Chuong III - Bai 1 Phuong phap quy nap toan hoc.ppt

.

§3

.

§4

.

§1

.

§1.

Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai

b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai

P(n): “ < n +100 ” và Q(n): “3n 2n  n ” với nN*

Xét hai mệnh đề chứa biến:

Trả lời:

P(n): “ 3n < n + 100 ” 2n

a) n = 1 : 3 < 101 (Đ)

n = 2 : 9 < 102 (Đ)

n = 3 : 27 < 103 (Đ)

n = 4 : 81 < 104 (Đ)

n = 5 : 243 < 105 (S)

b) nN* thì P(n) sai,

vì khi n = 5 thì P(5) sai

Q(n): “ > n ”

a) n = 1 : 2 > 1 (Đ)

n = 2 : 4 > 2 (Đ)

n = 3 : 8 > 3 (Đ)

n = 4 : 16 > 4 (Đ)

n = 5 : 32 > 5 (Đ) b) Q(n) có đúng với nN*

không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1 :

Bước 2 :

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp)

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Bước3 :

Chứng minh rằng với nN* thì :

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1)

Giải:

1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 Vậy (1) đúng

2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  1 ta có:

Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)

3) Ta chứng minh :

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2

Thật vậy:

Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2

Vậy : (1) đúng với mọi nN*.

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 2 2

9 = 32

16 = 4 2

25 = 5 2

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*

Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.

Giải : Đặt An = n3 – n

1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3

Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh Ak+1 3

Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1

= (k3- k) +3(k2+k)

= Ak+ 3(k2+k)

Ak …3 và 3(k2+k) 3 nên Ak+1 … 3

Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.

Ví dụ 2:

Hoạt động 2: (Củng cố)

 Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số

tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :

bất kỳ n = k  p

n = k+1

Dặn dò:

1/ Nhớ học bài

2/ Làm Hoạt động 2/81 và BT 1, 2 trang 82 SGK

3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”