Bài toán cực trị của hàm số

Do thíi gian v ki¸n thùc câ h¤n, khâa luªn khæng tr¡nh khäi câ nhúng h¤n ch¸ v thi¸u sât nh§t ành... Nâth÷íng xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi tuyºn chån håc sinh giäi v c¡c k¼thi tèt nghi»p t

KHOA TON

T o Thà nh T¥m

B€I TON CÜC TRÀ CÕA H€M SÈ

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

H  Nëi  N«m 2017

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

Trong thíi gian nghi¶n cùu v  ho n th nh khâa luªn, em ¢ nhªn ÷ñc sü gióp

ï nhi»t t¼nh cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n sinh vi¶n trong khoa Qua ¥y, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi c¡c th¦y, cæ trong tê ¤i sè v  °c bi»t l  cæ gi¡o

TS Nguy¹n Thà Ki·u Nga - ng÷íi ¢ ành h÷îng, chån · t i v  tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï em ho n thi»n khâa luªn tèt nghi»p n y.

Do thíi gian v  ki¸n thùc câ h¤n, khâa luªn khæng tr¡nh khäi câ nhúng h¤n ch¸

v  thi¸u sât nh§t ành Em k½nh mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa quþ th¦y

cæ v  c¡c b¤n sinh vi¶n º khâa luªn cõa em ÷ñc ho n thi»n hìn.

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶n

T o Thà nh T¥m

Líi cam oan

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc chy¶n ng nh ¤i sè vîi · t i "B i to¡n cüc trà cõa h m sè" l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa cæ TS Nguy¹n Thà Ki·u Nga v  khæng câ sü tròng l°p vîi b§t k¼ cæng tr¼nh khoa håc n o kh¡c.

H  Nëi, th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶n

T o Thà nh T¥m

Líi mð ¦u 1

1.1 Tªp lçi, h m lçi, t½nh ch§t 3

1.1.1 ành ngh¾a 3

1.1.2 T½nh ch§t 4

1.2 H m sè ìn i»u 4

1.2.1 ành ngh¾a 4

1.2.2 T½nh ch§t 4

1.3 Cüc trà cõa h m sè 4

1.3.1 ành ngh¾a cüc trà 4

1.3.2 T½nh ch§t 6

1.4 Gi¡ trà lîn nh§t (GTLN), gi¡ trà nhä nh§t (GTNN) cõa h m sè 7

1.4.1 ành ngh¾a 7

1.4.2 T½nh ch§t 7

2 Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m cüc trà cõa h m sè 12 2.1 Ph÷ìng ph¡p ¤o h m 12

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p 1 12

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p 2 18

2.2 Sû döng b§t ¯ng thùc 21

2.2.1 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy 21

2.2.2 Sû döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopxki 27

2.2.3 Sû döng b§t ¯ng thùc trà tuy»t èi cì b£n 30

2.3 Ph÷ìng ph¡p mi·n gi¡ trà cõa h m sè 33

2.4 Ph÷ìng ph¡p sû döng h m lçi, h m lãm 36

2.5 Ph÷ìng ph¡p tåa ë, vectì 40

3 Mët sè sai l¦m khi gi£i b i to¡n cüc trà cõa h m sè 44 3.1 Sû döng sai t½nh ch§t cõa c¡c b§t ¯ng thùc 44

3.1.1 Lþ thuy¸t: 44

3.1.2 Mët sè d¤ng sai l¦m th÷íng g°p 46

3.2 Sai l¦m do khæng ph¥n bi»t ÷ñc i·u ki»n c¦n, i·u ki»n õ 62

3.2.1 Lþ thuy¸t 62

3.2.2 C¡c v½ dö minh håa 63

Líi mð ¦u

D¤ng to¡n "T¼m gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè tr¶nmët tªp x¡c ành n o â" l  d¤ng to¡n hay v  khâ trong to¡n sì c§p.D¤ng to¡n n y cán ÷ñc gåi l  d¤ng to¡n t¼m cüc trà cõa h m sè Nâth÷íng xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi tuyºn chån håc sinh giäi v  c¡c k¼thi tèt nghi»p trung håc phê thæng Vi»c gi£i b i to¡n n y ái häing÷íi l m ph£i vªn döng ki¸n thùc hñp l½, nhi·u khi kh¡ ëc ¡o v b§t ngí i·u â câ t¡c döng r±n luy»n t÷ duy to¡n håc m·m d´o,linh ho¤t v  s¡ng t¤o

èi vîi b i to¡n t¼m cüc trà cõa h m sè khæng câ c¡ch gi£i m¨umüc m  méi b i to¡n l¤i câ ph÷ìng ph¡p gi£i kh¡c nhau v  mët sè

b i to¡n câ thº câ nhi·u c¡ch gi£i

V¼ c¡c l½ do tr¶n v  vîi ni·m y¶u th½ch to¡n håc tæi ¢ chån · t i

"B i to¡n cüc trà cõa h m sè" º l m khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh.Nëi dung khâa luªn chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· h m sè

Ch÷ìng 2 Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m cüc trà cõa h m sè

N¶u ra mët v i ph÷ìng ph¡p t¼m cüc trà cõa h m sè

Ch÷ìng 3 Mët sè sai l¦m khi gi£i b i to¡n cüc trà cõa h m sè.Ch¿ ra mët sè sai l¦m khi gi£i b i to¡n cüc trà cõa h m sè v  c¡chkh­c phöc

Do thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n khâaluªn khæng tr¡nh khäi sai xât

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n sinh vi¶n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶n

T o Thà nh T¥m

f [λx + (1 − λ)y] ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y).

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Gi£ sû h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n K Khi â:

N¸u vîi måi x1, x2 ∈ K, x1 > x2, ta câ f(x1) > f (x2) th¼ h m sè

y = f (x) gåi l  ìn i»u t«ng (hay çng bi¸n tr¶n K)

N¸u vîi måi x1, x2 ∈ K, x1 < x2, ta câ f(x1) < f (x2) th¼ h m sè

y = f (x) gåi l  ìn i»u gi£m (hay nghàch bi¸n tr¶n K)

1.2.2 T½nh ch§t

H m sè y = f(x) câ ¤o h m tr¶n K Khi â,

N¸u f0(x) > 0, vîi måi x ∈ K th¼ f(x) çng bi¸n tr¶n K

N¸u f0(x) < 0, vîi måi x ∈ K th¼ f(x) nghàch bi¸n tr¶n K

1.3 Cüc trà cõa h m sè

1.3.1 ành ngh¾a cüc trà

a ành ngh¾a 1

Cho h m sè y = f(x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n kho£ng (a, b) v 

C¡c iºm cüc ¤i v  cüc tiºu ÷ñc gåi chung l  iºm cüc trà

Gi¡ trà cüc ¤i (gi¡ trà cüc tiºu) ÷ñc gåi chung l  cüc trà cõa h msè

b ành ngh¾a 2

Cho h m sè f(x) x¡c ành tr¶n mi·n D v  x0 ∈ D Khi â, n¸u tçnt¤i l¥n cªn Vε(x0) sao cho f(x) ≥ f(x0), vîi måi x ∈ D ∩ Vε(x0) th¼

h m f(x) ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i x0

H m f(x, y) x¡c ành tr¶n D v  (x0, y0) ∈ D Khi â, n¸u tçn t¤i l¥ncªn Vε(x0, y0)sao cho f(x, y) ≥ f(x0, y0), vîi måi (x, y) ∈ D∩Vε(x0, y0)th¼ h m f(x, y) ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i (x0, y0)

ành ngh¾a mët c¡ch t÷ìng tü h m sè ¤t cüc ¤i àa ph÷ìng tr¶ntªp x¡c ành cõa nâ

Nhªn x²t 1.1 N¸u f(x) ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i x0 ∈ D th¼ ta

câ f(x0) ≥ m, vîi m = min f(x)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

1.3.2 T½nh ch§t

ành lþ 1.1 i·u ki»n c¦n º h m sè câ cüc trà àa ph÷ìng

N¸u h m sè f(x) x¡c ành tr¶n [a, b] v  x0 ∈ [a, b] th¼ f(x) thäam¢n mët trong hai i·u ki»n sau:

i f(x) khæng câ ¤o h m t¤i x0

ii f(x) câ ¤o h m t¤i x0 th¼ f0(x0) = 0

ành lþ 1.2 i·u ki»n õ º h m sè câ cüc trà àa ph÷ìng

i·u ki»n õ thù hai

Gi£ sû f(x) câ ¤o h m li¶n töc ¸n c§p 2 ð l¥n cªn cõa iºm x0,

ta nâi

f (x) ¤t cüc tiºu t¤i x0 khi f0(x0) = 0 v  f00(x0) > 0

f (x) ¤t cüc ¤i t¤i x0 khi f0(x0) = 0 v  f00(x0) < 0

ii Tçn t¤i x0 ∈ D sao cho f(x0) = M

Khi â, ta k½ hi»u max f(x) = M

x∈D

hay M = max f(x)

x∈D

.N¸u D = R th¼ ta k½ hi»u M = max f(x)

Sè m ÷ñc gåi l  GTNN cõa f(x) n¸u çng thíi thäa m¢n 2 i·uki»n sau

i f(x) ≥ m, vîi måi x ∈ D

ii Tçn t¤i x0 ∈ D sao cho f(x0) = m

Khi â, ta k½ hi»u m = min f(x)

x∈D

hay m = min f(x)

x∈D

.N¸u D = R th¼ ta k½ hi»u m = min f(x)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

ành lþ 1.8 Cho c¡c h m sè f1(x), f2(x), , fn(x) x¡c ành tr¶n mi·n

D °t f(x) = f1(x) + f2(x) + + fn(x)

Khi â, n¸u tçn t¤i max fi(x)

ành lþ 1.9 Gi£ sû c¡c h m sè f1(x), f2(x), , fn(x) x¡c ành tr¶nmi·n D v  ta câ fi(x) > 0, vîi måi x ∈ D, måi i ∈ 1, n

°t f(x) = f1(x).f2(x) fn(x) Khi â, n¸u tçn t¤i max fi(x)

ành lþ 1.10 Gi£ sû f(x), g(x) l  hai h m sè x¡c ành tr¶n mi·n D

°t h(x) = f(x) − g(x) Khi â, n¸u tçn t¤i c¡c GTLN, GTNN

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

D§u "=" trong (1.10) x£y ra khi v  ch¿ khi tçn t¤i x0 ∈ D sao cho

ành lþ 1.12 (ành l½ Lagrange) Cho h m sè [a, b] → R thäa m¢n

2 i·u ki»n sau:

i f li¶n töc tr¶n [a, b]

ii f câ ¤o h m trong (a, b)

Khi â, tçn t¤i c ∈ (a, b) sao cho f(b) − f(a) = f0(c).(b − a)

Ch֓ng 2

Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m cüc trà cõa h m sè

2.1 Ph÷ìng ph¡p ¤o h m

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p 1

a Cì sð lþ luªn: Ph÷ìng ph¡p n y dòng ¤o h m º kh£o s¡t chi·ubi¸n thi¶n cõa h m sè v  düa v o b£ng bi¸n thi¶n (BBT) còng vîi c¡cgi¡ trà °c bi»t tr¶n tªp x¡c ành cõa h m sè m  suy ra k¸t qu£

Gi£iTX: D = R.

−∞ −1 2 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

19 6

19 6

−43

−43

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Vªy h m sè ¤t cüc ¤i t¤i iºm x = −2 v  gi¡ trà cüc ¤i yC = −9

v  h m sè ¤t cüc tiºu t¤i iºm x = 0 v  gi¡ trà cüc tiºu yCT = −1.Nhªn x²t 2.1 V¼ h m sè ax + b

cx + d (ac 6= 0) câ ¤o h m khæng êi d§utr¶n tªp x¡c ành n¶n h m sè khæng câ cüc trà

H m sè ax2 + bx + c

mx + n (am 6= 0) n¸u câ cüc trà th¼ s³ câ hai cüc trà

v  gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè luæn nhä hìn gi¡ trà cüc tiºu cõa h msè

B i 4 T¼m GTLN, GTNN cõa c¡c h m sè sau:

x

y0y

−∞ −2 0 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−13

−13

Ta câ y = (sin x + cos x)2

sin2xcos2x = 1 + sin 2x +

4sin22x

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Gi£iTX: D = R

y2 + 1 +

z + 1

√

z2 + 1.X²t h m sè f(t) = √t + 1

t2 + 1 câ tªp x¡c ành D = R

Suy ra f0(t) = 1 − t

(t2 + 1)√

t2 + 1 Suy ra f0(t) = 0 khi v  ch¿ khi t = 1

BBT

t

y0y

−∞ 1 +∞

+ 0 −

−1

√ 2

√ 2

Theo gi£ thuy¸t x + y + z ≤ 3 (5)

Cëng (4) v  (5) theo v¸, ta ÷ñc P ≤ 3√2 + 3

D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1

Vªy max P ≤ 3√2 + 3 khi a = b = c = 1

B i 6 T¼m GTLN, GTNN cõa h m sè y = sin4x + cos4x

sin6x + cos6x.Gi£i

4sin

22x.Vi¸t l¤i h m sè ¢ cho d÷îi d¤ng y = 1 −

x = π

4 + lπ (l ∈ Z)

Nhªn x²t 2.2 i N¸u h m sè f(x) câ tªp x¡c ành D = [a; b] th¼khæng c¦n lªp b£ng bi¸n thi¶n

T¼m c¡c iºm xi ∈ D sao cho f(xi) = 0, vîi måi i = 1, n

T½nh f(a), f(b), f(xi), vîi måi i = 1, n

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Khi â max f(x)

x∈[a;b]

= max{f (a), f (b), f (xi)}, vîi måi i = 1, n

min f (x)

x∈[a;b]

= min{f (a), f (b), f (xi)}, vîi måi i = 1, n

ii Gi£ sû h m sè y = f(x) li¶n töc v  câ ¤o h m tr¶n o¤n [a; b].Khi â, h m f(x) çng bi¸n (nghàch bi¸n) tr¶n (a; b) n¸u f0(x) > 0(f0(x) < 0), vîi måi x ∈ [a; b]

( D§u "=" ch¿ x£y ra ð mët sè húu h¤n iºm thuëc [a; b])

N¸u f(x) çng bi¸n tr¶n o¤n [a; b] th¼

a Cì sð lþ luªn: Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng ÷ñc sû döng èi vîi c¡c

h m sè m  vi»c lªp b£ng bi¸n thi¶n t÷ìng èi khâ kh«n

b Ph÷ìng ph¡p gi£i:

B1 T¼m TX

B2 T½nh y0 Gi£i ph÷ìng tr¼nh y0 = 0 v  k½ hi»u xi(i = 1, 2, ) l c¡c nghi»m cõa nâ

B3 T½nh y00(x) v  y00(xi) rçi k¸t luªn

• N¸u y00(xi) < 0 th¼ h m sè ¤t cüc ¤i t¤i xi

• N¸u y00(xi) > 0 th¼ h m sè ¤t cüc tiºu t¤i xi

B i 1 T¼m cüc trà cõa h m sè y = cosx +1

2cos 2x − 1

Gi£iTX: D = R.

y0 = − sin x − sin 2x Suy ra y0 = 0 khi v  ch¿ khi x = ±2π

Suy ra y0 = 0 khi v  ch¿ khi x = ±1

y00 = 20x3 − 6x Khi â, ta câ

y00(1) = 14 > 0 n¶n h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 1, yCT = −1

y00(−1) = −14 < 0 n¶n h m sè ¤t cüc ¤i t¤i x = −1, yC = 3.Vªy h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 1, yCT = y(1) = −1 h m sè ¤t cüc

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

¤i t¤i x = −1, yC = y(−1) = 3

b y = x4 − 8x3 + 22x2 − 24x + 10

TX: D = R

y0 = 4x3 − 24x2 + 44x − 24 = 4(x − 1)(x − 2)(x − 3)

Suy ra y0 = 0 khi v  ch¿ khi x = 1 ho°c x = 2 ho°c x = 3

y00 = 12x2 − 48x + 44 = 4(3x2 − 12x + 11) Khi â, ta câ

y00(1) = 8 > 0 n¶n h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 1, yCT = y(1) = 1

y00(2) = −4 < 0 n¶n h m sè ¤t cüc ¤i t¤i x = 2, yC = y(2) = 2.

y00(3) = 8 > 0 n¶n h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 3, yCT = y(3) = 1.Vªy h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 1, yCT = 1 v  x = 3, yCT = 1, h m

sè ¤t cüc ¤i t¤i x = 2, yC = 2

B i 3 T¼m cüc trà cõa h m sè y = sin x + cos x

Gi£iTX: D = R

Ta câ y = sin x + cos x = √2 sin(x + π

4 + kπ) = −

√

2 < 0.N¸u k l´ th¼ y00(π

4 + kπ) =

√

2 > 0.Vªy h m sè ¤t cüc ¤i t¤i x = π

4 + k2π, yC = y(π4 + k2π) v 

h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = π

4 + (2k + 1)π ,yC = y(π4 + (2k + 1)π)

D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi a1 = a2 = = an.

b Cì sð lþ luªn: º sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy t¼m gi¡ trà lînnh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè ta sû döng nhªn x²t sau

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

V¼ a2 + 1 > 0 vîi måi a n¶n ¡p döng BT Cæ-si vîi 2 sè d÷ìng

D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi 3x

1 − x =

4(1 − x)

x hay x = (√3 − 1)2 Vªy min P = (2 +√3)2 khi v  ch¿ khi x = (√3 − 1)2

Nhªn x²t 2.4 L m th¸ n o º câ thº biºu di¹n ÷ñc

c = 7

B i 3 Cho x, y, z l  ba sè d÷ìng thäa m¢n x + y + z ≤ 3

2 T¼mGTNN cõa biºu thùc

°t t = √3

xyz , 0 < t ≤ 1

2.X²t h m sè f(t) = 3t + 3

t , vîi 0 < t ≤ 1

2.Suy ra f0(t) = 3 − 3

t2 = 3t

2 − 1

t2 Suy ra f0(t) = 0 khi v  ch¿ khi x = ±1

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Do â vîi måi (x, y, z) ∈ D th¼ xyz ≤ 1

27 v  do x > 0, y > 0, z > 0n¶n

xyz(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 1

27(x + y)(y + z)(z + x) (2.1)L¤i theo BT Cæ-si, ta câ

272

(x,y,z)∈D

khi v  ch¿ khi x = y = z = 1

3

2.2.2 Sû döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopxki

Cì sð lþ luªn: º t¼m GTLN, GTNN cõa h m sè ta sû döng ành l½sau:

Cho hai d¢y sè thüc (a1, a2, , an)v  (b1, b2, , bn) Khi â, ta câ(a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ≤ (a21+ a22+ + a2n)(b21+ b22+ + b2n)

D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi ai

bi = const (i = 1, n).N¸u bi = 0 xem nh÷ ai = 0

B i 1 Cho c¡c sè x, y kh¡c 0 thäa m¢n

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

2

B i 2 T¼m GTNN cõa h m sè

f (x, y) = asin

4x + bcos4ycsin2x + dcos2y +

acos4x + bsin4yccos2x + dsin2y(vîi a, b, c, d l  c¡c h¬ng sè d÷ìng)

Gi£i

Ta câ

f (x, y) = a( sin

4xcsin2x + dcos2y+

cos4xccos2x + dsin2y)+b(

cos4xcsin2x + dcos2y+

sin4xccos2x + dsin2y).

°t

f1 = sin

4xcsin2x + dcos2y +

cos4xccos2x + dsin2y

f2 = cos

4xcsin2x + dcos2y +

sin4xccos2x + dsin2y

cos4xccos2x + dsin2y) ≥ 1.

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

p döng BT Bunhiacopxki cho hai d¢y (x, y, z, t) v  (1, 1, 1, 1), tacâ

1 |a| ≥ 0; |a| = 0 khi v  ch¿ khi a = 0.

2 |a| = |−a| ; a ≤ |a| ; −a ≤ |a| ; a = |a| khi v  ch¿ khi a ≥ 0; −a = |a|khi v  ch¿ khi a ≤ 0

3 |a + b| ≤ |a|+|b| ; |ab| = |a| |b| D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi ab > 0

4 (|a| − |b|) ≤ |a − b| D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi ab ≥ 0

B i 1 T¼m max, min cõa f(x) = |1 + 2 cosx| + |1 + 2 sinx|

Gi£i

Ta câ f2(x) = 6 + 4(cosx + sinx) + 2 |1 + 2(cosx + sinx) + 2 sin 2x|

°t t = cosx + sinx ∈ [ −√2;√

2].Suy ra t2 = 1 + sin 2x Khi â

f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 2 1 + 2t + 2(t2 − 1) , t ∈ [ −√

2;√2]

=2( 2t2 + 2t − 1 + 2t + 3), t ∈ [ −√

2;√2]

−8t; t ∈ [−1 −

√3

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

2.3 Ph÷ìng ph¡p mi·n gi¡ trà cõa h m sè

a ành ngh¾a mi·n gi¡ trà cõa h m sè

Cho h m sè y = f(x)câ mi·n x¡c ành D Khi â h m sè câ mi·ngi¡ trà f(D) = {y ∈ D|y = f(x), x ∈ D}

b.Cì sð lþ luªn t¼m cüc trà cõa h m sè:

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

Ta dòng i·u ki»n tçn t¤i nghi»m º t¼m mi·n gi¡ trà cõa h m sè,tùc l  t¼m i·u ki»n º ph÷ìng tr¼nh y0 = f (x) câ nghi»m (vîi y0 l mët gi¡ trà tòy þ cõa h m sè y = f(x)tr¶n tªp x¡c ành D) Sau â,

tø i·u ki»n t¼m ÷ñc bi¸n êi v· mët trong c¡c d¤ng sau:

1 N¸u y0 ≤ M v  tçn t¤i x1 ∈ D º f(x1) = M th¼ max f(x)

Ph÷ìng tr¼nh a sinx +b cosx = c câ nghi»m khi v  ch¿ khi a2+ b2 ≥ c2

B i 1 T¼m GTLN, GTNN cõa h m sè y = 2x2 + x − 1

x2 − x + 1 .Gi£i

Vîi y0 6= 2 th¼ (2.10) câ nghi»m khi v  ch¿ khi

(1 + y0)2 + 4(2 − y0)(1 + y0) ≥ 0 hay − 1 ≤ y0 ≤ 3 (2.12)

Tø (2.11) v  (2.12), ta câ ph÷ìng tr¼nh (2.10) câ nghi»m khi v  ch¿khi y0 ∈ [ − 1; 3]

Vªy min y = −1 v  max y = 3

B i 2 T¼m GTLN, GTNN cõa h m sè u = 3y2 − 4xy

x2 + y2 Gi£i

1 + t2 Khi â, tçnt¤i t ∈ Z sao cho ph÷ìng tr¼nh (u0− 3)t2+ 4t + u0 = 0 (*) câ nghi»m

t

N¸u u0 = 3 th¼ (*) trð th nh 4t + 3 = 0 khi v  ch¿ khi t = −3

4 Do ânhªn u0 = 3

N¸u u0 6= 3 th¼ (*) câ nghi»m khi v  ch¿ khi 4 − u0(u0 − 3) ≥ 0 hay

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€O THÀ NH T…M

B i 3 Cho yk = 2k cosx +k + 1

cosx + sinx +2 T¼m k º GTLN cõa yk nhä nh§t?

Gi£iMi·n x¡c ành cõa h m yk l  D = R

Gi£ sû y l  mët gi¡ trà b§t k¼ cõa h m yk Khi â, tçn t¤i x ∈ Dsao cho ph÷ìng tr¼nh yk = 2k cosx +k + 1

cosx + sinx +2 câ nghi»m x hay ph÷ìngtr¼nh (y − 2k) cosx +y sinx = k + 1 − 2y câ nghi»m x khi v  ch¿ khi(y − 2k)2 + y2 ≥ (k + 1 − 2y)2 hay

1 −

√22

p3k2 − 2k + 1 ≤ y ≤ 1 +

√22

p3k2 − 2k + 1

Tø â, ta câ

max y = 1 +

√22

p3k2 − 2k + 1 = 1 +

√22

r3(k − 1

3 .

D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi k = 1

3.Vªy k = 1

3 th¼ gi¡ trà lîn nh§t cõa yk nhä nh§t l  1 +

√3

λ1f (x1) + λ2f (x2) + + λnf (xn) ≥ f (λ1x1 + λ2x2 + + λnxn).D§u "=" x£y ra khi v  ch¿ khi x1 = x2 = = xn

2.3 Phữỡng phĂp miÃn giĂ tr cừa hm số< /h3>

a nh nghắa mi·n gi¡ trà cõa h m sè

Cho h m sè y = f(x)câ mi·n x¡c ành D Khi