Luận văn sư phạm Giải tích vectơ trong không gian En và ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả, các

em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn thiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trình học tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trung thực

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En 2

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều 2

§2 Hàm vectơ 4

2.1 Định nghĩa 4

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ 4

2.3 Giới hạn của hàm vectơ 7

2.4 Hàm vectơ liên tục 11

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 12

3.1 Định nghĩa 12

3.2 Tính chất 12

3.3 Đạo hàm cấp cao 17

3.4 Đổi biến số 17

3.5 Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số 19

3.6 Nhận xét 20

Chương 2 ỨNG DỤNG 21

§1 Nghiên cứu đường trong En 21

1.1 Vectơ tiếp xúc 21

1.2 Cung tham số 22

1.3 Cung trong En 23

1.4 Cung chính quy 24

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị 27

1.6 Cung song chính quy 28

1.7 Công thức Frenet 29

§2: Nghiên cứu mặt trong E3 36

2.1 Mảnh tham số 36

2.2 Ánh xạ Weingarten 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ trong không gian Envà Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp

2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức của giải tích vectơ n chiều trong không gian En và ứng dụng của chúng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ

và ứng dụng trong không gian En

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ n chiều trong không gian En

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp tài liệu

Chương I

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều

E E xác định một số thực gọi là tích vô hướng của hai vectơ

a, b Kí hiệu là a bhoặc ab thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Với mỗi a, b,c,  En,  ta có:

i a.b b.a    

ii a.(b c) a.b a.c     

iii ( a).b  .(b.a) 

iv a.a 0  dấu () xảy ra khi và chỉ khi a là 0

v     2   0 dấu () xảy ra khi và chỉ khi  là 0

Hệ {e }i i 1,n trong En được gọi là hệ trực chuẩn nếu:



Ta kí hiệu d(M,N) là khoảng cách giữa 2 điểm M,N

Khi đó d(M,N) MN

X(u) x (u).e     x (u).e

gọi là các hàm toạ độ của hàm vectơ X

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)

Cho tập hợp U trong En cho các hàm vectơ X,Y : U   V En và hàm số : UR Ta định nghĩa:

a Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi

n

X Y : U  E , u(X Y)(u) X(u) Y(u)  

b Tích của một hàm số với với một hàm vectơ

X.Y: U  E , u(X.Y)(u) X(u).Y(u)   

d Chuẩn của hàm vectơ

n

|| X ||: U E , u || X || u || X(u) ||    

e Khi n 3 và E3có hướng ta định nghĩa tích có hướng của hai hàm vectơ:

Suy ra (X.Y)(u) (x y )(u) (x y )(u)   1 1  2 2   (x y )(u)n n

x (u).y (u) x (u).y (u)1 1  2 2   x (u).y (u)n n (1)

X(u).Y(u) x (u).y (u) x (u).y (u)      x (u).y (u) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u) X(u).Y(u)   

(X Y)(u) (x y2 3x y )(u),(x y x y )(u),(x y3 2 3 1 1 3 1 2 x y )(u)2 1 

(x (u).y (u) x (u).y (u),x (u).y (u) x (u).y (u),2 3  3 2 3 1  1 3

x (u).y (u) x (u).y (u))1 2  2 1 (3)

(x (u).y (u) x (u).y (u),x (u).y (u) x (u).y (u),2 3  3 2 3 1  1 3

x (u).y (u) x (u).y (u))1 2  2 1 (4)

Từ (3) và (4) suy ra (X Y)(u)  X(u) Y(u) 

2.3 Giới hạn của hàm vectơ

2.3.1 Định nghĩa của điểm giới hạn (xem [3.1], tr.9)

Điểm u0 thuộc Em gọi là điểm giới hạn của tập hợp U thuộc Em nếu với mọi số thực   tồn tại điểm 0 u U \ u  0 sao cho du ,u   0 

e e e    e e E khi và chỉ khi các hàm số x : Ui R có giới hạn

là ei khi u dần tới u0với mọi i 1, ,n :

Với mỗi số  0 tuỳ ý ta chỉ cần chỉ ra một số  0 sao cho u U  ,

(g(u).x (u),g(u).x (u), ,g(u).x (u))

g(u)(x (u),x (u), ,x (u))

Mặt khác: X(u).Y(u) x (u).y (u) x (u).y (u)   1 1  2 2   x (u).y (u)n n (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u) X(u).Y(u)   

1 2 2 2 n 2

|| X || (u) ( (x )  (x )   (x ) )(u)

|| X || (u) (x ) (u) (x ) (u) (x ) (u)

|| X || (u) X(u).X(u) || X(u) ||

(theo định nghĩa giới hạn của hàm vectơ)

2.4 Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12)

Mặt khác nếu X,Y,Z   là các hàm vectơ liên tục trên tập hợp U và g là hàm số liên tục trên U thì cũng có các hàm vectơ sau liên tục trên U:

X Y  , g.X , (n=3, E3 có hướng ) X.Y  có các hàm số liên tục trên U X.Y , || X || (n=3, E3 có hướng) X,Y,Z  

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 3.1 Định nghĩa (xem [3.5], tr.13)

Cho J là một khoảng trong R, xét hàm vectơ X : J  En, t X(t) Khi đó giới hạn:

X'(t) (x )'(t).e (x )'(t).e       (x )'(t).e

(ta có điều phải chứng minh)

b) Tính chất 2

Hàm vectơ X(t) trên khoảng J là hàm hằng khi và chỉ khi đạo hàm

X'(t) 0  t J 

Chứng minh:

Nếu hàm vectơ có hàm toạ độ x ,x , ,x đối với cơ sở 1 2 n (e ,e , ,e ) 1 2 n

của En thì khi x là hàm hằng kéo theo là hàm hằng và ngược lại Mặt khác

nếu X có đạo hàm thì : X'(t) (x )'(t).e (x )'(t).e  1 1 2 2  (x )'(t).en n

Từ đó X'(t) 0  khi và chỉ khi 1 2 n

(x )'(t),(x )'(t), ,(x )'(t) bằng 0 Vì hàm số là hàm hằng trên một khoảng khi và chỉ khi đạo hàm của nó bằng 0

tại mọi khoảng của nó bằng 0 tại mọi điểm của khoảng (điều phải chứng

minh)

c) Đạo hàm của hàm vectơ

Cho tập hợp U trong En cho các hàm vectơ X,Y : J  E ;n :JRcó

đạo hàm tại t ta có:

1) (X Y)' X' Y'  

2) ( X') 'XX'

Suy ra: (X Y)' X' Y'  

(ta có điều phải chứng minh)

Suy ra: ( X)' '.XX' (Ta có điều phải chúng minh)

(x )'.y3 1x (y )' (x )'.y3 1  1 3x (y )',1 3

(x )'.y1 2x (y )' (x )'.y x (y )')1 2  2 1 2 1 (1)

(X' Y) (X Y') ((x )'.y     x (y )' (x )'.y x (y )',

(x )'.y x (y )' (x )'.y3 1 3 1  1 3x (y )',1 3

(x )'.y1 2x (y )' (x )'.y x (y )')1 2  2 1 2 1 (2)

(X.Y)' X'Y XY'    (ta có điều phải chứng minh)

d) Cho X là một hàm vectơ trên khoảng J trong R đến En có đạo hàm

X '(t) tại mọi tJ Hàm số || X || trên J là hàm hằng khi và chỉ khi X '(t)vuông góc với X(t) với mọi t J

Lúc đó (X (t))' 2.X(t).X'(t) 02      t J nên X.X  là hàm hằng trên J hay chính || X || là hàm hằng trên J

3.3 Đạo hàm cấp cao (xem [1.4], tr.7)

Ta có X(t) khả vi lớp Ck nếu nó có đạo hàm đến cấp k và đạo hàm cấp

k liên tục X(t) khả vi lớp C (hàm vectơ chẵn, hàm vectơ trơn) nếu nó có đạo hàm mọi cấp

c) Khai triển Taylor

Nếu X : J En, t X(t) có đạo hàm đến cấp k tại t J thì ta có:

t (X (t) (t, t))k!



Trong đó: (t, t)   0 khi t 0

3.4 Đổi biến số (xem [1.5], tr.8)

Cho I,J R : X: JEn, t→X(t) có đạo hàm tới mức cần thiết : I J

  , st (s)

là hàm số có đạo hàm thì hàm vectơ

n(X ) : I E

Suy ra: d (X ) d2 2 d dx (s)

ds ds dtds

 =lim (t t )X( ) i i 1  i giới hạn đối với mọi phân hoạch a= < < <…< =b của [a,b], với mọi

i [t ,t ]i 1 i

  khi max t t i  i 1  0

b Nhận xét

Nếu X(t)dt + thì b

aX(t)dt

bZ(t) | Z(b) Z(a) 

Ta cũng có kết quả sau: ||b

aX(t)dt

Đối với vectơ nhiều biến số chẳng hạn hai biến số X:U→En,

(u,v)↦X(u,v) (U mở ⊂ ) ta có thể nói tới các đạo hàm riêng

Chương 2 ỨNG DỤNG Trong chương này ta tìm hiểu về một số ứng dụng của hàm vectơ trong nghiên cứu đường và mặt trong En

§1 Nghiên cứu đường trong En 1.1 Vectơ tiếp xúc (xem [2.1], tr.11)

Nhắc lại rằng không gian Euclid En là một không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclid En Hai điểm p,q của En xác định một vectơ n

    là một vectơ tiếp xúc của En tại

p TEn được gọi là tập các vectơ tiếp xúc của En

Với p E n, kí hiệu là T Ep n   { p (p, );    E }n là tập các vectơ tiếp xúc với En tại p thì có song ánh n n

1.2 Cung tham số (xem [2.4], tr.16)

Để nghiên cứu cung tham số người ta sử dụng hàm vectơ

 được gọi là bán kính vectơ của đối với gốc O

Nói là cung tham số khả vi nếu là hàm vectơ khả vi

Nếu hàm  có đạo hàm cấp k (k 1) tại t là (k)(t) thì đạo hàm đó không phụ thuộc điểm O nên cũng gọi là đạo hàm cấp k của tại t

  , (t) O t n  3  ( n là vectơ khác 0 của En ); ảnh của nó cũng

là đường thẳng nói trên Ta có: (t) t n 3

Ví dụ 4

 e ,e i j là vectơ hình học chuẩn trong En

( ei  ej 1; e e i j0) (O E n, R 0 )

Với ánh xạ : REn

t(t) O R.e(t)    O R.cos t.i R.sin t.j 

 là cung tham số khả vi: (t) O (t) R.e(t)     khả vi lớp C

 là cung tham số khả vi: (t) a.e(t) bt.k    

Cung tham số như trên gọi là cung đỉnh ốc tròn

1.3 Cung trong En (xem [1.1], tr.69)

1.4 Cung chính quy (xem [1.2], tr.69)

a Điểm thuộc cung

độ Decartes vuông góc (x,y,z) của E3, rõ ràng xác định một cung chính quy vì '(t) 0  tại mọi t R

Ví dụ 2

Xét các cung tham số : RE3 và r : R E3

t(t) O t.n   u r(u) O u n  3  (O là điểm cố định, n là một vectơ khác 0 cho trước) thì (R) r(R) và cũng là đường thẳng qua O với vectơ chỉ phương n nhưng 2 cung tham số

đó không tương đương '(t) 0  với mọi t R còn r'(u) 0 

Ví dụ 3

Cung tham số t(t) (x t,y f (t))   trong toạ độ afin (x,y) trong mặt phẳng E2 có ảnh là đồ thị của hàm số y f (x)

Khi f khả vi, mọi điểm của cung là chính quy vì '(t) (1,f '(t)) 0  

Chẳng hạn với y x 3, (x R) điểm (0) (0,0) là một điểm uốn

( ở đây k=1, l=3)

d Tiếp tuyến, pháp diện

Tiếp tuyến của cung  tại điểm chính quy t là đường thẳng đi qua 0

0

(t )

 và có vectơ chỉ phương '(t )0 En có hệ toạ độ n

i 1(O,{e } ) mà toạ độ của điểm kí hiệu là (X ,X , ,X ) 1 2 n

Giả sử cung  xác định bởi:

Pháp diện của cung  tại từng điểm chính quy t0 là mặt phẳng (t )0

và cắt vuông góc với tiếp tuyến của  tại t0 Nếu (X ,X , ,X ) là toạ độ 1 2 nDescartes vuông góc thì phương trình pháp diện đó là:

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị

tO t.e t e    t e t e 0.e   0.e

Trong đó O là một điểm thuộc En còn e ,e ,e , ,e1 2 3  n là cơ sở trực chuẩn của En Có vi phôi : 1,2    1,4 sao cho   r

t t2

Ngoài ra còn có'(t) 2t 0  ,  t 1,2 

Vậy ,r là 2 cung tương đương định hướng

b Trường vectơ tiếp xúc đơn vị

Định nghĩa

Cho  là cung định hướng trong En xác định bởi tham số hoá:

a) Mọi cung song chính quy đều là cung chính quy

b) Một cung chính quy là song chính quy khi và chỉ khi nó có độ cong khác

0 tại mọi điểm

Như vậy, với mọi t R , '(t) và ''(t) là hai véctơ độc lập tuyến tính trong E3 nên  là một cung song chính quy

d Trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị

Giả sử T là trường vectơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc với , trong tham số hoá tự nhiên sr(s) của , T(s) r '(s) 

ds  , k là hàm độ cong của 

e Trường vectơ trùng pháp tuyến chính đơn vị

 là một cung song chính quy định hướng trong En thì ta có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T (xác định hướng) có tham số hoá tự nhiên sr(s)của , T(s) r'(s)  và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc , trong tham số hoá tự nhiên sr(s) của , T(s) r'(s) 

Khi n=3, khi đó E3 đã có hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị

B T N  dọc  gọi là trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc 

(Rõ ràng phương của B tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của

Có T là trường vec tơ tiếp xúc đơn vị dọc cung  Giả sử E2 đã có hướng thì xác định được trường vec tơ dọc  sao cho {T,N} là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  gọi là trường mục tiêu trực chuẩn dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc ; với N là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc

Gọi là công thức Frenet của , trong đó k là (hàm) độ cong của 

Ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên

Giả sử cung  có tham số hóa tự nhiên sr(s) Trường vectơ DT

dskhông phụ thuộc tham số hóa đó Mặt khác, do {T,N} là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  nên T.T=1, DT

ds .T=0 nên ta có DT kNds  , với k là một hàm số dọc  là (hàm) độ cong của 

Từ T.N=0 ta suy ra DT.N T.DN 0

ds  ds  hay DNDs  kTNhư vậy ta có công thức:

b Chú ý

Vì E2 có hướng , ta có thể nói đến độ cong của  trong E2, nó có thể mang giá trị dương hoặc âm Vì vậy k còn được gọi là độ cong đại số của

, khi đổi hướng của  thì độ cong (đại số) đổi dấu

c Độ cong của cung chính quy định hướng trong E2

Gọi {T,N} là trường mục tiêu dọc cung tham số r và coi độ cong k của

 là hàm số dọc r thì công thức Frenet cho:

Nên suy ra: 3

x'y'' x''y'k

Công thức trên gọi là công thức tính độ cong của cung chính quy định hướng trong E2

Ví dụ Tính độ cong của cung tròn  có tham số hóa:

t(t) R.e(t) (R cos t,R sin t) (x(t), y(t))   

Lời giải

Ta có:

x(t) R cost , x'(t) Rsin t, x''(t) R cost;

y(t) Rsin t , y'(t) R cost , y''(t) Rsin t

Thay vào công thức tính độ cong k ta có:

Vậy cung song chính quy định hướng  trong E3, có trường mục tiêu trực chuẩn thuộc {T,N,B} dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc 

3

x '(t).y''(t) x ''(t).y'(t)k(t)

(x ' (t) y' (t))







b Độ cong, độ xoắn của cung song chính quy định hướng

Định nghĩa

Cho  là một cung song chính quy định hướng trong E3

Trường mục tiêu Frenet {T,N,B} dọc  ta có:

Vậy B'.T x.1 y.0  Từ đó ta suy ra: x=B’.T

Lại có: B.T=0 Đạo hàm hai vế ta được B’.T+B.T’=0

Thay x=B’.T với T’=k.N vào ta được x+ B.k.N=0

gọi là công thức Frenet

*Nhận xét: Khi đổi hướng của một cung định hướng trong E3 (có hướng) thì T đổi hướng,N đổi hướng, B đổi hướng