Luận văn sư phạm Số phức và các phép biến đổi đồng dạng

Cho tam giác ABC... Cho tam giácABC.. D ng bên ngoài tam giác các tam giác vuông... Cho tam giác ABC .D ng bên ngoài tam giác ABC các tam giác B'... D ng vào phía trong t giác hai hình

L i c m n

Em xin g i l i c m n chân thành t i các th y giáo, cô giáo trong khoa Toán đã t o c h i cho em làm khoá lu n này

c bi t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y inh V n Thu ,

ng i tr c ti p h ng d n t n tình, nghiêm kh c giúp đ em hoàn thành khoá

L i cam đoan

Em xin cam đoan k t qu nghiên c u trong đ tài này đích th c là c a

em tài nghiên c u c a em không trùng v i k t qu nghiên c u c a các tác

gi khác

N u có gì không trung th c, em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Hà N i, ngày 05 tháng 05 n m 2010 Tác gi

M c l c

Trang L i nói đ u ……… 1

A M đ u……….3

1 Lý do ch n đ tài………3

2 Nhi m v nghiên c u……… 3

3 Ph ng pháp nghiên c u……… … 3

B N i dung……… 4

Ch ng 1 C s lý thuy t……… 4

1 S l c v s ph c………4

1.1 nh ngh a s ph c……… 4

1.2 D ng đ i s c a s ph c……… 6

1.3 D ng l ng giác c a s ph c………6

1.4 ng th ng trong m t ph ng ph c……… 9

1.5 ánh x afin, bi n đ i afin……… …….11

2 Phép bi n đ i đ ng d ng trong m t ph ng ph c………13

2.1 Phép v t ………13

2.2 Phép đ ng d ng……… 16

Ch ng 2 ng d ng phép đ ng d ng vào gi i toán b ng công c s ph c……… ……… 26

1 Nh ng bài toán áp d ng……….… …….26

2 Bài t p luy n t p……… …….41

3 H ng d n gi i bài t p luy n t p……… …… 42

Tài li u tham kh o……….48

K t lu n……… …… 49

L i nói đ u

S ph c, t khi ra đ i, đã thúc đ y toán h c ti n lên và gi i quy t đ c

m t s v n đ v khoa h c và k thu t Ch ng h n, ng d ng s ph c th hi n trong đ i s là m i ph ng trình b c hai đ u có nghi m, trong hình h c, s

ph c c ng có nh ng ng d ng quan tr ng Nó t ra h u ích đ i v i l p các bài toán v phép bi n hình trong m t ph ng

Trong khuôn kh khoá lu n này em xin gi i thi u vi c áp d ng s ph c nghiên c u v bi n đ i đ ng d ng và áp d ng nó đ gi i quy t m t s bài toán hình h c

N i dung c a lu n v n này bao g m hai ch ng:

áp d ng cho các bài toán trong ch ng ti p theo

Ch ng 2 ng d ng phép đ ng d ng vào gi i toán b ng công c s ph c

Ch ng này đ a ra các bài toán áp d ng s ph c trong phép bi n đ i

đ ng d ng g m các nh n xét nêu ra đ c s h u ích khi s d ng s ph c, sau

đó là bài t p luy n t p có h ng d n l i gi i

Lu n v n này đ c hoàn thành nh s đ ng viên, h ng d n, ch b o

t n tình c a th y giáo inh V n Thu và nh ng đóng góp quý báu c a các

th y cô giáo trong t Hình h c

Qua đây, em g i l i c m n chân thành t i các th y cô giáo trong t

Hình h c,đ c bi t là th y inh V n Thu đã giúp em hoàn thành t t lu n v n

t t nghi p này

A M U

1 Lý do ch n đ tài

Trong vi c gi i toán, s d ng nhi u ph ng pháp khác nhau giúp cho

vi c hi u bài toán m t cách th u đáo c n k S d ng s ph c đ gi i toán

Nói M có t a v z thì c ng nói OM 

có t a v z

vi t OM z  ( )

M'

M(z) E(1)

M E(1) P

Ví d : Cho hai đi m phân bi t A B , có t a v theo th t là  , Tìm t a

v đi m C sao cho  ABClà m t n a c a tam giác đ u c nh AC

ng th ng qua đi m M 0 z 0 , vect ch ph ng u u  ( )

 Ba đi m M M M 0 , 1 , 2cùng thu c m t đ ng th ng, M M0 2  kM M1 2

 M2thu c đ ng th ng M M 0 1và chia M M0 1 theo t s k

 ng th ng  đi qua M M 0 , 1và m t đi m M (  M M 0 , 1 )

Ta có m t song ánh :

- Bi n đ i afin b o toàn h ng c a m t tam giác thì b o t n h ng c a

m i tam giác, đi u này x y ra khi và chi khi   

- Bi n đ i afin đ o h ng c a m t tam giác thì đ o h ng c a m i tam giác, đi u này x y ra khi và ch khi   

z  kz   k z

Ng c l i, xét bi n đ i c a m t ph ng ph c : '  

z  kz  k ฀ Khi k  1, đó là phép t nh ti n

Khi k  1, bi n đ i có đi m b t đ ng duy nh t J , t a v z 0, 0

B có t a v là k  z 0 z 0 ' '    

J k

J k

* T p h p các phép v t cùng tâm làm thành m t nhóm giao hoán

là phép v t tâm z 0t s k k 1 2

+ Tích c a V J k , và 1

, I k

V là m t phép t nh ti n + Tích c a VJ k, ,k  1 v i phép t nh ti n Tu là phép v t h s v t k T Vu  J k, có công th c '  

0 1

z  z    kz k z  u là phép v t tâm có t a v VJ k,  Tu có công th c '    

0 1

0 (1 )

Bi n đ i đ ng d ng là m t bi n đ i afin nên nó b o toàn tính ch t th ng

Do đó, phép bi n đ i đ ng d ng bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng

th ng, bi n m t tia thành m t tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng

có đ dài đ c nhân lên v i h s (t s ) đ ng d ng

Bi n đ i đ ng d ng là m t bi n đ i b o giác: bi n đ i đ ng d ng lo i

m t b o t n s đo c a góc đ nh h ng, bi n đ i đ ng d ng lo i hai bi n góc

có s đo  thành góc có s đo 

nh lý 1.7 Bi n đ i đ ng d ng lo i m t f b o t n t s đ n c a ba đi m phân bi t (không nh t thi t th ng hàng)

Ch ng minh Gi s P Q R , , là ba đi m phân bi t tu ý c a m t ph ng

Qua song ánh g c a m t ph ng, t đ n c a ba đi m phân bi t tu ý

R R

Do bi n đ i z  z z  là m t bi n đ i afin (vì 2

1   0) nên là

m t song ánh, v y có đi m M z 0 ( ) 0 duy nh t mà nh là O t c z 0 z 0   0

hay z0 z0và M z0( )0 là đi m b t đ ng duy nh t c a g

Q J  V Q J nên Q J ( ) là đi m b t đ ng c a V nên Q J ( )  J nên J là

đi m b t đ ng c a Q nên J là tâm c a Q

K

' ' ' '

ABC D c ng t ng t )

T (1), (2) và (3) ta có m    p n q (4)

Trong câu a) ch ng minh t giác là hình thoi theo cách dùng s ph c ta

ch c n ch ra hai đ ng chéo c a t giác đó có chung trung đi m t c là tho mãn h th c (4) và d dàng ch ng minh đ c chúng còn vuông góc v i nhau

d a vào tính t a v c a các vect

H n n a, b ng cách ch ra h th c liên h gi a tâm I c n tìm qu tích và tâm hai hình thoi cho tr c giúp ta có m t hình nh rõ ràng v qu tích tâm I

c a hình thoi

Bài toán 2 Cho tam giác ABC D ng phía ngoài tam giác các hình vuông

ABMN BCIJ CAKL có tâm l n l t là P Q R , ,

Ch ng minh : AQ BR CP , , đ ng quy t i tr c tâm c a tam giác PQR

L i gi i:

Trong m t ph ng ph c, g i    , , l n l t là t a v c a A B C , , , chi u

c a tam giác ABC là chi u thu n

Xét phép đ ng d ng 1

1 , ,

* Nh n xét:

B ng cách dùng s ph c ta tính đ c ngay t a v c a P Q R , , nh vi c áp

d ng phép đ ng d ng tâm t i các đ nh tam giácABC L u ý, ta ch c n tính

đ c t a v c a m t đ nh P, hoán v đi ta có đ c t a v các đ nh còn l i và

do đó các vect nhanh chóng tìm đ c t a v , sau đó ch ng minh các c p

đ ng th ng vuông góc v i nhau, giúp cho bài toán tr nên đ n gi n h n

Bài toán 3 Cho tam giác ABCđ u, tâm O.Quay tam giác đó quanh O

K

I

J

A' C'

B'

z  cos 2 i sinz z z 0 2 cos i sinz 0  z 2

T a v c a ''

B là giao c a AC và ' '

AC là  0 2

1

2cos 2

'' 1

( ) ( )

Theo trên vi c coi đ ng tròn ngo i ti p tam giác là đ ng tròn đ n v ta

có th l p đ c ph ng trình đ ng th ng qua hai đi m b t k trên đ ng tròn có t a v là  , theo m t công th c z  z    T đó tính đ c

t a v c a các giao đi m và nh n th y t n t i m t phép đ ng d ng bi n tam giác IJK thành tam giác '' '' ''

A B C Qua đây, ta th y cách dùng s ph c cho bài toán trên là m t ph ng pháp t t và có th áp d ng cách l p ph ng trình đ ng th ng nh trên cho

nh ng bài toán t ng t

Bài toán 4 Cho tam giácABC D ng bên ngoài tam giác các tam giác vuông

Z2: z   2 iz   (1 2 ) i 

2

( ) ( )

*Nh n xét: Theo cách dùng s ph c, bài toán trên tr nên đ n gi n h n Bài

toán trên c ng là m t trong nh ng d ng toán c b n cho cách dùng s ph c

khi ch ng minh hai đ ng th ng vuông góc v i nhau

Bài toán 5 Cho t giác ABCD.D ng bên ngoài t giác các tam giác

vuông cân c nh huy n là AB BC CD DA , , , , các tam giác

Xét phép đ ng d ng 1

1 , ,

1

i i

áp d ng t ng t nh bài toán 4 ta có k t qu c a bài toán này, dùng cách s ph c l i gi i tr nên ng n g n và sáng s a h n

Qua đây, ta có th áp d ng đ m r ng cho các bài toán khác

ABA và ' ''

ACA G i O là tâm tam giác '

ABA và I J , l n l t là trung đi m c a ''

O

( ) ( )





T (1) và (2) suy ra tam giác OCJ và tam giác ''

Bài toán 7 Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O) G i H là tr c tâm

tam giác, AH BH CH , , c t đ ng tròn (O) l n l t t i ' ' '

, ,

A B C ; các đi m P Q ,

là đi m đ i x ng c a Ath t qua OB OC , ; các đi m I J , là đi m đ i x ng

c a Ath t qua OP OQ , ;các đi m M N , là đi m đ i x ng c a I J , qua OA;

F

C thành F(đpcm)

* Nh n xét:

Phùng Th Ng c

i v i bài toán trên, vi c s d ng s ph c đ gi i toán là r t c n thi t vì hình v khá ph c t p, do đó gi i quy t bài toán b ng cách hình h c là r t khó Bài toán trên ph i l p khá nhi u ph ng trình đ ng th ng qua hai đi m trên đ ng tròn đ n v mà ta đã bi t bài toán tr c, là c s đ ta s d ng phép đ i x ng tr c

Bài toán 8 Cho tam giác ABC .D ng bên ngoài tam giác ABC các tam giác

B'

áp d ng vào bài toán ta có :

i u này ch ng t tr ng tâm c a tam giácABC trùng v i tr ng tâm

c a tam giác IJK

*Nh n xét:

N u d ng tam giácABI ACJ BCK , , phía trong tam giác ABCthì k t qu

v n còn đúng, nh ng l u ý các tam giác trên ph i cùng h ng

Trong bài toán trên, đ ch ng minh hai tam giác có cùng tr ng tâm, b ng cách s d ng s ph c ta c n ch ng minh t a v c a hai tr ng tâm trùng nhau,

và v i gi thi t các tam giác đ ng d ng thì ta s s d ng h th c (3) đ gi i bài toán này

2 Bài t p luy n t p

Bài t p 1 Cho hình thang ABCD có AB song song v i CD, AD=a, DC=b, hai

đ nh A B , c đ nh G i I là giao c a hai đ ng chéo

a) Tìm t p h p các đi m khi thay đ i

b) Tìm t p h p các đi m khi thayđ i nh trong câu a)

Bài t p 2 Cho tam giácABC.V i m i đi m P c a m t ph ng, g iP Q R , , là

đi m đ i x ng c aP theo th t quaBC CA AB , , ; g iG là tr ng tâm c a h

Bài t p 4 Cho đ ng th ng a và b c t nhau và m t đi m C Tìm trên a,b các

đi mA B , t ng ng sao cho tam giácABC vuông cân A

Bài t p 5 Cho t giác l iABCD D ng vào phía trong t giác hai hình

vuôngABMN vàCDKL Ch ng minh các trung đi m các đ ng chéo các t

giácABCD và MNKL là đ nh c a m t hình vuông ho c có th trùng nhau

Bài t p 6 Cho tam giácABC n i ti p đ ng tròn( ) O T đi mK trên đ ng tròn d ng các đ ng th ng song song l n l t v iBC CA AB , , , chúng c t

đ ng tròn th t t iA B C 1 , 1 , 1 G iA B C 2 , 2 , 2 là đi m đ i x ng v iA B C , , l n

l t qua đ ng th ngB C C A AB 1 1 , 1 1 , 1 1 Ch ng minh:

a) Tam giácABC và tam giác A B C2 2 2 b ng nhau

b) Các trung đi m c a đo nAA BB CC 2 , 2 , 2 cùng n m trên m t đ ng

th ng G iO 1 là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giácA B C 2 2 2 thì trung đi m

c aOO 1 c ng thu c đ ng th ng trên

Bài t p 7 Cho hai hình ch nh t có t s gi a chi u dài và chi u r ng là 1

2

Ch ng minh r ng: luôn có m t phép đ ng d ng bién hình này thành hình kia

Bài t p 8 Cho t giácABCD n i ti p trong m t đ ng tròn (O) Quay t giác quanh (O) m t góc v i0 o   360 o thành t giácAB C D 1 1 1 1

1 :

1 A

 (thu c tr c

Ox ) và bán kính là

1

a b

  , G1 là tr ng tâm tam giác ABC

V y v iP chuy n đ ng trên hình H chuy n đ ng trên hình f (H)

Khi 2  0 t c tam giác ABC đ u, suy ra f là ánh x h ng, suy ra m i

Bi n lu n a    c b d theo tr ng h p khác không và b ng không ta có k t

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

th y cô, các b n sinh viên, các b n đ c

Qua nghiên c u v đ tài “S ph c và các phép bi n đ i đ ng d ng’’

em có đi u ki n c ng c các ki n th c v s ph c, phép đ ng d ng và có cách nhìn t ng quát h n v các bài toán hình h c ph ng Em mong mu n s có đi u

ki n ti p t c nghiên c u sâu h n v n i dung này

Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành đ n th y inh V n Thu đã

t n tình h ng d n em hoàn thành khoá lu n này

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, ngày 05 tháng 05 n m 2010

Tác gi