Tài liệu ĐỀ THI + DAP AN HỌC SINH GIỎI TOAN 9

b 1,5đ Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn đi qua một điểm cố định.. Điểm A di động trện nửa đường tròn.. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC.. Gọi Dvà E lần lư

a b c d

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2009-2010

-MÔN THI : TOÁN

Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/01/2010 Bài 1(4đ)

a) Tính tổng:

b) Cho a, b, c, d là các số dương và a c

b d Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:

Bài 2: (4đ)

a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1

Chứng minh :

2 2

2 2

a b







b) (2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :

 

2 2

1 2

abc n





 



với n là số nguyên lớn hơn 2

Bài 3: (4đ)

a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:

M = 7 x 1 x 3 x 2 x 1









b) (2đ) Giải phương trình

8 3 x x 3

26

x

3 2











Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: (x m2) ( m 3)y m  8

a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1)

b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố

định

Bài 5: (2 đ)

Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ?

Bài 6 : (4,0 đ )

Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường

tròn Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và

AB

a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2

b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn

nhất đó theo R

1

ĐỀ CHÍNH THỨC

a d b c

a d b c



  

HẾT ĐÁP ÁN Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)

a)

3.5 5.7 7.9 19.21

1 1

3 21

 

2 7

 b)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

Bài 2: ( 2 điểm )

 

a b



* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương

Ta có : a b 2 2 a b 2

Vậy

2 2

2 2

a b





 ( 1đ ) 1) ( 2 đđiểm )

Viết được

2 2







Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) ( 0,75 đ )

Mặt khác : 100 n2 1 999 101n2100011 n 31

39 4n 5 119

    (4) ( 0,75đđ )

2

(0,5 điểm) (0,75 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm)



1



a d ad b c bc



a d ad b c bc



1

a b c d

Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26

Vậy số cần tìm abc 675 ( 0,5 đ )

Bài 3( 4đ)

a) (2 điểm) M = 7 x 1 x3 x2 x 1









) 1 x x 7 ( 1

) 4

25 4

1 1 x 1 x ( 1











































4

25 2

1 1 x 1 x

2

(0,5đ)

 x 1 3 x 1 2

1



3 x 1 x 1 2 1

b) (2đ) Giải phương trình 3 x 2 26 3 x x 3 8









Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ)

Với 0  x  1 thì:

8 3 1 1 3 26 1 3 x x

3

26

3 2





















Nên PT vô nghiệm với 0  x  1 (0,5đ)

Với x >1 Thì:

8 3 1 1 3 26 1 3 x x

3

26

3 2





















Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ)

Bài 4: (2 điểm)

a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên

(m2).( 1) (  m 3).1 m 8 5 m 8 m3 (0,5 điểm)

b) Gọi x y là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua 0; 0

Ta có: (m2)x0(m 3)y0  m 8 m (0,5đ)

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)

Bài 5:

Vẽ tam giác đều CMN

(1 điểm)

màAM2 BM2CM2  BN2 BM2MN2

BMN

  vuông tại M

BMC BMN NMC

Bài 6: (4,0 đ)

a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)

3

AB . EB = HB2

AC . EH = AC AD = AH2

=> ĐPCM (1 điểm)

b) S(ADHE)= AD.AE

 S(ADHE) 

  (0,75 đ) Vậy Max S(ADHE)=

2 2

R

Khi AD = AE Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ)

4

C

A

H D

E