x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên... Lời giải Hàm số đã cho xác định trên ... Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức cho t
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số y f x xác định trên D
x xo gọi là điểm cực đại của hàm số nếu a b , xo, a b , D và f x f x o ,
, \ ,
gọi là giá trị cực đại của hàm số
x xo gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu a b , xo, a b , D và f x f x o ,
, \ ,
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
2 Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f ' x Tìm x mà tại đó f ' xo 0 hoặc tại đó mà f x liên tục nhưng không có đạo hàm
+ Lập bảng biến thiên
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f ' x Tìm các giá trị x i i, 1, 2 để f ' x 0.
+ Tính f '' x và f " xi
+ Dựa vào dấu của f " x suy ra cực trị
Nếu f " xi 0 x xi là điểm cực tiểu
Nếu f " xi 0 x xilà điểm cực đại
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên
Cách 2: Dùng y’’
Ví dụ 1:Tìm cực trị của hàm số f x sin 2 x c os2 x
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:
Trang 2
' 2 cos 2 2 sin 2
" 4 sin 2 4 cos 2
Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 , 2
x k y , hàm số đạt cực tiểu tại 2 , 2.
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x0
Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’
Ví dụ 2:Tìm giá trị của để hàm số 3 2 2
f x x mx m x đạt cực đại tại x 2.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có: y ' 3 x2 3 mx m2 1
2
2
3
3
x
x
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
2
3
3
m m
f x
CD
CT
Trang 3Hàm số đạt cực đại tại
2
3
Vậy với m 11 thì hàm số đạt cực đại tại x 2.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức cho trước
Phương pháp: Dùng định lý viet
y x m x m x m đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 2 x2.
Lời giải
Tập xác định D
2
2
Để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 2 x2 thì 1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn
x x
x1 2 x2 2 0 x x1 2 2 x1 x2 4 0
Áp dụng định lý Viet ta có:
m m
Vậy 1
8
m thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 2 x2
Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác
Ví dụ 4: Cho hàm s ố y x4 2 mx2 1 Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Lời giải
y x mx x x m
2
0
y
Hàm số có ba cực trị y ' đổi dấu ba lần trên D y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 m 0.
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 2
A B m m C m m
Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của
cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D, ta có sin C AD
AC
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
Trang 4Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta có: A
2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD
1
2
m
m
Kết hợp điều kiện m 0 ta được 1 5
2
m m
.
y
x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị cùng
dấu
Lời giải
Tập xác định D \ { } m
2
2
2
' x mx 2
y
x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu y ' đổi dấu 2 lần trên D
2
2
Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ
' ' '
2
'
1 0
u x
u x
y
v x
v x v x
u x v x u x v x y
Do đó yCĐ 2 xCĐ m 1; yCT 2 xCT m 1
CĐ
y và yCT trái dấu yCĐ yCT 0 m2 6 m 9 0 m 3
Vậy m thỏa mãn yêu cầu của đề bài m 1 hoặc m 1 và m 3
Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3 x2 m x2 m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
x y
Lời giải
Hàm số xác định trên
Trang 5Ta có y ' 3 x2 6 x m2
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y ' phải đổi dấu hai lần y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
Thực hiện phép chia f x cho f ' x ta có
1 2 2 2
m
f x x f x m x m
Với 3 m 3 thì f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và hàm số f x đạt cực trị tại x x1, 2.
Do
1
2
0
0
f x
f x
nên
2 2
2 2
2
3
2
3
m
m
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 2 2
m
d y m x m
Gọi A x y 1, 1 , B x y 2, 2 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm I của AB có tọa độ là
2
1 2 1 2
Các điểm cực trị A x y 1, 1 , B x y 2, 2 đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1 5
d và trung điểm I của AB phải thuộc d
2
2 2
0
0.
m
m
m
m m m
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a y 2 x 3 x2 1 Đáp số: 2 2 13
CT CD
b
4
48
x
y
x
Đáp số: CT 2;32 , CD 2; 32
c y x4 12 x2 3 Đáp số: CT 6; 33 ; 6; 33 , CD 0;3
d y sin2 x 3 cos , x x [0; ] Đáp số: 5 7
;
CD
Trang 6Bài 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:
cos
2 os2
y x c x Đáp số: 2 3 2 3
CT k k
CD k k
3 s inx cos
2
x
3
Bài 3: Tìm các hệ số a b c , , sao cho hàm số y x3 ax2 bx c đạt cực tiểu tại điểm x 1, f 1 3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Đáp số: a 3; b 9; c 2
Bài 4: Tìm các hệ số a b c , , sao cho hàm số y x3 ax2 bx cđạt cực trị bằng 0 tại điểm x 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;0 Đáp số: a 3; b 0; c 4
Bài 5: Tìm m để hàm
m x
mx x y
2
đạt cực tiểu tạix0 1 Đáp số: m 1
Bài 6: Tìm m để hàm số
b đạt cực tiểu tại Đáp số: m 1
Bài 7: Tìm m để các hàm số sau có cực trị
y x mx m x m có cực trị Đáp số: 2 m 2
b
1 mx
5 mx x
y
2
2
1 2
1
Bài 8: Tìm mđể các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
y x m x m có 3 cực trị Đáp số: m 1
b 1 3
3
y x x m có hai cực trị trái dấu Đáp số:
3
2 3
2
Trang 7c 3 2 2 2
y x m x m m x m đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ
hơn 1 Đáp số: m 1
Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x mx m m x có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy
Đáp số: 3 m 1
Bài 10: Tìm m để hàm số y x3 2( m 1) x2 ( m2 4 m 1) x 2 m2 2có hai điểm cực trị x x1, 2thoả mãn điều
1 2
x x Đáp số: m 1;5
Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm sốy x3 3x2 m x2 mcó hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
x 2y 5 0 Đáp số: m 0
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số 1 3 2 2
3
đạt cực trị tại x , x1 2sao cho
x 1 x Đáp số: m 3
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số 1 3 2
3
có hai điểm cực trị (x , y ), (x , y )1 1 2 2 sao cho khoảng
cách giữa chúng nhỏ nhất Đáp số: 0
3
13 2
Bài 14: Cho hàm số 3 2 2 3
y x mx m x m m Tìm m để hàm số 1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Đáp số: m 3 2 2 ; m 3 2 2
Bài 15: Cho hàm sốy x4 2( m 2) x2 m2 5 m 5 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
tam giác vuông cân Đáp số: 2
9
1
3
m
Bài 16: Cho hàm sốy x3 3 x2 m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao cho góc
120o
AOB Đáp số: 4
3
2
m
Bài 17: Tìm m để hàm số 3 2 2
y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị tạo với đường thẳng 1
5 4
y x một góc 45 o Đáp số: 3 15
2
m
Trang 8Bài 18: Cho hàm số 2
2
y
x
Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng
cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc m Tính độ dài khoảng cách đó Đáp số: 4 5
Bài 19: Tìm m để hàm số 3 2
y mx m x x đạt cực đại tại x1, đạt cực tiểu tại x2 và 2 1 16
9
x x
Đáp số: 3
7
m
Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 mx2 3 x 5 có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9 x 14 y 1 0. Đáp số: m 4
Bài 21: Cho hàm số y x4 2 1 ( m x2) 2 m 1 Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện
