hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp

Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp và các kết quả cơ bản nhất của hàm đơn diệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh của hàm đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN TẤN MINH

HÀM ĐƠN DIỆP VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA HÀM ĐƠN DIỆP

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

THƯ

VIỆN

LỜI CÁM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Cô hướng dẫn luận văn TS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, đã nhiệt tình và tận tâm hướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học giải tích K17 Quý Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em những kiến thức bổ ích và thú vị, làm tăng thêm khả năng tìm tòi nghiên cứu khoa học trong em

Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cô đã đọc và góp ý cho luận văn của em thêm sâu sắc

Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng KHCN-SĐH trường ĐHSP TP.HCM, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tập cũng như trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Luận văn ắt hẳn còn những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý nhiệt tình của quý Thầy Cô

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của em, các số liệu, các kết quả của luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả luận văn

MỞ ĐẦU

Giải tích phức đã xuất hiện trong nửa đầu thế kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi của L.Ơle Đỉnh cao của nó là trong thế kỉ XIX, chủ yếu bằng các công trình của Cauchy, Riemann, Weierstrass Đến ngày nay, phần cổ điển của giải tích phức - lý thuyết hàm một biến phức - đã phát triển gần như trọn vẹn Song, cũng chính điều này, thường xuất hiện những vấn đề chưa được giải quyết do cách đặt mới của các bài toán toán học cũng như các ứng dụng của nó trong thực tiễn theo đà phát triển của xã hội

Hàm đơn diệp là một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hàm một biến phức Hàm đơn diệp có nhiều tính chất đẹp và được nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm nghiên cứu Việc tập hợp các kết quả đó một cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc là việc cần thiết cũng như cần phát hiện thêm những vấn đề mới từ việc nghiên cứu đề tài Đây cũng là lí

do em chọn đề tài này

Mục tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàm đơn diệp, một số kết quả cơ bản của hàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng của hàm đơn diệp

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp và các kết quả cơ bản nhất của hàm đơn diệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh của hàm đơn diệp; đánh giá cận trên đối với môđun hệ số z2 trong khai triển hàm đơn diệp; các cận đối với môđun của hàm đơn diệp

Chương 2: Từ những kết quả đạt được trong chương 1, trong chương 2 này trình bày một

số tính chất của hàm đơn diệp: tính chất của hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị lên các miền đặc biệt; cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ

1 Các khái niệm cơ bản

- Giả sử z0  C và r > 0 Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z0, bán kính r là tập S(z0, r)

= {z  C: |z-z0| < r} Hình tròn S(z0, r) cũng thường gọi là  - lân cận của điểm z0

- Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z  C: 0 < |z-z0| < r gọi là  - lân cận thủng của điểm z0  C

- Tập X gọi là mở nếu mọi z0  X, tồn tại hình tròn tâm z0, bán kính r > 0 sao cho S(z0, r )  C

- Điểm z0 được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z0, r), r > 0 đều chứa những điểm thuộc X và những điểm không thuộc X Tập tất cả những điểm biên của X được gọi là biên của X, kí hiệu ∂X

- Điểm z0 được gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn S(z0, r), r > 0 đều chứa một phần tử nào đó của X Tập tất cả điểm dính của X gọi là bao đóng của X, kí hiệu X

- Điểm z0 được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại r > 0 sao cho S(z0, r)  X

Tập tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X, kí hiệu X o

Dễ thấy X = X  ∂X, X = X\∂X o

- Tập X được gọi là đóng nếu X = X hay nói cách khác X  ∂X

- Tập X được gọi là bị chặn nếu có một số dương R sao cho hình tròn | |z < R chứa toàn

bộ tập X

- Điểm z0 được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z0 trong đó không

có một điểm nào của X

- Tập X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập hợp mở A, B sao cho X  A ≠

 , X  B ≠  ; X  A  B =  ; X  A  B

- Miền là một tập hợp con X của C có hai tính chất:

i) Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong X (tính mở)

ii) Có thể nối hai điểm bất kì thuộc X bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong X (tính liên thông)

- Miền X có biên là một tập liên thông gọi là miền đơn liên Ngược lại, miền X có biên là một tập không liên thông gọi là miền đa liên

- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng còn gọi là chu tuyến

- Miền X được gọi là miền Jordan nếu biên ∂X của nó gồm những đường cong Jordan đóng

- Giả sử (t) và  (t) là các hàm thực liên tục trên [a,b] của đường thẳng thực Khi đó phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số một đường cong L =

z([a,b]) trong mặt phẳng phức C Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm (t),  (t) có đạo hàm

liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng 0 với mọi t  [a,b] Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc

- Xét hàm số  = f(z), với mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số gọi là hàm số đơn trị Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số gọi

là hàm số đa trị

- Hàm giải tích: Nếu hàm số  = f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0 và z0 là một điểm thường của f(z) Một hàm giải tích tại mọi điểm của X được gọi là giải tích trong X

- Điểm chính quy: Giả sử f giải tích trong miền (liên thông) X và z0 là một điểm biên của

X Ta nói z0 là điểm chính quy của f nếu tồn tại lân cận mở liên thông  của z0 và một hàm g giải tích trong  sao cho g trùng với f trong một tập hợp mở khác rỗng của X   nhận z0 làm điểm biên Trong trường hợp ngược lại ta nói z0 là một điểm kì dị của f

- Điểm z0  C (mặt phẳng phức mở rộng) được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm

số f(z) nếu có một lân cận thủng của z0 (nếu z0 là điểm hữu hạn thì lân cận thủng đó là 0 < |z-z0|

< r, r > 0; nếu z0 là điểm vô hạn thì lân cận thủng là r < | |z < ∞, r > 0) trong đó hàm số f(z) giải tích, nhưng chính tại z0 thì hàm số không giải tích Điểm bất thường cô lập được chia hành ba loại:

i) Điểm bất thường bỏ được nếu lim

z  z 0 f(z) = A ≠ ∞

ii) Cực điểm nếu lim

z  z

f(z) = ∞

iii) Điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi z  z0

- Điểm bất thường cô lập z0 của hàm số f(z) là cực điểm của nó khi và chỉ khi phần chính trong khai triển Laurent của f(z) trong lân cận thủng của z0 chỉ chứa một số hữu hạn số hạng

Hàm f có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay C-khả vi tại z

- Hàm số f xác định trên miền X được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu tồn tại số dương

r sao cho f là C-khả vi tại mọi z  S(z, r) Hàm f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X gọi là chỉnh

hình trên X

- Nếu trong mặt phẳng C mọi điểm bất thường của hàm số f(z) đều là điểm cô lập và

không phải là điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là chỉ có thể là điểm bất thường bỏ được hoặc cực điểm) thì f(z) là một hàm phân hình

- Ánh xạ f gọi là bảo giác tại mọi điểm của tập mở X nếu nó giải tích trong X và f’(z) ≠ 0, z

 X

- Hàm số f(z) gọi là khai triển được tại điểm a nếu nó phân tích được thành chuỗi luỹ thừa theo (z-a) tại lân cận của điểm a

- Hàm số f(z) gọi là chuẩn hoá được tại điểm z0 nếu f(z0) = 0 và f’(z0) = 1

2 Một số định lí sử dụng trong luận văn

- Định lí Ruse: Giả sử f và g chỉnh hình trong miền đóng X với biên liên tục X và giả sử

( )

f z > g z( ) với mọi z X Khi đó các hàm f và (f + g) có số 0-điểm như nhau trong X

- Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm f n chỉnh hình trong miền X, hội tụ đều trên tập con compắc K  X bất kì đến hàm f ≠ const Khi đó, nếu f(z0) = 0 thì trong hình tròn { z z 0 < r}

 X bất kì mọi hàm f n, bắt đầu từ hàm nào đó, đều bị triệt tiêu

- Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng C và giới nội thì nó là

hằng số

- Định lí Joukowski: Nếu a là điểm bất thường cốt yếu của hàm f thì với số b  C bất kì,

ta có thể tìm dãy điểm z n a sao cho limf(z n) = b

- Định lí Weierstrass: Cho f1, f2,…là dãy hàm giải tích trong tập mở A  C Giả sử dãy hàm này hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến một hàm f Khi đó f cũng giải tích trong

A Hơn nữa, dãy { '

n

f } cũng hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến hàm f’

- Nguyên lí môđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình trong miền X và không bị triệt tiêu trong miền ấy thì f có thể đạt cực tiểu (địa phương) trong X chỉ trong trường hợp f = const

- Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình trong miền X  C, G  X là miền mà biên Glà đường cong liên tục và G không chứa 0-điểm và cực điểm của f Gọi N và P lần lượt là tổng số các 0-điểm và tổng số các cực điểm của f trong G Khi đó N - P =

Chương 1:

HÀM ĐƠN DIỆP

1.1 Khái niệm hàm đơn diệp

Một hàm của biến phức z xác định trên tập A  C là một quy luật f, theo nó mỗi giá trị z

 A được đặt tương ứng một giá trị f(z)  C Như vậy, một hàm số f xác định trên A là một

ánh xạ f: A  C, z  f(z): =  Khi đó, A gọi là tập xác định của f; tập hợp gồm tất cả các giá trị  của f(z) lấy trên A gọi là tập các giá trị Khi ánh xạ f: A  C là đơn ánh thì hàm f được gọi là đơn diệp (hay 1-lá)

Có thể xảy ra một hàm không đơn diệp trên C nhưng có thể chia C thành các miền con

D1, D2,…để trên D1, D2,…hàm f đơn diệp Khi đó mỗi miền Di, i = 1, 2,…được gọi là một miền đơn diệp của f

Ví dụ: Xét hàm  = zn, n ≥ 2 Dễ thấy, nếu A  C không chứa các điểm z1, z2 sao cho

| |z1 = | |z2 và arg(z1 - z2) = k2

n thì  = zn đơn diệp trên A Nói riêng, tập An = {z = rei : 0 ≤ r

<  , 0 ≤  < 2n } thoả mãn điều kiện trên

Một hàm f được gọi là đơn diệp trong một lân cận của  nếu và chỉ nếu g(z) = f(1

z) đơn diệp trong một lân cận của 0

(ad-bc ≠ 0) đơn diệp trong C

Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp trên A thì 1

Thật vậy, nếu tại điểm z0 nào đó mà f(z0) = a, f’(z0) = 0 thì z0 là a-điểm có bội lớn hơn 1 Khi đó theo một trong các hệ quả của Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) sẽ nhận giá trị b nhiều hơn một lần Điều này trái với giả thiết đơn diệp

Tuy nhiên, khi đạo hàm của hàm w = f(z) khác 0 trên toàn miền xác định A thì chưa chắc

- Mọi hàm giải tích  = f(z) đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bất

kì mà tại đó đạo hàm của nó khác không

Thật vậy, giả sử f’(z0) ≠ 0 Nếu tại mọi lân cận của z0 mà f(z) không đơn diệp thì sẽ tồn tại hai dãy điểm an, bn sao cho an  z0, bn  z0; an ≠ bn, f(an) = f(bn) Khi đó, giả sử  là đường tròn có tâm tại z0, bán kính , sao cho f(z) ≠ f(z0) với 0 < |z-z0| ≤  Rõ ràng hàm f(z)-f(z0) chỉ có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội) và không có 0-điểm trên 

Mặt khác, do f(z)-f(an)  f(z)-f(z0) đều trên  nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn thì f(z)-f(an) cũng có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội) Do đó ta thấy mâu thuẫn vì với n đủ lớn thì hàm này có các 0-điểm là an, bn bên trong 

Chú ý rằng nếu w = f(z) đơn diệp thì hàm số ngược z = f-1(w) chỉ giải tích trong một lân

cận nào đó của w0 = f(z0) Chẳng hạn, hàm số w = z2 giải tích trong miền A:

1

1 2

- Mọi hàm phân hình đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của cực điểm đơn bất kì

Thật vậy, nếu z0 là cực điểm đơn của f(z) thì z0 là 0-điểm đơn đối với hàm f(z)1 Suy ra f(z)1 là hàm đơn diệp trong một lân cận của z0 Do đó f(z) cũng là đơn diệp trong lân cận này

- Mọi hàm phân hình f(z) đơn diệp trong miền A đều cho ta một ánh xạ bảo giác  = f(z)

từ miền A lên miền giá trị tương ứng của hàm f(z) Điều này được suy từ điều kiện: Đạo hàm của hàm đơn diệp khác không tại mọi điểm chính quy và cực điểm có thể có là cực điểm đơn Ngoài ra còn được suy từ ánh xạ là bảo giác tại điểm mà tại đó hàm số biểu diễn ánh xạ đó có đạo hàm khác không (hoặc có cực điểm đơn)

z  A Suy ra f(z) bảo giác trên A Tuy nhiên, f(z) không đơn diệp trên A, vì f(z + k2) = f(z), z  A Do đó, chiều ngược lại của ý trên là không đúng

- Nếu f(z) là hàm phân hình trên cả mặt phẳng thì f(z) là hàm hữu tỉ

Thật vậy, giả sử z1, z2,…, zn là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và trong số chúng có thể có ) Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z1, z2,…,

zn Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng Theo Định lí Liouville thì hàm này là hàm hằng Suy ra f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của nó tại các điểm z1, z2 ,…, zn

Do vậy f(z) là hàm phân tuyến tính Để ý rằng tất cả các điểm của mặt phẳng đều là giá trị của f(z)

Ta còn có một lưu ý khác dành cho hàm đơn diệp Nếu f(z) là hàm đơn diệp trong miền thu được từ A bằng cách bỏ đi một tập hợp điểm nào đó không có giới hạn bên trong A, thì sau khi xác định thêm một cách thích hợp tại các điểm của tập hợp đó f(z) sẽ là hàm đơn diệp trong miền A

Thật vậy, các điểm của tập hợp đó là điểm cô lập đặc biệt đối với f(z) Để ý đến tính đơn diệp của f(z) và Định lí Joukowski, dễ thấy rằng các điểm đặc biệt này không thể là điểm đặc biệt cốt yếu Suy ra ta có thể xác định thêm f(z) tại các điểm này một cách tự nhiên để f(z) trở thành hàm phân hình trong A Nếu tại hai điểm của A, f(z) nhận giá trị a giống nhau thì tại lân cận bất kì đủ nhỏ của hai điểm này f(z) sẽ nhận các giá trị gần với a Điều này trái với giả thiết f(z) là đơn diệp trên miền xác định ban đầu

- Từ những ví dụ cơ bản nhất đã chỉ ra rằng tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm đơn diệp trên miền A có thể không đơn diệp trên A Đạo hàm, tích phân của một hàm đơn diệp trên A cũng vậy

Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)-1 + z(1+iz)-1 có đạo hàm triệt tiêu tại 12 (1+i)

Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơn diệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều kiện là g(z) được xác định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơn diệp trên A Nói cách khác, hợp của hai hàm đơn diệp là hàm đơn diệp

- Nếu dãy hàm fn chỉnh hình và đơn diệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con compắc K  A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơn diệp hoặc là hằng số

Thật vậy, giả sử f(z1) = f(z2) nhưng z1 ≠ z2 (z1, z2  A) và f là hằng số Ta xét dãy hàm

∂(u,v)

∂(x,y)|z0 ≠ 0 không phải là điều kiện cần cho tính đơn diệp Điều này thấy rõ từ ví dụ: Ánh xạ f

= x3 + iy có Jacobian bằng không tại z = 0, tuy thế nó là đơn diệp

Một hàm giải tích f có thể đơn diệp địa phương trên toàn miền A không phải là đủ để f đơn diệp trên A Ví dụ: Hàm giải tích f(z) = z2 đơn diệp địa phương trên A ={z:1 < | |z < 2, 0 < argz < 3

2 } nhưng f không đơn diệp trên A

- Nếu f giải tích và Re{f’(z)} > 0 trong một miền lồi A thì f đơn diệp trên A

Thật vậy, cho z1, z2  D, z1 ≠ z2 Khi đó:

f(z2) - f(z1) = 2

1 '( )

Gọi Cr = {z: z = rei , 0 < r < 1, 0 ≤  ≤ 2}, r = f(Cr), Dr = Int(Cr),

r = Int(r), Ar là diện tích của r

Hình 1 Khi đó: Ar = dud

 } có Ar = 22 2

r r



1

n n

Với r > 1, gọi r là đường cong ảnh theo f của đường tròn | |z = r Vì f đơn diệp nên rlà

một đường cong trơn Jordan có định hướng dương

Hình 3 Nếu Er được bao quanh bởi rthì Er  E Áp dụng Định lí Green, diện tích Br

b e r

i m m m m

n b r

n n n

n b r

Như vậy, dễ thấy rằng B = 0 khi f  

- Khi f(D*) = D* thì f(z) = z, z  D* Thật vậy:

Theo (1.4) suy ra  =  (1 - 2

1

n n

n b





 ) Do đó bn = 0,  n ≥ 1

n b





Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi B = 0

Một kết quả trực tiếp được suy ra từ hệ quả 1 là | |bn ≤ n

E = C\f(D*) là một đoạn thẳng có chiều dài là 4 Khi đó f(z) = z + b0 + bz1 , | |b1 =1 và E= [-2ei2

+ b0 ; 2ei2 + b0]

Chứng minh

Khi đó | |u > 1 vì | |z > 1 và w = u + 1u, | |u > 1 là ánh xạ bảo giác từ

| |u > 1 vào phần bù của đoạn thẳng [-2; 2] trong mặt phẳng w

Vì thế, f(z) = ei2w + b0 = z + b0 + ezi cũng là ánh xạ bảo giác từ | |z > 1 vào phần bù của

đoạn thẳng [-2ei2 + b0 ; 2ei2 + b0] Rõ ràng, đoạn thẳng này có độ dài bằng 4

Hình 4 Ngược lại, giả sử E là đoạn thẳng có độ dài bằng 4 Khi đó E có dạng: E = [-2 + 0 ; 2

Chứng minh

Ta lấy một hàm h  sao cho [h(z)]2 = f(z2), z  D* và hàm h có khai triển h(z) = z + 0 + 1

z + …Khi đó [h(z)]2 = z2 + 20z + (02 + 21) + …và f(z2) = z2 + b0 + bz12 + …Từ đó suy ra 0 = 0 và b0 = 21

Vì 1 ≤ 1 (theo Hệ quả 2) nên b0 ≤ 2

Ta thấy b0 = 2  1 = 1  h(z) = z + 2

i

e z

Bây giờ, ta lấy g   sao cho g(z) = [f(z-1)]-1, z  D*, f  S Khi đó g có khai triển g(z) = z - a2 + (a22 - a3 )z-1 + …Thật vậy:

Vì g   và có khai triển (1.3) nên theo Hệ quả 3 ta có | |a2 ≤ 2

Khi | |a2 = 2 thì g(z)= z - 2ei2+ ezi = ( 2)2

i

z e z



Suy ra f(z) =

2 2

Như trên ta đã tìm được cận trên đối với môđun hệ số z2 của bất kỳ hàm đơn diệp f  S

Định lí 3: Nếu f  S thì | |a2 ≤ 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

f(z) =

2 2

Một ứng dụng quan trọng của định lí trên là dùng để chứng minh định lí sau

Định lí 4: Nếu f  S thì f(D) chứa hoàn toàn đĩa {z: z < 14 },

và nếu tồn tại những điểm trên đường tròn | |z = 14 không thuộc vào f(D) thì f(z) =

2 2

 là một hàm giải tích trên D Ta sẽ chứng minh g  S Thật vậy:

- Dễ thấy g(0) = 0; g’(0) =

0

( ) lim

z

g z z

 = f(z2) 1

2

1 [1- ( )]f z c

 Suy ra f(z1) = f(z2 ) Vì thế z1 = z2 (vì f đơn diệp)

Do đó g đơn diệp Như vậy, g  S

Vì f(0) = 0 nên tồn tại r > 0 đủ nhỏ sao cho |f(z) < | | |c , | |z < r

Trong lân cận này của 0 ta có 1 1

[1- ( )]f z c

 = 1 + 1cf(z) + c12[f(z)]2 +…

Suy ra g(z) = f(z) 1 1

[1- ( )]f z c

 = z + (1c + a2)z2 +…, z  D (chuỗi này hội tụ hoàn toàn trong D)



 ≤ f z'( ) ≤ 1 3

(1 )

r r

 được gọi là hàm Koebe; hàm f(z) = 2

Gọi khai triển của fa trong D là fa (z)= z + b2 z2 +…, | |z < 1

' 2

2 ( ) ( ) 1

z

f z z

 ≤ 4 2

1

z z



 = '''( )

( )

f z z

f z ] Như đã biết, với số phức  bất kỳ: | | ≤ c, c  R thì -c ≤ Re() ≤ c

Từ (1.9) suy ra 2 2 24

1

r r r



 ≤ Re( '''( )

( )

f z z

f z ) ≤ 2 2 24

1

r r r



 ,  z  D (1.10) Lấy tích phân từ 0 đến r của (1.10) ta được

r r

dr r

r

dr r



1

r r



 ≤ ln f z' ( ) ≤ ln 1 3

(1 )

r r



 ≤ f z' ( ) ≤ 1 3

(1 )

r r



 (đpcm)

Bây giờ, ta giả sử z = rei làm cho các đẳng thức ở vế trái, vế phải của (1.8) lần lượt xảy

ra Khi đó, các đẳng thức tương ứng của (1.10) thoả mãn với mọi r, 0 ≤ r < 1 Đặc biệt, khi

r = 0 ta có Re(e f i '' (0)) =  4 hay f'' (0) = 4 Suy ra | |b2 = 2 Khi đó f(z) =

2 2

thì đẳng thức bên phải, bên trái

lần lượt xảy ra

1.4 Các cận đối với môđun hàm đơn diệp

 ≤ f z( ) ≤ 2

(1 )

r r

 < 14 , với 0 ≤ r < 1 nên nếu f z( ) ≥ 14 thì bất đẳng thức luôn đúng Xét f z( ) < 14 Khi đó, theo Định lí 4 ta suy ra rằng { : ξ > 14 }  f(D) Cố định z  D

mà f z( ) < 14 và gọi  là đường cong nối 0 và z trong D sao cho f là một đoạn thẳng [0; f(z)], nghĩa là f[(t)] = tf(z), 0 ≤ t ≤ 1

r r

dr r



 (do Định lí 5) và dw ≥ d w ) ≥ 2

(1 )

r r

 (đpcm)

Dễ thấy các đẳng thức xảy ra trong (1.12) tương ứng với các đẳng thức xảy ra trong (1.8)

1.4.2 Định lí quay (rotation theorem)

Định lí 7 (Bieberbach’s rotation theorem):

Nếu f  S thì arg f z' ( ) ≤ 2ln1

1

r r

r

dr r



1

r r



 (đpcm)

Chú ý rằng ở đây ta phải hiểu argf’(z) là một nhánh triệt tiêu tại 0 Đại lượng argf’(z) có thể được giải thích về mặt hình học là góc quay của phép biến hình bảo giác f tại điểm z Vì thế bất đẳng thức (1.13) được gọi là định lí quay Tuy nhiên, bất đẳng thức này không chặt chẽ tại mọi điểm bất kỳ z  D, z ≠ 0 Đánh giá sau sẽ chặt chẽ tại mọi điểm z  D, cũng được gọi là định lí quay (của nhà toán học Goluzin, chứng minh năm 1936):

arg f z( ) ≤ 2

2

1 4arcsin , r

2 1

r r

r r

Ta sử dụng hai định lí sau để chứng minh định lí quay của Goluzin

cho f n→ f đều địa phương trên D

(Chứng minh: xem [3] hoặc [5])

t  [0, ) thì với mỗi z  D, tồn tại duy nhất hàm v = v(z,t) sao cho

v(z, ) C1([0, )) và thoả mãn phương trình vi phân v

 = f(z) đều địa phương trên D, với

v = v(z,t) là nghiệm của phương trình vi phân v

k t v





 , t ≥ 0, v(z,0) = z, với mọi z  D

iii) Hơn nữa, trong ii) còn tồn tại hàm f(z,t) sao cho f(z,0) = f(z), z  D,

 đều địa phương trên

D, với v = v(z,t) là nghiệm của phương trình vi phân



 , v(z,0) = z (1.15)

và k: [0, )→ C là một hàm liên tục sao cho k t( ) = 1, t ≥ 0

Theo Định lí Weierstrass ta có f’(z) = lim t '( , )

Vì v(z,.)  C1([0, )) với mỗi z  D nên ta có thể lấy vi phân hai vế của (1.15) theo z, thu được ( v)

1 1

v kv

Lấy tích phân hai vế của (1.22) từ t = 0 đến t =  và chú ý rằng

argf’(z) = lim arg '( , )

t v z t

 , ta thu được arg '( )f z ≤

2 0

4 1

z

dx x

2 0

4 1

dx x



1 2

Cố định z D\{0} và xét đẳng thức trong (1.20) xảy ra Khi đó (1.20) có thể được viết lại một cách tương đương như sau:

1 ,