Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F... Rút gọn biểu thức sau:.. 6,0 điểm Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI n¨m 2009 - 2010
MÔN : TOÁN Lớp : 8 (Thời gian làm bài : 120 phút)
*O*
Bài 1 :( 1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết
A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3
Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y 0 Chứng minh rằng
2
0
x y
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng :
2 2
3
c) Cho a 2 – 4a +1 = 0 Tính giá trị của biểu thức
P =
2
1
a a a
Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất
M =
2
2
2 2008
a
với a o Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF
c) Chứng minh S 2
FDC 16 S AMC S FNA
Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D Tìm tỉ số BD
DC
Hết HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 ( 0,25 đ )
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,25 đ)
b) (0,75đ) Xét
2
x
Với x Z thì A B khi 7
2 x 3 Z 7 ( 2x – 3) ( 0,25 đ)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; 2 ; 1 thì A B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi 3 3
y x =
= 4 4
( do x+y=1 y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
= 2 2
xy x y y x y yx xy y x x
(0,25đ)
Trang 2= 2 2
x y x y
xy x y xy x y x y xy
(0,25đ)
= 2 2
xy x y x y
2 2
x y x x y y
xy x y
(0,25đ)
2 2
x y x y y x
xy x y
2 2
( 2 )
x y xy
xy x y
(0,25đ) = 2(2 2 )
3
x y
x y
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n Z )
Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n (0,25đ)
= 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
Vì 9 9
3 ( 1)( 1) 9
n
n n n
3n (n-1) (n+1) + 9n 9 (0,25đ) b) (1đ) Ta có (x+1)2 0 2( x+1)2 0 2x2+4x+2 0
3x2+3x+3 x2-x+1 3(x2+x+1) x2-x+1 (*)
Tương tự, ta có từ (x-1)20 3(x2-x+1) x2+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x2-x+1 = ( x-1
2)
2 +3
4 > 0 (0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x2-x+1
ta có
2 2
(0,25đ) Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x2-x+1
ta có
2 2
1 3 1
suy ra đccm (0,25đ)
c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0 a2 – a + 1 = 3a
a a a
=3 (0,25đ)
P =
2
.
2
a
(0,25đ)
Mà
Suy ra P = 3 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
2 2
2008
a a a
=
2
2008
a a
a
(0,25đ)
=
2
2008
a a a
a
(0,25đ) =
2 2
a a
Dấu “=” xảy ra a – 2008 = 0 a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007
2008 khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF DC
AM MC ( Do AM//DF) (1)
DE BD
AM BM ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Trang 3Từ (1) và (2) DE DF BD DC BC 2
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành
Ta có NE AE
ND AB (0,25đ)
NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB (0,5 đ)
NE NF
ND ND => NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng
2
AMC FDC
FNA và FDC đồng dạng
2
FNA FDC
( 0,25đ)
2
AMC FDC
và
2
FNA FDC
AMC. FNA
FDC FDC
2
ND FD
2
DM DC
4
1 16
(0,25đ) S2
FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ) ( Do x y 2 0 x y 2 4 xy x y 4 16 x y2 2 với x 0; y 0)
N
E
A
B F
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI =
2
BD
Ta có : MI MH
DC HC ( Do MI // BC)
2
DC HC ( 1) ( 0,25đ)
MAH và ACH đồng dạng ( g-g)
2
AH AC ( ABC vuông cân tại A nên AB = AC )
AH = 2 MH ( 0,25đ)
AMC vuông , ta có AH2 = MH HC
4MH2 = MH.HC HC = 4 MH ( 0,25đ)
DC MH
1 2
BD
DC ( 0,25đ)
I M
D
H
C B
A
Trang 4PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 Ngày thi: …./4/2013
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm)
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013 x2 2012 x 2013
2 Rút gọn biểu thức sau:
Câu 2 (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sau:
(2 x2 x 2013)2 4( x2 5 x 2012)2 4(2 x2 x 2013)( x2 5 x 2012)
2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 2x2 3x 2 y 3
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x 2 4 được
thương là 5x và còn dư
2 Chứng minh rằng:
a b c b c a ( )( )2 c a b a b c ( )( )2 b a c a c b ( )( )2
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF
3 Chứng minh rằng: 12 1 2 1 2
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho a b c , , là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng :
a b c b c a c a b
1
(2.0 điểm)
Ta có x4 2013 x2 2012 x 2013
x4 x 2013 x2 2013 x 2013
0,5
Kết luận x4 2013 x2 2012 x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.5
2
2
x x
0.25
Trang 5Ta có
0.25
0.25
0.5
.
A 2
x x
2
x x
1
(2.0 điểm)
Đặt:
2 2
0.25
Phương trình đã cho trở thành:
a2 4 b2 4 ab ( a 2 ) b 2 0 a 2 b 0 a 2 b 0.5 Khi đó, ta có:
2 x x 2013 2( x 5 x 2012) 2 x x 2013 2 x 10 x 4024 0.5
2011
11
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2011
11
2
(2.0 điểm)
Ta có
2
2
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
1
(2.0 điểm) Giả sử f(x) chia cho
2
4
x được thương là 5x và còn dư là ax b
Theo đề bài, ta có:
7
2
0.5
Trang 6Do đó: 2 7
f ( ) ( 4).( 5 ) x+17
2
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3 47
2
2
(2.0 điểm)
Ta có: a b c b c a ( )( )2 c a b a b c ( )( )2 b a c a c b ( )( )2 0 (1)
Đặt:
2 2 2
x z a
a b c x
x y
c
0.25
Khi đó, ta có:
(1)
1
0.5
x z x z y z z y
1
(2.0 điểm)
Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH)
AB = AD ( gt) BAF = ADM = 90 0 (ABCD là hình vuông) ΔADM=ΔBAFADM = ΔADM=ΔBAFBAF(g.c.g)
0.75
=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
N M
H F
E
B A
Trang 7Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25
2
(2.0 điểm)
Ta có ΔADM=ΔBAFABH ΔADM=ΔBAFFAH (g.g)
=
=
AE AH ( AB=BC, AE=AF)
0.5
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH)
ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH
2 ΔADM=ΔBAFCBH
ΔADM=ΔBAFEAH
=
, mà ΔADM=ΔBAFCBH
ΔADM=ΔBAFEAH
S
= 4
2
BC
= 4 AE
nên BC2 = (2AE)2
BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
0.5
3
(2.0 điểm)
Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
AD AM
=
=
Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
=
AN MN
0.5
(Pytago)
0.5
Câu 5 2 điểm
2.0 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có
a2 b2 c2 a b c 2
(*) Dấu “=” xảy ra a b c
x y z
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có
a2 b2 a b 2
(**) a y b x x y2 2 xy a b 2 bx ay 2 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra a b
x y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
a2 b2 c2 a b 2 c2 a b c 2
Dấu “=” xảy ra a b c
x y z
0.75
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
0.5
Trang 8
1 1 1
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
a b c
(Vì abc 1)
1 1 1 1 2
ab ac bc ab ac bc a b c
0.25
Mà 1 1 1
3
a b c nên 2 2 2
3 2
ab ac bc ab ac bc
0.25