Tài liệu trình bày các chuyên đề Toán lớp 9: căn thức – biến đổi căn thức; phương trình bậc hai – định lý Vi-ét; hệ phương trình; hàm số đồ thị; giải bài toán bằng cách lập phương trình –hệ phương trình; các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích; toán quỹ tích; một số bài toán mở đầu về hình học không gian.
Trang 1PH N I: Đ I S Ầ Ạ Ố
CH Đ 1: Ủ Ề CĂN TH C – BI N Đ I CĂN TH CỨ Ế Ổ Ứ
D ng 1: Tìm đi u ki n đ bi u th c có ch a căn th c có nghĩa ạ ề ệ ể ể ứ ứ ứ
Bài 1: Tìm x đ các bi u th c sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ c a các bi u th c sau).ể ể ứ ủ ể ứ
D ng 2: Bi n đ i đ n gi n căn th c ạ ế ổ ơ ả ứ
Bài 1: Đ a m t th a s vào trong d u căn.ư ộ ừ ố ấ
Bài 2: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 3: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 4: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 5: Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
Bài 6: Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
Bài 7: Rút g n bi u th c sau:ọ ể ứ
Bài 8: Tính giá tr c a bi u th cị ủ ể ứ
D ng 3: Bài toán t ng h p ki n th c và k năng tính toán ạ ổ ợ ế ứ ỹ
Bài 1: Cho bi u th c ể ứ
Trang 2a) Rút g n bi u th c C.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a C v i .ị ủ ớ
Trang 3Ch đ 2: PH ủ ề ƯƠ NG TRÌNH B C HAI – Đ NH LÝ VIÉT Ậ Ị
D ng 1: Gi i ph ạ ả ươ ng trình b c hai ậ
Bài 1: Gi i các ph ng trìnhả ươ
1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) 30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
7) x2 + 2x + 4 = 3(x + ) ; 8) 2x2 + x + 1 = (x + 1) ;
9) x2 – 2( 1)x 2 = 0
Bài 2: Gi i các ph ng trình sau b ng cách nh m nghi m:ả ươ ằ ẩ ệ
Trang 4D ng 2: Ch ng minh ph ạ ứ ươ ng trình có nghi m, vô nghi m ệ ệ
Bài 1: Ch ng minh r ng các ph ng trình sau luôn có nghi m.ứ ằ ươ ệ
bi t: ế
c) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghi m v i a, b, c là đ dài baệ ớ ộ
c nh c a m t tam giác.ạ ủ ộ
d) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình b c hai: ậ
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Bài 3:
a) Ch ng minh r ng ít nh t m t trong các phứ ằ ấ ộ ương trình b c hai sau đây có nghi m:ậ ệ
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
Trang 5cx2 + 2ax + b = 0 (3)b) Cho b n phố ương trình ( n x) sau:ẩ
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
Ch ng minh r ng trong các phứ ằ ương trình trên có ít nh t 2 phấ ương trình có nghi m.ệ
c) Cho 3 phương trình ( n x sau):ẩ
v i a, b, c là các s dớ ố ương cho trước
Ch ng minh r ng trong các phứ ằ ương trình trên có ít nh t m t phấ ộ ương trình có nghi m.ệ
Bài 4:
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0
Bi t a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, ch ng minh r ng phế ứ ằ ương trình đã cho có hai nghi m.ệ
b) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghi m n u m t trong hai đi uệ ế ộ ề
ki n sau đệ ược tho mãn:ả
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
D ng 3: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng, l p ph ạ ị ủ ể ứ ố ứ ậ ươ ng trình b c hai nh nghi m c a ậ ờ ệ ủ
ph ươ ng trình b c hai cho tr ậ ướ c.
Bài 1: G i xọ 1 ; x2 là các nghi m c a phệ ủ ương trình: x2 – 3x – 7 = 0
Tính:
L p phậ ương trình b c hai có các nghi m là .ậ ệ
Trang 6Bài 2: G i xọ 1 ; x2 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không gi i phả ương trình, tính giá
tr c a các bi u th c sau:ị ủ ể ứ
a) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình luôn luôn có hai nghi m xệ 1 ; x2 v i m i m.ớ ọ
b) V i m ≠ 0, l p phớ ậ ương trình n y tho mãn .ẩ ả
Bài 5: Không gi i ph ng trình 3xả ươ 2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá tr các bi u th c sau:ị ể ứ
Bài 6: Cho ph ng trình 2xươ 2 – 4x – 10 = 0 có hai nghi m xệ 1 ; x2. Không gi i phả ương trình hãy thi t ế
l p phậ ương trình n y có hai nghi m yẩ ệ 1 ; y2 tho mãn: yả 1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 7: Cho ph ng trình 2xươ 2 – 3x – 1 = 0 có hai nghi m xệ 1 ; x2. Hãy thi t l p phế ậ ương trình n y có ẩhai nghi m yệ 1 ; y2 tho mãn:ả
Bài 8: Cho ph ng trình xươ 2 + x – 1 = 0 có hai nghi m xệ 1 ; x2. Hãy thi t l p phế ậ ương trình n y có hai ẩnghi m yệ 1 ; y2 tho mãn:ả
Bài 9: Cho ph ng trình 2xươ 2 + 4ax – a = 0 (a tham s , a ≠ 0) có hai nghi m xố ệ 1 ; x2. Hãy l p phậ ương trình n y có hai nghi m yẩ ệ 1 ; y2 tho mãn:ả
D ng 4: Tìm đi u ki n c a tham s đ ph ạ ề ệ ủ ố ể ươ ng trình có nghi m có nghi m kép,vô nghi m ệ ệ ệ
Bài 1:
Trang 7- Tìm đi u ki n c a m đ phề ệ ủ ể ương trình có nghi m.ệ
- Tìm đi u ki n c a m đ phề ệ ủ ể ương trình có nghi m kép. Tính nghi m kép đó.ệ ệ
b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0
Tìm a đ phể ương trình có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
1) Xác đ nh m đ phị ể ương trình có nghi m kép. Tìm nghi m kép đó.ệ ệ
2) Xác đ nh m đ phị ể ương trình có m t nghi m b ng 4. Tính nghi m còn l i.ộ ệ ằ ệ ạ
3) V i đi u ki n nào c a m thì phớ ề ệ ủ ương trình có hai nghi m cùng d u (trái d u)ệ ấ ấ
4) V i đi u ki n nào c a m thì phớ ề ệ ủ ương trình có hai nghi m cùng dệ ương (cùng âm)
5) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia.ệ ệ ấ ệ
6) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m xệ 1 ; x2 tho mãn 2xả 1 – x2 = 2
7) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m xệ 1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nh n giá tr nh ậ ị ỏ
Trang 8Bài 3: Đ nh m đ ph ng trình có nghi m tho mãn h th c đã ch ra:ị ể ươ ệ ả ệ ứ ỉ
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm đi u ki n c a m đ phề ệ ủ ể ương trình
có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1 ; x2 sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia.ệ ấ ệ
b) Ch phư ương trình b c hai: xậ 2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m xệ 1 ; x2
sao cho bi u th c đ t giá tr l n nh t. Tìm giá tr l n nh t đó.ể ứ ạ ị ớ ấ ị ớ ấ
c) Đ nh m đ hi u hai nghi m c a phị ể ệ ệ ủ ương trình sau đây b ng 2.ằ
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0
Bài 5: Cho ph ng trình: axươ 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ phứ ằ ề ệ ầ ủ ể ương trình có hai nghi m mà nghi m này g p đôiệ ệ ấ nghi m kia là 9ac = 2bệ 2
Bài 6: Cho ph ng trình b c hai: axươ ậ 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đứ ằ ề ệ ầ ủ ể
phương trình có hai nghi m mà nghi m này g p k l n nghi m kia (k > 0) là :ệ ệ ấ ầ ệ
a) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình f(x) = 0 có nghi m v i m i m.ệ ớ ọ
b) Đ t x = t + 2. Tính f(x) theo t, t đó tìm đi u ki n đ i v i m đ phặ ừ ề ệ ố ớ ể ương trình f(x) = 0 có hai nghi m l n h n 2.ệ ớ ơ
Bài 3: Cho ph ng trình b c hai: xươ ậ 2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
Trang 9a) V i giá tr nào c a tham s a, phớ ị ủ ố ương trình có nghi m kép. Tính các nghi m kép.ệ ệ
b) Xác đ nh a đ phị ể ương trình có hai nghi m phân bi t l n h n – 1.ệ ệ ớ ơ
Bài 4: Cho ph ng trình: xươ 2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0
a) Tìm giá tr c a m đ phị ủ ể ương trình có m t nghi m nh h n 1 và m t nghi m l n h n 1.ộ ệ ỏ ơ ộ ệ ớ ơ
b) Tìm giá tr c a m đ phị ủ ể ương trình có hai nghi m nh h n 2.ệ ỏ ơ
Bài 5: Tìm m đ ph ng trình: xể ươ 2 – mx + m = 0 có nghi m tho mãn xệ ả 1 ≤ 2 ≤ x2.
D ng 7: Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ạ ệ ứ ệ ữ ệ ủ ươ ng trình b c hai không ph thu c tham ậ ụ ộ
c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m xệ 1 ;
x2. Tìm h th c gi a hai nghi m đ c l p v i m, suy ra v trí c a các nghi m đ i v i hai s – ệ ứ ữ ệ ộ ậ ớ ị ủ ệ ố ớ ố
1 và 1
Bài 2: Cho ph ng trình b c hai: (m – 1)ươ ậ 2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghi m,ệ hãy tìm m t h th c gi a các nghi m không ph thu c vào tham s m.ộ ệ ứ ữ ệ ụ ộ ố
Bài 3: Cho ph ng trình: xươ 2 – 2mx – m2 – 1 = 0
a) Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình luôn có hai nghi m xệ 1 , x2 v i m i m.ớ ọ
b) Tìm bi u th c liên h gi a xể ứ ệ ữ 1 ; x2 không ph thu c vào m.ụ ộ
c) Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m xệ 1 ; x2 tho mãn: .ả
Bài 4: Cho ph ng trình: (m – 1)xươ 2 – 2(m + 1)x + m = 0
a) Gi i và bi n lu n phả ệ ậ ương trình theo m
b) Khi phương trình có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1 ; x2:
- Tìm m t h th c gi a xộ ệ ứ ữ 1 ; x2 đ c l p v i m.ộ ậ ớ
Trang 101/ Đ nh giá tr c a tham s đ ph ng trình này có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a ị ị ủ ố ể ươ ộ ệ ằ ầ ộ ệ ủ
phương trình kia:
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)trong đó các h s a, b, c, a’, b’, c’ ph thu c vào tham s m.ệ ố ụ ộ ố
Đ nh m đ sao cho phị ể ương trình (2) có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a phộ ệ ằ ầ ộ ệ ủ ương trình (1), ta có th làm nh sau:ể ư
i) Gi s xả ử 0 là nghi m c a phệ ủ ương trình (1) thì kx0 là m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình (2), suy
ra h phệ ương trình:
Gi i h phả ệ ương trình trên b ng phằ ương pháp th ho c c ng đ i s đ tìm m.ế ặ ộ ạ ố ể
ii) Thay các giá tr m v a tìm đị ừ ược vào hai phương trình (1) và (2) đ ki m tra l i.ể ể ạ
2/ Đ nh giá tr c a tham s m đ hai ph ng trình b c hai t ng đ ng v i nhau.ị ị ủ ố ể ươ ậ ươ ươ ớ
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)Hai phương trình (3) và (4) tương đương v i nhau khi và ch khi hai phớ ỉ ương trình có cùng 1 t p ậnghi m (k c t p nghi m là r ng).ệ ể ả ậ ệ ỗ
Do đó, mu n xác đ nh giá tr c a tham s đ hai phỗ ị ị ủ ố ể ương trình b c hai tậ ương đương v i nhau ta xét ớhai trường h p sau: ợ
i) Trường h p c hai phợ ả ương trinhg cuùng vô nghi m, t c là:ệ ứ
Gi i h trên ta t m đả ệ ị ược giá tr c a tham s ị ủ ố
ii) Trường h p c hai phợ ả ương trình đ u có nghi m, ta gi i h sau:ề ệ ả ệ
Chú ý: B ng cách đ t y = xằ ặ 2 h phệ ương trình (*) có th đ a v h phể ư ề ệ ương trình b c nh t 2 n nh ậ ấ ẩ ưsau:
Trang 11Đ gi i quy t ti p bài toán, ta làm nh sau:ể ả ế ế ư
- Tìm đi u ki n đ h có nghi m r i tính nghi m (x ; y) theo m.ề ệ ể ệ ệ ồ ệ
Bài 2: V i giá tr nào c a m thì hai ph ng trình sau có nghi m chung. Tìm nghi m chung đó:ớ ị ủ ươ ệ ệ
Bài 4: Cho hai ph ng trình:ươ
x2 – 2mx + 4m = 0 (1)
x2 – mx + 10m = 0 (2)Tìm các giá tr c a tham s m đ phị ủ ố ể ương trình (2) có m t nghi m b ng hai l n m t nghi m c aộ ệ ằ ầ ộ ệ ủ
phương trình (1)
Bài 5: Cho hai ph ng trình:ươ
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá tr c a a đ cho hai phị ủ ể ương trình trên có ít nh t m t nghi m chung.ấ ộ ệ
b) V i nh ng giá tr nào c a a thì hai phớ ữ ị ủ ương trình trên tương đương
Bài 6: Cho hai ph ng trình:ươ
x2 + mx + 2 = 0 (1)
Trang 12a) Đ nh m đ hai phị ể ương trình có ít nh t m t nghi m chung.ấ ộ ệ
b) Đ nh m đ hai phị ể ương trình tương đương
c) Xác đ nh m đ phị ể ương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghi m phân bi tệ ệ
Bài 7: Cho các ph ng trình: ươ
x2 – 5x + k = 0 (1)
x2 – 7x + 2k = 0 (2)Xác đ nh k đ m t trong các nghi m c a phị ể ộ ệ ủ ương trình (2) l n g p 2 l n m t trong các nghi mớ ấ ầ ộ ệ
c a phủ ương trình (1)
Ch đ 3: H PH ủ ề Ệ ƯƠ NG TRÌNH
A H hai phệ ương trình b c nh t hai n:ậ ấ ẩ
D ng 1: Gi i h ph ạ ả ệ ươ ng trình c b n và đ a đ ơ ả ư ượ ề ạ c v d ng c b n ơ ả
Bài 1: Gi i các h ph ng trìnhả ệ ươ
Bài 2: Gi i các h ph ng trình sau:ả ệ ươ
D ng 2: Gi i h b ng ph ạ ả ệ ằ ươ ng pháp đ t n ph ặ ẩ ụ
Gi i các h phả ệ ương trình sau
D ng 3: Xác đ nh giá tr c a tham s đ h có nghi m tho mãn đi u ki n cho tr ạ ị ị ủ ố ể ệ ệ ả ề ệ ướ c
Bài 1:
a) Đ nh m và n đ h phị ể ệ ương trình sau có nghi m là (2 ; 1).ệ
b) Đ nh a và b bi t phị ế ương trình: ax2 2bx + 3 = 0 có hai nghi m là x = 1 và x = 2.ệ
Trang 13Bài 2: Đ nh m đ 3 đ ng th ng sau đ ng quy:ị ể ườ ẳ ồ
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 m)x – 2y = m2 + 2m – 2
Bài 3: Cho h ph ng trình ệ ươ
a) Gi i h phả ệ ương trình khi m =
b) Gi i và bi n lu n h theo m.ả ệ ậ ệ
c) Xác đ nh các giá tri nguyên c a m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.ị ủ ể ệ ệ ấ
d) V i giá tr nguyên nào c a m thì h có nghi m (x ; y) v i x, y là các s nguyên d ng.ớ ị ủ ệ ệ ớ ố ươ
e) Đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho S = xị ể ệ ệ ấ 2 – y2 đ t giá tr nh nh t. (câu h i ạ ị ỏ ấ ỏ
tương t v i S = xy).ự ớ
f) Ch ng minh r ng khi h có nghi m duy nh t (x ; y) thì đi m M(x ; y) luôn n m trên m t ứ ằ ệ ệ ấ ể ằ ộ
đường th ng c đ nh khi m nh n các giá tr khác nhau.ẳ ố ị ậ ị
Bài 4: Cho h ph ng trình: ệ ươ
a) Gi i và bi n lu n h theo m.ả ệ ậ ệ
b) V i các giá tr nguyên nào c a m thì h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.ớ ị ủ ệ ệ ấ
c) Đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà P = xị ể ệ ệ ấ 2 + y2 đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
d) Xác đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) tho mãn xị ể ệ ệ ấ ả 2 + 2y = 0. (Ho c: sao cho M (x ; y) ặ
n m trên parabol y = 0,5xằ 2)
e) Ch ng minh r ng khi h có nghi m duy nh t (x ; y) thì đi m D(x ; y) luôn luôn n m trên m t ứ ằ ệ ệ ấ ể ằ ộ
đường th ng c đ nh khi m nh n các giá tr khác nhau.ẳ ố ị ậ ị
Bài 5: Cho h ph ng trình: ệ ươ
a) Gi i h phả ệ ương trình trên khi m = 2
b) Tìm các s nguyên m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà x > 0 và y < 0.ố ể ệ ệ ấ
c) Tìm các s nguyên m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà x, y là các s nguyên.ố ể ệ ệ ấ ố
d) Tìm m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà S = x – y đ t giá tr l n nh t.ể ệ ệ ấ ạ ị ớ ấ
Trang 14B M t s h b c hai đ n gi n:ộ ố ệ ậ ơ ả
D ng 1: H đ i x ng lo i I ạ ệ ố ứ ạ
Ví d : ụ Gi i h phả ệ ương trình
Bài t p t ậ ươ ng t : ự
Gi i các h phả ệ ương trình sau:
D ng 2: H đ i x ng lo i II ạ ệ ố ứ ạ
Ví d : ụ Gi i h phả ệ ương trình
Bài t p t ậ ươ ng t : ự
Gi i các h phả ệ ương trình sau:
D ng 3: H b c hai gi i b ng ph ạ ệ ậ ả ằ ươ ng pháp th ho c c ng đ i s ế ặ ộ ạ ố
Gi i các h phả ệ ương trình sau:
Trang 15D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình đ ườ ng th ng ẳ
Bìa 1: Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) bi t:ế ươ ườ ẳ ế
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B( 2 ; 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song v i đớ ường th ng (ẳ ) : y = 2x – 1/5
c) (d) đi qua N(1 ; 5) và vuông góc v i đớ ường th ng (d’): y = 1/2x + 3.ẳ
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và t o v i chi u dạ ớ ề ương tr c Ox m t góc 30ụ ộ 0
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đ ng quy v i hai đồ ớ ường th ng ẳ
f) ( ): y = 2x – 3; ( ’): y = 7 – 3x t i m t đi m.ạ ộ ể
g) (d) đi qua K(6 ; 4) và cách g c O m t kho ng b ng 12/5 (đ n v dài).ố ộ ả ằ ơ ị
Bài 2: G i (d) là đ ng th ng y = (2k – 1)x + k – 2 v i k là tham s ọ ườ ẳ ớ ố
a) Đ nh k đ (d) đi qua đi m (1 ; 6).ị ể ể
b) Đ nh k đ (d) song song v i đị ể ớ ường th ng 2x + 3y – 5 = 0.ẳ
c) Đ nh k đ (d) vuông góc v i đị ể ớ ường th ng x + 2y = 0.ẳ
d) Ch ng minh r ng không có đứ ằ ường th ng (d) nào đi qua đi m A(1/2 ; 1).ẳ ể
e) Ch ng minh r ng khi k thay đ i, đứ ằ ổ ường th ng (d) luôn đi qua m t đi m c đ nh.ẳ ộ ể ố ị
D ng 3: V trí t ạ ị ươ ng đ i gi a đ ố ữ ườ ng th ng và parabol ẳ
Bài 1:
a) Bi t đ th hàm s y = axế ồ ị ố 2 đi qua đi m ( 2 ; 1). Hãy tìm a và v đ th (P) đó.ể ẽ ồ ị
b) G i A và B là hai đi m l n lọ ể ầ ượt trên (P) có hoành đ l n lộ ầ ượt là 2 và 4. Tìm to đ A và B ạ ộ
t đó suy ra phừ ương trình đường th ng AB.ẳ
Bài 2: Cho hàm s ố
a) Kh o sát và v đ th (P) c a hàm s trên.ả ẽ ồ ị ủ ố
b) L p phậ ương trình đường th ng (d) qua A( 2; 2) và ti p xúc v i (P).ẳ ế ớ
Bài 3:
Trong cùng h tr c vuông góc, cho parabol (P): và đ ng th ng (D): y = mx 2m 1.ệ ụ ườ ẳ
a) V đ th (P).ẽ ộ ị
b) Tìm m sao cho (D) ti p xúc v i (P).ế ớ
Trang 16c) Ch ng t r ng (D) luôn đi qua m t đi m c đ nh A thu c (P).ứ ỏ ằ ộ ể ố ị ộ
Bài 4: Cho hàm s ố
a) V đ th (P) c a hàm s trên.ẽ ồ ị ủ ố
b) Trên (P) l y hai đi m M và N l n lấ ể ầ ượt có hoành đ là 2; 1. Vi t phộ ế ương trình đường th ngẳ MN
c) Xác đ nh hàm s y = ax + b bi t r ng đ th (D) c a nó song song v i đị ố ế ằ ồ ị ủ ớ ường th ng MN và chẳ ỉ
c t (P) t i m t đi m.ắ ạ ộ ể
Bài 5:
Trong cùng h tr c to đ , cho Parabol (P): y = axệ ụ ạ ộ 2 (a 0) và đường th ng (D): y = kx + b.ẳ
1) Tìm k và b cho bi t (D) đi qua hai đi m A(1; 0) và B(0; 1).ế ể
2) Tìm a bi t r ng (P) ti p xúc v i (D) v a tìm đế ằ ế ớ ừ ượ ởc câu 1)
3)V (D) và (P) v a tìm đẽ ừ ượ ởc câu 1) và câu 2)
4) G i (d) là đọ ường th ng đi qua đi m và có h s góc mẳ ể ệ ố
a) Vi t phế ương trình c a (d).ủ
b) Ch ng t r ng qua đi m C có hai đứ ỏ ằ ể ường th ng (d) ti p xúc v i (P) ( câu 2) và vuông gócẳ ế ớ ở
v i nhau.ớ
Ch đ 5 ủ ề :
GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH L P PH Ả Ằ Ậ ƯƠ NG TRÌNH –H PH Ệ ƯƠ NG TRÌNH
A Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
B ướ c 1
: L p h ph ng trình(ph ng trình)ậ ệ ươ ươ
1) Ch n n và tìm đi u ki n c a n (thông thọ ẩ ề ệ ủ ẩ ường n là đ i lẩ ạ ượng mà bài toán yêu c u tìm).ầ
2) Bi u th các đ i lể ị ạ ượng ch a bi t theo n và các đ i lư ế ẩ ạ ượng đã bi t.ế
3) L p h phậ ệ ương trình, (phương trình)bi u th m i quan h gi a các lể ị ố ệ ữ ượng
B ướ c 2
: Gi i h ph ng trình, (ph ng trình)ả ệ ươ ươ
B ướ c 3
: K t lu n bài toán. ế ậ
Trang 17D ng 1: Chuy n đ ng ạ ể ộ
(trên đ ườ ng b , trên đ ộ ườ ng sông có tính đ n dòng n ế ướ c ch y) ả
Bài 1:
M t ôtô đi t A đ n B trong m t th i gian nh t đ nh. N u xe ch y v i v n t c 35 km/h thì đ nộ ừ ế ộ ờ ấ ị ế ạ ớ ậ ố ế
ch m m t 2 gi N u xe ch y v i v n t c 50 km/h thì đ n s m h n 1 gi Tính quãng đậ ấ ờ ế ạ ớ ậ ố ế ớ ơ ờ ường AB
M t canô xuôi t b n sông A đ n b n sông B v i v n t c 30 km/h, sau đó l i ngộ ừ ế ế ế ớ ậ ố ạ ượ ừc t B tr vở ề
A. Th i gian xuôi ít h n th i gian đi ngờ ơ ờ ược 1 gi 20 phút. Tính kho ng cách gi a hai b n A và B.ờ ả ữ ế
Bi t r ng v n t c dòng nế ằ ậ ố ước là 5 km/h và v n t c riêng c a canô lúc xuôi và lúc ngậ ố ủ ược b ngằ nhau
Bài 4:
M t canô xuôi m t khúc sông dài 90 km r i ngộ ộ ồ ược v 36 km. Bi t th i gian xuôi dòng sông nhi uề ế ờ ề
h n th i gian ngơ ờ ược dòng là 2 gi và v n t c khi xuôi dòng h n v n t c khi ngờ ậ ố ơ ậ ố ược dòng là 6 km/h. H i v n t c canô lúc xuôi và lúc ngỏ ậ ố ược dòng
D ng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi n ạ ướ c)
Bài t p 1:ậ
Hai vòi nước cùng ch y đ y m t b không có nả ầ ộ ẻ ước trong 3h 45ph . N u ch y riêng r , m i vòi ế ả ẽ ỗ
ph i ch y trong bao lâu m i đ y b ? bi t r ng vòi ch y sau lâu h n vòi trả ả ớ ầ ể ế ằ ả ơ ước 4 h
Gi i ả
G i th i gian vòi đ u ch y ch y m t mình đ y b là x ( x > 0 , x tính b ng gi )ọ ờ ầ ả ả ộ ầ ể ằ ờ
G i th i gian vòi au ch y ch y m t mình đ y b là y ( y > 4 , y tính b ng gi )ọ ờ ớ ả ả ộ ầ ể ằ ờ
1 gi vòi đ u ch y đờ ầ ả ược ( b ) ể
1 gi vòi sau ch y đờ ả ược ( b ) ể
1 gi hai vòi ch y đờ ả ược + ( b ) (1)ể
Trang 18Hai vòi cùng ch y thì đ y b trong 3h 45ph = hả ầ ể
V y 1 gi c hai vòi ch y đậ ờ ả ả ược 1: = ( b ) ( 2)ể
V y Vòi đ u ch y m t mình đ y b trong 6 h ậ ầ ả ộ ầ ể
Vòi sau ch y m t mình đ y b trong 10 h ả ộ ầ ể
G i th i gian ngọ ờ ười th nh t làm riêng r đ xong n a công vi c là x ( x > 0 ) ứ ấ ẽ ể ử ệ
G i th i gian ngọ ờ ười th hai làm riêng r đ xong n a công vi c là y ( y > 0 ) ứ ẽ ể ử ệ
Trang 19V y n u làm vi c riêng r c công vi c m t ngậ ế ệ ẽ ả ệ ộ ười làm trong 10 gi còn ngờ ười kia làm trong 5 gi ờBài t p 3:ậ
Hai t thanh niên tình nguy n cùng s a m t con đổ ệ ử ộ ường vào b n trong 4 gi thì xong . N u làm ả ờ ếriêng thì t 1 làm nhanh h n t 2 6 gi . H i m i đ i làm m t mình thì bao lâu s xong vi c ?ổ ơ ổ ờ ỏ ỗ ộ ộ ẽ ệ
Gi i ả
G i th i gian m t mình t 1s a xong con đọ ờ ộ ổ ử ường là x( gi ) ( x ≥ 4 ) ờ
Th i gian m t mình t 2 s a xong con đờ ộ ổ ử ường là x + 6 ( gi )ờ
Trong 1 gi t 1 s a đờ ổ ử ược ( con đường )
Trong 1 gi t 2 s a đờ ổ ử ược (con đường )
Trong 1 gi c hai t s a đờ ả ổ ử ược (con đường )
V y ta có pt: + = xậ 1= 6; x2 = 4
X2 = 4 < 4 , không tho mãn đi u ki n c a nả ề ệ ủ ẩ
V y m t mình t 1 s a xong con đậ ộ ổ ử ường h t 6 ngày ế
m t mình t 2 s a xong con độ ổ ử ường h t 12 ngày ế
Bài t p 4:ậ
Hai đ i công nhân làm m t đo n độ ộ ạ ường . Đ i 1 làm xong m t n a đo n độ ộ ử ạ ường thì đ i 2 đ n làm ộ ế
ti p n a còn l i v i th i gian dài h n th i gian đ i 1 đã đã làm là 30 ngày . N u hai đ i cùng làm ế ử ạ ớ ờ ơ ờ ộ ế ộthì trong 72 ngày xong c đo n đả ạ ường .H i m i đ i đã làm bao nhiêu ngày trên đo n đỏ ỗ ộ ạ ường này ?
Gi i ả
G i th i gian đ i 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì th i gian đ i 2 làm vi c là x + 30 ( ngày ) ọ ờ ộ ờ ộ ệ
M i ngày đ i 1 làm đỗ ộ ược ( đo n đạ ường )
M i ngày đ i 2 làm đỗ ộ ược ( đo n đạ ường )
M i ngày c hai đ i làm đỗ ả ộ ược ( đo n đạ ường )
V y ta có pt : + = ậ
Trang 20Hai đ i công nhân tr ng r ng ph i hoàn thành k ho ch trong cùng m t th i gian . Đ i 1 ph i ộ ồ ừ ả ế ạ ộ ờ ộ ả
tr ng 40 ha , đ i 2 ph i tr ng 90 ha . Đ i 1 hoàn thành công vi c s m h n 2 ngày so v i k ồ ộ ả ồ ộ ệ ớ ơ ớ ế
ho ch .Đ i 2 hoàn thành mu n h n 2 ngày so v i k ho ch . N u đ i 1 làm công vi c trong m t ạ ộ ộ ơ ớ ế ạ ế ộ ệ ộ
th i gian b ng th i gian đ i 2 đã làm và đ i 2 làm trông th i gian b ng đ i 1 đã làm thì di n tích ờ ằ ờ ộ ộ ờ ằ ộ ệ
tr ng đồ ượ ủc c a hai đ i b ng nhau . Tính th i gian m i đ i ph i làm theo k ho ch ?ộ ằ ờ ỗ ộ ả ế ạ
Gi i ả
G i th i gian m i đ i ph i làm theo k ho ch là x ( ngày ) , x > 0ọ ờ ỗ ộ ả ế ạ
Th i gian đ i 1 đã làm là x – 2 ( ngày ) ờ ộ
Th i gian đ i 2 đã làm là x + 2 ( ngày ) ờ ộ
M i ngày đ i 1 tr ng đỗ ộ ồ ược (ha)
M i ngày đ i 2 tr ng đỗ ộ ồ ược (ha)
N u đ i 1 làm trong x + 2 ngày thì tr ng đế ộ ồ ược (x + 2) (ha)
N u đ i 2 làm trong x 2 ngày thì tr ng đế ộ ồ ược (x 2) (ha)
Theo đ u bài di n tích r ng tr ng dầ ệ ừ ồ ượ ủc c a hai đ i trong trộ ường này là b ng nhau nên ta có pt:ằ (x + 2) = (x 2)
Trang 21Hai người th cùng làm m t công vi c trong 16 gi thì xong . N u ngợ ộ ệ ờ ế ười th nh t làm trong 3 gi ứ ấ ờ
và người th hai làm trong 6 gi thì h làm đứ ờ ọ ược 25% công vi c . H i m i ngệ ỏ ỗ ười làm công vi c ệ
đó trong m y gi thì xong .ấ ờ
Hai vòi nước cùng ch y vào m t b không ch a nả ộ ể ứ ước thì sau 6 gi đ y b . N u vòi th nh t ờ ầ ể ế ứ ấ
ch y trong 2 gi , vòi th 2 ch y trong 3 gi thì đả ờ ứ ả ờ ược b . H i m i vòi ch y m t mình trong bao ể ỏ ỗ ả ộlâu thì đ y b ?ầ ể
Hai ngườ ự ịi d đ nh làm m t công vi c trong 12 gi thì xong . H làm v i nhau độ ệ ờ ọ ớ ược 8 gi thì ờ
người th nh t ngh , còn ngứ ấ ỉ ười th hai v n ti p t c làm . Do c g ng tăng năng su t g p đôi , ứ ẫ ế ụ ố ắ ấ ấnên người th hai đã làm xong công vi c còn l i trong 3gi 20phút . H i n u m i ngứ ệ ạ ờ ỏ ế ỗ ười th làm ợ
m t mình v i năng su t d đ nh ban đ u thì m t bao lâu m i xong công vi c nói trên ?ộ ớ ấ ự ị ầ ấ ớ ệ
( Đ thi chuyên toán vòng 1 t nh Khánh hoà năm 2000 – 2001 )ề ỉ
Gi i:ả
G i x , y l n lọ ầ ượt là th i gian ngờ ười th th nh t và ngợ ứ ấ ười th th hai làm xong công vi c v i năng ợ ứ ệ ớ
su t d đ nh ban đ u .ấ ự ị ầ
M t gi ngộ ờ ười th nh t làm đứ ấ ược (công vi c )ệ
M t gi ngộ ờ ười th hai làm đứ ược (công vi c )ệ
M t gi c hai ngộ ờ ả ười làm được (công vi c )ệ
Nên ta có pt : + = (1)
Trang 22trong 8 gi hai ngờ ười làm được 8. = (công vi c )ệ
Công vi c còn l i là 1 = ( công vi c )ệ ạ ệ
Năng su t c a ngấ ủ ười th hai khi làm m t mình là 2.= (Công vi c )ứ ộ ệ
Mà th i gian ngờ ười th hai hoàn thành công vi c còn l i là (gi ) nên ta có pt ứ ệ ạ ờ
Hai người A và B làm xong công vi c trông 72 gi , còn ngệ ờ ười A và C làm xong công vi c trong ệ
đó trong 63 gi và ngờ ươoì B và C làm xong công vi c y trong 56 gi . H i n u m i ngệ ấ ờ ỏ ế ỗ ười làm
m t mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu s làm xong công vi c >N u ba ngộ ẽ ệ ế ười cùng làm s ẽhoàn thành công vi c trong m y gi ?ệ ấ ờ
Gi i :ả
G i ngọ ười A m t mình làm xong công vi c trong x (gi ), x > 0 thì m i gi làm độ ệ ờ ỗ ờ ược ( công
vi c).Ngệ ười B m t mình làm xong công vi c trong y (gi ), y > 0 thì m i gi làm độ ệ ờ ỗ ờ ược ( công
vi c)Ngệ ười C m t mình làm xong công vi c trong z (gi ), z > 0 thì m i gi làm độ ệ ờ ỗ ờ ược ( công vi c)ệ
Ta có hpt :
N u c ba ngế ả ười cùng làm yhì m i gi làm đỗ ờ ược + + = ( công vi c )ệ
V y c ba ng òi cùng làm s hoàn thành cong vi c trong (gi )ậ ả ư ẽ ệ ờ
Bài t p 10ậ : ( 258 /96 – nâng cao và chuyên đ )ề
Hai đ i công nhân cùng làm chung m t công vi c . Th i gian đ đ i I làm m t mình xong công ộ ộ ệ ờ ể ộ ộ
vi c ít h n th i gian đ đ i II làm m t mình xong công vi c đó là 4 gi . T ng th i gian này g p ệ ơ ờ ể ộ ộ ệ ờ ổ ờ ấ4,5 l n th i gian hai đ i cùng làm chung đ xong công vi c đó . H i m i đ i làm m t mình thì ầ ờ ộ ể ệ ỏ ỗ ộ ộ
ph i bao lâu m i xong .ả ớ
Gi i :ả
Trang 23G i th i gian đ i I làm m t mình xong công vi c là x gi ( x > 0 ) ọ ờ ộ ộ ệ ờ
Suy ra th i gian đ i II làm m t mình xong công vi c là x + 4 gi ờ ộ ộ ệ ờ
Trong 1 gi hai đ i làm chung đờ ộ ược : ( công vi c )ệ
Th i gian đ hai đ i làm chung xong công vi c là (gi )ờ ể ộ ệ ờ
V y ta có pt : 2x + 4 = 4,5 . hay xậ 2 + 4x – 32 = 0 ó x1 = 8 ( lo i ) xạ 2 = 4 ( tho mãn đi u ki n c a ả ề ệ ủ
N u vòi A ch y 2 gi và vòi B ch y trong 3 gi thì đế ả ờ ả ờ ược h N u vòi A ch y trong 3 gi và vòiồ ế ả ờ
B ch y trong 1 gi 30 phút thì đả ờ ược h H i n u ch y m t mình m I vòi ch y trong bao lâu m iồ ỏ ế ả ộ ỗ ả ớ
đ y h ầ ồ
Bài 3:
Hai vòi nước cùng ch y vào m t b thì sau 6 gi đ y b N u m i vòi ch y m t mình cho đ yả ộ ể ờ ầ ể ế ỗ ả ộ ầ
b thì vòi II c n nhi u th i gian h n vòi I là 5 gi Tính th i gian m i vòi ch y m t mình đ yể ầ ề ờ ơ ờ ờ ỗ ả ộ ầ
b ?ể
D ng 3: Toán liên quan đ n t l ph n trăm ạ ế ỉ ệ ầ
Bài 1:
Trong tháng giêng hai t s n xu t đổ ả ấ ược 720 chi ti t máy. Trong tháng hai, t I vế ổ ượt m c 15%, tứ ổ
II vượt m c 12% nên s n xu t đứ ả ấ ược 819 chi ti t máy. Tính xem trong tháng giêng m i t s nế ỗ ổ ả
xu t đấ ược bao nhiêu chi ti t máy?.ế
Bài 2:
Trang 24Năm ngoái t ng s dân c a hai t nh A và B là 4 tri u ngổ ố ủ ỉ ệ ười. Dân s t nh A năm nay tăng 1,2%,ố ỉ còn t nh B tăng 1,1%. T ng s dân c a c hai t nh năm nay là 4 045 000 ngỉ ổ ố ủ ả ỉ ười. Tính s dân c aố ủ
Cho m t hình ch nh t. N u tăng chi u dài lên 10 m, tăng chi u r ng lên 5 m thì di n tích tăngộ ữ ậ ế ề ề ộ ệ
500 m2. N u gi m chi u dài 15 m và gi m chi u r ng 9 m thì di n tích gi m 600 mế ả ề ả ề ộ ệ ả 2. Tính chi uề dài, chi u r ng ban đ u.ề ộ ầ
Bài 3:
Cho m t tam giác vuông. N u tăng các c nh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì di n tích tam giácộ ế ạ ệ tăng 50 cm2. N u gi m c hai c nh đi 2 cm thì di n tích s gi m đi 32 cmế ả ả ạ ệ ẽ ả 2. Tính hai c nh gócạ vuông
N u t s c a m t phân s đ c tăng g p đôi và m u s thêm 8 thì giá tr c a phân s b ng . N uế ử ố ủ ộ ố ượ ấ ẫ ố ị ủ ố ằ ế
t s thêm 7 và m u s tăng g p 3 thì giá tr phân s b ng . Tìm phân s đó.ử ố ẫ ố ấ ị ố ằ ố
Bài 4:
Trang 25N u thêm 4 vào t và m u c a m t phân s thì giá tr c a phân s gi m 1. N u b t 1 vào c tế ử ẫ ủ ộ ố ị ủ ố ả ế ớ ả ử
Gi i các phả ương trình sau:
D ng 3: Ph ạ ươ ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i ứ ấ ị ệ ố
Gi i các phả ương trình sau:
Trang 276
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0c) x2 – 4x – 10 3 = 0 d)
9. Đ nh a đ các phị ể ương trình sau có 4 nghi mệ
a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0
Trang 28V i tam giác đ u c nh là a, ta c: ớ ề ạ
3.T s l ỉ ố ượ ng giác c a góc nh n ủ ọ
Trang 29c) Các trường h p b ng nhau c a hai tam gi c vu ng: hai c nh gúc vu ng; c nh huy n và ợ ằ ủ ỏ ụ ạ ụ ạ ề
D ng quan h gi a c c gúc trung gian v i c c gúc c n ch ng minh.ự ệ ữ ỏ ớ ỏ ầ ứ
D ng quan h c c gúc t o b i các đự ệ ỏ ạ ở ường th ng song song, đ i đ nh.ẳ ố ỉ
D ng m i quan h c a c c gúc v i đự ố ệ ủ ỏ ớ ường trũn.(Ch ng minh 2 gúc n i ti p c ng ch n m t ứ ộ ế ự ắ ộcung ho c hai cung b ng nhau c a m t đặ ằ ủ ộ ường trũn, …)
D ng t nh ch t đự ớ ấ ường trung b nh c a tam gi c, h nh thang, …ỡ ủ ỏ ỡ
4.Ch ng minh hai đ ứ ườ ng th ng, hai đo n th ng song song ẳ ạ ẳ
D ng m i quan h gi a c c gúc: So le b ng nhau, đ ng v b ng nhau, trong c ng ph a b ự ố ệ ữ ỏ ằ ồ ị ằ ự ớ ựnhau, …
D ng m i quan h c ng song song, vu ng gúc v i đự ố ệ ự ụ ớ ường th ng th ba.ẳ ứ
Áp d ng đ nh lý đ o c a đ nh lý Talet.ụ ị ả ủ ị
Áp d ng t nh ch t c a c c t giác đ c bi t, đụ ớ ấ ủ ỏ ứ ặ ệ ường trung b nh c a tam gi c.ỡ ủ ỏ
D ng t nh ch t hai dõy ch n gi a hai cung b ng nhau c a m t đự ớ ấ ắ ữ ằ ủ ộ ường trũn
5.Ch ng minh hai đ ứ ườ ng th ng vu ng gúc ẳ ụ
Ch ng minh ch ng song song v i hai đứ ỳ ớ ường vu ng gúc kh c.ụ ỏ