hitp://onthinolyn Phuong phap tip:/onthisot.in Al MOT DANG BAT BANG THUG LUONG GlAC NGUYEN LAI GV THPT Luong Van Chanh, Phd Yén Gid sit A, B, C là biểu thức chứa các hàm sổ lượng
Trang 1hitp://onthinolyn
Phuong phap tip:/onthisot.in
Al MOT DANG BAT BANG THUG LUONG GlAC
NGUYEN LAI (GV THPT Luong Van Chanh, Phd Yén)
Gid sit A, B, C) là biểu thức chứa các hàm sổ
lượng giác của các góc trong tam giác ABC
Giả sử các góc A, B, C thỏa mãn hai điều kiện:
DA) +88) 2/(2:?)
+)
hoặc /(A)/(B) > rf @)
đẳng thức xây ra khi và chỉ khi Á = By
- foxes’
2)NC)+ /§}z =
c+t
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C = =
Khi cộng (hoặc nhân) (1), (2) ta sẽ có BĐT
hoặc /(4)./(8)./(C) > 2) 4
Đảng thức xảy ra khí và chỉ khi A = B= C
Tương tự ta cũng có bất đẳng thức với chiều
ngược lại
Để mình họa cho phương pháp trên ta xét các
bài toán sau đây
Thí dụ 1 Chứng minh rằng với mọi tam giác
ABC tạ luôn có
lưng TiảnE T+ệnG V2+W3 Lời giải Ta có
1 1+v§in4
1 > 4
+VsinB 2+Vsind +VsinB
— #Hj2Gin4rsinB) ; „
„ Á+B
z
22 + re
2
l+vsind 1+VsinB „ 4'
1+/jsin:
(esaang (4) 70) 22/(44))
Tương tự
> 6) 1+V8nC 1+ Ven60 1 |sinC +60 «
Cong theo vế (5) và (6) ta có
1 —I _ —TL _ ]
Tehama” 1+vsin8g tư “ưme
1+Sin60°
Trang 21 1 1
syn
6 I+ find" eJsinB* 1eJsinC
`
IeýBin60° V2+Ÿ3 `
Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi tam giác ABC
đều
“Thí dụ 3 Chứng mình rằng với mọi tam giác
ABC ta luôn có
t-z2)(*zz)(=zeÁ*4]'
(sta) (sea)
te
sin4 sin# sin4sin
2
VsinAsinB (mm)
> ( +a) (uZ5) > (-=z] @
(san 7œ/œ>/(%2)),
Tương tự
(- E )í- i Je ha] @)
sinC sin609, n€ tết
2 Nhân theo vế của (7) và (8) ta có
( i malt gna) (snc) so)
Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC déu
Thi dy 3 Chiing minh rằng với moi tam giác ABC ta luôn có
sint 44 sint 2 + sins o> 64
Lời giải Trường hợp tam giác ABC tù hoặc
vuông
Giả sử A = max|A, B,C} > 9°, lúc đó
4
= sine + sins 2s asin 448 0)
A+B
(sa 70+/00>2/(5 +) ~ Tương tự
sin®© 4 sins 2” > asin ae d0)
Cộng theo vế của (9) và (10) có
sine sine + sine + sine 5
Trang 3
> s22 ine 260")
" ^ sine
= hết san 2 aint = (11)
Trường hợp tam giác ABC nhọn, các BĐT (9),
(10) và (11) luôn đúng
“Thí dụ 4, Chứng minh rằng với mọi tam giác
ABC ta luôn có
(cos4 + sinA).(cosổ + sinB).(cosC + sinC)
Lời giải Ta có
(cosA + sinA).(cosB + sinB).(cosC + sinC)
= 28eo|4A~ 2) cos 2 ?)s{c 3)
Nên BĐT đã cho được viết lại dưới dạng
“<0<03<(2-(6⁄5°
+ Nếu max|Á; ð, | > tì về tri của biểu
thức (*) không dương nên BĐT đã cho luôn đúng
+ Nếu max|4;
«o|2-7) >0; ca(2-*) >0; cof -4) >0,
nen o0s{ =) cos 3-4)
= fcof-4-3-2)+cou4-0)
sti-co(4e0-4)] < oon( 422-2)
= cof 4-2) cn{ 2-2)
(6e zœz@</(%2)),
:C|< ahi
4
Tương tự
oe)
offal awl
Do đó nhân theo vế của (12) và (13) và tương,
tự ta có
co 4-4) co'8-4).cos{c-£) coo 2-2)
Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau đây
theo phương pháp trên
‘Ching minh ring với mọi tam giác ABC, ta có
tan? + tan} = +tan3<—_;
2) tan? 5+ tan! > + tan!
v3
Mk te? te
(nla s6 thyc duong);
3) Aeos + Bcos2+C.cosS
4) Nếu tam giác ABC nhọn thì
> an +V/3)?.cosA.cosB.cosC
2J2