Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Mục lục Lời nói ñầu ………..... Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Lời mở ñầu “Nơi vật lý v
Trang 1Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Lê Tuấn Tú – olympia41124
The Inequalities Trigonometry
N
O1
O2 C
ha
x
y z
N
Q
P A
M
n
n n
a a a n
a a
a
2 1 2
2
3 cos cos
R
c b a z y x
2
2 2 2
+ +
≤ + +
2 2 1 2 2
2 2 1 2 2
2
1
xyz
z y x z
C y
B x
A
2
cos cos
≤ +
+
2
tan
2
tan
2
tan cot
cot cot
2 2 2 3
2 2 2
C B A
c b a C
B A
c b a
≤
+ +
+ +
Trang 2Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác
Các ký hiệu thường dùng :
Trong chuyên ñề này, ta dùng gần như xuyên suốt các ký hiệu sau ñây :
ABC
∆ : tam giác ABC
C B
A, , : các góc của tam giác ABC
c b
a ,, : các cạnh ñối diện lần lượt với các góc A,B,C
c b
h , , : các ñường cao ứng với các cạnh
c b
m , , : các ñường trung tuyến ứng với các cạnh
c b
a l l
l , , : các ñường phân giác ứng với các góc
S R r
p, , , nửa chu vi , bán kính nội tiếp, bán kính ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC
c b
r , , bán kính ñường tròn bàng tiếp ứng với các góc
CMR : chứng minh rằng
ðpcm : ñiều phải chứng minh
Trang 3Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Mục lục
Lời nói ñầu ……… 1
Chương 1 : Các bước ñầu cơ sở 3
1.1 Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản……… 4
1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM… ……… 4
1.1.2 Bất ñẳng thức BCS……… 8
1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen……… 13
1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev……… 16
1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác……… 19
1.2.1 ðẳng thức……… 19
1.2.2 Bất ñẳng thức……… 21
1.3 Một số ñịnh lý khác……… 22
1.3.1 ðịnh lý Largare ……… ……… 22
1.3.2 ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai……… 25
1.3.3 ðịnh lý về hàm tuyến tính……… 28
1.4 Bài tập……… 29
Chương 2 : Các phương pháp chứng minh 31
2.1 Biến ñổi lượng giác tương ñương ……… 32
2.2 Sử dụng các bước ñầu cơ sở ……… 38
2.3 ðưa về vector và tích vô hướng ……… 46
2.4 Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển ……… 48
2.5 Tận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ……… 57
2.6 Bài tập ……… 64
Chương 3 : Áp dụng vào một số vấn ñề khác 66
3.1 ðịnh tính tam giác……….67
3.1.1 Tam giác ñều……… 67
3.1.2 Tam giác cân……… 70
3.1.3 Tam giác vuông……… … 72
3.2 Cực trị lượng giác……….73
3.3 Bài tập……… 76
Chương 4 : Một số chuyên ñề bài viết hay, thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 77
Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……… 78
Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng minh bất ñẳng thức trong tam giác… ……….82
Thử trở về cội nguồn của môn Lượng giác……… 91
Trang 4Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Phương pháp giải một dạng bất ñẳng thức lượng giác trong tam giác…… 94
Chương 5 : Bất ñẳng thức như thế nào là hay ?
Làm sao có thể sáng tạo bất ñẳng thức ? 99 Chương 6 : Hướng dẫn giải bài tập 101
Trang 5Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Lời mở ñầu
“Nơi vật lý và hoá học dừng chân chính là nơi toán học bắt ñầu”
Toán học mang một sự bao la phong phú vô tận của khoa học tự nhiên Toán học như một bầu trời ñêm thăm thẳm ñầy sao lấp lánh Một trong những ngôi sao sáng nhất là
ngôi sao mang tên “Bất ñẳng thức lượng giác”
Bất ñẳng thức là một lĩnh vực ñặc sắc của ðại số Còn lượng giác lại là ñại diện xuất sắc của Hình học Khi có sự kết hợp hoàn hảo giữa ðại số và Hình học, ta có ñược một vấn ñề hết sức thú vị và ñáng quan tâm : “Bất ñẳng thức lượng giác” Một vấn ñề ñã
mang lại bao hứng thú cho các nhà toán học, cho giáo viên dạy toán, cho học sinh giỏi toán khắp mọi nơi Từ các quan hệ góc cạnh chặt chẽ trong tam giác ñến những tính chất diệu kỳ của lượng giác trên ñoạn [−π,π], tất cả ñều mang nét quyến rũ bí ẩn ñặc trưng của toán học Vì vậy vấn ñề hấp dẫn này sẽ mãi là ñề tài nghiên cứu và khám phá cho mọi thế hệ người học toán trong quá khứ, hiện tại và tương lai
ðọc ñến ñây có lẽ bạn ñọc cho rằng tác giả hơi quá lời Nhưng sự thật là vậy ! Sau khi
ñọc chuyên ñề này, bạn ñọc sẽ ñồng ý với tác giả Chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” sẽ ñưa bạn ñọc từ những bất ñẳng thức cơ bản dễ chứng minh ñến những bài toán
gay go phức tạp, từ phương pháp cổ ñiển quen thuộc ñến phương pháp hiện ñại mới mẻ
Vì vậy chuyên ñề phù hợp cho mọi trình ñộ người ñọc
Chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” ñược chia làm 6 chương :
Chương 1: Các bước ñầu cơ sở
Chương này tác giả trang bị cho người ñọc những “vật dụng” cần thiết cho việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2: Các phương pháp chứng minh
Chương sẽ bao gồm hầu như toàn bộ các phương pháp thường dùng khi chứng minh bất ñẳng thức lượng giác
Chương 3: Áp dụng vào một số vấn ñề khác
Các bất ñẳng thức lượng giác ñược vận dụng ñể giải quyết một số vấn ñề khác trong giải phương trình, ñịnh tính tam giác, tìm cực trị…
Chương 4: Một số chuyên ñề, bài viết hay, thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức Chương 5: Bất ñẳng thức như thế nào là hay ?
Làm sao có thể sáng tạo bất ñẳng thức?
ðây lại là một chương thú vị về quan niệm bất ñẳng thức của tác giả và một số ý kiến quan ñiểm của giáo viên toán, học sinh giỏi toán quen thân với tác giả ñược thu thập
và trình bày
Chương 6: Hướng dẫn giải bài tập
Trong từng phần của các chương ñều có các bài tập tương tự với bài toán ñược trình bày trong chương ñó ñể bạn ñọc luyện tập Chương này sẽ là chương ñể trình bày lời giải hoặc hướng dẫn cho các bài tập này
Mong rằng chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” sẽ trở thành người bạn ñồng hành
trên con ñường khám phá vẻ ñẹp “Toán học muôn màu” của bạn ñọc
Cuối cùng tác giả chân thành gửi lời cảm ơn ñến các bạn Lê Ngọc Anh, Trần ðăng
Khuê và Nguyễn Thanh Tú (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý
T ự Trọng, Cần Thơ) ñã cung cấp những tài liệu quý giá giúp cho chuyên ñề trở nên
Trang 6Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
phong phú ña dạng hơn Ngoài ra tác giả cũng xin cảm ơn những ý kiến ñóng góp nhiệt tình của :
– Lê Phước Duy, Huỳnh Hữu Vinh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường
THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ )
– Nguyễn Huỳnh Vĩnh Nghi, Lê Hoàng Anh (HS chuyên toán khóa 2004 – 2007
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ )
– Võ Quốc Bá Cẩn (HS chuyên toán khóa 2003 – 2006 Trường THPT chuyên Lý
T ự Trọng, Cần Thơ )
– Tạ Thanh Thủy Tiên (GV chuyên toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần
Thơ )
ñể hoàn thiện chuyên ñề này
Cần Thơ, ngày 14 tháng 02 năm 2007
Lê Tuấn Tú
HS chuyên toán khóa 2005 – 2008
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ
Mọi thắc mắc, ý kiến ñóng góp về chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” xin gửi cho
tác giả theo email : olympia41124@yahoo.com.vn hay nick olympia41124 trên
www.diendantoanhoc.net , www.mathnfriend.net và www.mathnfriend.org
Trang 7
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 3 Ch ương 1 : CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ ðể bắt ñầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường Toán học cũng vậy Muốn khám phá ñược cái hay và cái ñẹp của bất ñẳng thức lượng giác, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng, ñó chính là chương 1: “Các b ước ñầu cơ sở” Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là ñầy ñủ cho một cuộc “hành trình” Trước hết là các bất ñẳng thức ñại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Tiếp theo là các ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác Cuối cùng là một số ñịnh lý khác là công cụ ñắc lực trong việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý Largare, ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai, ñịnh lý về hàm tuyến tính …)
Mục lục : 1.1 Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản……… 4
1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM… ……… 4
1.1.2 Bất ñẳng thức BCS……… 8
1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen……… 13
1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev……… 16
1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác……… 19
1.2.1 ðẳng thức……… 19
1.2.2 Bất ñẳng thức……… 21
1.3 Một số ñịnh lý khác……… 22
1.3.1 ðịnh lý Largare ……… ……… 22
1.3.2 ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai……… 25
1.3.3 ðịnh lý về hàm tuyến tính……… 28
1.4 Bài tập……… 29
Trang 8Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
1.1 Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản :
1.1.1 B ất ñẳng thức AM – GM :
V ới mọi số thực không âm a1,a2, ,a n ta luôn có
n
n n
a a a n
a a
a
2 1 2
1
≥ + + +
Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất ñẳng thức
quen thu ộc và có ứng dụng rất rộng rãi ðây là bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất ñẳng thức Sau ñây là
hai cách chứng minh bất ñẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho
r ằng là ngắn gọn và hay nhất
Ch ứng minh :
Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy
Với n=1 bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng Khi n=2 bất ñẳng thức trở thành
2
2 2 1 2
1 2
1 +a ≥ a a ⇔ a − a ≥
a
(ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến n = k tức là :
k
k k
a a a k
a a
a
2 1 2
1 + + + ≥
Ta sẽ chứng minh nó ñúng với n=2k Thật vậy ta có :
k
k k k
k
k k k k
k
k k
k k k
k k k
a a a a a
k
a a a k a a a k
k
a a
a a a
a k
a a
a a a
a
2
2 1 2
1
2 2 1 2
1
2 2
1 2
1 2
2 1 2
1
2
+
+ +
+ + +
+
=
≥
+ + + +
+ +
≥ + + + +
+ + +
Tiếp theo ta sẽ chứng minh vớ n=k−1 Khi ñó :
1 2 1 1
2 1
1
1 2 1
1
1 2 1 1 2 1 1
1 2 1 1
2 1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
≥ + + +
⇒
=
≥ +
+ + +
k
k k
k
k
k k
k
k k
a a a k
a a
a
a a a k
a a a a a a k a a a a
a a
Như vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn
ðẳng thức xảy ra ⇔a1 =a2 = =a n
Cách 2 : ( lời giải của Polya )
Trang 9Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Gọi
n
a a
a
+ + +
Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với
a1a2 a n ≤ A n (*)
Rõ ràng nếu a1 =a2 = =a n = A thì (*) có dấu ñẳng thức Giả sử chúng không bằng nhau Như vậy phải có ít nhất một số, giả sử là a <1 A và một số khác, giả sử là a >2 A
tức là a1 < A<a2
Trong tích P=a1a2 a n ta hãy thay a bởi 1 a ='1 A và thay a bởi 2 a'2=a1 +a2 −A Như vậy a'1+a'2=a1+a2 mà a'1a'2−a2a2 = A(a1+a2 −A)−a1a2 =(a1−A)(a2 −A)>0
2 1 2
1 ' ' a a a
a >
n
a a a
a1 2 3 < '1 '2 3
⇒
Trong tích P'=a'1a'2a3 a n có thêm thừa số bằng A Nếu trong P' còn thừa số khác
A thì ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm một thừa số nữa bằng A Tiếp tục như vậy tối ña
1
−
n lần biến ñổi ta ñã thay mọi thừa số P bằng A và ñược tích n
A Vì trong quá trình biến ñổi tích các thừa số tăng dần n
A
P <
Ví dụ 1.1.1.1
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn CMR :
tanA+tanB+tanC≥3 3
L ời giải :
B A
B A
C B
tan tan 1
tan tan
tan
−
+
⇔
−
= +
⇒tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC
Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương
Theo AM – GM ta có :
3 3 tan tan
tan
tan tan
tan 27 tan
tan tan
tan tan
tan 3 tan tan tan 3 tan tan
tan
2
3 3
≥ +
+
⇒
+ +
≥ +
+
⇒
+ +
=
≥ +
+
C B
A
C B
A C
B A
C B
A C
B A C
B A
ðẳng thức xảy ra ⇔ A= B=C⇔ ∆ABC ñều
Ví dụ 1.1.1.2
Cho ∆ABC nhọn CMR :
cotA+cotB+cotC ≥ 3
Trang 10Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
L ời giải :
Ta luôn có : cot(A+B)=−cotC
1 cot cot cot
cot cot
cot
cot cot
cot
1 cot cot
= +
+
⇔
−
= +
−
⇔
A C C
B B
A
C B
A
B A
Khi ñó :
3 cot
cot cot
3 cot cot cot
cot cot
cot 3 cot
cot cot
0 cot
cot cot
cot cot
cot
2
2 2
2
≥ +
+
⇒
= +
+
≥ +
+
⇔
≥
− +
− +
−
C B
A
A C C
B B
A C
B A
A C
C B
B A
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC ñều
Ví dụ 1.1.1.3
CMR v ới mọi ∆ABC nhọn và n ∈ N*ta luôn có :
2
1
3 tan
tan tan
tan tan
≥ +
+
+
n
C B
A
C B
A
L ời giải :
Theo AM – GM ta có :
1
3 3
3 3
3 3 tan
tan tan
3 tan
tan tan
tan tan
tan
tan tan
tan 3 tan
tan tan 3 tan
tan tan
−
−
−
=
≥ +
+
≥ +
+
+ +
⇒
+ +
=
≥ +
+
n n n
n n
n
n n
n n
n
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B A C
B A
⇒ñpcm.
Ví dụ 1.1.1.4
Cho a,b là hai số thực thỏa :
cosa+cosb+cosacosb≥0
CMR : cosa+cosb≥0
L ời giải :
Ta có :
(1 cos )(1 cos ) 1
0 cos cos cos
cos
≥ +
+
⇔
≥ +
+
b a
b a b
a
Theo AM – GM thì :
Trang 11Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
0 cos cos
1 cos 1 cos 1 2
cos 1 cos 1
≥ +
⇒
≥ +
+
≥ +
+ +
b a
b a
b a
Ví dụ 1.1.1.5
Chứng minh rằng với mọi ABC∆ nhọn ta có :
2
3 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 3 2 2
cos 2 cos
cos cos 2
cos 2 cos
cos cos 2
cos 2 cos
cos cos
+
+ +
≤ +
A C
A C C
B
C B B
A
B A
L ời giải :
Ta có
=
=
B A B
A B
A
B A
A A A
A
cot cot 4
3 2
sin 2 sin
2
cos
2
cos 4
cos cos 4 3
2
cot 2 sin 2 cos 2 cos
Theo AM – GM thì :
+
≤
⇒
+
≤
B A B
A B
A
B A
B A B
A
B A
B A
cot cot 4
3 2
sin 2
sin 3 2
2
cos 2 cos
cos cos
2
cot cot 4
3 2
sin 2 sin
2
cos 2 cos 4
cos cos 4
Tương tự ta có :
+
≤
+
≤
A C A
C A
C
A C
C B C
B C
B
C B
cot cot 4
3 2
sin 2
sin 3 2
2
cos 2 cos
cos cos
cot cot 4
3 2
sin 2
sin 3 2
2
cos 2 cos
cos cos
Cộng vế theo vế các bất ñẳng thức trên ta ñược :
Trang 12Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
A C C
B B
A
A C
A C C
B
C B B
A
B A
cot cot cot
cot cot
cot 2
3 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 3 2
2
cos 2 cos
cos cos
2
cos 2 cos
cos cos
2
cos 2 cos
cos cos
+ +
+
+ +
≤
+ +
2
3 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 3
2
+
+ +
B ước ñầu ta mới chỉ có bất ñẳng thức AM – GM cùng các ñẳng thức lượng giác nên
s ức ảnh hưởng ñến các bất ñẳng thức còn hạn chế Khi ta kết hợp AM – GM cùng BCS,
Jensen hay Chebyshev thì nó thực sự là một vũ khí ñáng gờm cho các bất ñẳng thức
l ượng giác
1.1.2 B ất ñẳng thức BCS :
V ới hai bộ số (a1,a2, ,a n) và (b1,b2, ,b n) ta luôn có :
2 2 1 2 2
2 2 1 2 2
2 1
1b a b a n b n a a a n b b b n
Nếu như AM – GM là “cánh chim ñầu ñàn” trong việc chứng minh bất ñẳng thức thì
BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) lại là “cánh tay phải” hết sức ñắc lực Với
AM – GM ta luôn phải chú ý ñiều kiện các biến là không âm, nhưng ñối với BCS các
bi ến không bị ràng buộc bởi ñiều kiện ñó, chỉ cần là số thực cũng ñúng Chứng minh bất ñẳng thức này cũng rất ñơn giản
Ch ứng minh :
Cách 1 :
Xét tam thức :
2 2 2 1
)
Sau khi khai triển ta có :
2 2 1 2
2 1 1 2 2 2
2 2
)
Mặt khác vì f(x)≥0∀x∈R nên :
⇔
≤
∆f 0 a1b1 a2b2 a n b n 2 a12 a22 a n2 b12 b22 b n2 ñpcm ðẳng thức xảy ra
n
n
b
a b
a b
a
=
=
=
2 2
1
1
(quy ước nếu b i =0 thì a i =0)
Cách 2 :