Đặt Vấn Đề:Trong chơng trình Toán lớp 6 sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ tự nhiên các em đợc làm quen với nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy luật mà nếu tính
Trang 1A Đặt Vấn Đề:
Trong chơng trình Toán lớp 6 sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ
tự nhiên các em đợc làm quen với nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy luật mà nếu tính toán trực tiếp là không đơn giản Khi gặp những loại bài tập này học sinh thờng lúng túng cha xác định đợc phơng pháp giải
Để giải đợc những bài toán đó chủ yếu phải dùng đến cách tính gián tiếp qua các biểu thức trung gian
Đợc phân công dạy bồi dỡng Toán 6 khi dạy về các bài toán dạng này tôi đã h-ớng dẫn học sinh đi từ các bài toán cụ thể để nêu thành các bài toán tổng quát và phân tích cách định hớng cho học sinh giải các bài tập dạng này
B Giải quyết vấn đề:
Bài toán 1:
Tính tổng: A= 3 + 32 + 33 + 34……… +32008
Lời giải:
3A = 32 + 33 + 34 +35……… +32009
2A = 3A – A = (32 + 33 + 34 +35……… +32009) – (3 + 32 + 33 + 34……… +32008) = 32009 – 3
⇒ A=
2
3
3 2009 −
Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
A= a + a2 + a3 + a4……+an (với mọi a và n là số nguyên dơng a ≠ 1)
Lời giải:
aA = a2 + a3 + a4 +a5……… +an
(a-1)A = aA – A = (a2 + a3 + a4 +a5……… +an+1) –( a + a2 + a3 + a4……… +an)
Trang 2= an+1 – a
⇒ A=
1
1
−
−
+
a
a
a n
Bài toán 2:
Tính tổng
B = 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
+ +
+ +
Ta có thể tính tổng B theo bài toán 1 bằng cách đặt =a
5
1
thì
B = a + a2 + a3 + a4……+a2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.B = 2 3 2007
5
1
5
1 5
1 5
1
1
5
1 5
1 5
1
1
5
1 5
1 5
1
+ +
+
= 1- 2008
5
1
= 20082008
5
1
⇒ B = 20082008
5 4
1
Ta có thể tổng quát bài toán 2 thành bài toán sau:
Tính tổng
a a
a a
1
1 1 1
3
+ (với mọi a và n là số nguyên dơng a ≠ 1)
Bài giải:
a.B = 2 3 1
1
1 1 1
a a
a a
(a-1)B = aB – B = (1 + 1 + 12 + 13 + + 1a−1
a a
a
a a
a a
1
1 1 1
3
=1- n
a
1
= n n
a
a − 1
⇒ B = n
n a a
a
) 1 (
1
−
−
Từ kết quả của bài toán 2 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Trang 3Bài toán 3:
a Chứng minh rằng:
B = 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
+ +
+
4 1
Từ bài toán 2 ta có:
4.B = 1- 5 2008
1
< 1 ⇒ B < 41
b Chứng minh rằng:
C= 2 3 3 2008
2008
3
3 3
2 3
1
+ +
+
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3C= 2 2007
3
2008
3
3 3
2
3
2008
3
3 3
2
3
2008
3
3 3
2 3
1
+ +
+
= 2 3 2007 2008
3
2008 3
1
3
1 3
1 3
1
⇒ 2C < 2 3 3 2007
1
3
1 3
1 3
1
Đặt: D = 2 3 2007
3
1
3
1 3
1 3
1
+ +
+ +
3
1
3
1 3
1
3
1
3
1 3
1
3
1
3
1 3
1 3
1
+ +
+
= 3 2007
1
1 − < 1
⇒ D <
2 1
Từ (*) ta có: 2C< 1+D < 1+
2
1
=
2 3
⇒ C <
4 3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Trang 4Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a ≠ 1 thì:
a a
a a
1
1 1 1
3
1
1
−
a
a
n a
a
a+ 2 + 3 + +
1
3
1
−
a
Bài toán 4:
Tính tổng: S = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ 99.100
3S = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + ………+ 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + …… + 99.100.101 – 98.99.100
= 99.100.101
3
101 100
.
99
=
Hớng dẫn: 3n(n+1) = n(n+1)[(n+ 2 ) − (n− 1 )]=n(n+1)(n+2) (n-1) n (n+1)–
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng:
S’ = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) Với n là số nguyên dơng
Với cách làm tơng tự ta có:
3S’=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +………… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) =n(n+1)(n+2)
⇒S’=n(n+13)(n+2)
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
a 12 + 22 + 32 + …………+ n2
b 1.4 + 2.5 + 3.6 +…………+ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
⇒ 12+ 22 + 32 + …………+n2 =
=1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 +………+ n(n+1) – n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) – ( 1 +2 +3 +………+n)
Trang 5=
2
) 1 ( 3
) 2 )(
1
n
=
6
) 1 2 )(
1
n
Câu b:
Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
⇒1.4 +2.5 +3.6 +…………+ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 +………+n)
=
3
) 2 )(
1
(n+ n+
n
+
2
) 1 (
2n n+
=
3
) 5 )(
1
n
C kết luận
Bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ những ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo, gây đợc sự hứng thú cho học sinh
Với các định hớng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập, ôn tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tơng tự tôi thấy học sinh định dạng và giải các bài tập tốt hơn
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy về các bài toán tính tổng nhờ vào biểu thức trung gian
Rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn
Ngày 23 tháng 4 năm 2008