Chuyên đề tích phân ôn thi ĐH

Bài tập: Ghi nhớ: − Nguyên hàm của một tổng hiệu của nhiều hàm số chính là tổng hiệu của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.. − Nguyên hàm của một tích thương của nhiều hàm số

PHẦN 1 : ĐẠO HÀM

A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

1) Định nghĩa :

( ) lim0 lim0 ( ) ( )

y

f x

∆ → ∆ →

+ ∆ −

∆

o

2) Các quy tắc tính đạo hàm:

a). Đạo hàm một tổng, hiệu: ( 1± 2±L± )′= ±1′ 2′±L± ′

b). Đạo hàm một tích: ( )u v ′=u v u v′. + . ′

* Trường hợp đặc biệt: v k = (klà hằng số) ta được: ( )k u ′=k u. ′

c). Đạo hàm một thương: u u v u v v2 ( 0)

′ ′ − ′

 ÷

 

* Trường hợp đặc biệt: u = 1 ta được: 2 ( )

1

0

v v

  = − ≠

 ÷

 

3) Các công thức tính đạo hàm:

( ) un ′ = nu u nn− 1 ′ ( ∈ ¥*) ( cot ) 2 ( )

sin

u

′

( ) ( 0 )

2

u

u

′

′ = > ( ) eu ′ = e uu ′

( sin u ) ′ = cos u u ′ ( ) au ′ = auln au ′ ( 0 < ≠ a 1 )

( cos u ) ′ = − sin u u ′ ( ) ln u u ( u 0 )

u

′

′ = >

u

u

ln

u a

′

′ = < ≠ >

Chuyên đề:

B) BÀI TẬP:

 Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng

minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức F x y y y y ( , , , , , ′ ′′ ′′′ )

, với y f x = ( ) là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:

• Tìm tập xác định của hàm số y f x = ( )

• Tính y y y ′ ′′ ′′′ , , , K(có khi ta phải rút gọn hàm số y f x = ( ) trước, sau đó mới tính đạo hàm)

• Thay y y y ′ ′′ ′′′ , , , K vừa tìm được vào biểu thức F, tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán

Bài 1: Cho hàm số ( )2

1 2

x

y = x − Giải phương trình y xy + ′ = 0

Bài 2: Cho hàm số y x e = 2 x Chứng minh đẳng thức: xy ′ = + ( x 2 ) y

Bài 3: Cho hàm số 2

2 cos x

y = Chứng minh đẳng thức: y cos x y − ′ sin x y =

Bài 4: Cho hàm số y e = xsin x Chứng minh rằng: 2 y ′ − 2 y ′′ + y ′′′ = 0

Bài 5: Cho hàm số ( )2

1 cos

Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( x − 1 ) ( y y + ′′ ) − = y ′ 0

Bài 6: Cho hàm số y = cos4x − sin4x

a Chứng minh rằng: y ′ + 2 sin 2 x = 0

b Giải phương trình 2 y y + = ′ 0

Bài 7: Cho hàm số y = ln2x Giải bất phương trình y xy x y + ′ − 2 ′′ ≤ 3

Bài 8: Cho hàm số ( )2

1

x

y e = − x + Tìm các giá trị của x sao cho: 2y y y y+ + + ′ ′′ ′′′− =1 0

Bài 9: Cho hàm số y = ln   e xx( 2+ 1 )  .

a Giải phương trình y ′ + ( x2 + 1 ) y ′′ = 0.

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y ′

Bài 10: Cho hàm số y xe = −x

Chứng minh bất đẳng thức sau: y y + ′′′ − − > ∀ ∈ y y ′ ′′ 0, x ¡ .

Bài 11: Cho hai hàm số: f x ( ) = cos cos 2 x 2x; ( ) 1 2 2

2

2 sin sin

a Tính f x ′ ( ), g x ′ ( ) .

b Chứng minh rằng: f x ′ ( ) + g x ′ ( ) = 0.

Bài 12: Cho hàm số y f x = ( ) = tg x tg x tgx 3 2

Chứng minh rằng: f x ′ ( ) = 3 tg x23 − 2 tg x tg x22 − 2

PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

§1 NGUYÊN HÀM:

1) Định nghĩa :

Hàm số F x ( ) gọi là nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên ( ) a b , nếu

F x ′ = f x ∀ ∈ x a b .

Ghi nhớ : Nếu F x ( ) là nguyên hàm của f x ( ) thì mọi hàm số có dạng ( )

F x + C (Clà hằng số) cũng là nguyên hàm của f x ( ) và chỉ những hàm số có

dạng F x ( ) + Cmới là nguyên hàm của f x ( ) Ta gọi F x ( ) + Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f x ( ) và ký hiệu là∫ f x dx ( )

Như vậy: ∫f x dx( ) =F x( )+C

2) Tính chất:

a.TC1: ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( ) ; (k≠ 0)

b.TC2: ∫f x( )±g x( )dx=∫f x dx( ) ±∫g x dx( )

c.TC3: Nếu ∫ f x dx F x ( ) = ( ) + C thì ∫ f u du F u ( ) = ( ) + C

3) Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ (a, b∈ & ≠¡ a 0):

∫

1

1

x

α

+

+

a

∫

a

∫

cos

x

a

∫

2 cot , sin

1

2

, cos

ax a

∫

sin

∫

4) Bài tập:

Ghi nhớ:

− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần

− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần

− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành

một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.

Bài 1: Cho hai hàm số ( ) 1 1 2

2 4 sin

F x = x + x; f x ( ) = cos2 x

a Chứng minh rằng F x ( ) là nguyên hàm của f x ( ).

b Tìm nguyên hàm G x ( ) biết rằng 0

4

G   =  ÷ π

Bài 2: Cho hàm số ( ) 4 4

f x

=

Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x ( ) biết rằng F ( ) π = π

Bài 3: Cho hàm số f x ( ) = 2 cos cos2 x 4 x Tìm hàm số G x ( ) biết rằng

 ÷

Bài 4: Cho hàm số f x ( ) = 8 sin cos cos cos x x 2 x 4 x

a Giải phương trình f x ′′ ( ) + f x ( ) = 0.

b Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x ( ) biết rằng đồ thị của hàm số

( )

F x đi qua điểm 0

8 ;

M  − π 

Bài 5: Biết rằng hàm số F x ( ) 1 sin cos x

x

= + là nguyên hàm của f x ( ) Hãy tìm

các giá trị của x sao cho f x ( ) − f x ′ ( ) = 0

Bài 6: Cho hàm số y xe = x

a Tính y ′và y ′ ( ) 2 .

b Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) ( = x + 2007 ) ex

Bài 7: Cho hàm số f x ( ) = exsin x Chứng minh rằng hàm số f x ′ ( ) − f x ′′ ( )

là nguyên hàm của hàm số 2 f x ( )

Bài 8: Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số ( ) 3 2 2

f x

=

+ + ,biết rằng

( ) 1 1

3

F = (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)

§2 TÍCH PHÂN :

1) Định nghĩa : b ( ) ( ) b ( ) ( )

a a

f x dx F x= =F b −F a

∫

2) Tính chất :

a TC1: b ( ) a ( )

f x dx= − f x dx

b TC2: b ( ) b ( ) ( 0 )

kf x dx k f x dx k= ≠

f x ±g x dx= f x dx± g x dx

d TC4: b ( ) c ( ) b ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

e TC5: Nếu f x ( ) ≥ ∀ ∈ 0, x [ ] a b ; thì ( ) 0

b a

f x dx ≥

∫

f TC6: Nếu f x ( ) ( ) ≥ g x , ∀ ∈ x [ ] a b ; thì b ( ) b ( )

f x dx ≥ g x dx

g TC7: Nếu m f x M x a b≤ ( ) ≤ ,∀ ∈[ ]; thì ( ) b ( ) ( )

a

m b a − ≤ ∫ f x dx M b a ≤ −

3) Bài tập :

 Ghi nhớ:

− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

a 4

0 2 cos cos x xdx

π

b

4 cos x sin x dx

π

π

+

c

2 1

1

2

dx x

−

+

d

2 2

1

ln

x x

x

+

∫

Bài 2: Cho hàm số ( ) 2 1

x

f x

x

= + và hàm số F x( ) =ln x2 +1

a Chứng minh rằng F x ( ) là nguyên hàm của f x ( )

b Áp dụng câu a tính

1 2

xdx

x +

Bài 3: Cho hàm số f x ( ) = x ln2x − 2 x x ln

a Tính f x ′ ( ).

b Áp dụng câu a tính 2

1 ln

e

xdx

Bài 4: Biết hàm số F x ( ) cos cos x sin sin x

−

=

+ là một nguyên hàm của f x ( ) Hãy

tính : 4 ( )

0

f x dx

π

′

§3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1) Công thức tổng quát : ( ) . ( ) b ( )

a

β α

Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu

tích phân có dạng tích của f   ϕ ( ) x   (hàm số theo biến là ϕ ( ) x ) với đạo hàm của

hàm ϕ ( ) x Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt

cụ thể như sau:

a). TH1: β f(sin cosx) xdx

→ Đặt t = sin x

→ hoặc t p = sin x q + ( p q , ∈ ¡ )

→ hoặc t = n p sin x q + nếu như biểu thức p sin x q + nằm trong n

b). TH2: β f(cos sinx) xdx

→ Đặt t = cos x

→ hoặc t p = cos x q + ( p q , ∈ ¡ )

→ hoặc t = n p cos x q + nếu như biểu thức p cos x q + nằm trong n

c). TH3: f(ln x) 1dx

x

β

→ Đặt t = ln x

→ hoặc t p x q = ln + ( p q , ∈ ¡ )

→ hoặc t = n p x q ln + nếu như biểu thức p x q ln + nằm trong dấu n

d). TH4: ( ) 2

1 cos

x

β α

→ Đặt t tgx =

→ hoặc t ptgx q = + ( p q , ∈ ¡ )

→ hoặc t = n ptgx q + nếu như biểu thức ptgx q + nằm trong dấu n

e). TH5: ( ) 2

1 sin

x

β α

→ Đặt t cotgx =

→ hoặc t pcotgx q = + ( p q , ∈ ¡ )

→ hoặc t = n pcotgx q + nếu như biểu thức pcotgx q + nằm trong n

2) Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

a

6

3

cos sin

xdx x

π

+

∫

b

2

3

6 cos x 1 sin xdx

π

π

+

∫

c

1 3 ln 2

∫

d

19 2 3

xdx

x +

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

a 1 ( )

2

2

−

∫

b 4 2

2

0 cos

tgx

e dx

x

π

∫

c

2

2 6

3 cot 1 sin

dx

π

∫

d

4

2 1

1

x

dx

∫

Bài 3: Tính các tích phân sau đây:

a 3

3

0 cos

tgxdx

x

π

∫

b

2

6

sin cos x xdx

π

π

∫

c 6

0

2

sin

xdx

π

−

∫

d

4

2 0

2

cos sin cos

xdx

π

+

∫

Bài 4: Tính các tích phân sau đây:

a 3 3

4 0

sin

cos

xdx x

π

∫

b

3

0

1

x + x dx

∫

c 6

0

2

sin

sin

xdx x

π

+

∫

d

4

3 6

dx tgx tg x

π

∫

§4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1) Cơng thức tổng quát : b ( )b b

a

uv dx′ = uv − vu dx′

hay b ( )b b

a

udv= uv − vdu

2) Các bước thực hiện:

Đặt

( ) ( ) (nguyên hàm)

′

• Bước 2: Thế vào cơng thức (1)

• Bước 3: Tính ( ) b

a

uv và suy nghĩ tìm cách tính tiếp

b a

vdu

∫

(tích phân này cĩ thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài tốn cụ thể mà ta phải xem xét)

3) Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:

Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân cĩ dạng như sau:

a). Dạng 1: b ( ) ( ).

a

p x q x dx

∫

Trong đĩ p x ( ) là hàm số đa thức, cịn q x ( ) là hàm sin ( ) α x hoặc

cos ( ) α x

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

( )

u p x

dv q x dx

 =



 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào

cơng thức ta được

b a

vdu

∫ phức tạp hơn

b a

udv

∫ ban đầu

b). Dạng 2: b ( ) ( ).

a

p x q x dx

∫

Trong đó p x ( ) là hàm số đa thức, còn q x ( ) là hàm logarit.

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

( )

u q x

dv p x dx

 =



Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn

khi suy ra v từ dv.

4) Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

0

2 x 1 sin xdx

π

+

∫

b ( 2 ) 0

2 cos

π

+

∫

c 4 2 0

cos

π

∫

d 4

2

0 cos

xdx x

π

∫

e 1( )2 2 0

∫

f

1

0

x

e

−

∫

g

1

0

3 2 ( x − ) xdx

∫

h 1( )2 0

x

x e + dx

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

a 3( 2 ) 1

3 x + 1 ln xdx

∫

0

1 ln

∫

c 2

1 ln

e

xdx

∫

d 1 ( 2 ) 0

1 ln

∫

§5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:

Tính các tích phân sau đây:

a 2( )

2 6

1 cos sin

x dx x

π

π

−

∫

b 2( 2 ) 1

ln x x e dxx

x

+

∫

2 6

2

sin

x

π

π

+

∫

d.2

0

2

π

∫

sin cos cos

x

π

+

∫

f

1 2 0

∫

g

0

2

sin

x

π

∫

h

1

2 0

ln

∫

§6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

( ) C1 : y f x = ( ) ( ) ; C2 : y g x x a x b = ( ) ; = ; =

(trong đó hai đường thẳng x a x b = ; = có thể thiếu một hoặc cả hai).

a) Công thức: b ( ) ( )

a

S=∫ f x −g x dx (2)

b) Các bước thực hiện:

• Bước1: Nếu hai đường x a x b = , = đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình f x ( ) = g x ( ) (PTHĐGĐ của ( ) C1 và ( ) C2 ) để tìm

• Bước 2: Áp dụng công thức (2)

• Bước 3: Rút gọn biểu thức f x ( ) ( ) − g x , sau đó xét dấu của hiệu này

• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

c) Chú ý:

Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng

hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, ( ) C1 nằm trên ( ) C2 thì hiệu f x ( ) ( ) − g x ≥ 0, và ( ) C1 nằm dưới ( ) C2 thì hiệu f x ( ) ( ) − g x ≤ 0

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2)

• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ

3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( ) C y f x Ox x a x b : = ( ) ; ; = ; =

(trong đó hai đường thẳng x a x b = ; = có thể thiếu một hoặc cả hai).

a) Công thức: b ( ) 2

a

V =π∫f x  dx (3)

b) Các bước thực hiện:

• Bước 1: Nếu hai đường x a x b = , = đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình f x ( ) = 0 (PTHĐGĐ của ( ) C và trục Ox) để tìm

• Bước 2: Áp dụng công thức (3)

4) Bài tập:

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

( ) C y : x22 6 x 1 5

x

=

− và trục Ox.

Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

3 :

C y x x = − và trục Ox

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

( ) C y x : = 4 − x2 và trục Ox

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

( ) C y x : = 3− 3 x + 1 và đường thẳng d y : = 3

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) C y : x2 2 x 1 2

x

=

+ ; đường tiệm cận xiên của ( ) C ; Ox; x e = − 1

Bài 6: Cho đường cong ( ) C y x : = 3 − 3 x2+ 4 x Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) C tại gốc tọa độ O Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

( ) C và d

Bài 7: Cho parabol ( ) P y x : = 2 − 6 x + 5

a Viết phương trình các tiếp tuyến của ( ) P tại các giao điểm của ( ) P

với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và các tiếp tuyến nói ở câu a

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) C y : = x ;

2

:

d y = − x và trục Ox

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) P y : 2 = 4 x và đường thẳng d y : = 2 x − 4

Bài 10: Cho parabol ( ) P y : 2 = 4 x

a Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) P tại điểm tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) P , trục

Ox và tiếp tuyến nói ở câu a

Bài 11: Cho đường cong ( ) C y : 2 x 1 1

x

+

= + Gọi (H) là hình phẳng giới hạn

bởi các đường: ( ) C Ox Oy ; ; Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi

quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 12: Cho đường cong ( ) C y x : = 4 − x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi( ) C và trục Ox Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung

quanh trục Ox