Các định lý hội tụ của dãy số, dãy hàm và ứng dụng

Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quảquan trọng nhất về dãy số và dãy hàm.. Chương 2 trình bày một cách chi tiết và có hệ thốngcác đinh lý liên quan đến sự hội tụ của dãy số và

Muc luc

1.1 Dãy số 31.2 Dãy hàm 7

2.1 Các đinh lý hội tụ của dãy số 92.2 Các đinh lý hội tụ của dãy hàm 20

3.1 Dãy cấp số cộng và một số ứng dụngthực tế 273.2 Dãy cấp số nhân và một số ứng dụngthực tế 323.3 Một số bài toán nâng caobồi dưỡng họcsinh giỏi 37

Luận văn được chia thành ba chương Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quảquan trọng nhất về dãy số và dãy hàm Chương 2 trình bày một cách chi tiết và có hệ thốngcác đinh lý liên quan đến sự hội tụ của dãy số và sự hội tụ điểm, hội tụ đều của dãy hàm.Cuối cùng trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của dãy cấp số cộng, dãycấp số nhân và một số bài toán nâng cao phù hợp với chương trình toán bậc phổ thông.Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới

sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân đây tôi xin được bày tỏlòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi cũng biết ơn tất cả các thầy cô Khoa Toán và Thống kê đãdạy dỗ, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm học đại học cũng như 2 năm học thạc sỹ Tôi xin gửi lờicảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) đã quan tâm, độngviên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng,biết ơn đối với bố, mẹ và gia đình và người thân của tôi

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khôngthể trách khỏi những thiếu sót Rất mong quý thầy cô, bạn đọc góp ý để luận văn được hoànthiện hơn

Bịnh Định, tháng 8 năm 2020

Học viên

Võ Công Huân

1

Chương 1

Đại cương về dãy số và dãy hàm

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản dãy số, dãy hàm, các ví dụ vàtính chất cơ bản của dãy số, dãy hàm

Định nghĩa 1.1 Dãy số là một ánh xạ a : N —> R được cho bởi n a(n) := an Dãy số thường

được ký hiệu là {a n }, hoặc (a n ), hoặc a1, a2, , an, Trong luận văn này ta sẽ dùng ký hiệu

(a n ) Số hạng anđược gọi là số hạng tổng quát của dãy (a n ).

Dãy số thường được cho bởi công thức của số hạng tổng quát hoặc được cho bởi côngthức truy hồi (hay bằng quy nạp) Ta xét một số ví dụ sau

Ví dụ 1.2 Cho dãy số (an) được xác đinh bởi

2 , n

an= n + sin —, n 1

nVới cách đinh nghĩa như vậy ta hoàn toàn xác đinh được mọi số hạng của dãy, chẳng hạncho n = 100 thì số hạng thứ 100 của dãy là

Định nghĩa 1.4 Dãy số (an) được gọi là

• bị chặn trên nếu tồn tại số thực M (không phụ thuộc vào n) sao cho

a n < M Mne N;

a n L 'in e N;

vào n) sao cho

Định nghĩa 1.5 Dãy số (a n ) được gọi là

• tăng (giảm) nếu a n < a^+1(a n a n+1) với mọi ne N;

• tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) nếu an < an+1(an > an+1) với mọi ne N.

Ta gọi chung các dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm và giảm nghiêm ngặt là các dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.6 Cho dãy số (a n ) và (m n ) là một dãy tăng nghiêm ngặt các số tự nhiên Khi

đó dãy (am n) được gọi là một dãy con của dãy (an ) Ta viết (am n ) cz (a n ) Ví dụ 1.7. 1 Dãy (a2n ) là một dãy con của dãy (a n ).

2 Dãy (an) là một dãy con của chính nó.

3 Dãy a1, a1, a2, a3, a3, không là dãy con của dãy (an).

Nhận xét 1.8. 1 Nếu (amn ) cz (a n ) thì m n n với mọi n.

Định nghĩa 1.9 ([3]) Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy (a n ), kí hiệu là lima n = L hoặc an

—> L, nếu với mọi 6 > 0, tồn tại N e N sao cho với mọi n N ta có

|an — L| < 6

Định nghĩa 1.10 ([3]) Ta nói dãy (an) phân kỳ đến + 00, kí hiệu là liman= +oo hoặc an—>

+ 00, nếu với mọi M > 0, tồn tại N e N sao cho với mọi nỷ.\ ta có

an > M

M < 0, tồn tại Ne N sao cho với mọi n N ta có

an < M

Định lý 1.1 ([3]) Mỗi dãy số có nhiều nhất một giới hạn.

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng tồn tại một dãy (a n ) có hai giới hạn là L1và

Nhận xét 1.17 Từ hai đinh nghĩa trên, ta dễ dàng suy ra nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy

hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm số f (x) trên A thì {fn(x)} hội tụ điểm đến hàm số f (x) trênA

3

Ví dụ 1.18 ([3]) Chứng minh rằng dãy hàm fn(x = j-Ị——2 hội tụ đều trên R

Lời giải Chia cả tử và mẫu cho n ta được

n—>00

đều trên R Thật vậy, ta có đánh giá

Bằng cách chọn N = [1/(2e)2] + 1, khi đó với mọi n^ N ta có | f n( x ) - f(x)\ < 2/n < £

Vậy dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm số f (x) = x trên R

dụ minh họa Đối với dãy hàm chúng tôi trình bày và phân biệt khái niệm hội tụ điểm và hội

tụ đều của dãy hàm

2.1 Các định lý hội tụ của dãy số

Định lý 2.1 ([3]) Nếu (a n ) hội tụ thì (a n ) bị chặn.

Chứng minh Giả sử dãy (a n ) hội tụ đến a Khi đó với ố = 1 tồn tại số tự nhiên N cố

đinh sao cho

aN — a < 1 Vn 5ỉ N

Vì

an — |a| < an — anên ta có

an < 1 + a Vn 5ỉ N

Đặt

M = ma^{|a1|, , \aN- 1 , 1 + a }

Nhận xét 2.1 Điều ngược lại nói chung là không đúng Thật vậy, dãy (an) với a n = (—1)n bichặn nhưng không hội tụ

7

Định lý 2.2 ([3]) Cho (a n ) và (b n ) là các dãy dãy hội tụ với lim an= a, lim b n = b

n—>X-và a là một số thực bất kỳ Khi đó các dãy (aan) và (a n + b n ) cũng hội tụ và

1 lim (aan) = a lim an;

n—>X-2 lim (an + b n ) = lim an + lim bn

Vn N : |aan — aa| = |a| |an — a| < |a| á' = £

Do đó {aOro} hội tụ và lim (aan) = aa = a lim an

2 Lấy £ > 0 Ta chọn hai só nguyên dương N1, N2sao cho nếu n N1thì |an— a| < I

• Giả sử b = 0 Vì lim b n = 0 nên tồn tại N e N sao cho với mọi n£'.\, ta có

tức là ta đã chứng minh được lim (anbn ) = 0 = ab = lim anlim b n

• Giả sử b 0 Vì lim an = a, do đó tồn tại N1 e N sao cho với mọi II £'.\ Ị ta có

Định lý 2.4 (Nguyên lý kẹp, [3]) Cho ba dãy (an), (b£ và (cn) thoả mãn các điều kiện sau.

(i) lim an= lim c n = L;

(ii) a n < b n < cnvới mọi ne N.

n—>X-Khi đó dãy (b£ hội tụ và lim b n = L.

Chứng minh Lấy £ > 0 Theo giải thiết (i), tồn tại các số tự nhiên N1, N2sao cho

n\£ 1,

lim un= 0

n—>000

0 < un < an, Vn 1.

• TH3: a > 1 Vì

nên ta có đánh giá

Vậy với mọi a > 0, ta luôn có limun= 0

Mệnh đề 2.5 ([3]) Cho (an) là dãy hội tụ với lim an= a

Suy ra nếu ane (a — ố, a + Ố) thì an< a + ố < 0 (mâu thuẫn giả thiết) Vậy không có phần tử

Hệ quả 2.6 ([3]) Cho (a n ), (bn) là hai dãy hội tụ với lim an= a, lim b n = b và giả n—>X- sử rằng a n < bnvới mọi ne N Khi đó a b.

Chứng minh Đặt

c n — b a n ■ n e N

• TH2: 0 < a < 1 Vì

(1 + a (1 + a2) • ■ ■ (1 + a n ) > 1, Vn 5ỉ 1nên ta có đánh giá

Chứng minh Ta chỉ chứng minh cho trường hợp dãy tăng và bi chặn trên, còn trường hợp

dãy giảm và bi chặn dưới được chứng minh tương tự

Giả sử dãy (an) tăng và bi chặn trên Theo nguyên lý supremum tồn tại

Suy ra (0«) là dãy tăng.

tự như trên ta có thể chứng minh được

Tức là dãy (an) bi chặn trên bởi 4.

Nhận xét 2.5 Giới hạn của dãy (a n ) trên đây nằm giữa a1= 2 và b1= 4 Người ta gọi giới hạncủa dãy này là hằng số e Người ta tính được e % 2, 7

Ví dụ 2.6 ([3]) Chứng minh rằng dãy cn= 1 + 1 + — + — -I -1

Chọn N là một số nguyên dương lớn hơn 2 Ta có nếu n >

— ẳ ÌK1-;)(- n) Iim a '^i,mP+w- ấ-H1-n)

ộ-k-1^

1 -2 -k

n — 1n

1 - 1

n

1 nk! nk1 \

Ví dụ 2.7 Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy số sau

Lời giải Ta xét 3 trường hợp sau đây:

• TH2: a > 0 và a1 > 0, khi đó an > 0 với mọi ne N Hơn nữa, ta có

Từ đó suy ra

Vì dãy (an) giảm và bi chặn dưới nên (a n ) hội tụ Ta tính được lim an= Ạ/Ỡ

• TH3: a > 0 và a1 < 0, khi đó an < 0 với mọi n 1 Lập luận như ở TH2, ta chứng minh

=> an+1 _2Ạ/Ỡ — a n — 2Ạ/ÕÍ + aa

'2 2(an+1 — Va)

Ta biết rằng dãy (an) giảm, bi chặn dưới và hội tụ về Ạ/Ỡ Tiếp theo, ta đặt

(harmonic mean) của hai số anvà b n Ta có

Chia A = [a, b] thành hai phần bằng nhau Lúc đó, ít nhất một trong hai đoạn sẽ chứa vô

số hạng của {u n } thì chọn một trong hai đoạn đó là A1

hạng của {u n } thì chọn một trong hai đoạn đó là A2

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được một dãy đoạn {An} thỏa mãn

Trong A1chọn tùy ý u m i Trong A2chọn tùy ý umvới m2> m 1 (điều này làm được là do

Chứng minh (=>) Giả sử lim an = a Khi đó với mọi £ > 0, tồn tại n0= n 0 (e) e N

n—>00

Từ đó suy ra

am — an| < an — a| + am — a| < £ 'im, Hỷ- n0

Ví dụ 2.9 ([3]) Xét sự hội tụ của dãy (a n ), (bn) được cho bởi

Lời giải 1 Lấy £ > 0 Chọn N = [VS] + 1 Khi đó với m n N, ta có

Vậy (an) không là dãy Cauchy, do đó nó phân kỳ

Định lý 2.10 ([3]) Dãy hàm {f n (x)} xác định trên A ' R hổi tụ đều đến hàm số f(x] trên A khi

và chỉ khi

zeA

Chứng minh Giả sử {f n (x]} hội tụ đều đến hàm số f (x) trên A Lấy £ > 0, theo đinh nghĩa

hội tụ đều, tồn tại N e N sao cho

Điều đó có nghĩa là với mọi n N, tập {\fn(X _ f(x)| : X e A} bi chặn trên bởi X2 Do đó

zeAsao cho

p n < £ N.

Do đó với mọi x e A và mọi HX, ta có

|fn(x]- f(x)\ < pn< £

Ví dụ 2.10 Xét sự hội tụ đều của dãy hàm f n (x) = xntrên đoạn [0,1/2]

Lời giải Hàm giới hạn là f (x) = 0, và ta có

{f n (X Q )} Dãy này hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Từ đó ta nhận được kết quả sau.

Định lý 2.11 ([3]) Dãy hàm {f n (x)} xác định trên A cz R hội tụ điểm đến hàm số f(x} trên A khi và chỉ khi với mọi £ > 0 và mọi xe A, tồn tại N = N(ể,x) 6 N sao cho với mọi N ta có

\ux) - fn(x)| < £.

điểm Đinh lý sau cho ta một kết quả tương tự liên quan đến sự hội tụ đều của dãy hàm

Định lý 2.12 ([3]) Dãy hàm {f n (x}} xác định trên A ' R hội tụ đều đến hàm số fix') trên A khi và chỉ khi với mọi £ > 0, tồn tại N = N(£ e N sao cho với mọi N

và mọi X G A ta có

\fmx) - fn(x)| < £.

Chứng minh Trước tiên ta giả sử dãy hàm {f n } hội tụ đều đến hàm f trên A, và lấy £ > 0 Khi

đó tồn tại Ne N sao cho

|fn(x) - f(x)| < 2 ^ n ^N, MxeA.

Lấy N và x e A Khi đó

\ỉm{ x ~ f n x ' : - |fm(x) - f( x )\ + lf(x) + fn(x)| < 2 + Ị =£

e A Theo giả thiết, tồn tại Ne N sao cho

c là tùy ý nên ta nhận được hàm số c i-> f (c), với mọi c e A Tức là hàm số f là giới hạn

m —> 00, ta được

£

Từ đinh lý trên, ta có khái niệm dãy Cauchy đều như sau

Định nghĩa 2.11 (Dãy Cauchy đều) Dãy hàm {f n (x}} xác đinh trên A R được gọi là dãy Cauchy đều trên A nếu với mọi £ > 0, tồn tại N = N(-) G N sao cho với mọi mNE'iiNE N và

mọi x G A ta có

(2.1)

Một trong những lí do của việc giới thiệu khái niệm hội tụ đều đó là khái niệm hội tụđiểm không bảo toàn tính chất liên tục của hàm Sự ra đời của khái niệm hội tụ đều đã khắcphục được nhược điểm này Ta có có kết quả quan trọng sau.

Định lý 2.13 ([3]) Cho dãy hàm {f n (x}} xác định trên A ' R và giả sử vớimỗi

ne N, hàm số fn(x) liên tục tại điểm x 0 G A Nếu dãy hàm {fn(p)} hội tụ đềuđến hàm số f(x} trên A thì hàm số f(x} liên tục tại điểm x 0

Chứng minh Lấy £ > 0 Vì dãy hàm {f n } hội tụ đều đến hàm số f trên Anên tồn tại

Nhận xét 2.12 Từ đinh lý trên ta suy ra nhận xét quan trọng sau.

fn(x)) = lim ( lim fn(x)) = f(xo)

x—>X0 X n^'X- J n^'X- X x—>X0 /

liên tục trên A.

Định lý 2.14 ([3]) Giả sử {fn} là một dãy hàm xác định và khả tích trên đoạn |a.b| Nếu

{fn} hội tụ đều đến hàm f trên |a.b| thì f khả tích trên [a,b Hơn nữa, nếu

FAX = fn(t dt, F(x) = f (t) dt,

thì dãy hàm {F n } hội tụ đều đến hàm F trên [ữ, b.

Chứng minh Lấy £ > 0 Vì {fn} hội tụ đều đến f nên tồn tại Ne N sao cho

U(JN,X~LJ N ,P)< 3 trong đó UJ N , P} và Lf N , P} lần lượt là

—E

U(J-f N ,P) = X>Axi,

i= 1

(f(x) - /N (x) : xe [xi_ x,xj }.

Ta kiểm tra được

< inf {/N(x) — f (x) : x G [a, b]} < mi < Mi< sup {/N(x) — f (x) : x e [a, b]} <

Tiếp theo ta sẽ chứng minh dãy hàm {Fn} hội tụ đều đến hàm số F trên đoạn [a, b] Lấy

E > 0 và N e N sao cho

E

n N , í e b] => |f4í) - f(í)| < 2 (b_ a ỵ

Từ đó suy ra với n N và x e [a, b], ta có

Vậy dãy hàm {Fn} hội tụ đều đến hàm số F trên đoạn [a, b]

Nhận xét 2.13 Từ kết quả của đinh lý, ta thấy rằng có thể đổi thứ tự lấy giới hạn và tích

phân đối với dãy hàm hội tụ đều, cụ thể là

i = 1

E

a b — a)

nAxi

i= 1

Fn( x)-F(x)| [ f n(í) - f (a] dí

Ja 4b~ a ) dt = 4b~a (x—a ^77 < E.

cho dãy {f n( x 0 )} hội tụ và dãy hàm (fn(x)} hổi tụ đều đến hàm số g trên đoạn |a.b| Khi đó dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm số f(x} trên đoạn |a.b| Hơn nữa f khả vi trên [a, b và f(y) = g(x) với mọi xe [a, 6].

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh dãy hàm {f n } là dãy Cauchy đều (xem Đinh nghĩa

2.11) Lấy £ > 0 Vì dãy số {fn(x 0 )} hội tụ nên nó là dãy Cauchy, do đó tồn tại Nỵe N sao

cho

Hơn nữa, vì dãy hàm {fn} hội tụ đều trên [a, 6] nên nó là dãy Cauchy đều trên [a, 6 (theo

Đinh lý 2.12) Do đó tồn tại N2e N sao cho

Cuối cùng, ta có đánh giá

f ( x ) - f (c) f M ( x ) - f M ( c )

x — c

Từ đánh giá trên và kết hợp với các đánh giá (2.7), (2.8) và (2.10) ta nhận được (2.5)

f(x)-f(c) f M (x)- f M (c) ■< Ị Ị ố

Do đó có chính xác 14 số hạng chung của cả 2 dãy đã cho.

= 2 + 7(k — 1) với k = 4s, s = 1, 2, 3, , 14.

Ví dụ 3.2 ([2]) Tính tổng tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 không chia hết cho 13.

25

Lời giải Gọi S là tổng cần tìm, khi đó S có thể viết ở dạng: S = S1000 — M, với S1000 là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 1000, M là tổng các bội của 13 bé hơn 1000.

Ví dụ 3.3 ([2]) {an} là một cấp số cộng có công sai khác 0 Tổng các hạng tử từ số hạng

thứ 4 đến số hạng thứ 14 là 77 Số 7 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Lời giải Theo giả thiết bài toán:

Vậy 7 là số hạng thứ 9 của dãy

Ví dụ 3.4 Tìm tổng 19 số hạng đầu tiên của cấp số cộng {a n } biết a4 + a8 + ai2 + a 16 = 224.

Lời giải Vì a n= ai+ (n — 1)d nên ta có thể phân tích mỗi hạng tử thành biểu thức phụ thuộc vào aivà d Suy ra

= 4( ai + 9d).

Vì

a4 + a8 + ai2 + ai6 = 224nên

Ví dụ 3.5 Tích của số hạng thứ 3 và thứ 6 của 1 cấp số cộng bằng 406 Số hạng thứ 9 chia

số hạng thứ 4 được thương là 2 và dư 6 Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.Lời giải Vì số hạng thứ 9 chia số hạng thứ 4 được thương là 2 và dư 6 nên

Thay a1 = 2d — 6, ta được kết quả

Ví dụ 3.6 Số hạng thứ 2 của cấp số cộng chỉ chứa các hạng tử nguyên, bằng 2 Tổng bình

phương của số hạng thứ 3 và thứ 4 bé hơn 4 Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Lời giải Ta sẽ phân tích a3, a4theo a2

2 2 a3 + a4 - - (a2 + d2 + (a2 + 2d2 =

(2 + d2 + (2 + 2d2 = 5d 2 + 12d + 8.

Vì

a3 -1- a4 < 4nên

5d 2 + 12d + 4 < 0.

Bất phương trình này có nghiệm — 2 < d < —0, 4

Nhưng dãy số chỉ chứa các số hạng nguyên, do đó d = —1

= a1 + (216m — 430^ + 215k)d = ai + Id, với l = 216m — 430^ + 215k, le Z.

Ta sẽ xét ứng dụng của cấp số cộng trong ví dụ thực tế sau:

Ví dụ 3.8 ([2]) Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng Công ty

liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:

Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ nămthứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm

Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu tiên và kể từ quílàm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quí

Nếu bạn là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?

Lời giải Vấn đề đặt ra:

Chọn một trong hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn một tronghai phương án nhận lương phải căn cứ vào số tiền mà họ đuợc nhận trong 10 năm

Phương án giải quyết:

Ta nhận thấy cả hai phương án số tiền nhận được sau một năm (một quí) đều tuân theo mộtquy luật nhất đinh :

Phương án 1: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 36 triệu và công sai d = 3 triệu.Phương án 2: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 7 triệu và công sai d = 0, 5 triệu Vậytheo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận được là:

Xét các bài toán phổ thông có ứng dụng của cấp số nhân

Ví dụ 3.9 ([2]) Viết lại các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây thành các phân số:

a) 0.3333 ;

b) 0.7777 ;

9