Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM.. Chứng minh rằng: B AˆD... 2,5đ Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: MA = MB.. Gọi H là giao điểm của MD và AB
Trang 12 2
2 2
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
2005 1980
1
) 25 (
1
27 2
1 26 1 1
2005 25
1
) 1980 (
1
1982 2
1 1981 1 1
+ + + +
+ +
=
+ + + +
+ +
=
m m
B
n n
A
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện vĩnh lộc đề thi học sinh giỏi - năm học 2012-2013 Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 4.0 điểm):
a) Cho biểu thức : M =a+ 2ab−b Tính giá trị của M với a =1,5; b = - 0,75
b) Xác định dấu của c, biết rằng 2a3bc trái dấu với − 3a5b3c2
Bài 2( 4.0 điểm):
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y;3y = 5z và 2x – 3y + z = 6
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau :
Tính giá trị của biểu thức M, với M = c a++d b+ d b++c a+c a++d b +d b++c a.
Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2
a) Hãy tính : f(0) ; f(−21)
b) Chứng minh : f(x – 1) = f(1 – x)
Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM Qua A kẻ đờng
thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng:
a) BD // CE
b) DE = BD + CE
Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng:
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho:
CD = 2 BD Chứng minh rằng: B AˆD< 21C AˆD
Hết
Trang 2Híng dÉn chÊm To¸n l¬p 7
Câu
1
(4,0đ)
a.(2.5đ) Ta có: a = 1 , 5 ⇒a= 1 , 5 hoặc a= − 1 , 5
Với a = 1,5 và b = -0,75 thì M =a+ 2ab−b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0
Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thì M =a+ 2ab−b =
2 3
b (1.5đ) Do 2a3bc và − 3a5b3c2 trái dấu nên : a≠ 0;b≠ 0;c≠ 0
bc
a3
2 (− 3a5b3c2) < 0
6a b c 0 a b c 0
⇔ − < ⇔ >
⇔ > ⇔ > ( vì a8b4 > 0 với mọi a≠ 0;b≠ 0 )
Vậy c > 0 tức là mang dấu dương
0.5đ 1.0đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ
Câu
2
(4,0
đ)
a( 2.0đ)
3 4 9 12 3 5 12 20
x = ⇒ =y x y y = ⇒z y = z
9 12 20 18 36 20
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 2
6 20 36 18
3 2 20 36
3 18
2
=
= +
−
+
−
=
=
x
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60
b.(2đ) Từ giả thiết suy ra
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b a
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b a
+ + +
= + + +
= + + +
= + + +
⇒
− + + +
=
− + + +
=
− + + +
=
− + +
1
2 1
2 1
2
* Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);
c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)
Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4
* Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì
d c b a
1 1 1
1 = = = nên a = b = c = d Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ
Trang 3H D
E A
Câu
3
(3,0
đ)
a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2;
f(
2
1
− ) = 2 – ) 2
2
1 (− =
4 7
b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2
do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau
Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x)
1.0đ 1.0đ
0.25 đ 0.25 đ 0.5đ
Câu
4
(4,0
đ)
a (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền của tam giác vuông: MA = MB
Gọi H là giao điểm của MD và AB
Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy
nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB
Chứng minh được ∆MBD= ∆MAD(c.c.c)
suy ra góc MBD = góc MAD = 900;
do đó DB⊥BC
Tương tự ta có : EC ⊥BC
Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm
b (1,5đ) Theo câu a, DB = DA
Tương tự, EC = EA
Suy ra DE = DA + AE = BD + CE
0.5đ
0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Câu
5
(3,0
đ)
Ta có :
) 25
1 1 ( 25
1 ) 25
(
1
) 1980
1 1
( 1980
1 ) 1980
(
1
m m
m m
n n
n n
+
−
= +
+
−
= +
Áp dụng tính A và B ta được:
1980 1 1981 2 1982 25 2005
1980 1 2 25 1981 1982 2005
25 1 26 2 27 1980 2005
25 1 2 1980 26 27 2005
[( ) (
25 1 2 25 1981 1982
A
B
2005 + Vậy
396
5 25
1 : 1980
=
B A
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 43 2 1
E
D B
C
A
Câu
6
(2,0
đ)
Gọi M là trung điểm của DC Trên tia đối của tia MA
lấy điểm E sao cho ME = MA
Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau
Vì MD = MC, MA = ME, ·AMC EMD= ·
Nên DE = AC, và góc µA3 =DEM·
Mặt khác ,
¶ µ
1
D >B( theo tính chất góc ngoài tam giác)
mà µB C=µ ( vì tam giác ABC cân, đáy BC)
nên D¶1 >Cµ suy ra AC > AD
Từ đó DE > DA, suy ra ¶A2 >·DEM,hay ¶A2 >µA3
Vì µA3 =µA1( do ∆ABD= ∆ACM )
nên góc ¶A2+µA3> +µA1 µA3 hay 2Aµ1 <¶A2+µA3
Suy ra · 1· .
2
BAD< CAD
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
Chú ý :
1 Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa
2 Bài hình không vẽ hình, hoặc vẽ sai thì không chấm điểm