BÀI 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

 Kĩ năng + Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản + Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.. + Tìm khoảng đồng

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm

+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số

+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó

+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10

+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số ,

khi biết bảng biến thiên của hàm số , đồ thị hàm số hoặc đồthị hàm số

 Kĩ năng

+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản

+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.

+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối

+ Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giảinhanh toán trắc nghiệm

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , ,

khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ( )

Dựa vào đồ thị ta thấy

Hàm số đồng biến trên khoảng Hàm số nghịch biến trên khoảng

Ví dụ 2: Cho hàm số Ta có bảng xét

Định lí thuận

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

Nếu thì hàm số đồng biến trên

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì

.Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì

Lưu ý:

- Hàm số đồng biến trên thì đồ thị hàm số

là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong

bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái

sang phải

- Hàm số nghịch biến trên thì đồ thị hàm

số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn

trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống

từ trái sang phải

Xét dấu tam thức bậc hai

dấu như sau:

Ta thấy Hàm số đồng biến trên các khoảng

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Cho hàm số xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng)

- Nếu thì hàm số đồng biếntrên khoảng

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số

Bài toán 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

Phương pháp giải

Thực hiện các bước như sau:

Bước 1 Tìm tập xác định

Bước 2 Tính đạo hàm

Bước 3 Tìm các giá trị mà hoặc

những giá trị làm cho không xác định

Bước 4 Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

Ví dụ 1 Cho hàm số Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng B Hàm số đồng biến trên

C Hàm số đồng biến trên D Hàm số đồng biến trên

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai.

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên và

Ví dụ 4 Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ?

Ví dụ 5 Cho hàm Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến

Ví dụ 8 Cho hàm số Với hai số thực sao cho Khẳng định nào sauđây là đúng?

Thực hiện theo ba bước như sau:

Bước 1 Tìm các giá trị mà hoặc

những giá trị làm cho không xác định

Bước 2 Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

đạo hàm

Bước 3 Kết luận tính đơn điệu của hàm số

(chọn đáp án)

Ví dụ: Cho hàm số có đạo hàm trên

là Hàm số đã cho đồng biến trênkhoảng

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số không đổi trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Hướng dẫn giải

không đồng biến trên các khoảng này

Chọn B.

Bài toán 3 Xét tính đơn điệu của hàm số khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

Phương pháp giải

Khi cho bảng biến thiên:

- Trên khoảng nếu mang dấu

(dương) thì ta kết luận đồng biến trên

Ví dụ: Cho hàm số có bảng biến thiênnhư sau:

- Trên khoảng nếu mang dấu (âm):

thì ta kết luận nghịch biến trên

(không đổi) trên thì hàm số có đồ thị là

đường song song hoặc trùng với trục Ox trên

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dướiđây?

Ví dụ 1 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hỏi bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Ví dụ 2 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho

đồng biến trên khoảng dưới đây nào?

Hướng dẫn giải

- Xét đáp án A, trên khoảng đồ thị hướng đi xuống hay

hàm nghịch biến trên khoảng đó

- Xét đáp án B, trên khoảng đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó

- Xét đáp án C, trên khoảng đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó

- Xét đáp án D, trên khoảng đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm trên Phát biểu nào dưới đây là đúng?

giá trị

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên

B Nếu hàm số đồng biến trên thì với mọi thuộc

C Nếu hàm số đồng biến trên thì với mọi thuộc

D Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên

Câu 3: Cho hàm số đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?

Câu 5: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Câu 6: Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

B Hàm số nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên

D Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

Câu 7: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 8: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ?

Câu 9: Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 10: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 15: Cho hàm số xác định trên tập và có Khẳng định nào sau đâyđúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm , Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên các khoảng và

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Câu 19: Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A nghịch biến trên từng khoảng và

B đồng biến trên từng khoảng và

C nghịch biến trên

D đồng biến trên

Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên sao Mệnh đề nào đúng?

A Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

B Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

D Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên và

Câu 21: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 24: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dạng 2: Các bài toán chứa tham số

Bài toán 1 Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó

Bài toán 1.1 Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Bước 2 Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: , thay trực tiếp vào (1) để xét

Do là số nguyên thuộc đoạn nên có

Chọn B.

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng với

Với ta có với nên hàm số nghịch biến trên khoảng Vậy là giátrị cần tìm

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

Bước 3 Kết luận.

Ví dụ: Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương

để hàm số nghịch biến trên từngkhoảng xác định

Hướng dẫn giải

Ta có Để hàm số nghịch biến trêntừng khoảng xác định thì

Mặt khác là số nguyên dương nên không tồn tại

giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy không có giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài

không đổi dấu khi đi qua là

Cho hàm số liên tục trên và

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để hàm số

không đổi dấu khi điqua

Hướng dẫn giải

.Khi đó bất phương trình nghiệm đúng

với mọi khi và chỉ khi

Cho hàm số liên tục trên và

.Khi đó bất phương trình nghiệm đúng

với mọi khi và chỉ khi

Tập xác định Đặt

Để hàm số không đổi dấu khi đi qua thì

thì sẽ đổi dấu khi đi qua điểm hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến Do đó để hàm

số đồng biến trên thì điều kiện cần là

Thử lại:

+ Với có , nên hàm số đồng biến trên

Vậy với thì hàm số đã cho đồng biến trên

Chọn A.

Lưu ý: Nếu thì luôn đổi dấu khi qua 0, do đó nếu vô nghiệm thi sẽ luôn có một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.

Ví dụ 2 Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

nghịch biến trên Tổng giá trị của tất cả các phần tửthuộc bằng

Lưu ý: đổi dấu qua các nghiệm của phương trình

Ví dụ 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồngbiến trên

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng cho trước

Bài toán 2.1 Hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

Phương pháp giải

Giả sử phương trình có hai

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với thì hàm số đã cho nghịch biến trênđoạn

Ví dụ mẫu

biến trên khoảng là

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng thì ta xét hai trường hợp

- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên

(vô lí)

- Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Chọn B.

Lưu ý: - Hàm số đồng biến trên thì sẽ đồng biến trên khoảng

- Bảng biến thiên của hàm số khi phương trình có hai nghiệm

Bước 2 Hàm số đơn điệu trên có

hai nghiệm phân biệt

A B C D

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3

có haỉ nghiệm phân biệt sao cho (1)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên khoảng

?

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Vậy có một số nguyên thỏa mãn

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Bước 2 Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất

phương trình nghiệm đúng với mọi

Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên âm của tham số

để hàm số nghịch biến trên đoạn

Mà nguyên âm nên Vậy các giá trị m cần tìm là

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số sao cho hàm số

nghịch biến trên đoạn ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số nghịch biến trên đoạn khi

;

Kết hợp với nguyên không âm suy ra

Vậy có ba giá trị nguyên không âm của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Mà là số nguyên âm nên

Vậy có hai giá trị của thỏa mãn

Chọn A.

–

Ví dụ 3 Cho hàm số với là tham số Số các giá trị

nguyên thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên là

Suy ra là hàm đồng biến trên

Vì hàm số nghịch biến trên nên hàm số đã cho nghịch biến trên Khi và chỉ

khi hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số đồng biến trên khoảng khi và khi và chỉ khi

tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên Số phần tử của tập S là

Câu 9: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số để hàm số

đồng biến trên Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biếntrên ?

của tham số sao cho hàm số đồng biến trên S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây?

Câu 20: Gọi S là tổng các giá trị nguyên dương của tham số sao cho hàm số đồng biếntrên khoảng Giá trị của S bằng

cho hàm số đồng biến trên Số các phần tử của S bằng

Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài toán 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , ,

… khi biết bảng biến thiên của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số , Ví dụ: Cho hàm số xác định và liên tục trên ,

,

Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm

phương trình , nghiệm của bất phương

trình và nghiệm của bất phương trình

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có

Bảng xét dấu

, nên hàm số đồng biến trên

Chọn C.

Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu xác định được nghiệm của phương trình

trình tích)

Chú ý:

- Bảng xét dấu chính là bảng xét dấu của tích

Ví dụ 2 Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Với dạng toán này cần tìm những giá trị của sao cho

Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến của hàm số khi biết đồ thị của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số ,

Bước 2: Từ đồ thị hàm số xác định được

hàm số hoặc (nghiệm phương trình

, nghiệm của bất phương trình

và nghiệm của bất phương trình )

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

của hàm số ,

Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị như hìnhbên Hàm số đồng biến trên khoảng

.Dựa vào đồ thị ta có với mọi Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Chọn A.

Ví dụ mẫu

hình vẽ Đặt hàm số Hàm số nghịch biến trên khoảng

Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số :

Ví dụ 2 Cho hàm số

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A nghịch biến trên khoảng

B đồng biến trên khoảng

C nghịch biến trên khoảng

D đồng biến trên khoảng

Bảng xét dấu

Vậy nghịch biến trên khoảng

Chọn C.

và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 nên

trên một khoảng có độ dài bằng 3

Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , ,

… khi biết đồ thị của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số ,

… ,

Bước 2: Từ đồ thị hàm số xác định

nghiệm phương trình , nghiệm của bất

phương trình và nghiệm của bất phương

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Kết luận.

Ví dụ 2 Cho hàm số liên tục trên Hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số

trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 3 Cho hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ Biết rằng hai hàm số và

có cùng khoảng nghịch biến , Khi đó giá trị của biểu thức bằng

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Câu 2: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Câu 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và bảng biến thiên của như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Câu 5: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

Câu 7: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu như sau