Phương pháp nâng lũy thừa trong bài toán phương trình hàm số logarit Nguyễn Đình Hoàn

I BÀI T P VÍ D

Ví d 1: Gi i ph ng trình log 35 x 1 log0,2 3 2 x2  2 xlog 5 3 2 x

log 3  1 log 3 2  2 log 3 2

Ởau đó chúng ta s d ng: loga bloga cloga bc và a b a c a b

Khi đ i m t v i nh ng bài toán có ch a hàm s logarit, chúng ta c n ph i nghĩ ngay t i vi c

kh logarit b ng các công th c bi n đ i logarit và m c đích là đ đ a t t c các logarit trong bài toán v cùng c s bài toán trên không khó đ có th đ a ph ng trình v logarit c

s nh sau

Bài toán trên không quá khó khăn đ kh hàm s logarit đ có th đ a v ph ng trình vô t

căn b n d ng: f x     g x h x Tuy nhiên chúng ta c n ph i nh cách chia đa th c ho c s

 V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng các h s b ng 0 thì ph ng trình

đó luôn luôn có nghi m x 1

 V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng các h s b c ch n b ng t ng các

h s b c l thì ph ng trình luôn luôn có nghi m x  1

d ng s đ Horner đ có th gi m b c c a ph ng trình sau khi bình ph ng và c n chú ý

đ c bi t các đi u ki n khi bình ph ng hai v

Chúng ta còn có th s d ng kĩ thu t chia đa th c b ng máy tính CAỞIO đ bài toán tr nên

ng n g n h n mà tác gi s đ c p đ n các ch đ sau c a cu n sách Ngoài ra các b n c n

chú ý t i nh ng đi u sau:

Ví d 2: Gi i ph ng trình 1 log 2xlog2 2x  1 1 log 34 x 10x24

Bài gi i:

Đi u ki n xác đ nh:

x x

Gi i ph ng trình ởa có các đi u ki n sau:

T b ng bi n thiên ta th y f x luôn nh   h n 0 v i m i x2;12 V y ph ng trình vô

nghi m trên kho ng 2;12 

K t lu n: V y ph ng trình đã cho có m t nghi m duy nh t : x 4.

Bình lu n:

Bài toán có hai v n đ khó khăn chính:

 Th nh t là vi c phân tích 2x 2x 1 1 2x  1 1 Đây là k thu t liên h p

ng c trong gi i toán ph ng trình vô t

 Th hai đó là chúng ta g p ph i m t ph ng trình b c 3 có nghi m r t x u (nghi m l

và khó bi u di n d i d ng căn) Tuy nhiên chúng ta không th ghi k t qu nghi m

x p x vào bài làm h n n a đây là nghi m không th a mãn đi u ki n, vì v y ta c n

khai thác tri t đ các đi u ki n đ ng th i ti n hành kh o sát ch ng minh ph ng trình

b c ba vô nghi m trên kho ng đã ch ra

2 2

Bài toán trên là m t trong nh ng bài toán c đi n v nghi m kép vô t , tác gi s đi sâu v

v n đ này ph n sau cu n sách đ b n đ c có nh ng cách gi i hay và t i u cho bài toán này Cách gi i 1 và cách gi i 2 là nh ng cách gi i khôn khéo khi b n đ c có th nhìn ra bình

ph ng c a bi u th c 3 s h ng Trong cách gi i s 3, ta chú ý r ng v i ph ng trình

x x x x x

2 2

Khi g p nh ng b t ph ng trình hay ph ng trình c ng k nh nh trên ta c n ph i có s

quan sát ch không nên bi n đ i khi ch a có s quan sát Nh n th y r ng:

Ta th y ph ng trình x33x23x  vô nghi m v i 1 0  

1

;2

nh ng bài t ng t Ởau đây tác gi mu n g i g m đ n các đ c gi m t s bài t p áp d ng

đ b n đ c có c h i rèn luy n thêm và hi u kĩ l ng h n v v n đ 2 này

II BÀI T P ÁP D NG:

Bài toán 1: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

log   1 1 log  8 log

Bài toán 2: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

log log 1  3 log  2 log  1

Bài toán 3: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

log 1 log 1 log 2 3 4 

Bài toán 6: Gi i b t ph ng trình sau trên t p s th c:

log  1 log 2  1 log  7 2 8

Bài toán 8: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

log 16 19  1 log  2 log 2 16 18 1

Bài toán 10: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

1 log  1 log 2  1 log 2  6 3 log  2

Bài toán 12: Gi i ph ng trình sau trên t p s th c:

98

K t lu n: V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x 8.

Bài 2: Gi i ph ng trình log8 x3 log4 x12 3 log2x 2 log4x2  x 1

K t lu n: V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x 2.

Bài 3: Gi i ph ng trình 1 log 0,25x2  x 2 log2x 2 2x24x

Đ t đi u ki n xác đ nh: 2x24x  2 x

Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i: 2x2 x  2x x2 x

2

1 log    2 log  2 2 4

K t lu n: V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x 2.

Bài 4: Gi i ph ng trình 1 log 29 x2 x 1 log 23 x x 1

Bài 5: Gi i b t ph ng trình: log 14  x log0,251 x log2 2 3 x4x2  x

Đi u ki n xác đ nh:

x x

x

2 2

Bài 7: Gi i ph ng trình log3x 1 log27x22x 1 log9x 7 2 x8

3 0

1 13

.2

32 3 577

32 3 577

Đi u ki n xác đ nh:

x x x

2 2 2 2

3 2 2

T b ng bi n thiên ta th y ph ng trình x32x23x   vô nghi m v i x 1 2 0

2



Nh v y ph ng trình ch có 1 nghi m duy nh t x 1 (Th a mãn đi u ki n )

K t lu n: V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x 1.