BÀI 2 mặt TRỤ ÔN THI ĐH

+ Tính được các yếu tố liên quan đến hình trụ, khối trụ như chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích thiết diện, thể tích Trong mp cho hai đường thẳng và song song

BÀI 2: MẶT TRỤMỤC TIÊU

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay và khối

trụ tròn xoay

+ Nắm vững các công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, diện

tích đáy của hình trụ, diện tích toàn phần của hình trụ, thể tích của

khối trụ

 Kĩ năng

+ Nhận biết được một khối tròn xoay là khối trụ

+ Tính được các yếu tố liên quan đến hình trụ, khối trụ như chiều cao,

diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích thiết diện, thể tích

Trong mp cho hai đường thẳng và song song với nhau, cách nhau

một khoảng r Khi quay mp xung quanh thì đường thẳng sinh ra một

mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ

-Đường thẳng được gọi là trục

-Đường thẳng được gọi là đường sinh

-Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ đó.

- Đường thẳng được gọi là trục.

- Đoạn thẳng được gọi là độ dài đường sinh

- Độ dài đoạn thẳng được gọi là chiều cao

của hình trụ (độ dài đường sinh bằng chiều cao của hình trụ)

- Hình tròn tâm A, bán kính và hình tròn tâm , bán

kính được gọi là hai đáy của hình trụ

- Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh

khi quay quanh gọi là mặt xung quanh của hình trụ

KHỐI TRỤ TRÒN XOAY

Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó

ta gọi là khối trụ tròn xoay hay ngắn gọn là khối trụ

Các khái niệm tương tự như hình trụ

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Cho hình trụ có chiều cao là h, bán kính đáy r thì ta có:

- Diện tích xung quanh

- Diện tích đáy (hình tròn) .

- Thể tích khối trụ

Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụ

ta thường vẽ như hình bên.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT TRỤ

MẶT TRỤ TRÒN XOAY

Trong mp , cho hai đường thẳng và d song song

với nhau, cách nhau một khoảng r Khi quay mp

xung quanh thì đường thẳng d sinh ra một mặt

tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay

Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay

hình đó xung quanh đường thẳng chứa

một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một

hình được gọi à hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ

Ví dụ 1 Thể tích V của một khối trụ có bán kính đáy bằng R, độ dài đường sinh bằng được xác

định bởi công thức nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Lưu ý: Đây là câu hỏi lý thuyết, cần nhớ rằng công thức tính thể tích của khối nón giống công thức

thức tính thể tích của khối chóp và công thức tính thể tích của khối trụ giống công thức tính thể tích củakhối lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân chiều cao)

Ví dụ 2 Cho hai điểm A, B cố định Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.

B Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.

C Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng cắt trục của hình trụ ta được được thiết diện là hình tròn.

D Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.

Câu 2: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình lập phương.

B Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình hộp.

C Tồn tại một mặt nón tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều.

D Tồn tại một mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy của hình trụ

Phương pháp giải

Nắm vững các công thức về diện tích xung

quanh, diện tích toàn phần, diện tích đáy Biết sử

dụng các kết quả của phần kiến thức quan hệ

song song, quan hệ vuông góc, các hệ thức lượng

trong tam giác để áp dụng vào tính toán

Ví dụ: Cho khối trụ có bán kính đáy R=1, thể

tích Diện tích toàn phần của hình trụ tươngứng là

Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục

và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18 Diện tích xung quanh củahình trụ đã cho bằng

Hướng dẫn giải

Thiết diện thu được là hình chữ nhật ABCD và

, gọi I là trung điểm của AB

Ta có

Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

Chọn D.

Ví dụ 2: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông

cạnh 2a Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Hướng dẫn giải

Do thiết diện là một hình vuông cạnh

2a nên chiều cao h của hình trụ bằng

2a và đường kính mặt đáy bằng 2a

suy ra bán kính đáy r = a Khi đó diện

tích xung quanh của hình trụ là

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng và độ dài đường sinh bằng đường kính của

đường tròn đáy Bán kính r của đường tròn đáy là

Ví dụ 4: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình

vuông Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O') Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và 00' bằng Bán kính đáy bằng Bán kính đáy bằng

Dựng đường sinh AA'.

Gọi M là trung điểm của A' B

Ví dụ 5: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R Một mặt

phẳng đi qua trung điểm của và tạo với một góc Hỏi cắt đường tròn đáy theomột dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6: Cho hình trụ có chiều cao bằng Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt

hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' bằng

Ở ví dụ 7 dưới đây thêm một cách hỏi khác nữa

dù thiết diện vẫn là vậy.

Chọn C.

Ví dụ 7: Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Một hình vuông ABCD có AB, CD là

hai dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng không vuông góc với đáy Diện tích hình vuông

Xét tam giác AA'D vuông tại A' ta có

Mặt khác, gọi I là trung điểm của thì ta có:

Do đó

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho hình trụ (T) có đáy là các đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng 1, chiều cao hình trụ bằng

2 Các điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn và sao cho góc Diện

tích toàn phần của tứ diện OAO'B

Câu 2: Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng Biết thể tích khối trụ

bằng Bán kính đáy của hình trụ là

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 6, AD = 8, AC’ = 12 Diện tích xung quanh S xq

của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C’D' là

A B C D

Câu 4: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 45°, diện

tích bằng Tính diện tích xúng quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'

Câu 5: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Đường kính

của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình dưới

đây) Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng

một diện tích là

Câu 6: Cho hình trụ có chiều cao bằng cm Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và

cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6cm , diện tích tứ giác ABB'A’ bằng

60cm2 Tính bán kính đáy của hình trụ

Câu 7: Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 4 cm Điểm A nằm trên đường tròn đáy tâm

O, điểm B nằm trên đường tròn đáy tâm O' của hình trụ Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng OO' và AB

bằng cm Khi đó khoảng cách giữa O'A và OB bằng

Câu 8: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn và Trên đường tròn

lấy hai điểm A, B sao cho AB = Mặt phẳng đi qua A, B cắt đoạn OO' và tạo với đáy một góc

, cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip Diện tích thiết diện đó bằng

Dạng 3: Thể tích khối trụ, bài toán cực trị

Phương pháp giải

Tương tự như dạng toán 3 của phần khối nón Ví dụ: Tính theo a thể tích của một khối trụ

có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a

Hướng dẫn giải

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có

ABCD là hình chữ nhật Từ giả thiết suy ra AB = 2a

và

Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng:

Chọn B.

Ví dụ 2: Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB

và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ Biết , Tính theo a thể tích khối trụ.

và.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB Gọi là thể tích của khối trụ tạo thành khi cho hình

chữ nhật quay xung quanh cạnh AB, là thể tích khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AD Tỉ số là

Hướng dẫn giải

Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy và chiều cao

Khi đó, thể tích của khối trụ này là

Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy và chiều cao

Khi đó, thể tích của khối trụ này là

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD vuông tại Avà B với Quay hình thang và miền trong

của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành là

Hướng dẫn giải

Thể tích Trong đó là thể tích khối trụ có bán kính đáy là và chiều cao

là thể tích khối nón có bán kính đáy là và chiều cao

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục củahình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng ta được thiết diện là một hình vuông Thể tích khốitrụ bằng

Hướng dẫn giải

Giả sử hình vuông ABCD là thiết diện của hình trụ cắt bởi như hình vẽ

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AD, BC.

Ví dụ 6: Cắt một khối trụ cao bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây Biết rằng thiết diện

là một elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhấtlần lượt là và Tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn) là

Hướng dẫn giải

Gọi V 1 ;V 2 lần lượt là thể tích khối nhỏ và khối lớn.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm MN và BC.

Vậy thể tích cần tìm là tổng thể tích của khối nón có chiều cao là AF bán kính đáy FB và thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ.

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại

Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên

do đó hay góc giữa AC’ và

Khi đó diện tích toàn phần của khối trụ là

Ta xem S là 1 hàm số ẩn R Xét

Lập bảng biến thiên ta có

Bài toán hỏi về bán kính đáy nên ta xem bánkính đáy là ẩn, tính diện tích xung quanh theobán kính đáy

Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

Thể tích của khối trụ là

(vì )

Ta có bảng biến thiên như sau

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R là

Chọn A.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật có cạnh và cạnh

Câu 2 Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD biết AB=3;

AD=4 là

Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a, chiều cao là h Thể tích V

của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là

Câu 4 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam

giác vuông cân tại A, góc giữa AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) bằng 30° (tham khảo

hình vẽ) Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A B C D

Câu 5 Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA = Cho

hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng

Câu 6 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a Quay hình thang ABCD quanh

đường thẳng CD Thể tích khối tròn xoay thu được là

Câu 7 Môt hình trụ có tâm hai đáy là và , bán kính đáy bằng R, đường cao của trụ bằng 2R Gọi A

là một điểm cố định nằm trên đường tròn tâm và điểm B thay đổi trên đường tròn tâm sao cho AB không là đường sinh Độ dài đoạn thẳng AB trong trường hợp thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

Câu 8 Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình chữ nhật có chu vi bằng 12cm Thể tích lớn nhất mà

hình trụ có thể nhận được là

Câu 9 Các hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là không đổi, gọi chiều cao hình trụ là h và bán

kính đáy hình trụ là r Thể tích của khối trụ đó đạt giá trị lớn nhất khi

Câu 10 Ông A dự định làm một cái bể nuôi cá có dạng hình trụ (không có nắp) với dung tích 200dm3

Bán kính r của đáy hình trụ để ông A sử dụng nguyên liệu ít tốn kém nhất là

Ví dụ: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m

và 1,5m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổngthể tích của hai bể trên Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Ví dụ 1 Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a Người ta

muốn tạo tấm bìa đó thành 4 hình không đáy như hình vẽ dưới đây, trong

đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam

giác đều có chiều cao lần lượt 3a, 6a

Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là bán kính của hai hình trụ ở hình H1, H2

Gọi lần lượt là thể tích của hai hình trụ ở hình H1, H2

lần lượt là chu vi đáy của hai hình trụ ở hình H1, H2

Ta có:

Do hai hình H3, H4 là hai hình lăng trụ tam giác đều nên ta có độ dài các cạnh đáy của hai hình H3,H4 lần lượt là 2a;a

Thể tích hình H3, H4 lần lượt là:

Từ đó ta có hai hình có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt theo thứ tự là H1, H4

Ví dụ 2 Người ta đổ một cái cống bằng cát, đá, xi măng và sắt thép như hình vẽ bên dưới Thể tích

đề bài mà lấy tấm bìa lần lượt tạo thành 4 hình trong

đề bài.

Thể tích nguyên vật liệu cần dùng là thể tích khối trụ to có bán kính R trừ đi thể tích khối trụ nhỏ có bán kính R 2

Ví dụ 3 Một người thợ có một khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN,

PQ của hai đáy sao cho MN PQ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt

cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ.

Biết MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30 dm3 Thể tích

lượng đá cắt bỏ là bao nhiêu? (Làm tròn đến một chữ số thập phân sau

Ví dụ 4 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ , xếp chồng lên nhau, lần

lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là thỏa mãn ;

(tham khảo hình vẽ bên) Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

Chọn C.

Ví dụ 5 Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình

sau Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và

bằng h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng chiều cao hình trụ Lật ngược dụng cụ theo

phương vuông góc với mặt đất Độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h là

Ví dụ 6 Công ty của ông Bình dự định đóng một thùng phi hình trụ (có đáy dưới và nắp đậy phía trên)

bằng thép không gỉ để đựng nước Chi phí trung bình cho 1 m2 thép không gỉ là 350000 đồng Với chi phí

bỏ ra để làm cái thùng phi không quá 6594000 đồng, hỏi công ty ông Bình có thể có được một thùng phiđựng được tối đa bao nhiêu mét khối nước? (Lấy )

C D

Hướng dẫn giải

Gọi R, h lần lượt là số đo bán kính và chiều cao của thùng phi hình trụ.

Với giả thiết như trên thì diện tích thép không gỉ được dùng tối đa là

Ví dụ 7 Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định Biết rằng giá

của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung

quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích) Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r Tỉ

số sao cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải