lặp picacrd cho hàm tăng mạnh và lipsit giả co mạnh trong không gian banach tùy ý

Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của môđun lồi.. Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđu

Tr ần Văn Bình

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn

Hóa – người đã hướng dẫn tận tâm và tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp tôi hoàn thành

luận văn này

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này

một cách hoàn chỉnh

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa

Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011

PHẦN MỞ ĐẦU

Cho E là không gian Banach thực Ta xét phương trình Ax= f , với ánh xạ : ( )

A D A ⊂ →E E, trong đó D A( ) mở Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm x∗, ta

sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm

Dãy lặp ở đây được xem xét là dãy lặp Picard:

cố định x0∈ ; B x n+1 =x n−λ(Ax n − f) (n≥0)

Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét E trơn đều hoặc p-trơn đều, và A thỏa một số tính

chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh

Nếu như Ax= f không có nghiệm thì sự cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm là vô nghĩa

Tuy nhiên, nếu A tăng mạnh và lipsit thì sự tồn tại nghiệm của phương trình

Ax= f là được khẳng định bởi định lý 13.1 xem ở [7]

Luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của

môđun lồi Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđun

Chương I Không gian lồi đều và trơn đều

1.1 Không gian lồi đều

Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài

tính chất của môđun lồi

Cho X là không gian định chuẩn và cố định x0∈X Đặt

S x r = ∈x X x−x = r

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất

kỳ ε ∈ (0, 2] đều có một δ >0 sao cho nếu x y, ∈X mà x = 1, y = 1 và x y − ≥ ε, thì 1

2 x+y ≤ −δ

Nh ận xét 1.1.2 Trong định nghĩa trên không khác đi khi thay ε∈ (0, 2] bởi ε > 0

Thật vậy, nếu với mọi ε > 0 đều có δ > sao cho n0 ếu x y, ∈X mà x = 1, y = 1 và

x y − ≥ ε , thì 1

2 x+y ≤ −δ Do đó cũng dúng với ε∈ (0, 2] Ngược lại, nếu đúng

với ε ∈ (0, 2] thì với ε >2 x = 1, y = 1 và x y − ≥ ε ⇒ − > x y 2, dẫn đến 1

2 x+y ≤ −δ

Mệnh đề 1.1.3 Cho số p, 1< < ∞p Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ

khi, cho mỗi ε > có s0 ố δ εp( )>0 sao cho, nếu x y , ∈ X mà , x y ≤ 1 và x y − ≥ εthì

Chứng minh Ta chứng minh chiều ngược lại Cho ε > có s0 ố δ εp( )>0 sao cho,

nếu x y , ∈ X mà 1 x = y = và x y − ≥ εthì

(1 ( ))

p p p

= − − , ta được ngay X lồi đều

Ta chứng minh chiều thuận Giả sử X là không gian định chuẩn lồi đều Nếu p >

( )(1 )

p p

t t

p

p p

t t

−

+ , ∀ ≥ , t 0điều này dẫn đến

với 1 ≥ x , y (xem y ≤ x ) và x y

ε ≤ − = − , (nếu xem x ≤ y thì đổi

x bởi y ) đúng nếu và chỉ nếu x y

Vì vậy yn → 1 (Thật vậy, nếu y không h n ội tụ về 1 thì có 0 < < q 1 và dãy con { }y n sao cho y n ≤ <q 1 cho tất cả n Thật vậy, giả sử điều trên không đúng thì

1

n

y → (mâu thuẫn)) Do y n ≤ < nên, q 1

(1 ) (1 ) 1

21

−

++

t t

≤ + , điều này mâu thuẫn với ( )α

Đặt n

n

n

y z

ẫn với tính lồi đều của X

Định lý 1.1.4 Không gian L p( )µ với 1 < < ∞p là không gian Banach lồi đều

Chứng minh Xem [2] hoặc [3]

Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian định chuẩn với dim X ≥2 Môđun lồi

của X là hàm δX : (0, 2]→[0,1] được định nghĩa bởi

Chứng minh Cố định η λ, ∈(0; 2], η λ≤ và x y, ∈X : x = =1 y , x−y = λ

δ ηX( ) δ λX( )

Định nghĩa 1.1.8 Cho tập con lồi, mở không rỗng của không gian định chuẩn X

Hàm f D f: ( ) → ¡ được gọi là lồi trên D f( ) nếu:

f[λx+ −(1 λ) ]y ≤λf x( )+ −(1 λ) ( ),f y ∀x y, ∈D f( );0≤ ≤λ 1

Bổ đề 1.1.9 Mỗi hàm lồi f trên tập con mở D f( ) không rỗng, lồi trong ¡ là liên

tục

Chứng minh Charles Chidume [1]

Định lý 1.1.10 Môđun lồi của không gian định chuẩn X là hàm liên tục và lồi

Chứng minh Lindenstrauss, J and Tzafriri, L [4]

Định lý 1.1.11 Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ khi

H ệ quả 1.1.12 Trong không gian lồi đều, môđun lồi là hàm tăng ngặt

Chứng minh Từ bổ đề 1.1.7, với 0< < ≤ ta có s t 2 tδX( )s <sδX( )t Do X lồi đều nên theo định lý 1.1.11 ta được δ εX( )> ∀ ∈0, ε (0, 2], bởi vậy

Chứng minh Charles Chidume [1]

Định lý 1.1.14 Nếu X là không gian Banach lồi đều thì X phản xạ

Chứng minh Charles Chidume [1]

Định nghĩa 1.1.15 Cho p > 1 Không gian định chuẩn X được gọi là p-lồi đều

nếu có một hằng số c> 0 :δ εX( ) ≥cεp

Định lý 1.1.16 Ta kí hiệu δp để chỉ môđun lồi của L p (1 < < ∞p ) Ta có:

(i) Nếu p∈ (1, 2) thì có số k p > 0 sao cho 2

( )

p k p

δ ε ≥ ε (ii) Nếu p∈ [2, ) ∞ thì có số k p > 0 sao cho δ εp( )≥k pεp

Chứng minh [3], trang 66

Từ định lý trên ta thấy không gian L p (1 < < ∞p ) là không gian p-lồi đều

1.2 Không gian trơn đều

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là trơn nếu cho mỗi

Vì ε >0 tùy ý nên ρ là hàm lX ồi

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X được gọi là trơn đều nếu với ε >0cho trước có δ >0 sao cho với mọi x y, ∈X và x =1, y ≤ , thì δ

< − ≤ ∀ > Vì vậy X không trơn đều (!)

Mệnh đề 1.2.7 Cho X là không gian Banach thực Với mỗi τ >0, x∈X , x = 1

và x∗∈X∗ với x∗ =1 Chúng ta có:

( ) sup ( ) : 0 2

2 ( ) sup ( ) : 0 2

2

X X

Vậy đẳng thức thứ nhất được chứng minh xong

Ta chứng minh đẳng thức thứ hai, cho τ > và ,0 x y∗ ∗∈X∗: x∗ = y∗ = Cho 1

bất kỳ η > , t0 ừ định nghĩa của trong X∗ có x y0, 0∈X : x0 = y0 = sao cho 1

x∗+y∗ − ≤η x x∗+y∗ x∗−y∗ − ≤η x x∗−y∗

Khi đó

Bây giờ lấy ,x y trong X với x = y = và cho 1 τ > B0 ởi định lý Hahn-Banach

Vậy hệ thức thứ hai đã được chứng minh

Hệ quả 1.2.8 Cho không gian Banach thực X Hàm X( )t

t

ρ không giảm và

Do đó kết hợp với mệnh đề 1.2.7 ta thu được ρX( )t ≤ t

Định lý 1.2.9 Cho X là không gian Banach thực

(a) X là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu X∗

2

X X

τ ≥ > ∀ > , điều này có nghĩa là X không trơn đều

(a) ← Giả sử X không trơn đều, tức là

ρ

+

→ ≠ , điều này dẫn đến có ε > 0sao cho mỗi δ > t0 ồn tại tδ∈(0, )δ thỏa tδε ρ≤ X( )tδ Bởi vậy, ta chọn

{ } τn ⊂(0,1) :τn →0 và ( )

2

X n n

ε

ρ τ > τ Bởi công thức thứ hai của mệnh đề 1.2.7, với

mỗi n có εn∈(0, 2] sao cho

ta có:

2

( )2

Từ X trơn đều nên theo định lý 1.2.9 X∗

lồi đều, từ điều này và theo định lý

( ) H( ) 1 2 1

X

ρ τ∗ ≥ρ τ = +τ −

Định nghĩa 1.2.11 Cho q > 1 Một không gian Banach X được gọi là q – trơn đều

nếu có một hằng số c > 0 sao cho ( ) q, 0

Chương II Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và

trơn đều

2.1 B ất đẳng thức trong không gian lồi đều

Trong chương này nếu không nói gì về X thì ta ngầm hiểu X là không gian

Banach thực

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f X: → ¡ Tập D f( ) := ∈{x X f x: ( )< +∞ được gọi }

là miền hữu hiệu của f Ở đây ¡ = ∪ ±∞¡ { }

Định nghĩa 2.1.2 Hàm f X: → ¡ được gọi là chính thường nếu D f( ) ≠ ∅

Định nghĩa 2.1.3 Hàm chính thường f X: → ¡ được gọi là lồi trên D f( ) nếu

Định nghĩa 2.1.4 Đặt ¡ + = ∞[0, ) Một hàm lồi f trên D f( ) được gọi là lồi đều

trên D nếu có một hàm µ:¡ + =[0,+ ∞ →) ¡ +với µ ( )t = ⇔ = 0 t 0 sao cho

f λx+ −λ y ≤λf x + −λ f y −λ −λ µ x y− ∀x y∈D f ≤ ≤ λ

Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi ,x y∈ khi D 1

2

λ= , thì f được gọi là lồi đều

ở trung tâm trên D

Định nghĩa 2.1.5 Dưới vi phân của hàm f là một hàm ∂f X: →2X∗ được định nghĩa bởi ∂f x( )={x∗∈X∗: ( )f y ≥ f x( )+ 〈 −y x x, ∗〉 ∀ ∈, y X}

Định nghĩa 2.1.6 Một hàm tăng ngặt và liên tục φ:¡ + →¡ + sao cho (0) 0 và lim ( )

→∞

= = ∞ được gọi là hàm định cỡ

Định nghĩa 2.1.7 Cho một hàm định cỡ φ , hàm Jφ :X →2X∗ được định nghĩa

bởi J xφ : {= u∈X∗: x u, ∗ = x u∗ ; u∗ =φ( x )}, nó được gọi là hàm đối ngẫu của

hàm định cỡ φ với X là không gian định chuẩn bất kỳ Trong trường hợp φ( )t =t, hàm đối ngẫu J:=Jφ được gọi là hàm đối ngẫu chuẩn hóa

Bổ đề 2.1.8 Trong một không gian định chuẩn X, cho mỗi hàm định cỡ φ , Jφ( )x

Ngược lại, nếu u∗∈∂ x thì 〈y u, ∗〉 = 〈 + −(y x) x u, ∗〉 ≤ y+ −x x ≤ y , dẫn đến 1

u∗ ≤ Mặt khác, với y = 0 trong định nghĩa của ∂ x ta có x ≤ 〈x u, ∗〉 Bởi vậy

Bây giời ta chứng minh định lý 2.1.11

Do φ tăng ngặt và liên tục nên ψ khả vi và ψ′ ( )t =φ( )t Do bổ đề trên nên ta có

ψ lồi, cho nên nếu s≠t thì, (s t− )ψ′ ( )t ≤ψ( )s −ψ( )t (Th ật vậy, từ bất đẳng thức

〈 −y x u, ∗〉 = 〈y u, ∗〉 − 〈x u, ∗〉 ≤ u∗ y − u∗ x ≤ψ( y )−ψ( x) ( do 〈y u, ∗〉 ≤ u∗ y và 〈x u, ∗〉 = u∗ x )

Nếu y = x thì

〈 −y x u, ∗〉 ≤ u∗ ( y − x )= =0 ψ( y )−ψ( x)

Do đó, với mỗi y∈X,〈 −y x u, ∗〉 ≤ψ( y )−ψ( x )

Vì vậy

u∗∈∂φ( x )={x∗∈X∗:〈 −y x x, ∗〉 ≤ψ( y )−ψ( x );∀ ∈y X} Chúng ta đã chứng minh J xφ ⊂ ∂φ( x)

Ngược lại, với u∗∈∂ψ( x), x≠0

x u x

M ệnh đề 2.1.13 Cho p≥ 1, khi đó J p là dưới vi phân của hàm 1 p

1 ( ) ( ) ( ) ( )

p p

Vậy mệnh đề đã được chứng minh xong

Chứng minh Bởi mệnh đề 2.1.13, J p là dưới vi phân của 1 p

Chứng minh Charles chidume [1]

Định lý 2.1.16 Cho X là không gian Banach thực Thì với hằng số c> , 0

, ,2

x+ y + −x y ≥ x +c y ∀x y∈X

nếu và chỉ nếu p

là lồi đều ở trung tâm trên X

Chứng minh Giả sử với c> , 0

1( )

, ,2

x+ y + −x y ≥ x +c y ∀x y∈X Cho x= +u v và y= − , thì bu v ất đẳng thức ở trên trở thành

2

Ngược lại, giả sử p

là lồi đều ở trung tâm, tức là

là lồi đều trên không gian Banach thực X nếu

và chỉ nếu X là p-lồi đều Nghĩa là, nếu và chỉ nếu có một hằng số

Bây giời chúng ta định nghĩa, với mỗi t > 0, µ:¡ + →¡ + bởi

c = p− − c> , ta được δ εX( )≥c1εp Do đó X là p-lồi đều

Ngược lại, giả sử X là p-lồi đều Chúng ta sẽ chứng minh p

là lồi đều trên

không gian Banach X Bởi bổ đề 2.1.15, có một hằng số c> sao cho 0

1

, ,2

là lồi đều trên X

Hệ quả 2.1.18 Cho p > 1 Khi đó hai điều sau là tương đương:

X là p-lồi đều

Có một hằng số c1 >0 sao cho với mọi x y, ∈X j, x∈J p( )x , ta có bất đẳng thức sau:

x+y p ≥ x p+ 〈p y j, x〉 +c y1 p

Vì vậy, (ii) đã được chứng minh

( )ii ⇒( )iii : Lấy x y, ∈X f, x∈J p( ) và x f y∈J p( )y chúng ta có,

1,

Vì vậy, cho x y, ∈X và 0≤ ≤λ 1, cho +

0

1

0 1 2 0

(1) (0) ( ) ,

1

, , do ( )

x ty

p x

Tiếp theo, thay x bởi λx+ − (1 λ)y và y bởi λ(y−x) trong (2.5) thu được,

lồi đều trên X và vì vậy theo định lý 2.1.17 X là p-lồi đều

2.2 B ất đẳng thức trong không gian trơn đều

Định nghĩa 2.2.1 Một hàm f X: → ¡ được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại

0

x ∈ , nếu X { }x n ⊂ X sao cho { }x n → x0 và ( )f x n → y, thì f x( )0 ≤ y

Mệnh đề 2.2.2 Cho X là không gian Banach thực

(a) X là không gian q- trơn đều thì X* là p-lồi đều, với 1 1 1

p+ =q

(b) X là p-l ồi đều nếu và chỉ nếu X* là q-trợn đều, với 1 1 1

p+ =q

Chứng minh [1] Charles chidume

Định nghĩa 2.2.3 Với X là không gian Banach thực Cho f X: → ¡ là hàm lồi Hàm liên hợp của f, f∗:X∗→ ¡ được định nghĩa bởi f∗(x∗)=sup{〈x x, ∗〉 − f x( ) :x∈X}

Bổ đề 2.2.6 Cho X là một không gian Banach phản xạ, f X: → ¡ là một hàm lồi

và g:¡ + →¡ + là một hàm lồi nửa liên tục dưới chính thường mà miền không là một điểm Thì hai điều sau tương đương:

(i) ( )f y ≥ f x( )+ y−x x, ∗ +g x( −y ) ,∀x y∈X x, ∗∈∂f x( ),

Một lần nữa, thay x bởi λx+ −(1 λ)y và y bởi λ(y−x) trong (2.10) chúng ta thu

( )

q q x

cho x y, X ,f x∗ J p(x )

0

q q

d =c− > Do đó, bởi hệ quả

2.1.18, X∗ là p-l ồi đều và vì vậy theo mệnh đề 2.2.2, X là q-trơn đều

H ệ quả 2.2.8 Cho số thực q > và X là không gian Banach tr1 ơn thực Khi đó các điều sau tương đương:

(i) X là q-trơn đều

(ii) Có một hằng số c> sao cho v0 ới mọi ,x y∈ X

x+y q ≤ x q +q y J, q( )x +c y q

(iii) Có một hằng số c1> sao cho 0

x−y J, q( )x −J q( )y ≤c x1 −y q ,∀x y∈ X

Chứng minh (i) ⇔ (ii): do định lý 2.2.7

(ii) ⇒(iii): Từ (ii), cho f x∈J q( ) và ( )x f y∈J q y chúng ta có

c = cq− Điều này chứng tỏ (iii)

(iii)⇒(i): Từ (i) ⇔ (ii) vì vậy nó là đủ để chỉ ra rằng (iii)⇒(ii)

1

0 1 1 1

0

(1) (0) ( )

Điều này hoàn tất chứng minh

x+y ≤ x + 〈y jx〉 + y ∀x y∈X

Chứng minh Định lý 1.2.12 và hệ quả 2.2.8

Định lý 2.2.10 Cho E là một không gian Banach trơn đều Khi đó, có những hằng

số dương D và C sao cho ∀x y, ∈E có bất đẳng thức:

Chương III Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến

3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach

Cho E là không gian định chuẩn thực

x∈D A y∈S A , thì A được gọi là tựa-tăng

Định nghĩa 3.1.4 Một hàm A E: →E được gọi là tựa-tăng mạnh nếu A kI− là

tựa-tăng với k∈ (0,1) nào đó

Định nghĩa 3.1.5 Một hàm A E: →E được gọi là m-tăng nếu hàm (I + A) là toàn

ánh

Định nghĩa 3.1.6 Một hàm A E: →E được gọi là tiêu tán nếu và chỉ nếu (-A) là

tăng

Khái niệm của tựa-tiêu tán và m-tiêu tán được định nghĩa tương tự

Định nghĩa 3.1.7 Một ánh xạ T :D T( ) ⊂ →E E được gọi là giả co nếu

, ( ), p( ) p( )

∀ ∈ ∃ − ∈ − sao cho 〈 − (I T x) − − (I T y j) , p(x− 〉 ≥y) 0

Nhận xét rằng T là giả co nếu và chỉ nếu A= −I Tlà tăng

Định nghĩa 3.1.8 Một ánh xạ T :D T( ) →E được gọi là giả co mạnh nếu I T− tăng mạnh

Định nghĩa 3.1.9 Một ánh xạ T :D T( ) →E được gọi là nửa co nếu I T− tựa tăng

Định nghĩa 3.1.10 Một ánh xạ T :D T( ) →E được gọi là nửa co mạnh nếu I T−

tựa tăng mạnh

Định nghĩa 3.1.11 Ánh xạ A D A: ( ) ⊂ →E E được gọi là Lipsit nếu có một hằng

số k≥0 sao cho, với mọi x x1, 2∈D A( ), ta đều có Ax1−Ax2 ≤k x1−x2

Định nghĩa 3.1.12 Ánh xạ A D A: ( ) ⊂ →E E , với D A( ) mở trong E được gọi là

lipsit địa phương nếu, cho mỗi x∈D A( ) có lân cận U của x sao cho A giới hạn trên U

A D A ⊂ →E E là lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh với D A( ) mở trong E sao cho

phương trình Ax= f có một nghiệm x∗∈D A( ) với f ∈R A( ) đã cố định Định nghĩa : ( ) , ( ) ( ), ( )

Aλ D A →E A xλ = −x λ Ax− f ∀ ∈x D A Khi đó, có một lân cận B của x∗ và một

số thực λ∈ (0,1)sao cho với x0∈B tùy ý dãy Picard (x n n) ≥0được định nghĩa bởi

x+ =A xλ thuộc trong B và hội tụ mạnh đến *

x với sự hội tụ ít nhất là một sự tiến triển nhanh chóng với một tỷ lệ hình học

Chứng minh Từ A là lipsit địa phương nên với *

x ∈D A( ) có r > 0 sao cho A là

lipsit trên *

( ) ( )

r

B=B x ⊂D A Gọi µ∈(0,1) và L≥ l1 ần lượt là hằng số mạnh và lipsit

của A Cố định x0∈ , từ E trơn đều nên chọn được B (0, 1 )

Điều này chứng tỏ I T− −µI tựa-tăng, hay I T− tựa-tăng mạnh, tức là T nửa co

n n

λ − ∗ ≤λ − ∗ <λ < và (3.1), cùng tình không giảm của ρ τE( )

τ ta được:

Điều này mâu thuẫn Vì vậy x n∈ ∀ ≥ B, n 0

Bây giờ chúng ta chứng minh x n → Nhận xét rằng công thức x∗ x n+1= A xλ n trở thành