Đối tợng, phạm vi và kế hoạch nghiên cứu: Bằng lòng yêu nghề sự mến trẻ bản thân đã tham khảo các nhà giáo đã nhiều năm trong nghề, trò truyện cùng các em học sinh biết đợc những tâm t
Trang 1Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
Phần I Đặt vấn đề
1 Lý do về tính cấp thiết:
Toán học là một môn học vô cùng quan trọng, nó có vai trò rất to lớn đợc vận dụng nhiều trong thực tiễn đời sống phải nói rằng không một nghành khoa học nào không cần đến toán học nó là cơ sở cho các môn học khác Đối với bộ môn toán thì hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung kiến thức rất quan trọng, trong đại số thì gần nh giải dạng toán nào cũng cần phải sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ Nhng thực tiễn cho thấy rất nhiều học sinh không nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ
Mặt khác trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy học luôn đợc quan tâm và
là vấn đề luôn đợc đa ra bàn luận sôi nổi
Chính vì những lí do đó nên trong trong bài viết này tôi xin đề cập một số kinh nghiệm dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Mục đích nghiên cứu:
Là một giáo viên đã nhiều năm trong nghề, đặc biệt khi dạy toán 8 tôi rất trăn trở ở việc học sinh thờng rất chóng quên và hay mắc sai lầm khi học hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán Chính vì điều đó tôi thiết nghĩ giáo viên giảng dạy cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp có trình độ chuyên môn nghiệp vụ vững chắc ,có tâm huyết với nghề dạy học, luôn luôn tìm tòi trau dồi kinh nghiệm giảng dạy
3 Kết quả cần đạt đợc:
Đề tài này sẽ giúp cho giáo viên có một phơng pháp chung để dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ
Giúp các em học sinh không những nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ mà còn biết cách ghi nhớ và biết vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán Rèn cho các em t duy khái quát; Khả năng suy luận, phán đoán qua đó giúp các em say mê học tập hơn, yêu thích bộ môn hơn
4 Đối tợng, phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Bằng lòng yêu nghề sự mến trẻ bản thân đã tham khảo các nhà giáo đã nhiều năm trong nghề, trò truyện cùng các em học sinh biết đợc những tâm t nguyện vọng, những thắc mắc của các em.Do đó thông qua một mảng kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ ở môn toán lớp 8 tôi đã tìm hiểu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy trên lớp và viết lên những suy nghĩ của mình trong một khoảng thời gian cho phép
Rất mong đợc đồng nghiệp đón nhận, thông cảm và có những ý kiến đóng góp quý báu xin chân thành cảm ơn !
Phần II: Nội dung
1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:
- Dựa trên cơ sở lý luận khoa học của tài liệu mà tôi đã nghiên cứu
- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán 8 nhiều năm của bản thân và kinh nghiệm của các nhà giáo đi trớc
- Dựa vào các cuộc hội thảo chuyên đề về việc đổi mới phơng pháp dạy học do trờng và do phòng giáo dục tổ chức …
Trang 2Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm:
Một trong những lỗ hổng kiến thức của học sinh là sau khi học song hằng đẳng thức
đáng nhớ là nhiều em vẫn không nhớ, không nhận dạng và không vận dụng đợc hằng đẳng thức đã học vào giải toán Điều này làm cho các giáo viên giảng dạy bộ môn rất băn khoăn
lo lắng vì vậy cần có phơng pháp dạy học thích hợp cộng với kinh nghiệm lòng nhiệt huyết của ngời thầy, sự say mê học tập của các em học sinh mới mong xoá bỏ đợc lỗ hổng kiến thức trên
3 Phơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp làm việc với sách: Nghiên cứu cơ cấu nội dung các phơng pháp trình bày
trong các tài liệu để tìm ra phơng pháp thực hành hiệu quả nhất
- Phơng pháp thực nghiệm:
+Thông qua các giờ giảng dạy trên lớp
+ Thông qua các cuộc hội thảo chuyên đề về đổi mới phơng pháp giảng dạy
- Phơng pháp điều tra qua tài liệu xem vở của học sinh
- Phơng pháp đàm thoại: Gặp gỡ trao đổi trò chuyện với giáo viên đã có kinh nghiệm, trò
chuyện với các em học sinh
4 Các giải pháp:
I.Dạy học Hằng đẳng thức đáng nhớ
Việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể có nhều quan điểm khác nhau xong qua việc tìm hiểu đúc rút kinh nghiệm tôi nghĩ việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể tiến hành theo trình tự các hoạt động sau:
- Hoạt động Phát hiện hằng đẳng thức đáng nhớ
Tức là thông qua một tình huống có vấn đề giáo viên phải làm xuất hiện đợc hằng đẳng thức đáng nhớ
- Hoạt động Củng cố
Có thể gồm:
+ Phát biểu hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời : Thông qua hoạt động ngôn ngữ giáo viên
có thể khuyến khích học sinh phát biểu theo các cách khác nhau qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức đã học cũng là để các em diễn đạt độc lập ý tởng của mình
+ Nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ: Thông qua một tình huống cụ thể có thể là một đẳng thức hoặc một biểu thức xét xem chúng có phải là hằng đẳng thức đã học hay không?
+ So sánh với hằng đẳng thức đáng nhớ đã học khác để tìm ra những dấu hiệu dặc trng
- Hoạt động vận dụng hằng đẳng thức
Có thể vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải các bài tập đơn giản hoặc tổng hợp
Cụ thể:
1 Hằng đẳng thức thứ nhất: "Bình phơng của một tổng".
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra tình huống học tập:
- Bình phơng của một tổng hai số a, b viết nh thế nào?
- Tính (a+b)2 bằng cách nào?
GV hớng dẫn học sinh dựa vào phép nhân đa thức tính (a+b)2 = (a+b)(a+b) =
Khái quát thành hằng đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
với A, B là các biểu thức tuỳ ý Hoạt động 2 củng cố
GVcó thể đa ra các tình huống:
1) Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời
Đây là hoạt động rất quan trọng giúp học sinh học thuộc hằng đẳng thức nhng nhiều GV th-ờng xem nhẹ Để giúp học sinh ghi nhớ hằng đẳng thức GV có thể cho học sinh phát biểu hằng đẳng thức theo nhiều cách khác nhau rồi chốt lại cách phát biểu ngắn gọn dễ nhớ
Trang 3Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
Chẳng hạn: " Bình phơng của một tổng hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ
nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu thức thứ hai."
GV cần chỉ rõ cho học sinh thấy
Biểu thức thứ nhất là A
Biểu thức thứ hai là B
Bình phơng của biểu thức thứ nhất là A2
Hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai là 2AB
Bình phơng của biểu thức thứ hai là B2
Bậc của các hạng tử ở vế phải đều bằng 2
2) Nhận dạng hằng đẳng thức (1)
Nhận dạng hằng đẳng thức là xét xem một biểu thức hoặc đẳng thức cho trớc có phải hằng
đẳng thức đã học hay không? Bài tập dạng này thờng là bài tập trắc nghiệm
Chẳng hạn:
Bài 1 (x+2)2 đợc tính là:
A x2 + 2x + 4 B x2 + 4
C x2 + 4x + 4 D x2 - 4x + 4
Qua bài này GV chốt cho học sinh:
(A + B)2 A2 + B2
Bài 2 Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một tổng?
A 2x2 + 2x + 1 B 2x2 + 4x + 1
C 4x2 + 4x + 1 D 4x2 + 2x + 1
GV yêu cầu HS giải thích rõ vì sao? Và chỉ rõ A,B
Hoạt động 3 Vận dụng
Bài 1 Tính
a)
2
2
1
x ; b) (x + 3y)2 ; c) (3x + 2)2
Một sai lầm thờng thấy ở học sinh là các em thờng viết:
2 2
1
x = x2 + 2.x
2
1
+
2
1 2
hoặc (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + 3y2
Do đó qua bài này GV cần cho học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A2 = ? ; B2 = ?
Rèn cho học sinh thói quen đặt biểu thức hoặc phân số (Nếu A, B là một biểu thức hoặc phân số) vào trong ngoặc và cha nên làm tắt khi khai triển hằng đẳng thức
Chẳng hạn phải viết
2 2
1
x = x2 + 2.x
2
1
+(
2
1
)2
Hoặc (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + (3y)2
Bài 2 Tính nhanh 512 ; 1012 ; 372 + 2.37.13 + 132
- Qua bài này giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ trong mỗi trờng hợp đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều xuôi hay chiều ngợc
Chẳng hạn:
Tính 512 = (50+1)2 = là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều xuôi
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Còn 372 + 2.37.13 + 132 = (37+13)2 = là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều ngợc
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
GV lu ý: Đôi khi ngời ta còn viết dấu hằng đẳng thức đi chẳng hạn thay cho việc viết tính
372 + 2.37.13 + 132 ngời ta có thể viết là tính 372 + 37.26 + 132 cần cho học sinh so sánh: nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào? từ đó rút ra ích lợi của hằng đẳng thức đáng nhớ
2.Hằng đẳng thức thứ hai: "Bình phơng của một hiệu"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra các tình huống học tập:
Trang 4Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
- Bình phơng của một hiệu hai số a,b viết nh thế nào?
- Tính (a- b)2 bằng cách nào?
HS có thể tính (a- b)2 = (a-b)(a-b)=
GV gợi ý HS tính bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (1)
Tính (a- b)2 = [ a + (-b)]2=
GV khái quát thành hằng đẳng thức (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
Hoạt động 2 Củng cố
a) So sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2)
GV yêu cầu HS chỉ rõ sự giống nhau và khác nhau giữa hai hằng đẳng thức thức
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
GV có thể đa ra tình huống: Vì sao hạng tử 2AB ở hằng đẳng thức thứ hai lại mang dấu trừ?
GV giải thích cho HS vì B mang dấu trừ lên chỗ nào B có mũ lẻ thì hạng tử đó sẽ mang dấu trừ
b) Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời
Từ việc so sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2) GV yêu cầu HS rút ra cách phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (2)
" Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu thức thứ hai."
Hoặc " Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức bị trừ, trừ hai
lần tích của biểu thức bị trừ và biểu thức trừ, cộng bình phơng biểu thức trừ."
c) Nhận dạng hằng đẳng thức (2)
GV có thể cho học sinh nhận dạng hằng đẳng thức kết hợp nhận dạng các biểu thức A, B,
A2, B2
Bài 1 Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một hiệu?
A x2 + 4x + 1 B x2 + 2xy + y2
C x2 + 1 - 2x D x2 - y2
Qua bài này GV lu ý HS đôi khi ngời ta có thể hoán đổi các vị trí nhằm khó nhận dạng hằng
đẳng thức nh trong bài tập trên x2 + 1 - 2x = (x-1)2
Bài 2 Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
A ( + 9)2 = y2 + 18y + B x2 - +
4
1
= (x - )2
C.(25- )2 = - 20y + 4y2 D ( - )2 = - 4xy +
Hoạt động 3 Vận dụng
1) Tính
a)
(x-2
1
)2 ; b) (2x-3y)2
GV phải luôn luôn rèn cho học sinh thói quen viết cẩn thận tỉ mỉ chính xác, cha lên làm tắt Luôn luôn yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A2 = ? ; B2 = ?
2) Tính nhanh 992 ; 1,472- 2.1,47.2,53 + 2,532
Khi vận dụng hằng đẳng thức để tính nhanh giáo viên phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào?
Nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào?
3 Hằng đẳng thức thứ ba "Hiệu của hai bình phơng"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra tình huống : Hiệu các bình phơng của hai số viết nh thế nào?
Tính (a+b)(a-b) để rút ra a2 - b2= (a+b)(a-b) từ đó giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức
A2 - B2 = (A+B)(A-B) (3) Với A, B là các biểu thức tuỳ ý
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời
Trang 5Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Giáo viên cũng nên để học sinh tự do phát biểu theo quan điểm riêng của mình giáo viên chốt lại một cách phát biểu ngắn gọn yêu cầu học sinh học thuộc
Chẳng hạn: "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tích giữa tổng và hiệu của hai
biểu thức đó"
Hoặc "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức nhân với hiệu
của hai biểu thức đó"
2) Nhận dạng hằng đẳng thức
Bài 1 Kết quả của phép tính (3x+1)(3x-1) là:
A 3x2 - 1 ; B 3x2 + 1 ; C 9x2 - 1 ; D 9x2 + 1
Bài 2 Viết biểu thức y2 - 9x2 dới dạng tích ta đợc:
A (y-9x)(y+9x) ; B (y-9x)(y-9x)
C (y-3x)(y+3x) ; D (y-3x)(y-3x)
Giáo viên cũng yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A2 = ? ; B2 = ? trong mỗi trờng hợp
Và qua bài này giáo viên lu ý học sinh (A-B)2 A2 - B2 và lấy ví dụ (3-1)2 32- 12
Hoạt động 3 Vận dụng
Giáo viên đơa ra tình huống: Có thể vận dụng hằng đẳng thức (3) vào giải dạng toán nào? Giáo viên lu ý
-Vận dụng theo chiều xuôi A2 - B2 = (A+B)(A-B) ta có thể viết một biểu thức dới dạng
tích
-Vận dụng theo chiều ngợc (A+B)(A-B) = A2 - B2 dùng để thực hiện nhân nhanh hai đa
thức
Bài 1 Tính
a) (x+1)(x-1) ; b) (x-2y)(x+2y) ; c) (x+y+4)(x-y+4)
Bài 2 Tính nhanh
56.64
Bài này giáo viên cần yêu cầu học sinh nhận xét mối quan hệ đặc biệt giữa hai số 56 và 64
để phát hiện ra cách tính nhanh
Trong mỗi bài tập giáo viên vẫn phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào? đâu là A, đâu là A2, đâu là B, đâu là B2?
4 Hằng đẳng thức thứ t: "Lập phơng của một tổng"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
Giáo viên đa ra các tình huống học tập:
- Lập phơng của tổng hai số viết nh thế nào?
(a+b)3 tính nh thế nào?
Hoặc chứng minh rằng (a+b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
Từ đó khái quát thành hằng đẳng thức (A+B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3 (4)(với A, B là các biểu thức tuỳ ý)
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu bằng lời
Đây là hằng đẳng thức mà học sinh rất hay quên cho nên hoạt động học thuộc bằng lời là rất quan trọng Có thể phát biểu:
" Lập phơng của tổng hai biểu thức bằng lập phơng của biểu thức thứ nhất cộng ba lần tích
của bình phơng biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phơng của biểu thức thứ hai, cộng với lập phơng của biểu thức thứ hai"
Giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về số các hạng tử của hai vế, bậc của các hạng tử và của các biểu thức A, B của hằng đẳng thức sau khi khai triển
Cụ thể là: A từ bậc 3 giảm xuống bậc 0 còn B từ bậc 0 tăng lên bậc 3
2) Nhận dạng hằng đẳng thức
Bài 1 Đa thức x3 + 6x2 + 12x + 8 là lập phơng của đa thức:
A x + 8 ; B x + 2 ; C x3 + 23 ; D Không thể là lập phơng của đa thức nào
Hoạt động 3 Vận dụng
Tính:
a) (x+1)3 ; b) (2x + y)3
Trang 6Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Trong mỗi bài tập giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ các vị trí A, B ; A3 ; 3A2B; 3AB2; B3
5 Hằng đẳng thức thứ năm: "Lập phơng của một hiệu"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
Giáo viên đa ra tình huống học tập:
Tính (a-b)3
GV có thể gợi ý viết (a-b)3 = [a+(-b)]3 =
Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức (A-B)3 = A3 - 3A2B +3AB2 - B3 (5)
(với A, B là các biểu thức tuỳ ý)
Hoạt động 2 củng cố
1) So sánh hằng đẳng thức (5) với hằng đẳng thức (4)
GV yêu cầu học sinh làm rõ tại sao các hạng tử 3A2B và B3 của hằng đẳng thức (5) lại mang dấu trừ?
Giáo viên giải thích vì trong hằng đẳng thức (A-B)3 biểu thức B mang dấu trừ nên hạng tử nào B có mũ lẻ thì sẽ mang dấu trừ
2) Phát biểu bằng lời
Từ việc So sánh hằng đẳng thức (5) với hằng đẳng thức (4) hãy phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (5)
" Lập phơng của hiệu hai biểu thức bằng lập phơng của biểu thức thứ nhất trừ ba lần tích
của bình phơng biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phơng của biểu thức thứ hai, trừ đi lập phơng của biểu thức thứ hai"
3) Nhận dạng hằng đẳng thức
(xy-1)3 đợc tính là:
A xy3 - 3xy2 + 3xy -1 ; B x3y3 + 3x2y2+ 3xy -1
C x3y3 - 3x2y2+ 3xy -1 ; C x3y3 - 1
Mỗi đáp án sai giáo viên cần yêu cầu học sinh chỉ rõ sai do đâu?
Hoạt động 3 Vận dụng
1) Tính a)
3 3
1
x ; b) (x - 2y)3
2) Điền đúng(Đ) hoặc sai(S) vào ô vuông
A (2x-1)2 = (1-2x)2 ; B (x-1)3 = (1-x)3
C (x+1)3 = (1+x)3 ; D x2 - 1 = 1 - x2
Giáo viên cho học sinh nhận xét về mối quan hệ giữa (A-B)2 với (B-A)2 và (A-B)3 với (B-A)3
Và (A+B)3 với (B+A)3
Giáo viên chốt lại A - B và B - A là hai số đối nhau nên chúng có bình phơng bằng nhau còn lập phơng(có số mũ lẻ) không bằng nhau
Phép cộng có tính chất giao hoán nên A + B = B + A => (A+B)3 = (B +A)3
6 Hằng đẳng thức thứ sáu: "Tổng của hai lập phơng"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
Giáo viên đa ra tình huống học tập:
-Tổng các lập phơng của hai số a; b viết nh thế nào?
-Tính (a + b)(a2- ab + b2) với a, b là các số tuỳ ý
từ đó rút ra a3 + b 3 = (a + b)(a2- ab + b2)
Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức A3 + B3 = (A + B)(A2- AB + B2) (6)
Với A, B là các biểu thức tuỳ ý
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời
Giáo viên yêu cầu học sinh so sánh (A2- AB + B2) với (A - B)2 rồi giới thiệu (A2- AB + B2) gọi là bình phơng thiếu của một hiệu và chỉ rõ thiếu số 2
Đủ (A2- 2AB + B2) = (A - B)2
Thiếu (A2- AB + B2)
Trang 7Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Vậy có thể phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (6) nh thế nào?
Giáo viên chốt lại cách phát biểu:
" Tổng các lập phơng của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức ấy nhân với bình phơng
thiếu của hiệu của chúng"
Đây là hằng đẳng thức rất khó nhớ, học sinh thờng nhầm lẫn viết
A3 + B3 = (A + B)(A- AB + B) nên giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét bậc của đa thức ở hai vế của hằng đẳng thức để giúp cho việc khắc sâu hằng đẳng thức trên
2) So sánh hằng đẳng thức (6) và (4) qua đó chốt lại A3 + B3 (A+B)3
3)Nhận dạng hằng đẳng thức
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A x3 + 1 = (x+1)(x2-2x+1) B x3 + 1 = (x+1)(x2- x+1)
C x3 + 1 = (x+1)(x2+ x+1) D x3 + 1 = (x+1)3
Mỗi đáp án sai giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ sai do đâu?
Hoạt động 3 Vận dụng
Giáo viên có thể gợi động cơ là hằng đẳng thức (6) có thể vận dụng vào giải các dạng toán nào? Sau đó chốt lại:
- Nếu vận dụng theo chiều xuôi A3 + B3 = (A + B)(A2- AB + B2) ta có thể dùng để viết một
đa thức dới dạng tích
- Vận dụng theo chiều ngợc (A + B)(A2- AB + B2) = A3 + B3 ta có thể dùng để nhân nhanh hai đa thức
Bài 1 a) Viết biểu thức x3 + 8 dới dạng tích
b) Viết biểu thức (x+3)(x2 -3x +9) dới dạng tổng
Trong mỗi trờng hợp giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ các biểu thức A, B
7 Hằng đẳng thức thứ bẩy: "Hiệu của hai lập phơng"
Hoạt động 1 Phát hiện hằng đẳng thức
Giáo viên đa ra tình huống học tập:
-Hiệu các lập phơng của hai số a; b viết nh thế nào?
-Có thể lập hằng đẳng thức a3 - b3 bằng cách nào?
Giáo viên gợi ý có thể tính a3 +(- b3) với a,b là các số tuỳ ý
Có thể yêu cầu học sinh tính (a-b)(a2+ab+b2) với a,b là các số tuỳ ý
Để suy ra a3 - b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB + B2) (7)
Với A, B là các biểu thức tuỳ ý
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời
So sánh A2 + AB + B2 với (A + B)2
Từ đó phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (7)
Giáo viên có thể chốt lại cách phát biểu:
" Hiệu các lập phơng của hai biểu thức bằng hiệu của hai biểu thức ấy nhân với bình phơng
thiếu của tổng của chúng"
2) So sánh hai hằng đẳng thức (7) và (6)
Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ sự giống và khác nhau giữa hai hằng đẳng thức (7) và (6) Sau đó chốt lại chỉ cần thay B bằng - B từ hằng đẳng thức thứ (6) ta sẽ đợc hằng đẳng thức thứ (7) do đó chỉ cần nhớ hằng đẳng thức (6) sẽ suy ra hằng đẳng thức thứ (7)
3) Nhận dạng
Bài 1 Tích (x-2)(x2+2x+4) bằng:
A x3 + 8 ; B x3 - 8 ; C (x-2)3 ; D x3- 6
Bài 2 biểu thức x3 - 27 đợc viết dới dạng tích là:
A (x-3)(x2+ 6x + 9) B (x - 3)3
C (x-3)(x2+ 3x + 9) D (x-3)(x2-3x + 9)
Hoạt động 3 Vận dụng
Giáo viên cũng đa ra tình huống học tập:
hằng đẳng thức (6) có thể vận dụng vào giải các dạng toán nào? Sau đó chốt lại:
Trang 8Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
- Nếu vận dụng theo chiều xuôi A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2) ta có thể dùng để viết một
đa thức dới dạng tích
- Vận dụng theo chiều ngợc (A - B)(A2+ AB + B2) = A3 - B3 ta có thể dùng để nhân nhanh hai đa thức
Bài 1 a)Tính (x-1)(x2+x+1)
b) Viết 8x3 - y3 dới dạng tích
Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào?
Trong mỗi trờng hợp thì A = ?, B = ?
II Một số kĩ năng nhận dạng và viết các hằng đẳng thức đáng nhớ
1 Sử dụng tam giác Pascal để xác định hệ số của các hằng đẳng thức dạng (A B)n
- Cách lập tam giác Pascal
Đỉnh của tam giác là số 1 Các cạnh bên gồm toàn các số 1 Mỗi số ở bên trong bằng tổng của hai số ở ngay trên đầu nó chẳng hạn 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3
Với cách làm nh vậy ta có thể xác định đợc hệ số của các hằng đẳng thức (AB)1 ;
(AB)2 ; (AB)3 ; (AB)4 ; (AB)5 ;
Một vấn đề đặt ra là phần biến và dấu của mỗi hạng tử thì xác định nh thế nào?
Chúng ta cần nắm đợc các quy luật sau đây:
+ Khi khai triển các hằng đẳng thức dạng (A B)n thì hạng tử đầu tiên sẽ là AnB0 hay An
sau đó A có bậc sẽ giảm dần còn bậc của B sẽ tăng dần cho tới khi B có bậc n tức là tới hạng
tử A0Bn hay Bn
+ Còn về dấu của mỗi hạng tử thì nếu B mang dấu "-" thì khi khai triển hằng đẳng thức hạng tử nào có B mũ lẻ hạng tử đó sẽ mang dấu "-"
Với cách xác định hệ số và nắm vững các quy luật nh trên ta có thể viết:
- Với n = 1 ta có (A+B)1 = A + B ; (A-B)1 = A - B
- Với n = 2 ta có (A+B)2 = A2 + 2 AB + B2 ; (A-B)2 = A2 - 2 AB + B2
- Với n = 3 ta có (A+B)3 = A2 + 3A2B + 3AB2 + B3 ; (A-B)3 = A2 - 3A2B + 3AB2 - B3
- Với n = 4 ta có (A+B)4 = A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 + B4
(A-B)4 = A4 - 4A3B + 6A2B2 - 4AB3 + B4
-Với n = 5 ta có (A+B)5 = A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5
(A-B)5 = A5 - 5A4B + 10A3B2 - 10A2B3 + 5AB4 - B5
2 Đối với các hằng đẳng thức có dạng nh (3), (7) giáo viên có thể giới thiệu dạng tổng quát
1
1 5 10 10 5 1
B có mũ lẻ
B có mũ lẻ
B có mũ lẻ
B có mũ lẻ
Trang 9Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
An - Bn = (A - B)(An-1 + An-2B + + ABn-2 + Bn-1) Với mọi n 2 ( n N)
Ví dụ:
A2 - B2 = (A-B)(A+B)
A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB + B2)
A4 - B4 = (A-B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
Giáo viên cần cho học sinh nhận xét vế phải sau đó chốt lại:
Khi khai triển hằng đẳng thức dạng An - Bn thì vế phải là tích của hai thừa số
+Thừa số thứ nhất là hiệu A - B
+Thừa số thứ hai là đa thức có bậc là n - 1 và có n hạng tử trong đó các hạng tử là tích AB với số mũ của A giảm dần từ n-1 đến 0, số mũ của B tăng dần từ 0 đến n-1(Bậc của các hạng tử trong ngoặc bằng nhau)
3 Đối với các hằng đẳng thức có dạng nh (6) giáo viên có thể giới thiệu dạng tổng quát
A2k+1+ B2k+1 = (A+B)(A2k- A2k-1B + A2k-2B2 - + B2k)
Ví dụ:
A3 + B3 = (A + B)(A2- AB + B2)
A5 + B5 = (A + B)(A4 - A3B + A2B2 - AB3 + B4)
Giáo viên cũng cho học sinh nhận xét vế phải sau đó chốt lại để học sinh ghi nhớ một số quy luật:
Khi khai triển hằng đẳng thức dạng A2k+1 + B2k+1 thì vế phải là tích của hai thừa số
+Thừa số thứ nhất là tổng A + B
+Thừa số thứ hai là đa thức có bậc là 2k có 2k + 1 hạng tử các hạng tử là tích AB trong đó
số mũ của A giảm dần từ 2k đến 0, số mũ của B tăng dần từ 0 đến 2k các dấu "+" và "-" xen kẽ nhau theo thứ tự ấy
III Một số kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán.
Ngoài các kĩ năng nhận dạng và thể hiện hằng đẳng thức thì ở mức độ nhận thức cao hơn là
kĩ năng làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Sau đây là một số tình huống nh vậy
1 Làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 1 Phân tích đa thức x2 - 4x + 3 thành nhân tử
Giải Nhận xét: Thấy x2 - 4x = x2 - 2.x.2 do đó nếu cộng thêm 4 sẽ đợc hằng đẳng thức (x-2)2 từ
đó xuất hiện hằng đẳng thức dạng A2 - B2
Cụ thể nh sau: x2 - 4x + 3 = x2 - 4x + 4 - 4 + 3 = (x - 2)2 - 12 =(x-2+1)(x-2-1)
= (x-1)(x-3)
Ví dụ 2 Phân tích đa thức x4 + 64 thành nhân tử
Giải Nhận xét: Không thể sử dụng các phơng pháp phân tích quen thuộc nhng nếu để ý thấy
x4 + 64 có dạng (x2)2 + 82 nếu thêm bớt 2.x2.8 thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (x2 + 8)2 từ
đó xuất hiện hằng đẳng thức dạng A2 - B2
Cụ thể: x4 + 64 = (x2)2 + 82 + 2.x2.8 - 2.x2.8 = (x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2+8- 4x)( x2+8+ 4x)
2 Làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào giải các bài toán cực trị
Ta đã biết: Để tìm cực trị của biểu thức A(x) ta thờng biến đổi A(x) về dạng
A(x) = [F(x)]2 + m ( m là hằng số) => A(x) m
từ đó suy ra A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m <=> F(x) = 0
Hoặc biến đổi về dạng
A(x) = - [F(x)]2 + n ( n là hằng số) => A(x) n
từ đó suy ra A(x) đạt giá trị lớn nhất bằng n <=> F(x) = 0
ở đây [F(x)]2 thờng là bình phơng của một tổng hoặc một hiệu do đó cần phài làm xuất hiện
đợc hằng đẳng thức thứ nhất hoặc thứ hai
Trang 10Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán
Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 - 2x + 5
Giải Nhận xét: Thấy x2 - 2x nếu cộng thêm 1 sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (x - 1)2 Do đó ta biến
đổi x2 - 2x + 5 = x2 - 2x + 1 + 4 = (x - 1)2 + 4 4
Nên đa thức đã cho đạt GTNN bằng 4 <=> x = 1
Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của đa thức A = 4x - x2 + 3
Giải Nhận xét: Thấy 4x - x2 nếu thêm - 4 sẽ xuất hiện hằng đẳng thức - (x - 2)2
Do đó ta biến đổi: A = 4x - x2 + 3 = 4x - x2 - 4 + 4 + 3 = - (x - 2)2 + 7 7
Nên A đạt GTLN bằng 7 <=> x = 2
Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2- x + 6y + 10
Giải Nhận xét: Thấy x2 - x nếu thêm
4
1
sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (x -
2
1
)2
y2 + 6y nếu thêm 9 sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (y +3)2
Do đó ta biến đổi M = x2 - x +
4
1
+ y2 + 6y + 9 -
4
1
- 9 + 10 = (x -
2
1
)2 + (y +3)2 +
4 3
3 Làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào giải các dạng toán khác.
Ví dụ 1.So sánh hai số sau
A = 2008.2010 và B = 20092
Lời giải Thấy A = 2008.2010
= (2009-1)(2009+1) = 20092 - 1 < B = 20092
Vậy A < B
Phần III Kết luận.
1.Những đánh giá cơ bản.
Trên đây là một số kinh nghiệm dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ theo tinh thần đổi mới phơng pháp dạy học Qua việc áp dụng việc dạy học nh trên tôi thấy tình hình học tập của các em đã đợc cải thiện rõ rệt, chất lợng đợc nâng lên Qua khảo sát thấy có tới 86% số học sinh đợc khảo sát đợc trung bình trở lên(So với trớc là 60%)
Việc đổi mới phơng pháp dạy học vẫn còn là một vấn đề cần phải đợc bàn bạc thảo luận Do
đó việc trình bày ở trên chắc không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong đợc các bạn đồng nghiệp bổ sung đóng góp các ý kiến xây dựng
Xin chân thành cảm ơn!
2 Một số khuyến nghị
Để có thể nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân và các đồng nghiệp khác tôi có một số đề nghị nh sau:
+ Tăng cờng các buổi sinh hoạt chuyên môn, các hội thảo chuyên đề về đổi mới
ph-ơng pháp dạy học môn toán