Toán cao cấp 1-Bài 3: Phép tính tích phân doc

• Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế… Hướng dẫn học • Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái n

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Mục tiêu

• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định,

tích phân xác định, tích phân suy rộng

• Làm được bài tập về tích phân bất định, tích

phân xác định

• Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân

Bạn nên dành mỗi tuần khoảng 90

phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng

120 phút trong vòng hai tuần để

làm bài tập để nắm vững nội dung

bài học này

• Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các phương pháp tính các loại tích phân này

• Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế…

Hướng dẫn học

• Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định

và các loại tích phân suy rộng

• Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì:

Hàm số F(x) C+ cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là một hằng số bất kỳ

Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x) C+ , trong đó C là một hằng số

Chứng minh:

Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có:

(F(x) C ' F'(x) f (x)+ ) = = với mọi x D∈ Theo định nghĩa F(x) C+ cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D Ngược lại, giả sử (x)ϕ là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D

Ta có:

[F(x)− ϕ(x) ' F'(x)] = − ϕ'(x) f (x) f (x) 0, x D= − = ∀ ∈ Suy ra F(x)− ϕ(x) nhận giá trị hằng số trên khoảng D:

F(x)− ϕ(x)= − ⇔ ϕC (x) F(x) C, x D= + ∀ ∈ Như vậy biểu thức F(x) C+ biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm

3.1.1.2 Tích phân bất định

Định nghĩa:

Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) C+ ; với x D∈ ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ Tích phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là: f (x)dx∫

Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân

Vậy: ∫f (x)dx F(x) C= + , với F(x) là nguyên hàm của f (x)

trong đó α β là các hằng số không đồng thời bằng 0 ,

Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định

3.1.1.4 Các công thức tích phân cơ bản

Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa:

1x

∫2

2 2

∫2

2 2

arcsin Ca

−

∫

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

3.1.2.1 Phương pháp khai triển

Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:

[αf (x)+ βg(x) dx] = α f (x)dx+ β g(x)dx

Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà

đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân

3 2

3.1.2.3 Phương pháp đổi biến

Xét tích phân I=∫f (x)dx; trong đó f (x) là một hàm số liên tục Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp là đổi biến xuôi x= ϕ và đổi biến ngược t(t) = ψ(x)

I=∫g(t)dt G(t) C= + ⇒ =I G h(x) +C

• Phép đổi biến thứ hai:

Đặt t= ψ(x), trong đó (x)ψ là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x) g= ψ[ (x)]ψ'(x) Khi đó ta có:

I=∫f (x)dx=∫g ψ(x) ψ'(x)dx Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số

số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến

số cũ.

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

2 2

x

dxI

1 4

=+

Giả sử u u(x)= và v v(x)= là các hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân

d(uv) udv vdu= + ⇒uv=∫d(uv)=∫udv+∫vdu Suy ra : udv uv∫ = −∫vdu

Xét tích phân: I=∫f (x)dx

Ta cần biểu diễn:

f (x)dx= g(x)h(x) dx g(x) h(x)dx= =udv

và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u g(x); v= =∫h(x)dx

Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: ln x;a ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược Cụ thể: x

• Trong các tích phân ∫x e dx; x sin kxdx; x cos kxdxn kx ∫ n ∫ n , n nguyên dương, ta thường chọn: u x= n

• Trong các tích phân ∫x ln xdxα n , α ≠ −1 và n nguyên dương, ta thường chọn

n

u ln x=

• Trong tích phân ∫x arctg kxdx; x arcsin kxdxn ∫ n , n nguyên dương, ta thường chọn:

u arctg kx= hoặc u arcsin kx= ; dv x dx= n

2 2

I = −x cos x 2 x cos xdx+ ∫ Đặt u x,dv cos xdx= = ⇒ =v sin x, ta được:

(x 1)

=+

1 e

=+

Đặt

x x

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

6

I =e cos 2x 2 e sin 2xdx+ ∫ Đặt u sin 2x;dv e dx= = x ⇒ =v e ;du 2cos 2xdxx = ; ta được:

Định nghĩa:

Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng: f (x) P(x)

Q(x)

trong đó P(x),Q(x) là các đa thức của x

Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự

Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng:

Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x)

Q(x) trong hai trường hợp đặc biệt: Mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa

về hai trường hợp trên

3.1.3.1 Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất

Xét tích phân:

P(x)dx

• Nếu tam thức x2 +px q+ có hai nghiệm phân biệt x1 ≠x2; ta có:

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

• Nếu tam thức x2 +px q+ vô nghiệm, ta viết lại:

Q(x) (x= − α ) (x− α ) (x +p x q ) (x+ +p x q )+ trong đó αi, p ,qj j là các hằng số, a , b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j ni j ≤ ≤ ≤ ≤

• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x− α , a là số nguyên dương )athì trong phân tích của phân thức P(x)

Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng

i i

A(x− α) , trong

++ + , trong đó B ,C là các hằng số và 1 j bj j ≤ ≤ Sau khi viết được phân tích của P(x)

Q(x), ta tìm các hằng số A , B ,C bằng cách quy i j jđồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của x , nn ∈ ` ở hai vế

Chia tử số cho mẫu số ta được đa thức x và phần dư Do mẫu số của phân thức có

các nhân tử là x2 + và x 12 − nên ta viết lại phân thức ở dạng:

Ta viết: sin x cos x 2dx d(1 sin x cos x) 2 dx

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

• Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t cos x=

• Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặtt sin x=

• Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:

1 x sin 2x sin 4x sin 2x sin 2x

1 x sin 2x sin 4x sin 6x

1sin ax cos bxdx sin(a b)x sin(a b)x dx

ƒ Đặt t = cosx nếu R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx)

ƒ Đặt t = sinx nếu R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx)

ƒ Đặt t = tgx nếu R( sin x, cos x) R(sin x,cos x)− − =

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

Xét tích phân có dạng ∫R(x, α ±2 x )dx2 , ∫R(x, x2− α2)dx, trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ

• Đặt x= αtg t đối với tích phân ∫R(x, α +2 x )dx2

• Đặt x= αsin t hoặc x a cos t= đối với tích phân ∫R(x, α −2 x )dx2

3.2.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y f (x)= xác định và liên tục trên đoạn [ ]a, b và giả sử f (x) không âm trên đoạn đó Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y f (x)= (x∈[ ]a, b ); các đường thẳng x a, x b= = và trục Ox Tính diện tích S của hình thang cong AabB

Ta chia đoạn [ ]a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

x ≡ <a x < < x < < x ≡ bCách phân chia nói trên được gọi là một phân hoạch π của đoạn [ ]a, b

Tại mỗi điểm có hoành độ x trên trục hoành ta kẻ các đường thẳng song song với itrục Oy Các đường thẳng này giao với đồ thị của hàm số f (x) tại các điểm A và sẽ i

chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ A x x Ai i i 1+ i 1+ Ta có thể xấp xỉ

diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ đó bởi diện tích của hình chữ nhật có cùng đáy

dưới và chiều cao f ( )ξ , trong đó i ξ là một điểm bất kỳ nằm giữa i x và i xi 1+ Gọi S i

là diện tích của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có:

S ≈ ξf ( )(x+ −x ) f ( ) x= ξ Δ Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ bởi công thức:

ξ ∈i [x , xi i 1+ ] Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn và độ dài các đoạn chia Δ nhỏ dần thì cạnh trên xi

của hình chữ nhật thứ i càng sát với hình dáng của đồ thị của f (x) trên đoạn

[x , xi i 1+ ], phép xấp xỉ diện tích S bởi tổng diện tích các hình chữ nhật nói trên càng

chính xác Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng ở vế phải chính là diện tích S của

hình thang cong AabB:

n

S lim

→∞

Trong toán học, giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất định được gọi là tích

phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn [ ]a, b

i 0

phụ thuộc vào cách chia đoạn [ ]a, b và cách chọn các điểm ξ ) thì hàm số f (x) được i

gọi là khả tích trên đoạn [ ]a, b và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x)

trên đoạn [ ]a, b , và ký hiệu:

b a

I=∫f (x)dx

a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân

Ví dụ 14:

Xét hàm hằng f (x) C, x= ∀ ∈[ ]0,1

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

Với một phân hoạch π bất kỳ của đoạn [ ]0,1 và cách chọn điểm ξ ∈i [x , xi i 1+ ], ta lập tổng tích phân:

• f (x) liên tục trên đoạn [ ]a, b

• f (x) đơn điệu và bị chặn trên [ ]a, b

• f (x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên [ ]a, b

CHÚ Ý :

Tích phân xác định của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn [ ]a, b là một số xác định, do

đó tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số dưới dấu tích phân

Ví dụ 15:

Tính tích phân

1 2 0

x dx

Dễ thấy hàm số f (x) x= 2 liên tục và do đó khả tích trên đoạn [ ]0,1 Phân hoạch đoạn

[ ]0,1 bởi các điểm chia

3 n

3.2.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Chúng ta đã biết mọi hàm số liên tục trên đoạn [ ]a, b đều khả tích trên đoạn đó, do đó công thức (3.1) có thể viết lại dưới dạng :

b a

S=∫f (x)dx Như vậy nếu y f (x)= là hàm số liên tục và f (x) 0≥ trên đoạn [ ]a, b thì tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn [ ]a, b là số đo diện tích của hình thang cong AabB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) trên đoạn đó và các đường thẳng

x a, x b, y 0= = =

3.2.1.5 Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

Trong phần này ta luôn giả sử a b<

• Nếu hàm số f (x) khả tích trên đoạn [ ]a, b thì:

f (x)dx= − f (x)dx

• Nếu f (x) khả tích trên đoạn [ ]a, b và c là một điểm bất kỳ nằm giữa a và b, thì

hàm số f (x) cũng khả tích trên mỗi đoạn [ ] [ ]a,c ; c, b và

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

trong đó ,α β là các hằng số và f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn [ ]a, b

• Giả sử f (x),g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn [ ]a, b và f (x) g(x), x≤ ∀ ∈[ ]a, b ,

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (x) g(x)= với mọi x∈[ ]a, b

• Nếu f (x) khả tích trên đoạn [ ]a, b thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó và

a

f (x)dx f (c)(b a)= −

Giả sử f (x) là một hàm số liên tục trên đoạn [ ]a, b Khi đó f (x) cũng khả tích trên đoạn [ ]a, x với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn [ ]a, b

a(x) f (t)dt, x a, b

3.2.3 Công thức Newton – Leibnitz

b

b a a

f (x)dx F(x)= =F(b) F(a)−

∫trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f (x)

Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó

Chứng minh:

Do hàm cận trên (x)Φ là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [ ]a, b nên ta có

F(x)= Φ(x) C+ Thay x a= ta có: F(a)= Φ(a) C C+ =

I =∫ x 1 dx−

Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x)= −x 1 không suy ra trực tiếp được từ bảng các tích phân cơ bản, do đó ta cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân Do đó ta chia đoạn lấy tích phân thành hai đoạn: Trên đoạn

[ ]0,1 hàm số f (x) 1 x= − , trên đoạn [ ]1, 2 hàm số f (x) x 1= − Sau đó dùng công thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân:

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần Tuy nhiên khi dùng phương pháp đổi biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ cần tính lại cận tích phân tương ứng Sau đây trình bày lại hai cách đổi biến đối với tích phân xác định, và công thức tích phân từng phần

3.2.4.1 Phương pháp tích phân từng phần

( )

b a

udv= uv − vdu

trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục

Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa các hàm số a ,e ,ln x , các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược x x

Ví dụ 17:

Tính tích phân:

1 3x

ϕ là hàm số đơn điệu thực sự và có đạo hàm liên tục trên [ ]a, b

f (x)dx trở thành g(t)dt , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [ϕ(a), (b)ϕ ]

Khi đó:

(b) b

f (x)dx g(t)dt

ϕ ϕ

Xét một biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, được gọi là

biến ngẫu nhiên Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị x nào đó được cho 0

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

bởi hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục x là một hàm số liên tục f (x) thoả mãn các điều kiện sau:

f (t) t , 0 t 5125

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A , (a A] ≤ < +∞)

Định nghĩa:

Giới hạn của tích phân xác định

A a

f (x)dx

∫ khi A→ +∞ được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f (x) trên khoảng [a,+∞) và ký hiệu như sau:

A A

f (x)dx lim f (x)dx+∞

Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng (−∞, a] và

(−∞ +∞, ) bởi các công thức sau:

A A

A '

A '

f (x)dx lim f (x)dx+∞

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ

Từ định nghĩa ta suy ra phương pháp tính tích phân suy rộng với cận vô hạn

Ví dụ 20:

a) Tính tích phân

2

2 e

A A

2

e e

A

A '

dx(x +1)

giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ

d) Xét sự hội tụ của tích phân:

1

dxI

x

+∞

α

= ∫

Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ

Với mọi A 1> , ta có:

1 A

1

khi 1dx

1x

ln A khi 1

−α α

1 A

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, b) và khả tích trên mọi đoạn [ ]a, t ; (t b< bất kỳ), và

f (x)dx

∫ khi t→b−; được gọi là tích phân suy rộng của hàm

số f (x) trên khoảng [a, b) và được ký hiệu như sau:

xα

=∫ Điểm bất thường của hàm số là x 0=

Với mọi t∈(0,1], ta có:

1 1

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau:

• Nguyên hàm của một hàm số

• Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn

• Tích phân bất định của một hàm số

• Tích phân suy rộng cận vô hạn và của hàm không bị chặn

Bài này nghiên cứu các định nghĩa, tính chất, phương pháp tính cơ bản của tích phân xác định và tích phân xác định, sự hội tụ của tích phân suy rộng

Khi học, học viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp đó trong tính tích phân và khảo sát tích phân suy rộng