Bài 1 lũy THỪA – hàm số lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu  Kiến thức + Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên và lũy thừa với số mũ thực

+ Biết khái niệm và tính chất của căn bậc n.

+ Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa

+ Biết công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

+ Biết dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

 Kĩ năng

+ Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa

+ Biết khảo sát hàm số lũy thừa

+ Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

• Với a tùy ý:

thừa số

n n

a   a a a

• Với a 0: a  0 1; n 1

n a a



 (a: cơ số, n: số mũ).

Chú ý:

0

0 , 0nkhơng cĩ nghĩa

Lũy thừa với số mũ nguyên cĩ các tính chất tương tự như lũy

thừa với số mũ nguyên dương

2 Phương trình x n b *

• Với n lẻ: Phương trình (*) luơn cĩ nghiệm duy nhất.

• Với n chẵn

+ Nếu b0: Phương trình (*) cĩ hai nghiệm trái dấu

+ Nếu b0: Phương trình (*) cĩ một nghiệm x0

+ Nếu b0: Phương trình (*) vơ nghiệm

3 Căn bậc n

Khái niệm

Cho b R , *



n N n2 Số a được gọi là căn bậc n của b nếu a n b

• Với n lẻ và b R , phương trình x n b cĩ duy nhất một căn bậc

n của b, ký hiệu là n b

• Với n chẵn:

0



b : Khơng cĩ căn bậc n của b



b : Có một căn bậc n của 0 là 0

0



b : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là n b , còn giá

trị âm là  n b

Tính chất

Với a b , 0, m n N,  *; p  Z ta có:

•n ab n a b ;n

n

a a b

b  b 

•n a p  n a p,a0 ;

•n m a n m. a;

• khi n leû

khi n chaün

n n a

a

a







4 Lũy thừa với số mũ hửu tỉ

Cho số thực a dương và số hửu tỉ r m

n

 , trong đó

*

,

mZ n N Lũy thừa của a với số mũ r được xác định như n

sau: a r a m n n a m

5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho a0,  là một số vô tỉ Ta thừa nhận rằng luôn có một

dãy số hữu tỉ  r mà n lim n

n r



 

 và một dãy số tương ứng  a r n

có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số  r n

Khi đó ta kí hiệu lim r n

n

 

 là lũy thừa của a với số mũ 

6 Lũy thừa với số mũ thực

Tính chất

Với mọi a, b là các số thực dương; ,   là các số thực tùy ý, ta

có:

•a a  a   ;



•a a ;

a



 







Ví dụ: a a 12; n a a 1n

• a a  ;



•a b  a b ;





 



 

 

So sánh hai lũy thừa

• So sánh cùng cơ số

- Nếu cơ số a 1 thì a a

   

- Nếu cơ số 0a1thì a a

   

• So sánh cùng số mũ

- Nếu số mũ  0thì a b 0 a b

- Nếu số mũ  0thì a b 0 a b

HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số y x,

 với R được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý: Tập xác định của hàm số y x

 tùy thuộc vào giá trị của 

Cụ thể:

•  nguyên dương: D R;

•  nguyên âm hoặc bằng 0: D R|\ 0 ; 

•  không nguyên: D   0; 

2 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa y x

 , R có đạo hàm với mọi x 0 và:

• x x 1;

 





•  u u 1.u

 





 với u là biểu thức chứa x.

3 Khảo sát hàm số lũy thừa y x

 , 0

y x    y x , 0

a Tập khảo sát: 0;  a Tập khảo sát: 0;

b Sự biến thiên:

• y x 1 0, >0x

Hàm số luôn đồng biến

b Sự biến thiên:

• y x 1 0, >0x

Hàm số luôn nghịch biến

Ví dụ:

 2,5  1,2

2,5 1,2    

0,5 1,1 0,3 0,5 0,3 1,1

Ví dụ:

     



     

Ví dụ: Tập xác định của hàm số

5

y x là D R;;

5

y x

 là D R;\ 0 ;  2

7,

y x y x

  là D   0; 

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số

5

y x

 là y 5.x 6;

2

sin

2sin sin 2sin cos

y  x x  x x

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa

với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số y x 3

trên tập xác định của nó là , khảo sát hàm số y x2

 trên tập xác định

• Giới hạn đặc biệt:

0

x

  



• Tiệm cận: Không có

• Giới hạn đặc biệt:

0

x



• Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang

Trục Oy là tiệm cận đứng

c Bảng biến thiên: c Bảng biến thiên:

d Đồ thị:

 

\ 0

D 

Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa

luôn đi qua điểm I 1;1

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA

Căn bậc n của b

n lẻ

n chẵn

Cĩ duy nhất

0

b 

0

b 

0

b 

Khơng tồn tại

0 0

n





*

0, ,

m a

n





0, là số vô tỉ

a  

0,

*

,

a      n 

0,

  : lim

lim n

n n n

r n

r r

a a



 

 

 

thừa số

.

n

n

n

a a

a



m

n

Định nghĩa

Tính chất

HÀM SỐ LŨY THỪA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Lũy thừa

Bài toán 1 Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ

Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa căn thức

Phương pháp giải

Tính chất của căn bậc n

• Khi leû

; Khi chaün

n n

n

n n

ab











•

Khi leû 0

; Khi chaün 0

n

n

n

n

n

b

a

a

b

b



















• n a p  n a p,a0 ;

• n m a n m. a;

• khi leû

khi chaün

a







Công thức lũy thừa với số mũ thực

•  a m n a m n. ;

• a a m n a m n ;



• m m n;

n

a





• a b m m a b m;

m

m

m

b

b

 

 

 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho x là số thực dương Biểu thức 4 x x được viết dưới dạng lũy2 3

thừa với số mũ hữu tỉ là

A.x 127 B x56 C x 127 D x 65

Hướng dẫn giải.

Ta có:

1

4 x x2 3  x x2 3  x3 x3 x12

 

 

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a và b Biểu thức 5 a b a3

b a b được viết dưới

dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A

7

30

a

b

 

 

 

B

31 30

a b

 

 

 

C

30 31

a b

 

 

 

D

1 6

a b

 

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

1







       

Chọn D.

Điều kiện x là số thực dương làm cho biểu thức ở dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định.

Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa

Phương pháp giải

Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

• a b 2 a2 2ab b 2;

• a b 3 a33a b2 3ab2 b3;

• a2 b2 a b a b    ;

• a3b3 a b a   2 ab b 2;

• a3 b3 a b a   2ab b 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho

1 2

x x



Biểu thức rút gọn của P là

Hướng dẫn giải

1

2

2



Chọn A

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

1

a





(với 0a1) ta được

A 2

2

a 

B 1

2

a 

C 2

1

a 

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

a





     

0,5

1

a

a



0,5

Chọn D.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

3

x x x

(với x0,x1) ta được

A x 2 B  x2 C x3 D x3

Hướng dẫn giải.

Ta có:

3

x x x

3

x x x



3

1

1

1 1

x x

x

Chọn C

Bài toán 2 Tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

Công thức đặc biệt

f x



 thì f x  f1 x 1

Thật vậy, ta có:

x

x x

a

a a

a





x

a

 Nên: f x  f 1 x1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho   2018

2018 2018

x x

f x 

 Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

S f   f    f 

Hướng dẫn giải

2018x 2018



S f  f   f f f 

Chọn C

Ví dụ 2: Cho 9x 9x 23

  Tính giá trị của biểu thức 5 3 3

1 3 3

x x

P   

  ta được

A.2 B 3

2



Hướng dẫn giải

3 3 5 loại







Từ đĩ, thế vào  

 

1 3 3

P







Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A an xác định với mọi  a \ 0 ;   n  B a m n n a m;   a

C a0    1; a D n a m a m n; a ;m,n

Câu 2: Rút gọn biểu thức

 

2





 (với a0,b0và a 2 b 3) được kết quả





D

2

2a .

a  b

Câu 3: Cho số thực dương a Rút gọn P a a a a3 4 5 ta được

A a2513 B a3713 C a5336 D a4360

Câu 4: Viết biểu thức P a a 3 2 a a 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được

A P a 53 B P a 65 C P a 116 D P a 2

Câu 5: Viết biểu thức 5 b a a b3 , , 0

a b  về dạng lũy thừa

m a b

 

 

 

ta được m bằng

A 2

15



Câu 6: Rút gọn biếu thức Q b 53 :3b với b 0 ta được

A Q b 2 B Q b 59 C Q b43

Câu 7: Giả sử a là số thực dương, khác 1 và a a được viết dưới dạng 3 a Giá trị của  là

A 11

6

3

3

6

 

Câu 8: Rút gọn biểu thức P x 13.6 xvới x 0 ta được

A P x 2 B P x C P x 18 D P x 29

Câu 9: Cho a, b là các số thực dương Viết biểu thức 12a b dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được3 3

A a b3 14 2 B a b14 19 C a b1 14 4 D a b1 34 4

Câu 10: Cho a là một số dương, viết a23 a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được

Câu 11: Cho a 0. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A a a3 4 a B

5 3 6

a  C  a2 4 a6 D 7 a5 a75

Câu 12: Cho biểu thức  3 1 3 1

a





 với a 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A P a 12 B P a C P a 32 D P a 3

Câu 13: Cho hàm số    

2

3 1

8

f a











với a0,a1 Giá trị của M f 20172018 là

A M 201720181 B M 2017 1009 C M 20171009 1 D M 201710091

Câu 14: Giá trị của biểu thức P  7 4 3 2017 7 4 3 2016 bằng

Câu 15: Giá trị của biểu thức P  9 4 5 2017 9 4 5 2016 bằng

A 1 B 9 4 5. C 9 4 5. D 9 4 5. 2017.

Câu 16: Cho 4x 4x 14

  Giá trị của biểu thức 10 2 2

P   

2

7

Câu 17: Cho 25x 25x 7

  Giá trị của biểu thức 4 5 5

x x

P   

A P 12 B P 12  1

9

Câu 18: Cho hàm số   9 ;

x x

  và a, b thỏa a b 1 Giá trị f a  f b  bằng

2

Câu 19: Cho hàm số   4

x x

f x 

P f  f   f  f 

A 99

3

Câu 20: Cho hàm số   4

x x

f x 

 Giá trị của biểu thức sau đây bằng

S f  f  f  f  f 

Dạng 2: Hàm số lũy thừa

Bài toán 1 Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Phương pháp giải

Ta tìm điều kiện xác định của hàm số

y f x  dựa vào số mũ  của nó như sau:

• Nếu  là số nguyên dương thì không có điều

kiện xác định của f x  

• Nếu  là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì điều

kiện xác định là f x    0

• Nếu  là số không nguyên thì điều kiện xác

định là f x    0

Ví dụ: Tập xác định của hàm số yx2  6x53

là

A  B.\ 1;5  

C  1;5 D. ;1  5;

Hướng dẫn giải

Số mũ 3 là số nguyên âm Do đó, điều kiện xác

5

x

x

 



 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ 1;5  

Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tập xác định của hảm số y  x25x 615 là

A \ 2;3   B  ;2  3;

C 2;3  D.3;

Hướng dẫn giải

Số mũ 1

5

 khơng phải là số nguyên Do đĩ, điều kiện xác định của hàm số là:

      Vậy tập xác định của hàm số đã cho là 2;3 

Chọn C.

Ví dụ 2: Tập xác định của hảm số y xsin 2018   

A  B 0; C \ 0   D 0;

Hướng dẫn giải

Ta cĩ y xsin 2018    x0

  nên tập xác định là \ 0  

Chọn C.

Ví dụ 3: Tập xác định của hảm số y 1 x2019 là

A  B 0; C \ 0   D 0;

Hướng dẫn giải

Vì số mũ 2019 là số nguyên âm nên điều kiện xác định của hàm số là

1 x  ngồi ra hàm số cịn chứa căn thức bậc hai nên 0, x 0

Hàm số xác định 1 0 luôn đúng  0 0.

0

x





 Vậy D 0;

Chọn D.

Ví dụ 4: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m   2018;2018 để hàm số yx2 2x m 1 5 cĩ tập xác định là ?

Hướng dẫn giải

Vì số mũ 5 khơng phải là số nguyên nên hàm số xác định với   x

 

0

0 luôn đúng vì 1 0



 



 



0

m

2018;2018

1,2,3, ,2017

m

m m

  







Vậy cĩ 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.

Bài tốn 2 Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Phương pháp giải

Cơng thức tính đạo hàm

•  x x 1x 0, ;



•  u  u  1.u



 với u là biểu thức chứa x

Ví dụ:

2x 53  6 2 x 5 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y 1 x214

A 1 1 2 54

4

2

y  x  x 

C 5 1 2 54

2

2

Hướng dẫn giải

Ta cĩ: y 11 2 14 1 1 2 11 2 54 2  1 1 2 54.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y2 3cos2 x4

A y 24 2 3cos2  x3sin 2 x B.y 12 2 3cos2  x3sin 2 x

C y 24 2 3cos2  x3sin 2 x D y 12 2 3cos2  x3sin 2 x

Hướng dẫn giải

Ta cĩ: y 4 2 3cos2    x 3 2 3cos2 x 

4 2 3cos2x 6sin 2x

24 2 3cos2x sin2 x

Chọn A.

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số yxsinx23 là

A 2 sin  13

3

3

C y 2 sin. 3 2 cos2 .



3

 

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 sin 23 1 sin  2 sin  13 sin cos 

y  x x  x x  x x  x x x

Chọn B.

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số y 1 x23 là

A

y



 

3

x



  

C

1

y



 



  

Hướng dẫn giải

Ta có: 21  23 1 1  21  53. 1

x

5 3

2 3

3

x

Chọn A.

Bài toán 3 Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số lũy thừa y a

 trên 0;: Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số y x 3 trên tập xác định của nó là ,khảo sát hàm số y x2

 trên tập xác định

 

\ 0

D 

Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm

 1;1

I

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x   có đồ thị như hình vẽ Hỏi f x có thể là hàm số nào trong bốn hàm số 

dưới đây?

A  

1

3

f x x B. f x  3 x

C  

1

3

f x x

 D.f x  x3

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là D   loại đáp án B, D.0; ,

Hàm số đồng biến trên D, loại C.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hàm sốy f x  x 2

  có đồ thị  C Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số tăng trên 0; B Đồ thị  C không có tiệm cận.

C Tập xác định của hàm số là  D Hàm số không có cực trị.

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là D   0; 

Ta có: y  2x 2 1  0, x D

Hàm số nghịch biến trên D  Hàm số không có cực trị

Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tập xác định D của hàm số yx2 3x 4 2 3 là

A D \ 1;4   B D    ; 14;

C D  D D    ; 1  4;

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D ?

A y2 x B y 2 12 .

x



  

C y2x2 D y 2 x

Câu 3: Tập xác định D của hàm số yx2 3x4 là

A 0;3  B D \ 0;3   C D . D D    ;0  3;.

Câu 4: Tập xác định của hàm số yx2 4x20192020 là

A  ;04; B  ;0  4; C 0;4  D \ 0;4  

Câu 5: Tập xác định D của hàm số y3 x0 là

A D    ;3  B D    ;3  C D \ 3   D D

Câu 6: Tập xác định D của hàm số

sin 2

3 2

x y x





  



là

A D \ 2;3   B D    , 23,

C D \ 3   D D    ; 2  3;

Câu 7: Tập xác định D của hàm số y x ex2 1 là

A D   1;1  B.D \ 1;1   C.D  1;  D D .

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   50;50 để hàm số yx2 2x m 112 có tập xác định ?

Câu 9: Biết tham số ma b; , với a b thì hàm số yx2 2x m 25m 5 3 2 2 có tập xác định là Giá trị tổng a b là

Câu 10: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx2 4x m 20192020 xác định trên  là

Câu 11: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx2 2x m  2020 xác định trên  là

A m 1 B m  1 C m 1 D m  1

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số yx2  mx1sin3 có tập xác định  là

A 2m2 B m  2 m2 C  1 m1 D 2m2

Câu 13: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số

2 2

2

3

y

x





xác định trên  là

A  1 m2 B  1 m2 C 2m2 D  1 m2

Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của  C y x:  2 tại điểm M có hoành độ 0 x  là0 1

A 1.

2

y x   C yx  1 D 1

y  x 

Câu 15: Trên đồ thị của hàm số y x2 1

 lấy điểm M có hoành độ 0 2

x   Tiếp tuyến của  C tại điểm

0

M có hệ số góc bằng

Câu 16: Cho các hàm số lũy thừa y x y x y x, , 

   có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

A   B   C    D   

Câu 17: Cho ,  là các số thực Đồ thị các hàm số y x y x, 

  trên khoảng 0; được cho trong

hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 0  1  B    0 1  C 0  1  D  0 1 

Câu 18: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

A y x 3 B ylog 3x C y x2

 D y  3 x