Chuyên Đề Tích Phân - Ôn Thi DH

Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u  x vào kết quả tìm được.. Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu ux và vx là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thứ

Bảng các tích phân cơ bản

ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

1

1

n

n





 ( n  -1 )

1

ln

dx x C



e dx e   C



ln

x

a



sin x dx  c x C os 



os sin

c x dx  x C 



os

dx

x C



2 cot

sin

dx

x C



1

1

n

n u

n





 ( n  -1 )

1

ln

du u C



e du e   C



ln

u

a



sin u du  c u C os 



os sin

c u du  u C 



 2 

os

du

 2 

sin

du

Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh:

1. ln tan 2

sin

x

dx

C



Chưng minh:

Đặt

2 2

2

x c

 2

1 1 2

Ta có công thức lượng giác sau:

2 2 2 2

1

t

c

 2

2 2

2 1

ln ln tan 2

sin

1

x

dt t

t

t





2. ln tan  2 4 

os

x

dx

C

c x





Chứng minh:

Ta có os sin

2

c x    x    

Làm tương tự bài trên:

Đặt

2 2

x c



 2

1 1 2

 2

2

2 1

ln ln tan 2

1

dt t

t

t





3. 2 2 1

ln 2a

C



 ( a 0 )

Chứng minh:

2 2

2a

dx

dx

a x

a x





ln 2a

C



Chứng minh:

   

2 2

2a

dx

dx

x a

x a





2dx 2 ln x x a C a , 0



Chứng minh:

Đặt u   x x2  a2

2 2

2 2

du dx

u  x  a

2 2

2dx 2 du ln u ln x x a C

u

x a



6 2 2

2dx 2 ln x x a C x , a 0



Chứng minh:

Đặt u   x x2  a2

2 2

du dx

u  x  a

2 2

2dx 2 du ln u ln x x a C

u



x  Adx  x  A  x  x  A C 



Chứng minh:

2

x A

 2

2

x

x A



2 2

2

x A A

x A

 





2

dx

x x A x Adx A

x A



2 2 2

2  x  Adx x x   A A  ln x  x  A C 

x  Adx  x  A  x  x  A C 



Các phương pháp tính tích phân:

Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến

Đổi biến dưới dấu tích phân

Cần tính tích phân f x dx( ) Giả sử có thể tìm được hàm khả vi u   ( ) x và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân  f x dx ( ) có thể viết dưới dạng:

  '

( )

u x

f x dx g f x x dx g u du







Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến u   ( ) x

dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới u   ( ) x .

Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến u   ( ) x là việc tính tích phân f x dx( ) được đưa đến tí ch phân  g u du ( ) , thường đơn giản hơn tích phân ban đầu Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u ( )x vào kết quả tìm được

Phương pháp tính tích phân từng phần:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn

   '     '   

b a

Hay

.

b a

Giải thích:

Ta có: dv v dx  ' ,

'

du u dx 

Một sô cách tính hay biến đổi tích phân

Biến đổi lượng giác

Nếu tích phân có chứa căn thức a2  x2 thì đặt x = asint, do đó

a  x  t , dx a  cos d t t

Nếu tích phân có chứa căn thức x2  a2 thì đặt x = atant, do đó

cos

a

x a

a t

os

a dt dx

c t

