Luận văn sư phạm Toán tử chiếu và toán tử Unita

Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert.. Lí do chọn đề tài Lí thuyết hàm và Giải tích hàm được ra đời và phát triển vào những năm đầu thế kỉ 20, nó có nhiều tầm quan trọng v

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong trường Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt các thầy cô giáo trong khoa Toán đã dạy dỗ tôi qua 4 năm Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Phan Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân trong quá trình học tập nghiên cứu ở bậc đại học, bên cạnh đó tôi cũng nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài:“Toán tử chiếu và toán tử unita” không có sự trùng lặp với các đề tài khác, nếu sai tôi xin hoàn thành chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm2013

Sinh viên

Phan Thị Thủy

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian Hilbert 2

1.1.1.Không gian định chuẩn 2

1.1.2 Tích vô hướng 3

1.1.3 Không gian Hilbert 5

1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert 8

1.2.1 Các định nghĩa 8

1.2.2 Ví dụ 10

CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ CHIẾU 12

2.1 Định nghĩa toán tử chiếu 12

2.2 Tính chất và các phép toán của toán tử chiếu 14

2.2.1 Định lí 2.2.1 14

2.2.2 Định lí 2.2.2 15

2.2.3 Định lí 2.2.3 15

2.2.4 Phép toán trên các toán tử chiếu 17

2.2.5 Dãy đơn điệu của toán tử chiếu 20

2.2.6 Khẩu độ của hai đa tạp tuyến tính 22

CHƯƠNG 3 TOÁN TỬ UNITA 26

3.1 Định nghĩa toán tử unita 26

3.2 Tính chất của unita 27

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết hàm và Giải tích hàm được ra đời và phát triển vào những năm đầu thế kỉ 20, nó có nhiều tầm quan trọng và ứng dụng trong các nghành của toán học, vì thế giải tích hàm là một môn quan trọng, việc học và nắm vững môn này là cần thiết đối với sinh viên khoa Toán

Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa giạng kiến thức trong lớp với lượng thời gian eo hẹp cùng với sự mới mẻ và cái khó của môn này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải tích hàm trở nên không dễ dàng với sinh viên khoa Toán Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm đồng thới với quyết tâm bước đầu đi vào nghiên cứu khoa học, để tự tin trong việc dạy và học sau khi ra trường, chúng tôi đã chọn đề tài: “Toán tử chiếu và toán tử unita trong không gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc biệt là lí thuyết toán tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử chiếu, các tính chất của toán tử chiếu, toán

tử unita và các tính chất của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Nội dung chính gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Toán tử chiếu

Chương 3: Toán tử unita

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trên trường P P ฀ hoặc P  ฀ với một ánh xạ từ  X vào tập số thưc ฀ , kí hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

ta một chuẩn trên ฀ Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là ฀1



(1.1.2)

Từ công thức x d x ( , ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1.2) cho một chuẩn trên ฀k Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là ฀k

1.1.2 Tích vô hướng

1 Định nghĩa tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian tuyến tinh X trên trường P P ฀ hoặc P  ฀ 

Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descates

X X vào trường P, kí hiệu là  ., thỏa mãn tiên đề:

(tiên đề 4 được thỏa mãn)

Vậy ฀kcùng với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô

hướng

1.1.3 Không gian Hilbert

1.1.3.1 Định nghĩa không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.3.1

Ta gọi một tập H  gồm những phần tử , , , x y z nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) Hlà không gian tuyến tính trên trường P

2) Hđược trang bị một tích vô hướng

3) H là một không gian Banach với chuẩn x   x x x H, , 

Ta gọi mội không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

Hlà không gian Hilbert con của không gian H

là một không gian Hilbert

1.1.3.2 Tính trực giao

Định nghĩa 1.1.3.2

Cho không gian Hilbert H Hai phần tử ,x y H gọi là trực giao,

kí hiệu x y nếu  x y  , 0

Định nghĩa 1.1.3.3

Cho không gian Hilbert H và tập con A H , A   Phần tử

x H gọi là trực giao với tập Anếu x y  y A và kí hiệu x A Định nghĩa 1.1.3.4

Cho A không gian con của X Ta gọi tập x X x A  là phần bù trực giao của A và kí hiệu A x X x A 

Định nghĩa 1.1.3.5

Cho không gian Hilbert H và không gian con E H Tập con

F H gồm các phần tử của không gian Htrực giao với tập Egọi là phần bù trực giao của tập Etrên không gian Hvà kí hiệu:

F H ฀ E

Khi đó không gian Hbiểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp:

 1 2: 1 , 2 

H F E   x x x x F x   EĐịnh lí 1.1.3.2 (Định lí Pathagore)

Định lí 1.1.3.3.(Định lí về hình chiếu lên không gian con)

Cho không gian Hilbert H và H là không gian con của H Khi 0

đó phần tử bất kì x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x y z y H z H   Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con H 0

1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

1.2.1 Các định nghĩa

a) Định nghĩa toán tử tuyến tính

Cho hai không gian tuyến tính X Y, trên trường P P ฀ hoặc



P  ฀ , ánh xạ A từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính

Y Ánh xạ A được gọi là toán tử tuyến tính nếu:

 

1)x x X A x x,  :   Ax Ax

 2) x X,  P A x:  Ax

Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện (2) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y P , toán tử tuyến tính A gọi là phiếm hàm tuyến tính 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục

a) Toán tử bị chặn

Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian con Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số 0

c  sao cho:

b) Chuẩn của toán tử

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c  nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2.2) gọi 0

là chuẩn của toán tử A Kí hiệu A

c) Toán tử liên hợp

Cho Alà toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ trong không gian Hilbert X vào không gian HilbertY Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gianX gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu:

Ax y,   x By, , x X y Y,  Toán tử liên hợp B thường kí hiệu làA *.

Các tính chất sau được suy ra dễ dàng từ định nghĩa:

c) Toán tử tự liên hợp

Toán tử tuyến tính bị chặn Aánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó gọi là tự liên hợp, nếu:

Ax y,   x Ay, , ,x y H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

d) Toán tử trực giao

Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với

toán tử liên hợp của nó Tức là T T TT*  *

Chú ý rằng T trực giao khi và chỉ khi T*trực giao

Mọi toán tử liên hợp đều trực giao nhưng trực giao chưa chắc đã

đối xứng

e) Toán tử nghịch đảo

Alà một toán tử xác định trong một không gian vectơ con của E

Một toán tử B xác định trên ฀  A gọi là nghịch đảo của A nếu:

ABx x x  ฀ A BAx x x D A  

Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả tích Nghịch đảo của A kí hiệu là A 1

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất f) Toán tử lũy đẳng

Một toán tử T được gọi là lũy đẳng nếu T T 2

+) A liên tục

Từ Ax  x suy ra A bị chặn nên A liên tục

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục

CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ CHIẾU

2.1 Định nghĩa toán tử chiếu

Cho G là không gian con của không gian Hilbert H Tập con

F Hlà phần bù trực giao của tập G trên không gian H ,tức là

F H ฀ G Hay

H G F Theo định lí 1.1.1.3 mỗi vectơ x H được biểu diễn duy nhất bởi công thức

x u v 

Trong đó u G v F ,  Khi đó u được gọi là hình chiếu của x lên G Bằng cách ứng vectơ x H với hình chiếu u của nó lên G Ta lập được ánh xạ :P H H có miền giá trị R P G

Định nghĩa 2.1.1

Ánh xạ P xác định như trên được gọi là toán tử chiếucủa không gian Hlên không gian con đóng G H Ta cũng kí hiệu P là P để nói G

rõ phép chiếu lên không gian con G

Do đó nếu u và v có mối quan hệ như trên thì:

G

u Px P u Toán tử chiếu rõ ràng là tuyến tính và bị chặn

Nhận xét:

Rõ ràng nếu u H thì Pu u Hơn nữa ta có:

 

v x u x Pu     I P xVậy I P là toán tử chiếu lên không gian con đóng G F

Cho tương ứng vectơ x R 2với hình chiếu y của nó lên H ta lập 0được ánh xạ:

Ví dụ 2.1.2

Cho dãy  e là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn n

chiều H , H là không gian con sinh bởi các vec tơ n e e1, , ,2 e n n 1,2  Khi đó:

Là dãy toán tử chiếu của x H lên không gian con đóng H nThật vậy,  P là dãy toán tử chiếu của n x H lên không gian con

Plà toán tử chiếu của không gian Hilbert H lên không gian con

G H thì P là toán tử lũy đẳng và tự liên hợp Tức là:

 2

1 P P

 *

2 P P.Chứng minh

Px x1, 2  x Px1, 2.Thì tồn tại không gian con G H mà P là toán tử chiếu trong GChứng minh

Để kết thúc phần này chúng ta chú ý rằng với G là không gian con

và E là toán tử đơn vị, do đó E P là toán tử chiếu trên H ฀ G

2.2.4 Phép toán trên các toán tử chiếu

Điều kiện cần: Từ P P là toán tử chiếu nên: G G1 2

1 2 2 1

g P P h P P h  Đầu tiên cho g G g G 1,  2 Do đó, g G 1G2 Nếu h G 1G2thì P P h hG G1 2  Do đó một nửa định lí được chứng minh

Điều kiện đủ: Bây giờ giả định P P giao hoán Đặt: G1, G2

P x xG 1, 2  P P x xG G1 2 1, 2  P x P xG2 1, G1 2

x P P x1, G2 G1 1 x P P x1, G G1 2 2 x P x1, G 2

Suy ra PG P PG G1 2là toán tử chiếu.Định lí được chứng minh

Điều kiên cần: Cho x H , vì u Px G  1và G1G2

Suy ra Px có hình chiếu bằng 0lên1 G 1

Suy ra P P x  , hay G G1 2 0 P P G G1 2 0

Điều kiên đủ: Lầy u G v G 1,  2 u P u v P vG1 ,  G2

Ta có  u v, P u P vG1 , G2   P P u vG G1 2 ,  0,v 0

Suy ra G1G2 Khi đó định lí được chứng minh

Định lí 2.2.5.Tổng hữu hạn của các toán tử chiếu:

Điều kiện cần: Cho Q là toán tử chiếu do đó:

2 2 2

||P fGj || ||P fGk || || ||  fTrong bất đẳng thức này cho:

.k

Từ điều kiện này chỉ ra rằng công thức (2.2.7) là điều kiện cần và

đủ để có được (2.2.6) là toán tử chiếu

Ta có toán tử Q chiếu trên [H ฀ G1]G2.Do đó toán tử PG1 PG2chiếu trên H฀ [H ฀ G1 G2.Nó là không gian con bao gồm tất cả các vectơ củaG 1trực giao với G 2hay nó là không gian con G ฀ 2 G 1

2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu

Bổ đề 2.2.5

Cho hai toán tử chiếu P P phân biệt khi đó ta có: G1, G2

G G ||P fG2 || || P fG1 ||với f H  Trước hết ta có nhận xét:

||P fG || || P fG || (2.2.5) Điều kiện đủ: Ngược lại (2.2.5) đúng với f H Xét:

 G1

f  E P hTrong đó h là phần tử tùy ý bất kì Từ ||P fG2 || || P fG1 || và

Định lí 2.2.7

Nếu P k Gk  1,2, là dãy vô hạn toán tử chiếu và nếu PGj PGk1

k 1,2,  Do đó với k ,PGkhội tụ mạnh tới toán tử chiếuP

Vìx cố định, ||P x tăng với k nhưng bị chặn trên bởiGk ||2 || ||x 2 Vì vậy nó

có giới hạn hữu hạn Từ vế phải của (2.2.5) tiến tới 0 và dãy  P xG n n1

dãy cơ bản theo nghĩa hội tụ mạnh

Bằng tính đầy đủ của không gian hàm toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại giới hạn mạnh:

Khẩu độ của hai đa tạp tuyến tính trong không gian Hilbert H được định nghĩa là chuẩn của hiệu các toán tử chiếu từ H lên bao đóng của hai đa tapk tuyến tính đó Kí hiệu M M1, 2.

Từ phép cộng đó chúng ta thấy rằng khẩu độ là bằng 1 nếu mà có một đa tạp chứa vectơ khác 0mà nó trực giao với đa tạpkia

0mà nó trực giao với G Vectơ này trực giao với toàn bộ không gian con M bởi vì không gian con 1 M ฀ 1 G là trực giao với M 2

Khi đó ta có điều phải chứng minh

CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ UNITA

Không gian 3 chiều Eclude với phép toán đơn giản cùng với phép quay trong không gian Nó làm không thay đổi chiều dài của vectơ và góc giữa chúng.Bây giờ chúng ta đi xét toán tử tương tự trong không gian Hilbert H đó là toán tử unita

3.1 Định nghĩa toán tử unita

Định nghĩa 3.1.1

Toán tử U trong miền H DU H v H U H à   là toán tử unita nếu:

Uf Ug,   f g, với ,f g H Chúng ta nhấn mạnh rằng đinh nghĩa không yêu cầu là toán tử tuyến tính

Nhận xét: Từ định nghĩa U là toán tử unita ta có:

3.2 Tính chất của toán tử unita

Tính chất 3.2.1.Toán tử unita có nghịch đảo là toán tử unita Chứng minh

Nhớ lại rằng toán tử U có nghịch đảo nếu và chỉ nếu Uf Ug kéo theo f g

Giả thiết, Uf Ug khi đó:

Suy ra f g Nên U 1là tồn tại

Tử DU 1  U 1 DU DU 1  U vàU 1 DUnên toán tử U 1được xác định trong toàn bộ không gian và ảnh của nó lên toàn bộ không gian

Chọn f g H sao', ' cho f = U 1f g', = U 1g'

Suy ra Uf  f Ug g',  '.

Suy ra U 1f ',U 1g'Uf Ug,   f g,   f g', ' Suy ra U 1là toán tử unita

Tính chất 3.2.2.Toán tử unita là tuyến tính

Định lí 3.2.1 Nếu toán tử tuyến tính Uthỏa mãn điều kiện:

Toán tử unita trong H là trường hợp đặc biệt của toán tử đẳng cự



Do đó A là toán tử đẳng cự

Từ định nghĩa trên suy ra các tính chất đơn giản sau:

1 Mỗi toán tử đẳng cự có nghịch đảo cũng là một đẳng cự

2 Nếu toán tử V là ánh xạ tuyến tính đi từ H v H nếu: 1 ào 2

Vf Vf,  2 f f, 1với f H 1

Tương tự nếu V V I*  thì:

 ,   * ,   ,

Vx  Vx Vx  V Vx x  x x  xKhi đó ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 3.1.3.Cho T v T là toán tử tuyến tính tương ứng 1 à 2trong không gian H v H Do đó 1 à 2

1 1, 1 1, 2 2, 2 2

D H  H D H   H Toán tử T v T được gọi là đẳng cấu hoặc unita tương đương nếu 1 à 2

nó tồn tại toán tử đẳng cự V mà ảnh H v H và 1 à 2 D vào T1 D Do đó, T2

Trong quá trình tìm hiểu nâng cao, chúng tôi đã được làm quen với cách thức là việc hiệu quả khoa học.Qua đó chúng tôi cũng đã được củng cố, thêm kiến thức Giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lí thú của toán học Đặc biệt trong khóa luận này chúng tôi đã nghiên cứu một cách khái quát về một số vấn đề của lí thuyết toán tử trong không gian định chuẩn, đi sâu vào nâng cao tính chất và phép toán trên các toán tử chiếu và toán tử unita trong không gian Hilbert để

từ đó làm cơ sở cho ứng dụng của các toán tử đó

Chúng tôi hi vọng rằng tài liệu này là tài liệu tham khảo của các bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng và toán học nói chung

Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót nên tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

TÀI LIỆU THAM KHẢO