TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
3
2
2
3
1
2
dx
x
x
x
a
dx b x a
x )( ) (
1
1
0
3
1
1
dx
x
x
x
dx x
x x
1
0 2 3
1 1
0
3
2
)
1
3
( x dx
x
0
2 2
) 3 ( ) 2 (
1
dx x
x
2
1
2008
2008
)
1
(
1
dx
x
x
x
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
2
2
2
4
)
1
(x dx
x
0 2
3 2
) 1 ( x dx
x
n n
1
2
4
2
) 2 3
(
3
dx x
x
x
x
1
4
) 1 (
1
dx x x
2
0
2
4
1
dx
0 4
1 x dx x
dx
x
x
0
2
2
2
1
1
0
3 2
) 1 ( x dx x
2
2
3
2
1
dx x
x
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
1
0 3
1
1
dx x
0
6
4
5
6
1
2
dx x
x
x
x
0 2 4
1
2
dx x x
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
xdx
x 4
2
0
2
cos
sin
2
0
3 2
cos sin
xdx x
dx x
x
2
0
5
4
cos
sin
0
3 3
) cos (sin
dx x
Trang 22
0
4 4
) cos (sin
2
0
2 2
) cos cos
sin sin
2
2
3
sin
1
dx
0
4 4 10
10
) sin cos cos
(sin
dx x x x
x
2
0 2 cos
x
dx
2
0 2 sin 1
dx x
2
0
2
3
cos
1
sin
dx
x
x
3
6
4
cos sin
dx
0
2 2
cos cos
sin
2
sin
x x
x x
dx
2
01 cos cos
dx x x
2
0 2 cos
cos
dx
x
x
0 2 sin sin
dx x x
2
0
3
cos
1
cos
dx
x
x
0 sin cos 1
1
dx x x
2
3
2
)
cos
1
(
cos
xdx
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
4
0
3
xdx
6
3
cot
3
4
4
xdx
tg
4
01 1
dx tgx
4
4 cos(
cos
x
x
dx
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
2
0
sin
1 x dx
0 2sin 3cos 13
x x
dx
Trang 34
0
4
3
cos
1
sin
4
dx
x
x
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
2
01 cos
3
sin
dx
x
x
4
sin 2 sin
dx
4
0
2
3
cos
sin
dx
x
x
0
3 2
) sin 1 ( 2 sin
dx x x
0
sin
4
3
3 3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
01 sin cos
x x
dx
0 2sin 1
x dx
2
4
5
3
sin
cos
xdx
x
4
0
2
cos 1
4 sin
x xdx
0 5sin 3
x
dx
6
6
4
cos sin
dx
3
6 sin(
sin
x
x
dx
3
4 cos(
sin
x x dx
3
4
6
2
cos
sin
xdx
dx x
tgxtg )
6 (
3
6
0
3
) cos
(sin
sin
4
x
x
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
2
0
3
sin
dx
0
2
cos
xdx x
0
1
2
2
sin
dx
e
x
x x
2
01 cos
sin 1
Trang 44
6
2
cot
4
sin
3
sin
dx x g
tgx
x
x
0 2
6 sin 5 sin
2 sin
x x
xdx
dx x x
0
2
cos
)
1
2
(
0
2
cos sinx xdx x
4
0
2
xdx
0
2 2
sin xdx
e x
2
0
3 sin
cos
sin
2
xdx x
e x
0
) 1 ln(
dx tgx
0
2
) cos
2
(sin
x x
dx
0
2
) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
b
a
dx x f x
R( , ( ))
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x, a x
x a
) Đặt x = a cos2t, t [0;2]
+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = a sin t
hoặc x = a cos t +) R(x,
n
d cx
b ax
) Đặt t =
n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) = (axb) x2 x
1
Với (x2x)’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t = x2x
, hoặc đặt t = axb
1
+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = a tgt
, t [ 2;2]
+) R(x, x2 a2 ) Đặt x = x
a
cos , t [0; ]\{2}
+) R n 1 n 2 n i
x ; x ; ; x
Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
Trang 51
2
5
2
4
x x
dx
2
3
2 x x2 1
dx
3
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
1 x x3 1
dx
5
2
1
2
2008dx x
1 x2 2008
dx
7
1
0
2 2
1 x dx x
8
1
0
3 2
) 1 ( x dx
9 3
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10 2
2
0 1
1
dx x x
11 1
0
3 2
) 1 ( x
dx
12 2
2
0
3 2
) 1 ( x dx
13
1
0
2
1 x dx
14 2
2
2
1 x
dx x
15 2
0 7 cos2
cos
x
xdx
0
2
cos cos
sin
dx x x
x
17 2
0 2 cos2
cos
x
xdx
18 2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
19 7
03 2
3
1 x
dx x
20
3
0
2 3
10 x dx x
21 1
0 2x 1
xdx
0
2 3
1
x x
dx x
23 7
2 2x 1 1
dx
24
dx x x
1
0
8 15
3 1
25 2
0
5
cos sin cos 1
xdx x
x
26 ln3
0 e x 1
dx
Trang 627
11x x2 1
dx
0 e x 1
dx e
29
4
5
2
8 4
12x x dx
x
x x
1
ln ln 3 1
31 3
0
2
3 5
1
dx x
x x
32
dx x x x
4
0
2 3
2
33
0
1
3 2
) 1 (e x dx
x x
34 ln3
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
35 3
0
2 2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
0
3
) 1 ( x
x
e
dx e
37 3
0 2 cos2
cos
x
xdx
38 2
0
2
cos 1 cos
x xdx
39
dx x
x
7
0
3
3
2
40
a
dx a x
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
a
a
a
dx x f x f dx
x
f
0
)]
( ) ( [
)
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2
3
; 2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2
cos
2
2 ,
Tính:
2 3
2 3
) (
dx x f
+) Tính
1
1
2 4
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( )
= 0
Trang 7Ví dụ: Tính:
1
1
2
) 1 ln(x x dx
2
2
2
) 1 ln(
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( )
=
2 a f x dx
0
)
(
Ví dụ: Tính
1
1
2 4
1
x x
dx x
2
2
2
cos
4 sin
dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
a
x dx f x dx
b
x
f
0
) ( 1
)
(
(1b>0, a)
Ví dụ: Tính:
3
3
2
2 1
1
dx
x
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2
], thì 2
0 2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
Ví dụ: Tính 2
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
0 sin cos
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính
01 sinx dx
x
0 2 cos
sin
dx x
x x
Bài toán 6:
b
a b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
Trang 8
a
dx x f dx x f
0
) ( )
(
f x dxn f x dx
0 0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
2008
0
2 cos
1 x dx
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1
1
1
2
2 1
1
dx x
x
2
4
4
4
3 5 7
cos
1
dx x
x x x x
3
1
1
2
) 1 )(
1
dx
x
2
2
2
sin 4 cos
dx x
x x
5
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x x
6.
dx nx)
x sin(sin
2
0
7
2
2
5
cos 1 sin
dx x x
1 ) 1 ( 1
cot
1
2 1
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tana>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2
1dx
x
2
0
2
3
4x dx x
3 2
0
2
dx
x
x
4
2
2
sin
dx
x
dx x
sin 1
6
6
2 2
2 cot
dx x g x
tg
7
4
3
4
2 sin
dx x
8
2
0
cos
1 x dx
9
5
2
) 2 2
(x x dx
10
3
0
4
2x dx
11
3
2
3
cos cos
cos
dx x x
x