã ã + p n + p n+1 luôn tìm mộtsố bìnhphươngđúng

Chứng minhmệnh đề:

Giảthiếtphản tồntại một số tự nhiên n sao giữa haisố s n và s n+1 không

số bìnhphương đúngnào, là tồntại số tự nhiên k sao

p 2 = 3 6 x;

p 1 = 2 6 x − 2.

Chỉ haikhả năngxảy ra với số x:

i)Nếux = 3,thìdo p 2 ≥ 3 ⇒ p 2 = 3 vàtừđósuyra tất bấtđẳng trên đềutrởthành đẳng (p n+1 = 2k + 1, p n−1 = 2k − 3, , p 2 = 3) Từ đó suyra

s n+1 = 2 + p 2 + ã ã ã + p n+1 > 1 + 3 + 5 + ã ã ã + (2k + 1) = (k + 1) 2 (11)

Rõràng (11) mâu thuẫn vớivế trái (10)

ii) Nếu x ≥ 5thìdo x − 2 ≥ 3 ta suyra

s n = 2 + p 2 + ã ã ã + p n < 1 + 3 + 5 + ã ã ã + (2k − 1) = k 2

Rõràng điều này mâu thuẫn vớivế trái (10)

Tóm lại trongmọi khả năngta luônđi đến mâu thuẫn, vậy giảthiết minh

làsai, suyra mệnh đề minhvàbài toán đã giải

đếnnayngườita tìm mộtbiểu tổngquátnào sốnguyên

tốp nthứn theo sốn nó,nếu xtkhoảng giữahaisốnguyêntố liêntiếp,

là xt hiệu d n = p n+1 − p n.Ta thấy ngay rằng p 1 = 2và p 2 = 3 là số nguyên

tố liên tiếp khoảng d 1 = 1 lạivới n > 1 thìd n ≥ 2, với n > 1 thì d n làmột số vì mọi số nguyên tố liên tiếp đều là 2 số lẻ Nếu d n = 2 thì ta nói

p n và p n+1 là số nguyên tố sinh đôi Có bao nhiêu số nguyên tố sinh đôi làmột vấnđề đến nay giải quyết,với d n > 2ta bài toánsau

Bài toán1.Tìm 9số nguyên tố nhỏ hơn2002 lập thành một số

6n + 5.

Vì ba số nguyên tố lớn hơn 3 lập thành số nên theo nguyên lí

phải ít nhấthai số dạng làhiệu số haisố đó hết 6.Gọid là

5 thì (d, 5) = 1 nên a 1 + id, i = 4, 5, 6, 7, 8là hệ thặng dư đầy đủ (mod 5).

Vậy trong5số đó phải một số hết 5.Điều nàyvôlí vì 5số đó đềulà số

.19 Vậy loạitrường hợpnày

Gọiτ11, τ13 tươngứng làsốdư a1,khi 1 và13 Theo

Do 1 6 n − 1 6 8 ⇒ 2 6 2(n − 1) 6 16 nên:

τ 13 6∈ {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}.

(Chứngminh tương tựnhư trên), vì thếτ 13 thể là2,4,6,8

Vậy a 1 phải là số nguyên tố nhỏ hơn 322 vàkhi 1 thể dư 1 2

vàkhi 13 thểdư2,4,6,8 Bằngphpthử tiếptathấya 1 thể

Giảsửphản tồntại số gồm1 sốnguyêntốx i = a+id (i = 0, 1, , 10)

với said thoả mãn 1 < d < 2310.

Tanhậnxtrằngnếuplàsố nguyêntốvà (d, p) = 1thìdãysố {a + id}(i = 0, 1, , p)

làhệ thặng dư đầyđủ (mod p)do đó phải một số hết p.Từ nhậnxtđó

ta d

5.Thật vậy gọisố hạngđầu tiên số làa.Xt 5số sau đây:

a + 6d, a + 7d, a + 8d, a + 9d, a + 10d.

Nếu d 6

5 thì (d, 5) = 1 nên a + id, i = 0, 1, 2, 3, 4 là hệ thặng dư đầy đủ (mod 5).

Vậy trong 5số đó phải một số hết 5 điều này vô lívì 5số đó đều là số

Bằnglập luận hoàn toàn tương tự,thì d.

Bài toán 3 Hỏi tồn tại hay khôngmột dãy vô hạn số nguyên tố p 1 , p 2 , p 3 ,

thoả mãn đồngthời hệ điều kiện sau:

Nếu p k ≡ −1 (mod 3)thì p k+1 = 2p k + 1.Thật vậy, vì | p k+1 − p k |= 1 nên:

a) là p k+1 − 2p k = 1 ⇒ p k+1 = 2p k + 1 vàđiều nhận xtlà đúng

b) là p k+1 − 2p k = −1 ⇒ p k+1 = 2p k − 1

Dop k ≡ −1 (mod 3) ⇒ 2p k − 1 ≡ 0 (mod 3) ⇒ p k+1

.3.Điềunày mâu thuẫnvì p k+1

làsố nguyêntố lớn hơn3 Vì thếtrường hợpb) khôngsảy ra

Theo địnhlíFermat nhỏ suy rap p 1

p 1.Điều nàymâu thuẫn với p 1 làsố nguyên tố.Vậy giả thiếttồn tại dãy vô hạn số nguyên tố p 1 , p 2 , p 3 , thoả mãn yêu

đề bài là sai Như vậy trả lờiởđây là: Không

Nhưvậylà sốnguyêntốrấtgầnnhau(p 1 vàp 2)và những sốnguyên

tốliêntiếp khoảng bằng2,songta minh rằngvớimỗisốtự

nhiênm lớn hơn 1tuỳý ắt những số nguyên tốliên tiếp khoảnglớn hơn m.Ta xtbàitoán sau:

Bài toán4.Cho dãysố tự nhiên vôhạn 1, 2, 3, ,và k là một số tự nhiên

Hỏi thể ratừ dãy trênmột dãy gồmk số hạng,sao là k số tựnhiên liêntiếp vàmọi số dãy đềukhông phảilà số nguyên tố không?

Lời giải

Xtk số sauđây:

(k + 1)! + 2; (k + 1)! + 3; (k + 1)! + 4; ; (k + 1)! + (k + 1).

Đólà k số tự nhiên liên tiếp

Mặt nếu lấym tuỳ ýsao 2 ≤ m ≤ k + 1, thìta

Người tađặtvấn đềxem xt hay khôngmộtdãy sốlấyvô sốgiá trịnguyên tố?

Đốivớinhị nhấtta địnhlí:"Vớihaisốtựnhiêna, bnguyên tố nhau,nhị nhấtax + blấyvô sốgiátrị nguyên tố".Địnhlínày nhàtoán

Lời giải

hết taxt bổ đề sau đây

Bổ đề Mọi số nguyên dương n dạng 4k + 3, k ∈ N, đều ít nhất một sốnguyên tố dạng4p + 3, p ∈ N

Chứng minh:Chỉ haikhả năng sảyra:

i)Nếu n = 4k + 3là một số nguyên tố,thìbổ đề hiển nhiên đúng

ii)Nếu n là hợp số Khi đó n = a.b với a, b ∈ N và 1 < a, b < n Do n là lẻ nên a, b

- Nếu a làsố nguyên tố:Bổ đề minh

- Nếu a làhợp số, lại tiếp lập luận như trên a phải số dạng4p + 3

Doquá trìnhphân là hữuhạn, vì thếsốnguyên dươngn phải ítnhất một

số nguyên tố dạng 4p + 3.Bổ đề minh

Bây giờtrởlại bài toán đã

Lấy số nguyêndương m > 4vàxt số sau:

Chọn m 1 = 4. Khi đó theo trên ta số nguyên tố p 1 > m 1 p 1 > 4) mà p 1

Vềvấn đề số nguyên tố, năm 1742 và Ơle đã nêura giả thiếtsau đây:

"Mỗi một số lớn hơn 2 đều biểu diễn dưới dạng tổng hai số nguyên

tố"

Hơn 260 năm đã trôi qua nhưng đến nay giả thiết đó vẫn minh

hoàn Bâygiờ taxtbàitoánvềsựphân mộtsốtự nhiênthànhtổng

haisố nguyên tố

Bài toán 6 Tìm dãy số tự nhiên liên tiếp nhiều số hạng nhất sao mỗi số hạng

trongdãy là tổng haisố nguyên tố

x 1 = 2 + 3 = 5; x 2 = 2 + p + 2 = 7; x 3 = 2 + p + 4 = 9.

Mặt ta lại