3 GTLN, GTNN TÍCH PHÂN

Câu 16: Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là: Câu 17: Cho hàm số có đạo hàm li

Trang 1

GTNN, GTLN TÍCH PHÂN Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2 0

S x ax dx với a∈[ ]0 1,

A 2 2

6

−

3

−

3

−

6

−

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0 1; và thỏa

( )

2 1

0

∫ f ' x

f x Tìm mệnh đề đung

2

  =

 

 

2

  =

 

 

2

  =

 

 

  =

 

 

f

e

Câu 3: Cho a b+ =ab+4 và a<b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 ( )

b

a

I =∫ x − a b x ab dx+ +

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 (2 ) 2

b

a

I=∫ x + −m x− dx trong đó a<b là hai nghiệm cảu phương trình x2+(2−m x) − =2 0

A 128

8 2

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 3 0

S=∫ x −ax dx với a∈[ ]0 1,

A 2 2

6

−

1

8

−

Câu 6: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2

3 4 2 5 2 2 3

m

S= ∫ x − mx + m x− m dx với [ ]1 3

m∈ ; Mệnh đề nào dưới đây đúng

6

a b+ = B a b+ =1 C 21

4

a b+ = D a b+ =2

Câu 7: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn [ ]0 1; và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ]0 1;

Tìm m nhỏ nhất sao cho 1 (2018 ) 1 ( )

f x dx≤m f x dx f∀ ∈A

Trang 2

Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) nhận giá trị dương và có đạo hàm '( )

f x liên tục trên đoạn [ ]0 1;

thỏa mãn f ( )1 =2018 f ( )0 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

2 2

f x

Câu 9: Cho a b+ =ab+4 và a<b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b ( ) (2 )

a

I =∫ x a− x b dx−

3

Câu 10: Cho ( )2 ( 2 2)2

4

a−b + a −b = và a<b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) 2

b

a

I=∫ x − a b x ab dx+ +

A 16

4

thỏa mãn f ( )1 =e f ( )0 Biểu thức

2 2

f x

A ( )1 2

1

e f

e

=

− B ( )1 22 2

1

e f

e

=

1

e f

e

−

=

1

e f

e

−

=

−

Câu 12: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn [ ]0 1; Tìm

( ) 1 201 ( )

1 2 0

8 0

f A

∈

−

A 1

2019

−

16144

−

2018

−

16140

−

Câu 13: m là tham số thuộc đoạn [ ]1 3; Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2

m

P= ∫ x m− x− m dx Tính a b+ =

121 4

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2( 2 1) 4( 3 )

m

+

b

= nguyên

Trang 3

A 7 B 337 C 25 D 91

( ) 1 2013 ( )

0

1 2 0

f A

x+ x

M min x f x d f x d x

∈

A 1

503

2012

1

8 2013.

Câu 16: Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là:

Câu 17: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện

Câu 18: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn với

mọi và Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 19: Cho hàm số liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

và Giá trị lớn nhất của tích phân bằng bao nhiêu?

Câu 20: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

với mọi Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng:

Câu 21: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

Biết với mọi Tích phân có giá trị lớn nhất bằng:

y= x + mx m+ +

( )

f x ≤ x∈ −[ 1;1] 1 ( )

1

0

f x dx

−

=

1

x f x dx

−∫ 1

2

4

3

( )

[ ]0;1

0

3

xf x dx =

0

?

x f x dx

∫

16

4 3

17 8

( )

y= f x [ ]0;1

[ ] ( )

0;1

max f x =6 1 2 ( )

0

x f x dx =

0

x f x dx

∫

1

8

4

16

24

( )

y= f x [ ]0;1 3f x( )+xf'( )x ≥x2018

[ ]0;1

0

x

f x d

∫ 1

2021 2022×

1

2018 2021×

1

2018 2019×

1

2019 2021×

( )

( ) ( )

0

1

x

g x = +∫ f t dt g x( )≤ f x( ) x∈[ ]0;1

( ) 1 0

1

dx

g x

∫

Trang 4

A B C D

trị lớn nhất bằng:

lớn nhất bằng:

giá trị lớn nhất bằng:

Câu 25: Cho hàm số dương và liên tục trên thỏa mãn

và biểu thức đạt giá trị lớn nhất Khi đó tính ?

Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f ( )x x 1, x 0

x

′ ≥ + ∀ > và f ( )1 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất m

của f ( )2

A 1 ln 2

2

m = + B m = +2 2ln 2 C m = +1 ln 2 D 5 ln 2

2

m = +

Câu 27: Cho parabol và hai điểm thuộc sao cho Tìm diện tích lớn

nhất của hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng

1

2 2

1 2

( )

( ) ( )

0

1 3

x

g x = + ∫ f t dt ( ) 2( )

0

x

g x d

∫

5

2

4 3

7 4

9 5

( )

( ) ( )

2

0

1

x

g x = +∫ f t dt g x( )≥2xf x( )2 x ∈[ ]0;1 1 ( )

0

g x dx

∫

( )

0

1 2

x

g x = + ∫ f t dt ( ) ( ) 3

g x ≥ f x  x∈[ ]0;1 13 ( ) 2

0

g x dx

∫

5

4

( )

[ ]1;3 ( ) [ ]1;3 ( ) 1

2

( ) ( )

1

f x

1

f x dx

∫ 7

2

5 2

7 5

3 5

( )P :y=x2 A B, ( )P AB =2

4

3

3 4

2 3

3 2

Trang 5

HƯỚNG DẪN GIẢI GTNN, GTLN TÍCH PHÂN

1 2 0

S x ax dx với a∈[ ]0 1,

A 2 2

6

−

3

−

3

−

6

−

Hướng dẫn giải:

Phá dấu trị tuyệt đối ta có

a a

6 2

−

min

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0 1; và thỏa

( )

2 1

0

∫ f ' x

f x Tìm mệnh đề đung

2

  =

 

 

2

  =

 

 

2

  =

 

 

  =

 

 

f

e

Ta có ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 0 0

1

0

∫ f ' x dx=ln f x lnf ln f ln f ln e

Nên ( )

( ) ( ) ( )

∫ f ' x dx ∫ f ' x dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ f ' x f ' x dx ∫ f ' x dx f ' x

Vậy: ( )= x

f x A.e Mà f ( )1 =e f ( )0 =e Nên ( ) 1

2

 

 

x

Câu 3: Cho a b+ =ab+4 và a<b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 ( )

b

a

I =∫ x − a b x+ +ab dx

Ta có

Trang 6

( )

2

4

48

4 3

I

.a I

⇒ ≥

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 (2 ) 2

b

a

I =∫ x + −m x− dx trong đó a<b là hai nghiệm cảu phương trình x2+(2−m x) − =2 0

A 128

8 2

( )

3 4

m

a

1 3 0

S=∫ x −ax dx với a∈[ ]0 1,

A 2 2

6

−

1

8

−

2

a a

= −  + − − + =  −  + ≥

Câu 6: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2

3 4 2 5 2 2 3

m

S= ∫ x − mx + m x− m dx với [ ]1 3

m∈ ; Mệnh đề nào dưới đây đúng

6

a b+ = B a b+ =1 C 21

4

a b+ = D a b+ =2

S= ∫ x m− x− m dx= −∫ x m− x− m dx= − ∫ x m− x m− −m dx

2

m

Thay m∈[ ]1 3; vào ta có 41

6

a b+ =

Câu 7: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn [ ]0 1; và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ]0 1;

Tìm m nhỏ nhất sao cho 1 (2018 ) 1 ( )

f x dx≤m f x dx f∀ ∈A

Trang 7

A 2018 B 1 C 1

Đặt t2018= ⇒x dx=2018.t2017dt nên 1 (2018 ) 1 2017 ( ) 1 ( )

2018

f x dx=2018 t f t dt≤ f t dt

Tìm m nhỏ nhất nên m≤2018 Ta sẽ Cm m=2018 là số cần tìm Xét ( ) n

f x =x ta có

( )

2018

+

Cho n → +∞ ta có m≥2018 Vậy m=2018 là hằng số nhỏ nhất cần tìm

thỏa mãn f( )1 =2018 f ( )0 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

2 2

f x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

0

1

'

Câu 9: Cho a b+ =ab+4 và a<b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b ( ) (2 )

a

I=∫ x a− x b dx−

3

( ) (2 ) ( ) ( ) (2 ) ( ) ( )2

S= −∫ x a−  x a− + a b− dx= −∫ x a− x a dx− − a b− ∫ x a− dx

( )4 ( ( )2 )2 ( ( )2 )2 ( ( )2 )2

Câu 10: Cho ( )2 ( 2 2)2

4

a−b + a −b = và a<b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )

2

b

a

I=∫ x − a b x ab dx+ +

A 16

4

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( )

2

3 4

3 2

I

ab a

∆

Trang 8

Khi đó

( )2 ( 2 2)2

4

1

a b

a a

+ =



thỏa mãn f ( )1 =e f ( )0 Biểu thức

2 2

1

2

'

f x

A ( )1 2

1

e f

e

=

2 1

1

e f

e

=

1

e f

e

−

=

1

e f

e

−

=

−

Viết lại biểu thức cho dưới dạng

( ) ( )

2 1

0

1

0

'

f x dx

f x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) 2

2 2

f x

Thay x=0 vào ta có ( )

( )



( ) 2 21 ( )1 22 2

e

( ) 1 201 ( )

1 2 0

8 0

f A

∈

−

A 1

2019

−

16144

−

2018

−

16140

−

Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x( ) có hệ số a=x;b= −x2018;c= 0

Nên biểu thức Min tại

( ) 2017

1

min

b x

f x

a

∆





Câu 13: m là tham số thuộc đoạn [ ]1 3; Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

Trang 9

( ) ( )

2

m

P= ∫ x m− x− m dx Tính a b+ =

121 4

m

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2( 2 1) 4( 3 )

m

+

b

= nguyên

dương và a

b tối giản Tính T= +a b

9 16 25

 

( ) 1 2013 ( )

0

1 2 0

f A

x+ x

∈

A 1

503

2012

1

8 2013.

Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x( ) có hệ số a= −x;b= − −x2013;c= 0

Nên biểu thức Max tại

( ) 2013 2012

1

max

f x

∆





−

Câu 16: Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là:

Vì với m tùy ý ta luôn có nên diện tích hình phẳng cần tìm là

y= x + mx+m +

3x +2mx+m + >1 0 ∀x

2

0 0

S=∫ x + mx m+ + dx=x +mx + m + x = m + m+ = m+ +

Trang 10

S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = - 1 (dùng casio thử nhanh hơn)

Chọn C

Câu 17: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện

Ta đặt

Do đó ta suy ra Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau:

khi và chỉ khi

Câu 18: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn với

mọi và Tìm giá trị lớn nhất của

( )

f x ≤ x∈ −[ 1;1] 1 ( )

1

0

f x dx

−

=

1

x f x dx

−∫ 1

2

4

3

1 2 1

min

a

∈

−

0

R

1

R

[ ]0;1

a∈

0;1

−

R

[ ]

2

0;1 1

1

a

a a

−

∫

R

[ ]

1 2

0;1 1

a a

−

∫

R

1 4

a =

1 2 1

1 min

2

∈

−

∫

R

( )

[ ]0;1

0

3

xf x dx =

0

?

x f x dx

∫

16

4 3

17 8

( )

1 3 0

3

I− a = ∫ x −ax f x dx ≤∫ x −ax f x dx

a

∈

Trang 11

Trường hợp 1: Nếu khi đó

Câu 19: Cho hàm số liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

và Giá trị lớn nhất của tích phân bằng bao nhiêu?

Ta có với mọi số thực thì do đó:

0

a≤

R

1

a≥

R

[ ]0;1

a∈

31

16

a

R

1 3 0

min 3 8

∈

R

a= I= > a=

( )

y= f x [ ]0;1

[ ]0;1 ( )

max f x =6 1 2 ( )

0

x f x dx =

0

x f x dx

∫

1

8

4

16

24

a ∈ R 1 2 ( )

0

ax f x dx =

∫

6

x f x dx = x −ax f x dx ≤ x −ax f x dx≤ x −ax dx ∀ ∈a

0

a ≤ x3−ax2 =x2(x a− )≥0 ∀ ∈x [ ]0;1

0

a

≤

1

a≥ x3−ax2 =x2(x a− )≤0 ∀ ∈x [ ]0;1

1

a

≥

[ ]0;1

a∈

2

a

f a = x −ax dx= ax −x dx+ x −ax dx= − +

Trang 12

Ta tìm được vậy

Do vậy:

Câu 20: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

với mọi Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng:

Ta có:

Biết với mọi Tích phân có giá trị lớn nhất bằng:

Đặt

là hàm số đồng biến trên do vậy ta có

đánh giá:

g a

−

( ) 3 2( 34)

min

4

a g a

∈

−

=

R

0;1

a

∈

( )

y= f x [ ]0;1 3f x( )+xf'( )x ≥x2018

[ ]0;1

0

x

f x d

∫ 1

2021 2022×

1

2018 2021×

1

2018 2019×

1

2019 2021×

( ) ( ) 2018

3f x +x f ' x ≥x ⇒3x f x2 ( )+x f3 '( )x ≥x2020

0;1

2021

t

( )

1

2021 2019.2021

x

0

f x dx

∫ 1

2019.2021

( )

( ) ( )

0

1

x

g x = +∫ f t dt g x( )≤ f x( ) x∈[ ]0;1

( ) 1 0

1

dx

g x

∫

1

2 2

1 2

( )

0

1

x

F x

′

+

∫

( )

0

1

1 1

F t

F x

0

Trang 13

trị lớn nhất bằng:

Đặt

là hàm số nghịch biến trên do

vậy ta có:

lớn nhất bằng:

Đặt

là hàm số nghịch biến trên do vậy ta

có:

giá trị lớn nhất bằng:

( )

( ) ( )

0

1 3

x

g x = + ∫ f t dt g x( )≥ f2( )x x ∈[ ]0;1 1 ( )

0

x

g x d

∫

5

2

4 3

7 4

9 5

2 0

x

F x

′

+

∫

0

F x

( ) ( ) [ ] ( )

0

( )

( ) ( )

2

0

1

x

g x = +∫ f t dt g x( )≥2xf x( )2 x ∈[ ]0;1 1 ( )

0

g x dx

∫

2 0

2

1

F x

+

∫

2 2 0

2

1

t xf x

F x

0

h x ≤h ∀ ∈x ⇒ +F x − x≤ ⇒ +F x ≤e ∀ ∈x ⇒ ∫g x dx≤

( )

( ) ( )

0

1 2

x

g x = + ∫ f t dt ( ) ( ) 3

g x ≥ f x  x ∈[ ]0;1 13 ( ) 2

0

g x dx

∫

5

4

Trang 14

Ta đặt khi đó

biến trên cho nên

Do đó:

Chọn A

Câu 25: Cho hàm số dương và liên tục trên thỏa mãn

và biểu thức đạt giá trị lớn nhất Khi đó tính ?

Ta có:

Ta tìm được khi

Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f ( )x x 1, x 0

x

′ ≥ + ∀ > và f ( )1 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất m

của f ( )2

A 1 ln 2

2

m = +

Chọn D

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2

2

x

′

2

m = +

( ) ( ) 0

x

g x = + F x ≥f x  ∀ ∈x

( )

′

3 0

1 2

F x

∫ [ ]0;1

( )

3

g x ≤ x+ ∀ ∈x ⇒ g x  dx≤  x+ dx⇒ g x  dx≤

( )

1;3 1;3

1

2

1

f x

1

f x dx

∫ 7

2

5 2

7 5

3 5

( )

1

2

2≤ f x ≤ ⇒(2f x( )−1) (f x( )−2)≤0 ( ) ( )1 5

2

f x

( ) ( )

f x

5 2

S f x dx f x dx

4

S =

( )

3

1

5 2

f x dx =

∫

Trang 15

Câu 27: Cho parabol và hai điểm thuộc sao cho Tìm diện tích lớn

nhất của hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng

Đặt Suy ra:

Ta có:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

( )P :y=x2 A B, ( )P AB =2

4

3

3 4

2 3

3 2

( ; 2) (, ; 2)

AB= ⇔ b a− + b −a =

2 2

:

1

AB

− − + ⇔ =y (a b+ )(x a− )+a2 ⇔ =y (a b x ab+ ) −

S=∫ a b x+ −ab−x dx=∫ x−a b−x dx t= −x a

b a b a

( )

2

4

1

a b

( )3 3

2

b a

0

a b+ =

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	262,61 KB