Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình vào giải các bài toán nhằm khắc sâu kiến thức.
Trang 1CH Đ 2. PHỦ Ề ƯƠNG TRÌNH VÀ H PHỆ ƯƠNG TRÌNH
1 Ki n th c c n nhế ứ ầ ớ
Cho phương trình (1)
. + N u , phế ương trình (1) vô nghi m.ệ
+ N u , phế ương trình (1) có nghi m kép ệ + N u , phế ương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ
Cho phương trình (2)
. + N u , phế ương trình (2) vô nghi m.ệ
+ N u , phế ương trình (2) có nghi m kép ệ + N u , phế ương trình (2) có hai nghi m phân bi t ệ ệ
H th c Vi – ét: N u phệ ứ ế ương trình có hai nghi m là:ệ
và thì
N u có hai s u, v và thì hai s đó là nghi m c a phế ố ố ệ ủ ương trình v i ớ
Cho phương trình (1)
+ N u , phế ương trình (1) có hai nghi m ệ
+ N u , phế ương trình (1) có hai nghi m: ệ
2.Bài t p minh h aậ ọ
Bài 1. Cho ph ng trình (1)ươ
a) Gi i phả ương trình khi m =
b) Tìm m đ phể ương trình có nghi m kép.ệ
L i gi i:ờ ả
a) Khi m = , phương trình (1) có d ng ạ
, phương trình có hai nghi m ệ
b) Đ phể ương trình (1) có nghi m kép thì ệ
Trang 2Bài 2. Cho ph ng trình: (*)ươ
a) Gi i phả ương trình khi m = 2
b) Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
L i gi i:ờ ả
a) Khi m = 2, phương trình (*) có d ng ạ
V y khi m = 2, phậ ương trình (*) có nghi m duy nh t ệ ấ
b) Phương trình (*) có hai nghi m phân bi t ệ ệ
V y đi u ki n c n tìm là và ậ ề ệ ầ
Bài 3. Cho ph ng trình: (1)ươ
Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m trái d u th a mãn m t trong các đi u ki n ệ ấ ỏ ộ ề ệ sau:
a) Nghi m dệ ương có giá tr tuy t đ i l n h n;ị ệ ố ớ ơ
b) Nghi m âm có giá tr tuy t đ i l n h n.ệ ị ệ ố ớ ơ
L i gi i:ờ ả
Phương trình (1) có hai nghi m trái d u khi và ch khi ệ ấ ỉ
Theo h th c Vi – ét: ệ ứ
a) Nghi m dệ ương có giá tr tuy t đ i l n h n ị ệ ố ớ ơ
V y đi u ki n c n tìm là ậ ề ệ ầ
b) Nghi m âm có giá tr tuy t đ i l n h n ệ ị ệ ố ớ ơ
V y đi u ki n c n tìm là ậ ề ệ ầ
Bài 4. Cho ph ng trình ươ
a) Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m dệ ương phân bi t.ệ
b) Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m âm phân bi t.ệ ệ
L i gi i:ờ ả
. Phương trình luôn có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Theo h th c Vi – ét: ệ ứ
a) Phương trình có hai nghi m dệ ương phân bi t khi ệ
Trang 3b) Phương trình có hai nghi m phân bi t khi ệ ệ
Bài 5. Cho ph ng trình (1)ươ
a) Tìm m đ (1) có hai nghi m phân bi t sao cho ể ệ ệ
b) Tìm m đ (1) có hai nghi m phân bi t sao cho ể ệ ệ
L i gi i:ờ ả
a) Phương trình có hai nghi m phân bi t khi . Theo h th c Vi – ét ệ ệ ệ ứ
Suy ra . V y là các s c n tìm.ậ ố ầ
b)
V y m = 3 là s c n tìm.ậ ố ầ
Bài 6. Cho ph ng trình . Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t sao ươ ể ươ ệ ệ cho :
a)
b)
L i gi iờ ả :
. Đ phể ương trình có hai nghi m phân bi t thì . Theo h th c Vi – ét ệ ệ ệ ứ
a) Thay vào (1) ta có
Thay vào (2) ta có là s c n tìm.ố ầ
b)
là s c n tìm.ố ầ
Bài 7. Cho ph ng trình (1)ươ
a) Gi i phả ương trình khi m = 1
b) Tìm m đ phể ương trình có b n nghi m phân bi t.ố ệ ệ
L i gi iờ ả :
Đ t . Phặ ương trình (1) có d ngạ :
(2)
a) Khi m = 1, phương trình (2) . Phương trình có hai nghi m ệ
Trang 4
Phương trình có t p nghi m ậ ệ
b) Phương trình (1) có b n nghi m phân bi t khi phố ệ ệ ương trình (2) có hai nghi m dệ ương phân bi t. Đi u này ch x y ra khiệ ề ỉ ả
Bài 8. Cho ph ng trình (1)ươ
a) Gi i phả ương trình khi m = 2
b) Tìm m đ phể ương trình có ba nghi m phân bi t ệ ệ
c) Tìm m đ ể
L i gi iờ ả :
Phương trình (1)
(2) a) Khi m = 2, phương trình (2) có d ngạ :
Phương trình (*) vô nghi m vì . V y khi m = 2, phệ ậ ương trình có m t nghi m duy ộ ệ
nh t là ấ
b) Phương trình
Đ (1) có ba nghi m phân bi t thì (3) ph i có hai nghi m phân bi t ể ệ ệ ả ệ ệ
c) G i là các nghi m c a phọ ệ ủ ương trình (3) thì
Theo h th c Vi – étệ ứ :
Do đó
th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệ
V y là giá tr c n tìm.ậ ị ầ
Bài 9. Cho ph ng trình (1)ươ
a) Gi i phả ương trình khi m = 14
b) Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Trang 5L i gi iờ ả :
Đi u ki n xác đ nh (*)ề ệ ị
(2)
V i đi u ki n (*), phớ ề ệ ương trình (2) (3)
a) Khi m = 14, phương trình (3) . Phương trình có hai nghi m ệ
Đ i chi u v i đi u ki n ch có là nghi m c a (1)ố ế ớ ề ệ ỉ ệ ủ
b) Đ (1) có hai nghi m phân bi t thì phể ệ ệ ương trình (3) ph i có hai nghi m ả ệ phân bi t ệ
V y và th a mãn đ bài.ậ ỏ ề
Bài 10. Gi i các ph ng trình sauả ươ :
a) (1)
b) (2)
c) (3)
d) (4)
L i gi iờ ả :
a) Phương trình 1 có đi u ki n xác đ nh là ề ệ ị
Đ t ặ
Ta có phương trình
Phương trình này có hai nghi m ệ
, phương trình vô nghi m.ệ
V y phậ ương trình có nghi m ệ
b) Nh n xét không là nghi m c a (2). Chia hai v cho , ta đậ ệ ủ ế ượ :c
Đ t . Phặ ương trình có d ngạ :
, phương trình có nghi m ệ
, phương trình có nghi m ệ
Trang 6, phương trình có nghi m ệ
c) Phương trình (3)
Đ t , ta có . Phặ ương trình có hai nghi m là ệ
, phương trình có nghi m ệ
, phương trình vô nghi m.ệ
V y phậ ương trình có hai nghi m ệ
d) Phương trình (4)
Đ t , ta cóặ :
Phương trình này có hai nghi m ệ
, phương trình vô nghi m.ệ
V y phậ ương trình có hai nghi m ệ
Bài 11. Gi i các ph ng trình sauả ươ :
a) (1)
b) (2)
c) (3)
d) (4)
L i gi iờ ả :
a) Phương trình
(5)
(6) , phương trình có nghi m (lo i) không th a mãn (5). V y phệ ạ ỏ ậ ương trình đã cho có m t nghi m ộ ệ
b) Đi u ki n xác đ nh (*)ề ệ ị
Phương trình
(8) . Phương trình này có hai nghi m ệ
không th a mãn đi u ki n (*). Phỏ ề ệ ương trình có nghi m ệ
Trang 7c) Đi u ki n xác đ nh hay (**)ề ệ ị
Đ t , ta có .Phặ ương trình có hai nghi m nên .ệ
V i đ u th a mãn đi u ki n (**). V y phớ ề ỏ ề ệ ậ ương trình có nghi m ệ
e) Đi u ki n xác đ nh ề ệ ị
Đ t . Ta cóặ :
C ng t ng v (9) và (10) ta độ ừ ế ược
V i , t (9) ớ ừ
V y ậ
V i vô nghi m do ớ ệ
Phương trình đã cho có nghi m ệ
Bài 12. Gi i các h ph ng trình sauả ệ ươ :
L i gi iờ ả :
a) Đi u ki n xác đ nh . Đ t ta có h phề ệ ị ặ ệ ương trình
T đó suy ra . H phừ ệ ương trình đã cho có nghi m duy nh t ệ ấ
b) H đã cho tệ ương đương v i ớ
C ng t ng v (5) và (6) ta độ ừ ế ược . Thay vào (6)
H có nghi m duy nh t ệ ệ ấ
Bài 13. Cho h ph ng trình ệ ươ
Tìm m đ h phể ệ ương trình có nghi m duy nh t th o mãn đi u ki nệ ấ ả ề ệ :
a) và trái d uấ
b) và cùng dương
L i gi iờ ả :
a) ; thay vào (2) ta được (3)
Đ h phể ệ ương trình có nghi m duy nh t thì (3) ph i có nghi m duy nh t . H có ệ ấ ả ệ ấ ệ nghi m duy nh t ệ ấ
Trang 8và trái d u Mà v i nên là giá tr c n tìm.ấ ớ ị ầ
b) và cùng dương
Vì nên
V y đi u ki n c n tìm là ậ ề ệ ầ
Bài 14. Gi i các h ph ng trình sauả ệ ươ
L i gi iờ ả :
a) , thay vào (2) ta được
Phương trình có hai nghi m ệ
Do đó h đã cho có hai nghi m ệ ệ
b) Tr t ng v c a các phừ ừ ế ủ ương trình (3), (4) ta được:
V i thay vào (4) đớ ược
V i , thay vào (3) ta đớ ược:, phương trình vô nghi m.ệ
V y h có nghi m ậ ệ ệ
3.Bài t p t luy nậ ự ệ
Bài 1. Cho hai ph ng trìnhươ :
(1)
(2)
V i giá tr nào c a m thì hai phớ ị ủ ương trình đã cho có ít nh t m t nghi m chung. ấ ộ ệ Tìm nghi m chung đó.ệ
Bài 2. Cho hai ph ng trình :ươ
(1)
(2) v i ớ
a) Ch ng minh r ng hai phứ ằ ương trình đã cho cùng có nghi m ho c cùng vô ệ ặ nghi m.ệ
b) Gi s và l n lả ử ầ ượt là các nghi m c a phệ ủ ương trình (1) và (2). Ch ng ứ minh r ng ằ
Trang 9Bài 3. Cho ph ng trình . Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t sao ươ ể ươ ệ ệ cho:
a)
b)
Bài 4. Cho ph ng trình . Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m là đ dài hai ươ ể ươ ệ ộ
c nh góc vuông c a tam giác vuông có c nh huy n b ng ạ ủ ạ ề ằ
Bài 5. Cho h ph ng trình ệ ươ
Tìm đ h phề ệ ương trình có nghi m duy nh t và là s nguyên.ệ ấ ố
Bài 6*. Cho h ph ng trình ệ ươ
Tìm m đ h có nghi m duy nh t sao cho tích có giá tr nh nh t.ể ệ ệ ấ ị ỏ ấ
Bài 7. Gi i các h ph ng trình:ả ệ ươ
Bài 8. Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
a) b)
Bài 9*. Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
Bài 10*. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a)
(Đ thi vào l p 10 – Hà N i – Năm h c 2009 – 2010) ề ớ ộ ọ
b)
(Đ thi vào l p 10 – Hà N i – Năm h c 2010 – 2011) ề ớ ộ ọ
Hướng d n – L i gi i – Đáp s ẫ ờ ả ố
Bài 1. , ph ng trình (1) và ph ng trình (2) đ u vô nghi m. V y ươ ươ ề ệ ậ
T (1) suy ra . Thay vào (2) và thu g n đừ ọ ược (lo i), ạ
V i , ta có ớ
V y hai phậ ương trình có nghi m duy nh t khi m = 3ệ ấ
Bài 2. a) Vì nên (1) và (2) đ u là ph ng trình b c hai.ề ươ ậ
Trang 10Ta có suy ra ho c cùng ho c cùng < 0 nên hai phặ ặ ương trình (1) và (2) ho c cùngặ
có nghi m ho c cùng vô nghi m.ệ ặ ệ
b) Theo h th c Vi – ét:. Khi đó ệ ứ
Xét hi u (vì và )ệ
Do đó hay
Bài 3. Xét ph ng trình (1), có . Đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t thì ươ ể ươ ệ ệ Theo h th c Vi – ét ệ ứ
a) , thay vào (2):
Thay vào (3) ta có:
Gi i phả ương trình này được
b)
(*)
N u thì (*); à nên m = 3ế
N u m < 2 thì (*), suy ra m = 1 th a mãn đi u ki nế ỏ ề ệ ; m = 7 (lo i)ạ
V y ậ
Bài 4. Xét ph ng trình (1). Yêu c u bài toán t ng đ ng v iươ ầ ươ ươ ớ : phương trình (1) có hai nghi m và ệ
Bài 5. Xét h ph ng trình ệ ươ
(5)
H có nghi m duy nh t khi , t (5) ệ ệ ấ ừ
T đó ừ
là ướ ủc c a 3, nên , do đó . Các giá tr này c a m đ u th a mãn là s nguyên.ị ủ ề ỏ ố
V y ậ
Bài 6*. Gi i nh bài 5, v i , h có nghi m duy nh t ả ư ớ ệ ệ ấ
Đ t ặ
, d u ‘=’ x y ra khi ấ ả
V y tích có giá tr nh nh t b ng 1 khi m = 0ậ ị ỏ ấ ằ
Trang 11b)
Bài 8. a) Xét h ệ
C ng t ng v hai phộ ừ ế ương trình được
H có hai nghi m ệ ệ
b)
L n lầ ượt thay vào (4), h có nghi m ệ ệ
Bài 9*. a) xét h ệ
T (2) . Đ t , h tr thành:ừ ặ ệ ở
T (4) ừ
Chia t ng v c a (3) và (4) ta đừ ế ủ ược (lo i) ạ
V i , thay vào (4) ta đớ ược \
H có hai nghi m ệ ệ
b) Đi u ki n ề ệ
Đ t . Ta có phặ ương trình
Do đó và . Gi i ti p hai h phả ế ệ ương trình
và
Ta được các nghi m ệ
Bài 10*. a) Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i (1)ươ ươ ươ ớ (2). Do v trái nên v ph i ế ế ả
Mà nên , phương trình (2) tương đương v i ớ
Trang 12
b) (3). Đ t ặ
Ta có
( h phệ ương trình vô nghi m)ệ