Chuyên đề Tích phân ôn thi ĐH

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm.. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân.. Tích Phân Của Hàm Số L

x O

Copyright c

www.MATHVN.com

Mục lục

Chương 1 Nguyên Hàm 5

1.1 Nguyên Hàm 5

1.1.1 Khái niệm nguyên hàm 5

1.1.2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 5

1.1.3 Tính chất của nguyên hàm 6

1.2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 7

1.2.1 Phương pháp đổi biến số 7

1.2.2 Phương pháp nguyên hàm từng phần 8

Chương 2 Tích Phân 11

2.1 Tích Phân 11

2.1.1 Khái niệm tích phân 11

2.1.2 Tính chất của tích phân 11

2.1.3 Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 12

2.2 Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân 13

2.2.1 Phương pháp hệ số bất định 13

2.2.2 Phương pháp đổi biến dạng 1 16

2.2.3 Phương pháp đổi biến dạng 2 19

2.2.4 Phương pháp tích phân từng phần 23

2.3 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác 30

2.3.1 Dạng b R a sinmxcos n xdx 30

2.3.2 Dạng b R a {f (sin x); cos x} dx hoặc b R a {f (cos x); sin x} dx 32

2.3.3 Dạng b R a f (tan x); 1 cos 2 x dx hoặc Rb a f (cot x); 1 sin 2 x dx 33

2.3.4 Dạng a R 0 f (x)dx, trong đó a ∈  π 2 , π, π 4 , 35

Chương 3 Ứng Dụng Của Tích Phân 39

3.1 Tính Diện Tích Tình Phẳng 39

3.2 Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay 43

Chương 4 Một Số Bài Toán Chọn Lọc 47

4.1 Tích Phân Hữu Tỉ 47

4.2 Tích Phân Vô Tỉ 47

4.3 Tích Phân Mũ - Lôgarit 48

4.4 Tích Phân Lượng Giác 49

PHỤ LỤC 1 51

PHỤ LỤC 2 52

ĐÁP SỐ 53

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chương 1

Nguyên Hàm

1.1 Nguyên Hàm.

1.1.1 Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu

F0(x) = f (x), với mọi x thuộc K

Ví dụ 1.1

a) Hàm số F (x) = x3 là nguyên hàm của f (x) = 3x2 trên R vì x3
0 = 3x2, với mọi x ∈ R

b) Hàm số F (x) = cos x là nguyên hàm của f (x) = sin x trên R vì (sin x)0= cos x, với mọi x ∈ R.Nhận xét Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng

F (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là R f (x)dx Vậy

Z

Ví dụ 1.2

Z5x4dx = x5+ C

Z1

• Người ta cũng dùng ký hiệu R f (x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f

• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

1.1.2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm của mộthàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn Sau đây là nguyên hàm củamột số hàm số đơn giản thường gặp

Z

Zcos xdx = sin x + C

4

Z1

Z1cos2xdx = tan x + C5

3 2

+ C =2x

√x

Z1

Z3x2dx +

Z1dx = 1

Z3dx +

4sin2x

sin2xdx = 3 tan x+4 cot x+C.

Ví dụ 1.5 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3− 3x2+ 2, biết F (−1) = 3

Lời giải Ta có

Z

f (x)dx =

Z(4x3− 3x2+ 2)dx = x4 − x3+ 2x + C Vì F (x) là một nguyên hàm của

1.3 Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau

1.2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm.

1.2.1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 1.3 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f (u) liên tục sao cho

f [u(x)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là R f (u)du = F (u) + C thì

Đặc biệt vì d(Ax + B) = Adx ⇒ dx = A1d(Ax + B) nên ta có

3e

3x+1+1

5sin x + C.d) I =

Z

dx − 14

Zcos 2xd (2x) = 1

2x −

1

4sin 2x + C.f) I = 1

12

Zcos 6xd (6x) = 1

3 2

Lời giải.

a) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx Ta có

I =

Z(u + 1)u2012du =

Z u − 1

u du =

12

Z 

1 −1u

du

Z

u4− u2
du

= 23

 u5

5 +

u33

+ C =

Z 

2 − 1u

du

= 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C

f) Đặt u =√1 + cos x ⇔ u2= 1 + cos x ⇒ 2udu = − sin xdx Ta có

I =

Zsin2x sin x√1 + cos xdx =

+ C =2

Z

www.MATHVN.com

Công thức (1.5) gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và được viết gọn dưới dạng

Zudv = uv −

Z 4x2− x + 32x + 1 dx.

g) I =

Z

Z1

Z1cos4xdx.

Chương 2

Tích Phân

2.1 Tích Phân.

2.1.1 Khái niệm tích phân

Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một nguyênhàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là

f (x)dx là tích phân của f trên đoạn [a; b]

b) Hiệu số F (b) − F (a) còn được ký hiệu là F (x)|ba Khi đó

π 6

π 8

dx

3 2

ax + b ±√ax + cdx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

2.1.3 Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài toán 2.1 Tính tích phân I =

• Xét dấu f (x) trên các khoảng (a; xi) và (xi; b) để phá giá trị tuyệt đối

Lưu ý Để xét dấu f (x) trên (a; xi) ta lấy x0∈ (a; xi) thay vào f (x) để xác định dấu

2 1

1 0

2 1

2 1

Z

0

sin

2x +π6



π 6

Z

0

1cos22xdx.

2

π 2

Bài toán 2.2 Tính tích phân I =

b

Z

a

f (x)g(x)dx, trong đó bậc f (x) < bậc g(x).

Phương pháp Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhịthức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng

Lưu ý

a) Nếu bậc f (x) ≥ bậc g(x) thì chia f (x) cho g(x)

b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau

(A + B) x + A − 2B(x − 2) (x + 1) .Đồng nhất hệ số được

5 3

5 3

= 1

3ln 2

C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)

I = 13

5

Z

3

(x + 1) − (x − 2)(x − 2) (x + 1) dx =

13

5

Z

3

1

x − 2−

1

x + 1

dx

= 1

3(ln |x − 2| − ln |x + 1|)

5 3

www.MATHVN.com

3 2

3 2

d) Ta có 3x − 1

x2+ 6x + 9 =

3x − 1(x + 3)2 =

A

x + 3+

B(x + 3)2 =

A(x + 3) + B(x + 3)2 =

Ax + 3A + B(x + 3)2 .Đồng nhất hệ số được



A = 33A + B = −1 ⇔

1

x + 3

1

1

= 204767584

Tổng quát 2.7 I =

Z (ax + b)n(cx + d)n+2dx =

Z  ax + b

cx + d

n

1(cx + d)2dx. Đặt u =

6

Z

2

12x + 1 +√4x + 1dx.

d) [A-03] I =

2√3

Z

√ 5

www.MATHVN.com

1 0

u + 2

du

=  2u3

3 − 2u

2− 10 ln |u + 2|



c) Đặt u =√4x + 1 ⇔ u2 = 4x + 1 ⇒ udu = 2dx Đổi cận: x = 2 ⇒ u = 3; x = 6 ⇒ u = 5 Ta có

I = 12

u + 1−

1(u + 1)2

5 3

= ln3

2−

112

d) Ta có I =

2√3

Z

√ 5

4

Z

3

1(u − 2) (u + 2)du =

14

4

Z

3

(u + 2) − (u − 2)(u − 2) (u + 2) du

= 14

4

Z

3

1

4 3

= 1

4ln

53

2

udu =

1p(x + 1)(x + 8)dx.Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 + 2√2; x = 1 ⇒ u = 3 +√2 Ta có

√2

1 + 2√2

www.MATHVN.com

Z

1

ln xx(2 + ln x)2dx.

+ 1

2ln |1 + 2e

x|

1 0

4

1

= 203

13

2

Z

1

(3 + u) + (3 − u)(3 + u)(3 − u) du =

13

2

Z

1

1

3 − u+

1

3 + u

du

= 1

3(ln |3 + u| − ln |3 − u|)

2 1

= 1

3ln

52

3 2

= ln3

2 −

13



0

(u − 1) − (u − 2)(u − 1)(u − 2) du =

1 2

Z

0

1

u − 2−

1

u − 1

du

= (ln |u − 2| − ln |u − 1|)||

1 2

0 = ln32

 ... tích phân I =

b

Z

a

f (x)g(x)dx, bậc f (x) < bậc g(x).

Phương pháp Phân tích tích phân cần tính thành tổng hiệu tích. .. Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp.

2.1.3 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài toán 2.1 Tính tích phân I =

• Xét dấu f (x) khoảng (a; xi) (xi;... dùng phươngpháp hệ số bất định

2.2.2 Phương pháp đổi biến dạng

Bài toán 2.3 Tính tích phân I =

 • pa2− x2 : x = |a| sin t t ∈h−π