Tuyển tập đề thi và đáp án học sinh giỏi toán cấp tỉnh

Hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau tại K và OK =1.. Mỗi phần tử của M đều là phần tử của ít nhất một trong các tập con M ; i ii... Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho

SỞ GD − ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

THPT

NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

sin 3 cos 2 4cos 1

sin (2cos 1)2cos 1

2sin 2 3 os2 2sin

2

;23

2

15 2212

⇔ + − = + − (2)

1

Đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có 3

nghiệm phân biệt ⇔ >m 0

Xem t là một hàm số của x ,ta có ' 3 1 0

Lại có (1) (2) 0f f < nên phương trình ( ) 0f t = có nghiệm duy thuộc (1; 2)

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x≥1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

105

0.5

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2

Tổ : Toán ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 11

LẦN 1

Thời gian: 150 phút

Câu 1:

1 ( 3,5 điểm) Giải phương trình x − 2 = x2 − 8 x − 2 − x − 8

2 ( 3,5 điểm) Giải phương trình : cosx +cos 2x +cos3x+cos4x+cos5x =

ĐỀ CHÍNH THỨC 2 (3,5 ®iÓm) Giải hệ phương trình

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy , cho tam giác

ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là

( )4;0 , 11 1;

3 3

  Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết

rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng ( ) d : 2 x y + − = 1 0 và điểm M( )4; 2

nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1 3

abc ab

a

P

+ +

=

UBND TỈNH QUẢNG NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 18 tháng 11 năm 2013

================

Câu 1:(5 điểm)

1/ Cho hàm số y x= 3−3x 2+ có đồ thị là (T) Giả sử A, B, C là ba điểm

thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt

cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C) Chứng minh

rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.

2/ Cho hàm số y x= 2n 1+ +2011x 2012 (1)+ , chứng minh rằng với mọi số

nguyên dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một

điểm.

Câu 2:(5 điểm)

1/ Giải phương trình: log x log x log x log x log x log x x2 + 4 + 6 = 3 + 5 + 7 ( ∈¡ )

2/ Cho tứ diện ABCD có · 0 · 0

BAC 60 ,CAD 120= = Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.

ĐỀ LUYỆN THI VMO 2013

[ Đề số 1]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm)

Cho f là hàm khả vi tại a và xét hai dãy { }x và n { }y cùng hội tụ về a sao cho n

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R= 5 Hai đường chéo của tứ

giác vuông góc với nhau tại K và OK =1 Gọi S là diện tích của tam giác KCD

.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của S

Bài 4: (5.0 điểm)

Một hội nghị toán học sử dụng bốn ngôn ngữ chính Biết hai đại biểu bất kì luôn cómột ngôn ngữ mà họ đều biết Chứng minh rằng có một ngôn ngữ được biết đến bởinhiều hơn 60% đại biểu

Ngày thứ hai Bài 5: (7.0 điểm)

Cho tập M có 22222 phần tử Hỏi M có hay không 50 tập con M i i, =1,50 thỏamãn các điều kiện sau:

(i) Mỗi phần tử của M đều là phần tử của ít nhất một trong các tập con M ; i

(ii) Mỗi tập M đều có đúng 1111 phần tử; i

(iii) Với hai tập M M bất kì i, j (i ≠ j) , giao M i ∩M j có đúng 22 phần tử.

Bài 6: (7.0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương ;x y sao cho

-ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN THI VMO 2013

[ Đề số 1]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm)

1

m

i i

- Nếu t∈¡ mà Q t( ) ≠ 0 thì từ (*) ta suy ra được điều phải chứng minh

Bây giờ xét đa thức: Q x( ) =P( )k ( )x , k =0,n−1 Các đa thức này đều có nghiệmthực đơn ( chứng minh dễ dàng bằng định lý Rolle) Suy ra:

Lại có: KA KC =KB KD = OK2−R2 = 4 KA 4 ,KB 4

⇒ = = (2)

Giả sử có tất cả n đại biểu và 4 ngôn ngữ I , II , III và IV.

Gọi , , ,A B C D lần lượt là tập các đại biểu biết ngôn ngữ I, II , III và IV.

- Nếu tồn tại một người chỉ biết duy nhất một ngôn ngữ thì n−1 người còn lại cũngphải biết ngôn ngữ đó Như vậy, ngôn ngữ đó được biết bởi 100% đại biểu

K O

- Nếu tất cả đại biểu đều biết được hai thứ tiếng thì C2A +C2B +C C2 +C2D ≥2C n2.

Giả sử A là tập thỏa mãn A =max A B C D{ , , , }

Giả sử M có 50 tập con M thỏa mãn yêu cầu bài toán Ta có: i 50

Suy ra: M = T50 ≥1111.50 25.49.22 28600− = , trái với giả thiết M =22222

Bài 6 (7.0 điểm) [The Spring Mathematical Competitions in Bulgaria, 10.3 , 2001]

Cho các số x y, ∈¢ sao cho +

+ là một số nguyên không âm.

Đặt a x y b xy= + ; = ta có: b2+3ab a a z− 2( − ) = 0 Phương trình bậc hai theo ẩn

b này có nghiệm khi và chỉ khi ∆ =a2(4a+ −9 4z) là số chính phương

a − a t− ≥ − t− −

x y= =

Vậy ( ) ( )x y; = 2;2 là nghiệm duy nhất của bài toán

Bài 7 (6.0 điểm)

- Nếu f n( ) ≡c với c là hằng số thì thỏa mãn điều kiện bài ra.

- Nếu tồn tại m n, ∈¥ sao cho * f m( ) ( )≠ f n thì gọi ;a b là hai số thỏa mãn:

-ĐỀ LUYỆN THI VMO 2013

[ Đề số 2]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm)

Cho dãy số { }x thỏa mãn: n x1=x4 =1 ; x2=x3=9 và 4

Ngày thứ hai

Bài 5: (7.0 điểm)

Cho tập A={1, 2, ,16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tậpcon gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt , a b mà a2 +b2 là một sốnguyên tố

Bài 6: (7.0 điểm)

Cho dãy { }x xác định bởi: n 31351 600 3 , 1

n n

-ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN THI VMO 2013

[ Đề số 2]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm) [Vietnam TST 1990]

1 1516

Ta sẽ chứng minh: nếu đa thức bậc bốn P x có 4 nghiệm thực dương thì đa thức ( )

bậc bốn Q x cũng có 4 nghiệm thực dương Không mất tính tổng quát, giả sử rằng ( )

  Vì Q x có bốn nghiệm thực dương nên ( ) R t cũng có bốn ( )

nghiệm thực dương Lại áp dụng kết quả trên, đa thức

( )

degP x =4) nên Q x còn có nghiệm thực thứ tư là ( ) x 4

Vì đa thức bậc bốn P x có 4 nghiệm thực dương nên không mất tính tổng quát, có( )

thể xem P x có dạng ( ) P x( ) =ax4−bx3+cx2−dx e+ với , , , ,a b c d e>0

 , dễ thấy degR =4 và R t có 4 nghiệm thực dương.( )

Áp dụng kết quả trên ta có phương trình R t( ) −R t′( ) = 0 có 4 nghiệm thực dương.Điều này tương đương với: ( 2 ) 1 ( 2) ( ) 1

( )2 ( ) ( ) ( ) ( )

n n

Nếu ,a b chẵn thì a2+b2 là hợp số Do đó nếu tập con X của A có hai phần tử phân

biệt ,a b mà a2+b2 là một số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn Suy

ra: k≥9 Ta chứng tỏ k=9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm Điều đó có ý nghĩa là với mọi

tập con X gồm 9 phần tử bất kỳ của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt , a b mà

2 2

a +b là một số nguyên tố Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các

cặp hai phần tử phân biệt ,a b mà a2+b2 là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:

( ) ( ) ( ) (1;4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15 ) ( ) ( ) ( ) ( )

Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộc một cặp và

ta có điều phải chứng minh

-ĐỀ LUYỆN THI VMO 2013

[ Đề số 3]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm)

Cho λ  ∈  0,1 Chứng minh rằng: tồn tại dãy số { }a sao cho n 0;2n

n

a ∈ ∩ ¥   vàlim

Cho n∈¢ Hãy tính + 10 42

n n n

-[ Đề số 3]

Ngày thứ nhất Bài 1: (5.0 điểm)

Với mỗi n∈¥ ta có: *

2 1 0

n n

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

1 os2 1 os2 1 os2 1 os2 1 os2 1 os2

sin sin sin

Do a=max ,A b= minA nên a b≥ Vậy a b=

Do vậy a3+2a+ =4 0 (4) và A chỉ có một phần tử Cũng do g đồng biến nên

(4) có nghiệm duy nhất Ta tìm được nghiệm duy nhất của (4) là:

3 2 116 3 2 116

a= − + + − −

Ngày thứ hai Bài 5 (7.0 điểm)

Xét các dãy số { } { }a n , b xác định như sau: n 2

4

n n

2

1 8 8 1

1

8 0,62

Từ điều kiện bài toán chox=0 ta được:

-SỞ GD&ĐT NGHỆ

AN

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT

CHU KỲ 2011 – 2015

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.(4,0 điểm)

Đề thi chính thức

a Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học Nêu các hoạt độngcủng cố định lý toán học

b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K Nếu f '(x) 0> , x K∀ ∈ thì hàm số f(x) đồng biến trên

K Nếu f '(x) 0< , x K∀ ∈ thì hàm số f(x) nghịch biến trên K ”

Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạngbài tập toán

Câu 2 (4,0 điểm)

a Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT

b Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biếtphương trình tham số của hai đường thẳng đó ”

b Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA,

SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) Chứng minh nếu mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì a+ b + c = 3

Nêu mệnh đề đảo của bài toán trên Mệnh đề này đúng hay sai, vì sao?

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)

K Nếu f '(x) 0< , x K∀ ∈ thì hàm số f(x) nghịch biến trên K ”

Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạngbài tập toán

Câu 2 (4,0 điểm)

a Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT

b Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biếtphương trình tham số của hai đường thẳng đó ”

b Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA,

SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) Chứng minh nếu mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì a+ b + c = 3

Đề thi chính thức

Nêu mệnh đề đảo của bài toán trên Mệnh đề này đúng hay sai, vì sao?

T hời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề.

b) Cho A = {0;1;2;3;4;5;6;7},gọiS là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số

phân biệt chọn từ các phần tử của tập hợp A Xác định số phần tử của tập hợp S

.Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp S, tính sác xuất để số được chọn là số không

AC ; N là điểm thuộc AD sao cho AN =2ND Xác định và tính theo a

diện tích

thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( )P đi qua MN và song song với

AB

Câu 6 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi (6; 1) H −

là hình chiếu của A lên đường chéo BD Gọi M N lần lượt là trung điểm của BH,

và CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN có phương trình:

(x−5) + −(y 2) =50 và phương trình đường thẳng chứa BD là: x+2y− =4 0

.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết A có hoành độ lớn hơn 5 và D

có tung độ âm

-Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không được giải thích gì thêm

2 x 2

⇔ − ≤ ≤Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S= − 2; 2 0.75

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về phương trình tích 2

(xy−1)(x y− ) =0 0.5 TH1 xy=1 thay vào phương trình thứ hai ta có:

Nên phương trình có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng ( 2; 2)− Mặt khác ( )f x là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm thực Do đó phương

trình ( ) 0f x = có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng (−2; 2)

0.5

Đặt x=2 cosα α∈(0;π) Khi đó ta có phương trình:

Biến đổi phương trình tương đương với:

Số phần tử của S mà chia hết cho 5 là: A73+1.6.A62 =390 1.0

Xác suất để số lấy ra không chia hết cho 5 là :1 390 36

1470 49

3 Số hạng tổng quát và chứng minh:

2 2014

2 2 2016

Chứng minh được tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn đường kính AN

(Có ít nhất 4 cách chứng minh, học sinh có thể trình bày một trong 4 cách)

1.0

Từ đó suy ra tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

23

3

x y

Vì D có hoành độ dương nên (10; 3) D −

Do đó M( 2;3)− Ta có M là trung điểm của HB nên ( 10;7) B −

Đường thẳng đi qua (6; 1)H − và vuông góc với BD có phương trình: 2 x y− − =13 0 1.0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

45

7

x y

SỞ GIÁO GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN 12

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số : 2 1

1

x y x

+

=+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m sao cho đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B , để tiếp tuyến với (C) tại A, B lần lượt có hệ số góc k1 ; k thỏa mãn:2

Câu III (4,0 điểm)

1 Cho hai đường thẳng song song a, b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy nđiểm phân biệt Tìm n để có 5950 tam giác có các đỉnh là ba trong các điểm đãcho

độ giao điểm của hai đường thẳng AD và BC

2 Cho ba số thực dương a, b , c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α .

1 Biết AB = a, α =300, tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng a, tìm α để thể tích

khối chóp S.ABCD nhỏ nhất

……….Hết………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……….; số báo danh:………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 12

Nhận giao điểm của hai đường tiệm cận I(-1; 2) làm tâm đối xứng

Đi qua các điểm: (0; 1) ; ( 1

Đường thẳng y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ pt (*) có hai

nghiệm phân biệt x1 ; x2 ≠ −1

2 2

k x

=+

-1

⇒ pt(3) có nhiều nhất một nghiệm, mà x = 1 thỏa mãn (3) nên pt(3) có nghiệm

Vì tam giác có các đỉnh là 3 trong các điểm đã cho nên xảy ra các TH sau

TH1 Tam giác có 1 đỉnh trên a và 2 đỉnh trên b

Nên AB là đường kính của (C )

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD ; BC , O là tâm của hình vuông ABCD,

Ta có SO⊥(ABCD)⇒SO là chiều cao của khối chóp và góc giữa mặt phẳng

(SBC) và (ABCD) là SNM∧ =α

Ta có .

1.3

6 (1 )

S ABCD

a V

t t

−.

(Thời gian làm bài 180 phút )

Câu I ( 4 điểm) Cho hàm số y = x3 + 2mx2 – 3x (1) và đường thẳng ∆ : y

= 2mx – 2 ( với m là tham số)

1) Khi m = 0 Gọi đồ thị hàm số đã cho là (C) Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) tại điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng

2.

2) Tìm m để đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt

A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3(Với A là điểm có

hoành độ không đổi và O là gốc tọa độ).

Câu III ( 3 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hình thang ABCD vuông tại A và

D có AB = AD < CD, điểm B(1; 2), đường thẳng BD có phương trình

y = 2 Biết rằng đường thẳng (d): 7x – y – 25 = 0 lần lượt cắt các đoạn

thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM ⊥ BC và tia BN

là tia phân giác của góc MBC Tìm tọa độ đỉnh D (với hoành độ điểm

D là số dương).

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(1;

-2; 4) và mặt phẳng (P): 2y + z = 0 Tìm tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho

tam giác ABC cân tại B và có diện tích bằng 25/2.

Câu IV (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

với AB = 2a, tam giác SAB vuông tại S, Mặt phẳng (SAB) vuông với

(ABCD) Biết tạo bởi đường thẳng SD và (SBC) bằng ϕ với sin 1

3

ϕ = Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a.

Câu V (3 điểm)

1) Tính tích phân: I =

2

4 1

dx x

∫

2) Từ các số 0,1,2,3,4,5,6, thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau sao cho số đó có măt chữ số 6.

Câu VI(2 điểm) Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 +

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi : TOÁN LÓP 11

Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề

−+

−+

+

=

−+

−

−

y y

y x xy x

x y

x y

543

11

44

2 2

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác đó, các đường thẳng

AM,BM,CM lần lượt cắt BC,CA,AB tại A1,B1,C1

Hãy xác định vị trí điểm M sao cho biểu thức

1 1

CM MB

BM MA

AM

giá trị nhỏ nhất

Câu 4: ( 3 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-1;0),

đường thẳng AB có phương trình : 3x-y+8=0 Gọi D,E lần lượt là chân đường

cao hạ từ các đỉnh C và B của tam giác ABC Hãy xác định tọa độ các đỉnh

ABC biết đường thẳng DE có phương trình y=2

Câu 5: ( 3 điểm)

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn a2 +b2 +c2 =3 Chứng minh rằng:

§Ò chÝnh thøc