11 bài giảng hay về hàm số ôn thi đại học

11 bài giảng hay về hàm số ôn thi đại học , hệ thống lý thuyết và bài tập chi tiết giúp học sinh nắm chắc kiến thức hàm số

BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hàm số y f x( ) trên khoảng ( ; )a b

Tính chất 1: Hàm số y f x( )trên khoảng ( ; ) a b được gọi là:

i) Đồng biến nếu f'( )x 0  x ( ; )a b

ii) Nghịch biến nếu f'( )x 0  x ( ; )a b

Tính chất 2: Hàm số y f x( )trên khoảng ( ; ) a b được gọi là:

i) Đồng biến nếu f'( )x 0  x ( ; )a b , và ( ) f x 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b

ii) Nghịch biến nếu f '(x) ≤0 ∀x ∈(a; b) và f (x) =0 tại hữu hạn điểm thuộc

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; 0)và (2;  )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2)

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 sin cos 2 3

Ta có 'y  3 cosxsinx , khi đó phương trình 1

22726

Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( ) f x m

Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m

Vậy f(x) là hàm số đồng biến với x 3suy ra f x( )f( )3 9, vậy để 2x 4x 3 m  x 3thì m f( )3 9.

Phương pháp 2:

Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet

Ví dụ 4: Tim m để hàm số yx33x2mxm (4) là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

6

15

21

a a

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp

Sử dụng các kiến thức sau:

 Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.

 f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) f a  f x( ) f b( )

 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) f a  f x( ) f b( )

Bài 5: Cho hàm số y x33x23mx1 (1), m là tham số thực

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 0;  ĐS: m   1

0





Bài 6: Cho hàm số 1 3   2   1

y mx  m x  m x Tìm m để hàm số đồng biến với 2

mx x y

b) Tìm m để hàm số đồng biến với  x 3 ĐS:  1 m0

Bài 10 Cho hàm số y(mx x) 2m Tìm m để hàm số đồng biến trên 1; 2  ĐS: m 3

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi

2)

;

0 

BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

  gọi là giá trị cực đại của hàm số

 xx o gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu a b, x o,a b, D và f x  f x o ,

+ Dựa vào dấu của f" x suy ra cực trị

Nếu f" x i  0 xx i là điểm cực tiểu

Nếu f" x 0xx là điểm cực đại

 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x0

Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’

Vậy với m 11 thì hàm số đạt cực đại tại x 2.

 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của

32( 1)

Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác

Ví dụ 5: Cho hàm số yx42mx21 Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1

0

m

  m 0

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A0;1 , B m;1m2 ,C m;1m2

Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D , ta có sinC AD

AC



Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC , ta có: A

2

2

'

10

Ví dụ 7: Tìm m để hàm số y2x 3x m có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng 5 ( )

Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có dạng

Bài 3: Tìm các hệ số a b c, , sao cho hàm số 3 2

y x ax bx đạt cực tiểu tại điểm c

mx x y

5mxx

Bài 10: Tìm m để hàm số yx 2(m1)x (m 4m1)x2m  có hai điểm cực trị 2

Bài 14: Cho hàm sốyx33mx23(m21)xm3m  1 Tìm m để hàm số  1 có cực trị

đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng

cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O ĐS: m32 2;m32 2

Bài 17: Tìm m để hàm số y x33m1x22m23m2x m m  1 có đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng 1 5

Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số y x mx 3x có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường 5thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9x14y 1 0 ĐS: m   4

Bài 21: Cho hàm số yx42(1m x2) 2m1 Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam

BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa

Cho hàm số y  f (x)xét trên tập

- Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu

- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu

2 Phương pháp tìm min và max

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’

Bước 2: Lập bảng biến thiên

Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên

Phương pháp 2: Phương pháp hà m liên tục trên đoạn

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 2

3( 1)( )

2)2(

;22)2(

;0)2(

2ln

;1

;112

ln

0ln0'

e e x

e x

x

x y

Khi đó y( 1) 0; ( 2) 42

e e

y  ; ( 3) 93

e e

Vậy

 

2 2

Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số

)sincos2(sin

cos

x y





3

1tan

2

1

2

x x

12

1

t t t

430

)(')2(

432

t t

t t t

g t t

t t t

1

; 0 3

; 0

t g y

Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x  y1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S4x23y4y23x25xy

10

'2

;4

32

4

32

;4

3216

12

25)(minmin

4

1

; 0

y x

y x

t t

g S

2

14

12

25)(max

t g

12

x x

x x x

12

3)(

x

x x

x x

x

42

15

2

1)

(

x x

' x

)

(x F

)0(

F

)4(

F

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm F(0)mF(4) 12

25

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1

12

;2

3log4

9min

));

0

;1((

10

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

x x

x x

4 4

cossin

cossin

1

13

1

1)

(

2 2

2 3 2

x x x

x

x x x f

Đs: maxy2;miny2

Bài 6: Cho hai số thực x0,y0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (xy)xyx2y2xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 13 13

y x

2

116

x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z y x z y x

P   11 1

Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y 4xy2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A3x4y4x2y2 2 x2y21 Đs:

2

116

9minA x y

Bài 11: Tìm m để phương trình 4sin4xcos4x 4sin6xcos6xsin24xm có nghiệm.

BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

Bài toán: Cho đồ thị  C :y f x  và điểm M ox y o, o   C Viết phương trình tiếp tuyến của tại M ox y o, o

Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của  C tại M ox y o, o có dạng

  0

'

yy  f x xx

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Bài toán: Cho đồ thị (C ): y =f (x) và một số k  ∈.Viết phương trình tiếp tuyến của

+ Phương trình tiếp tuyến tại x là i yk x x iy i

* Các dạng biểu diễn của hệ số góc k

+ Dạng trực tiếp k  

+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc  k tan

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d :yax b k a

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d :yax b ka 1,a0

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d :yax b một góc tan

1

k a ka





Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.

Bài toán: Cho đồ thị  C :y f x  và điểm A a b ,  Viết phương trình tiếp tuyến của

 C đi qua A

+ Đường thẳng  d đi qua A a b với hệ số góc  ,  k có phương trình là yk x a b

+ Đường thẳng  d tiếp xúc với đồ thị  C :y f x  hệ phương trình

Vậy có hai tiếp tuyến cần lập là

Ví dụ 2: Cho hàm số yx33x24  C Gọi  d là đường thẳng đi qua điểm A2;0 có hệ

số góc k Tìm k để  d cắt  C tại ba điểm phân biệt A M N, , sao cho hai tiếp tuyến của  C tại M và N vuông góc với nhau

Lời giải:

Phương trình đường thẳng  d đi qua A2;0 có dạng yk x 2

Hoành độ các điểm A M N, , là nghiệm của phương trình

Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thì thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

Đặt x02 t (*) 3t2  t 1 a0 (**), khi đó yêu cầu bài toán tương đương với (**) phải có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0

Nếu t = 0 thì thay vào (**) suy ra a = 1

Ngược lại với a = 1 thì thay vào (**) ta có 3t2 t 0, dễ thấy phương trình có nghiệm t = 0 và 1

3

t 

Vậy điểm A(0; 1) là điểm cần tìm

Cách 2: Lấy bất kì A0;aOy Đường thẳng  d đi qua A có hệ số góc k có phương trình

0; 11

0; 00; 0



 biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A B, phân biệt và tam giác OAB cân tại O

Lời giải Cách 1: Gọi M x( ,0 y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập, khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

0 0 2

0 0

21





Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm của hệ

2

0 0 0

0 2

0 0

0

21

tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác OAB )

+ Với x   2 y  0 phương trình tiếp tuyến là y x2 0 y  x 2

Cách 2: Ta có

1'

Do tam giác OAB vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc k   1

Gọi tọa độ tiếp điểm là x y o, o khi đó  

x x x

 



+ Với x o   1 y o  1 phương trình tiếp tuyến là y x1 1 y  ( loại vì tiếp x

tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác OAB.)

+ Với x o   2 y o 0 phương trình tiếp tuyến là y x2 0 y  x 2

+ Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận là I1; 2 

Giả sử M x o,f x o  C với x  o 1, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

o o

x x





Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến  d và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ



 Cho điểm A(0; )a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới

đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành

  là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau:

2

= kx+a (5')1

1

(5'')( 1)

x x

k x

a

x x

a a

x x a

Bài 1a: Cho đường cong (C): y = (2 – x2)2

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với Ox

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kể từ điểm A(0; 4)

1

x y x





 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tiuyến với đồ thị  C

trong các trường hợp

1) Tiếp tuyến song song với :xy 3 0; Đs: y  x 6,y  x 2

2) Tiếp tuyến vuông góc với : 4xy 7 0 Đs: 1 17, 1 9

y  x y  x

y x  mx  x Tìm m để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số

vuông góc với đường thẳng 1 1

Bài 2: Cho hàm số yx 3x mx1 Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 1 tại

ba điểm phân biệt C0;1 , , D E sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại D và E vuông góc với nhau

y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất ĐS: 8

3

y  x

yx  m x C Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của

C m với trục tung Tìm m để tiếp tuyến nói trên cắt hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

Bài 6: Cho hàm số y x42mx2m1 có đồ thị là C m

a Chứng minh rằng C m luôn đi qua hai điểm cố định A và B

b Tìm m để hai tiếp tuyến tại A B, vuông góc với nhau

Bài 8: Cho hàm số yx4mx2m1 Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị

hàm số, tìm m để tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng y2 x ĐS: m   1

1

x y



 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến

và hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác cân ĐS: y  hoặc x y  x 4

Bài 11: Cho hàm số 2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A B, và tam giác OAB cân tại O

ĐS: y  x 2

1

x y x

x x y

x x y

 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm A sao cho

tiếp tuyến với đồ thị tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân ĐS: m 1

x y x

Bài 19: Cho đồ thị hàm số y x 1.

x



 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến này tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 1

BÀI GIẢNG SỐ 5 GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Như vậy hoành độ giao điểm của  C và  C' là nghiệm của phương trình f x g x   1

Số nghiệm của phương trình  1 bằng số giao điểm của  C và  C '

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hàm số 1

1

x y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1

(1)1

x m x

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y 1

Giao của hai tiệm cận I 1;1 là tâm đối xứng

Đồ thị

b Đồ thị hàm số 1

1

x y x





 được vẽ từ đồ thị hàm số

11

x y x





 và đường thẳng ym.Dựa vào đồ thị ta có

 Với m 1;m1: phương trình (1) có 2 nghiệm

 Với m   phương trình (1) có 1 nghiệm.1:

 Với 1 m1: phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 – m(x + 1) + 4 Tìm m để đồ thị hàm số

a) Cắt trục hoành tại 3 điểm c) Cắt trục hoành tại 2 điểm.

b) Cắt trục hoành tại 1 điểm d) Tiếp xúc với trục hoành.

Lời giải

Số giao điểm với trục hoành là số nghiệm của phương trình

x3 – 3x2 – m(x + 1) + 4 = 0 (1) a) Để phương đồ thị hàm số cắt Ox thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

0( )

12

m m

VN b

c) Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm thì (*) có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm bằng -1hoặc có 1 nghiệm kép khác – 1

TH1: (*) có nghiệm kép khác – 1, điều kiện là

' 0

0

12

m b

ĐK cần: Thay x = -1 vào phương trình (*) ta có m = 9

ĐK đủ: Với m = 9, dễ thấy (*) có nghiệm x = -1 và x = 5

Vậy m = 0 hoặc m = 9

d) Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

 

2 2

x m x m

Với m 2 thay vào phương trình (2) ta được:

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2  

yx  x  m xm Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện 2 2 2

x có đồ thị  C Chứng minh đường thẳng  d :y  x m luôn cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B, Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất

1 02.2 4 0

1

m m

m m

m m

Vậy với m 0 thì  d cắt  C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị

Ví dụ 7: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng ym x( 3) cắt đồ thị hàm số 2

1

x y x





 tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình  5 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1

Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2 Vậy m = 0 không thỏa mãn

Nếu m 0, ta có các trường hợp sau:

TH1: Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2

Vậy m 0 thỏa mãn bài toán

x

y   x và đường thẳng (d): y = m(x – 3)a) Tìm m để (d) là tiếp tuyến của (C)

b) CMR (d) đi qua 1 điểm cố định A (C)

c) Gọi A, B, C là các giao điểm của (d) và (C) Tìm m để OB  OC (0 là gốc tọa độ)

yx  x  x Tìm m để đường thẳng d y: mx (C) tại ba điểm phân

biệt O A B, , Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục Oy

Bài 7: Cho đường cong yx32m1x2m24m1x2m21 C m. Tìm m để

C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 ĐS: 3 17 3 17

m m

Bài 8: Cho đường cong yx 3x 3mx3m C m Tìm m để C m cắt đường thẳng

 d :y 3x tại ba điểm phân biệt 1 x x x sao cho 1, 2, 3 x1 1 x2 2 x3 ĐS: m 1

Bài 9: Cho đường cong yx33mx23x3m2 C m Tìm m để  C m cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 sao cho x12x22x3215 ĐS: m  1

0

m m





 Tìm m để đường thẳng  d :y2xm cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB  5 ĐS: m10;m 2