Bài 2 TÍCH PHÂN ÔN THI ĐH

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGBÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.. Tính chất cơ bản của tích phân Cho hàm số và là

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân

+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tíchphân

+ Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm củahàm số hợp

+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tíchphân

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân

+ Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa tích phân

Định nghĩa

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   a b , với ;  a b

Nếu F x là nguyên hàm của hàm số   f x trên đoạn 

a b thì giá trị ;  F b  F a  được gọi là tích phân của

hàm số f x trên đoạn   a b ; 

a a

f x dx F x F b  F a

Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –

Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của

tích phân

Ý nghĩa hình học của tích phân

Giả sử hàm số yf x  là hàm số liên tục và không âm

trên đoạn a b Khi đó, tích phân ;   

b

a

f x dx

 chính là

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong yf x ,

trục hoành Ox và hai đường thẳng x a x b ,  , với

0 0

2 Tính chất cơ bản của tích phân

Cho hàm số f x và   g x là hai hàm số liên tục trên 

khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng

hoặc đoạn và a b c K, ,  , khi đó:

f a f b  f x dx

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Đổi biến dạng 1 Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân  

Lưu ý: Phương pháp đổi biến số trong

tích phân cơ bản giống như đổi biến số trong nguyên hàm, ở đây chỉ thêm bước

đổi cận.

2 Phương pháp tích phân từng phần

Bài toán: Tính tích phân    .

I  u v  v du (công thức tích phân từng

phần)

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao

cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

1 Cho hàm số f x liên tục trên   a a;  Khi đó

Ý nghĩa hình học của tích phân

Giả sử hàm số là hàm số liên tục và không âm trên đoạn Khi đó, tích phân chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng

Tính chất cơ bản của tích phân

Cho hàm số và là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn

II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất

Ta có    

3

0 0

Ta có cosx sinx nên sinxdxdcosx

Từ f x   x f x   (1), suy ra 2 f x  0 với mọi x 1; 2.

Suy ra f x là hàm không giảm trên đoạn   1; 2 nên  f x f  2 0,  x 1; 2

Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f x  ta được 2  

Chú ý rằng đề bài cho f  2 , yêu cầu tính f  1 , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.

Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí.

x

.ln 2 ln 31

2 2

biểu thức S a bc  là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Xét 2

0

cossin cos

40

1 3x

x dx

Câu 3: Tích phân

0cos

Câu 14: Giá trị của 2

cos



 Trong các khẳng định sau, khẳng định đúnglà

a

2 2.2

ln 2,1

10

ln ,1

2 2 0

Câu 46: Cho

4 2 3

a dx

 với , ,a b c là các số nguyên dương và a

b tối giản Giá trị của

2.3

0

ln 2,1

x

dx a b x

3.2

Câu 53: Cho tích phân 0

 Trong đó a b c, , là các số nguyên dương Phân số b c

tối giản Giá trị của T a2b2c2 là

Câu 60: Biết

4

2 1

14

x

b c x



a

I f x dx, ta có thểđổi biến như sau:

2 0

2

 t dt   t dt

6 0

44

Chọn D.

Ví dụ 5: Giá trị của

2 2 2

3 2

19

ln 2 ln 3,sin 3sin 2

.3

Ví dụ 11: Cho hàm số yf x  liên tục trên  và  



C 22

22.13



Hướng dẫn giải

Phân tích 3sin cos 2sin 3cos  2cos 3sin 

2sin 3cos 2sin 3cos

Giá trị của 2  

1 4

2

1ln1

x u

I x x dx là

Câu 15: Có bao nhiêu số a0;20 sao cho 5

Câu 18: Cho  

3 1

dx x

2

4.3

cos sin

.ln 2, , ,sin

e dx

1 6

1

ln lnln

Câu 39: Biết 2  

2 1

22ln1

Câu 43: Cho tích phân 2 2  

2 0

2 cos cos 1 sin

lncos

0

ln

x x



   

n x n

Câu 51: Cho hai hàm số f x và   g x có đạo hàm trên đoạn   1; 4 và thỏa mãn hệ thức

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho

Chọn B.

Ví dụ 3: Giá trị của tích phân

1 2 0tan

dx

x dx

dv

v x

+ Biến đổi 1 cos 2 x2 cos 2x

+ Ưu tiên đa thức.

+ Đặt

2

.1cos

ln sin 2cos

ln 3 ln 2cos

5

17.8

0

tan 2 ln sin 2cos

 4

 trong đó , , ,m n p q là các số nguyên dương và q p là phân số tối

giản Giá trị của T   m n p q là

Câu 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn     

3 6

e I

e I e

1 4

Câu 8: Biết  

4

2 0

2

2.2

e 

C

2 5.2

e 

D

2 5.4

e e

Câu 17: Biết  

3 2 2

A . B .e C .

3



D 1.3

2

e I

e



2 2

2

e I e



2 2

3.2

e I

ln1

A 14 B 12 C 8 D 4.

2

2 0

11

c x

13.4

Câu 37: Cho hàm số f x liên tục trên    và    

2 6

+ Nếu f x là hàm số chẵn thì ta có 

02

I 

20192.2019

c Nếu f x liên tục trên đoạn   a b và; 

1.3

.4

Coi (*) là tam thức bậc hai theo biến  , và vì (*)

đúng với mọi   nên ta có   0 khi và chỉ

11

e e



C

2 1.2020

e e



D 0

3 2

2 0

e



C 3.2

e



D 1.2

 

Hướng dẫn giải

Ta có f x  f x sinx nên e f x x  e f x x  e x.sin ,x x  

Ví dụ 5: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 , và   1  0 14.

I f x g x dx là

Câu 6: Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên   0;1 Biết  f x f   1 x 1 với  x 0;1

Giá trị của tích phân

 

1

01

dx I

Câu 7: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa      2

2f x 3 1f  x  1 x Giá trị của  



D 16

Câu 10: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn điều kiện   f x   1,f  0 0 và

Câu 13: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục và khác 0 trên đoạn   0;1 thỏa mãn  f  0 1

và  f x 2 f x Đặt T f  1  f  0 , khẳng định nào sau đây đúng?

5

13.4

Câu 16: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 ,  f x và   f x  đều nhận giá trị dươngtrên đoạn 0;1 và thỏa mãn  f  0 2,        

17

19.2

Câu 17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn     

1

2 0

A 2.

5

7

6.5

Câu 18: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;

7.6

Câu 26: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn     

1

2 0

Câu 30: Cho hàm số yf x  liên tục trên 0;1 thỏa mãn   

43

26.15

Câu 34: Cho hàm số yf x  liên tục trên  thỏa mãn 3f x  f 2 x 2x 1e x2 2x 1 4

5 7.4

Câu 38: Cho yf x  là hàm số chẵn và liên tục trên  Biết    

40.3

A 11.

11

1

11.30

Câu 43: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn  f  1 0

5.2018ln 2

Câu 45: Cho hàm số f x liên tục trên    biết 6  

t b a b  sẽ di chuyển được quãng đường là:

Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với

vận tốc v t  160 10 t m s /  Quãng đường màvật chuyển động từ thời điểm t0 s đến thờiđiểm mà vật dừng lại là

160t 5t 1280 m

Chọn B.

5.1.2 Một vật chuyển động có phương trình gia

tốc a t thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời 

5.1.4 Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn

của đoạn mạch trong thời gian từ t đến 1 t là:2

  Biết i q với q là điện tích tức thời ở tụ điện Tính từ lúc t 0, điện lượng

chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến 

Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t  160 10 t m s /  Tìm quãng đường S mà vật di

chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 s đến thời điểm vật dừng lại

Câu 3: Một ô tô đang đi với vận tốc 60 km/h thì tăng tốc với gia tốc a t   2 6t km h / 2 Quãng đường

ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc

Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở

phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, xe

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  5t20m s/ , trong đó t là thời gian được tính từ lúc

người lái đạp phanh Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu?

Câu 5: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t 0 Tại thời điểm

t, vị trí của chất điểm A được cho bởi   1 2

Câu 6: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách

mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 9,8m s ?/ 2

1 2t







Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc v t  36t18m s/  trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ

lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là baonhiêu mét?

v t  t  t m s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động.

Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a m s (a là hằng số) Sau khi B xuất phát được 10 giây / 2

thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

A 22m s / B 15m s / C.10m s / D 7 m s /

Câu 10: Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều

với vận tốc v t  38 19t m s/  trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm

phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 11: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động

chậm dần đều với v t  5 10t m s/ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu

đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 12: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v

(km/h) phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị là một phần 

của đường parabol có đỉnh I2;9 và trục đối xứng song

song với trục tung như hình bên Quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 3 giờ đó là

A s24, 25km

B s26,75km

C s24,75km

D s25, 25km

Câu 13: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v

(km/h) phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị như hình 

bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu

chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có

đỉnh I2;9 và trục đối xứng song song với trục tung.

Khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song

song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng

Câu 14: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu

phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng

đồ thị là đường cong parabol có hình bên Biết rằng sau

10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm

tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe

đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

Câu 15: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v

(km/h) phụ thuộc thời gian t  h có đồ thị là một phần của

đường parabol cố định I1;1 và trục đối xứng song song

với trục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát

h t cm là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao

nước tại giây thứ t là   1 3

3500

h t  t Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 3

4 độ sâu của hồ bơi?

A 7545,2 giây B 7234,8 giây C 7200,7 giây D 7560,5 giây.

Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 30 5 t m s /  Quãng đường vật dichuyển từ thời điểm t2 s đến khi dừng hẳn là

Câu 18: Một vật đang chuyển động với vận tốc v20m s/  thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính

theo thời gian t là a t   4 2t m s / 2 Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốcđến lúc vật đạt vận tốc bé nhất

Câu 21: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối

thiểu 1m Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm

phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v t A  16 4 t (đơn vị tính

bằng m/s), thời gian tính bằng giây Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô

tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?

Câu 24: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v t   t2 10t m s /  với t là thời

gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động Biết khi máy bay đạt vận tốc

Câu 25: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

Câu 26: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m s/ 2 Biết ô tô

chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

A 3;4  B 4;5  C 5;6  D 6;7 

Câu 27: Tại một nơi không có gió, một chiếc khinh khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt

đất đã được phi công cài đặt cho chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khinh khí cầu đã chuyển độngtheo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t 2, trong đó t (phút) là thời gian tính

từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p) Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khinh khí cầu là

v t  t  t m s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động.

Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m s (a là hằng số) Sau khi B xuất phát được 12 giây / 2

thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng