Ôn tập Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng đối với học sinh TB và Yếu

BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾUA... Do đó ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân + Nếu trong đoạn a b;  phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm   x x

BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU

A Nguyên hàm – Tích phân

Dạng 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước

Bước 1 : Tìm F(x) = g x dx G x( )  ( )C (*)

Bước 2 : Dựa vào điều kiện đã cho ta thiết lập phương trình để tìm C

Bước 3 : Thế giá trị của C vừa tìm được vào (*)

Bài tập áp dụng :

1 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 1 2x2

x



 thỏa mãn điều kiện F ( 1) 3

2 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) cos x 3sinx thỏa mãn điều kiện F  ( ) 0

3 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

2

( )

( 1)

f x

x



 , biết rằng (0) 1

2

F 

4 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 4 x3 3x22, biết rằng đồ thị của hàm số ( )

F x đi qua M( - 1; 3 )

Dạng 2 : Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng ( hiệu ) của những hàm số có trong bảng nguyên hàm

Tính các tích phân sau :

1

4

1

dx



 2 3 2

0

cos 2xdx



 3

4

0

sin xcos xdx



2 6

3 sin sin

x dx x









5

1

3

0

x

e dx

 6

1

0

3 (3x x 6 )x dx



ln 2 2

0

4 2

x x

e dx e





 8

9

1

dx

x x x





9 4

0

sin 3 sin 2x xdx



2

0

sin 5 cosx xdx



2

0

cos 7 cos 2x xdx



2 2

3x 2x 4x 3

dx x



13

4

dx

x x

 14

3 2 0

x  x dx

2 3

0

1

dx x

 



 16

3

0

2 1

x dx x







Dạng 3 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng :  ( ) ( ) '

b

a

u x u x dx





Đặt : u u x ( ) du u x dx '( )

Đổi cận :

x a x b  u u b u u a ( )( )

 

( )

'

( ) ( )

( ) ( )

1

u b

u b b

u a

u

u x u x dx u du









Bài tập : Tính các tích phân sau

1 3

0

sin cosx xdx



 2

1

0

(1 )

x x dx

 3  

2

0

4

e  e dx

 4 2 3

0

cos xdx





5

2

0

1

x x  dx

 6 2

0

sinx 1 3cosxdx





2 2 0

3

x

dx

x x



 

3

0

1

x xdx



Dạng : '( )( )

b

a

g x dx

g x



Đặt : u g x ( ) du g x dx '( ) Đổi cận :

( )

( )

x a u g a

x b u g b

( ) ( )

( ) ( )

g b

g b b

g a

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1

2

2

1

1

x

dx

x x



 

 2 3

0

2sin

2 cos

xdx x





 3

2

3

sin cos sin cos

dx









1

x x

e dx

e 



5

2

dx

x 

 6 2 2

0

sin 2 3cos 1

xdx x





 7

2

0

sin cos

x xdx



ln 2

dx dx

e





 Dạng (ln ).1

b

a

f x dx

x



Đặt u lnx du 1dx

x

Đổi cận :

ln

ln

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1

1

ln 1

e

x

dx

x



 2

2 3

1

e x dx x



 3

3

e dx dx

x x 

 4

7

3

e dx

x x 



Hướng dẫn :

1 Đặt u lnx 1 2 Đặt u lnx 3 Đặt u lnx1 4 Đặt u3lnx1

 Dạng ( ) '( )

b

u x a

e u x dx



Đặt u u x ( ) du u x dx '( )

Đổi cận :

x a x b  u u a u u b ( )( )

( ) ( )

( )

'( )

u b b

e u x dx e du

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1 2

1

1

0

x

x e dx

 2 4 tan

2

0cos

x e dx x



 3

4

2 1 0

x

e  dx

 4

4

1

x e dx x





0

cos 2 x e x dx





1 2 2 1

x e dx x

 7

3

1

0

(3 2)

x x

e   x dx



 8 2 sin cos

0

(cos sin )

x x









Dạng 4 : Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Tính các tích phân sau :

1

0

sin

x xdx



 2

1 2 0

x

x e dx

 3

2

1

(2x1) lnxdx

 4 2 2

0

cos

x xdx





Dạng 5 : Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng dạng 1 :

Hình phẳng giới hạn bởi (C): yf x y( ); 0; x a x b ;  có diện tích là ( )

b

a

Sf x dx

Chú ý :

+ Nếu đề bài không đề cập đến hai đường thẳng x = a và x = b thì ta phải tìm chúng bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox

+ Nếu trong đoạn a b;  phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm thì dấu của f x( ) không đổi trên đoạn a b;  Do đó ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân

+ Nếu trong đoạn a b;  phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm

 

x x x x thì ta chia đoạn thành ba đoạn nhỏ và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân

Cụ thể :

f x dx f x dx  f x dx  f x dx

Bài tập :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

y x x  , trục hoành , x 0 và x 2

b y x 4 x Ox2;

c y e x1; Ox x; 2

d yln ; x Ox x e; 

 Hình phẳng dạng 2 :

Hình phẳng giới hạn bởi (C): yf x C( );( ') : y g x x a x b ( );  ;  có diện tích là

( ) ( )

b

a

Sf x  g x dx

Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a ( ) :C y x 3 3x1;y1

b ( ) :C y ln ; ( ) :x d y1; x1

c ( ) :C y x 312x và y x 2

d ( ) :C  y x31 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2

Dạng 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay

Khi quay quanh Ox hình phẳng (H) tạo bởi các đường

(C) :yf x y( ); 0; x a x b ;  ta được vật thể tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức sau :

2( )

b

a

V f x dx

Bài tập : Tính vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

quanh trục hoành

2 4 ; ; 1; 2

y x  x Ox x x

2

x



c y 2 x y2; 1