C là một điểm thay đổi trên đờng tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn O;R tại M, MB cắt CH tại K.. d Xác đ
Trang 1phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 9 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
1 x
−
Với x 0; x> ≠ 1; x 1≠
4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= −
c) So sánh A với A
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
b
a = b + 1 = c + 2 ; c >0
2
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình
a) x2−3x 2+ + x 3+ = x 2− + x2+2x 3−
5
+
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đờng tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R
Bài 5: (1,5 điểm) Cho ( ) (2008 )2008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên
b) Tìm chữ số tận cùng của M
Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng máy tính.
Hết
-Họ tên thí sinh:………
Số báo danh : ………
Chữ ký giám thị 1:………
Chữ ký giám thị 2:………
Trang 2hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
môn toán lớp 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
:
2 x 1
:
: 2 x 1
−
2 x 1
: 2 x 1 :
−
0.5
0.5 0.25 0.25 0.5
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= − (1 điểm).
0.5 0.5
c) So sánh A với A(1 điểm).
Biến đổi 1 x x 1
Chứng minh đợc 1
x
+ > với mọi 1
4
x
0.25 0.25
0.5
Bài 2 (3 điểm)
Trang 3a) Chứng minh rằng ( ) 1 ( )
b
− < < − biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có: a b 1= + ⇒ − = ⇒ >a b 1 a b 1( )
( )
b 1 c 2+ = + ⇒ − = ⇒ > >b c 1 b c 0 2 (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0
+ (Vì a >b>0)
b
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp: 1 ( )
b
− < < − (đpcm)
0.5 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
b) Biểu thức
2 2
2
= + + + có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).
2
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên
0.5 0.75 0.25
Bài 3 (3điểm) Giải phơng trình
a) x2 −3x 2+ + x 3+ = x 2− + x2+2x 3− (1.75 điểm)
⇔ (x 1 x 2− ) ( − ) + x 3+ = x 2− + (x 1 x 3 1− ) ( + ) ( )
Điều kiện
( ) ( )
( ) ( )
x 3 0
x 2
x 2 0
− ≥
( )1 ⇔ x 2− ( x 1 1− − −) x 3+ ( x 1 1− − =) 0
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2
0.5 0.25
0.25 0.5 0.25
5
+ + − − = (1) (1.25 điểm).
Trang 4Điều kiện 2
x
3
1
(Vì 2
x
3
≥ nên x + 3 > 0)
Giải tiếp phơng trình (2) ta đợc nghiệm của phơng trình là x = 2
0.25 0.25 0.25
0.5
Bài 4 (8 điểm)
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn (2 điểm)
Chứng minh OI ⊥ AC
Suy ra ∆OIC vuông tại I suy ra I thuộc đờng tròn đờng kính OC
CH⊥AB (gt) ∆CHO vuông tại H ⇒H thuộc đờng tròn đờng kính OC
Suy ra I, H cùng thuộc đờng tròn đờng kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc một đờng tròn
0.75 0.25 0.75 0.25 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) (2 điểm)
- Chứng minh ã ã
=
- Chứng minh ∆AOM = ∆COM
- Chứng minh MC⊥CO
⇒MC là tiếp tuyến của (O; R)
0.75 0.75 0.25 0.25 3) Chứng minh K là trung điểm của CH ( 2 điểm)
∆MAB có KH//MA (cùng ⊥AB) ⇒ KH HB KH AM.HB AM.HB
AM = AB⇒ = AB = 2R (1) Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM CBHã = ã (đồng vị)
C/m ∆MAO đồng dạng với ∆CHB ⇒ MA AO CH AM.HB AM.HB
CH = HB ⇒ = AO = R (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ⇒ CK = KH ⇒ K là trung điểm của CH
1
0.75 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ∆ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó
K
M
I
C
A
Trang 5Chu vi tam giác ACB là PACB =AB AC CB 2R AC CB+ + = + +
Ta lại có
2
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔M là điểm chính giữa cung AB
Suy ra PACB ≤2R 2R 2 2R 1+ = ( + 2) , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB
Vậy max PACB =2R 1( + 2) đạt đợc khi M là điểm chính giữa cung AB
0.5
0.75
0.25 0.25 0.25 Bài 5 (1,5 điểm)
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên (1 điểm)
Biến đổi ( ) (1004 )1004
Đặt a 5 2 6= + ; b 5 2 6= − ⇒ + =a b 10 và a.b 1=
n
U =a +b với n N∈ Khi đó M = U1004
Ta có n 2 n 2 n 1 n 1 ( ) n 1 ( ) n 1
n 2
+ = + = + = − + −
( n 1 n 1) ( n n)
n 1 n
+
n 2 n 1 n
Ta thấy U0 = 2 ∈ Z ; U1 = a + b = 10 ∈ Z
2
Theo công thức (*) thì U3 =10U2 −U1 mà U1, U2∈Z suy ra U3∈Z
Lại theo (*) U4 =10U3−U2 cũng có giá trị nguyên
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n ∈N*
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên
0.25
0.25
0.25 0.25
a)Tìm chữ số tận cùng của M (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra Un 2+ +Un =10Un 1+ M10
có chữ số tận cùng giống nhau
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2
0.25 0.25
Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tơng đơng.
2 Điểm toàn bài không đợc làm tròn.