LUẬN văn sư PHẠM vật lý TRƯỜNG điện từ BIẾN THIÊN điều hòa DẠNG PHỨC và sự TRUYỀN SÓNG điện từ

Xây dựng cơ sở của lí thuyết trường ñiện từ: Nghiên cứu lí thuyết từ tài liệu dẫn ra hệ phương trình Maxwell, một số ñại lượng ñặc trưng và nguyên lí cơ bản của trường ñiện từ biểu diễn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP:

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN ĐIỀU HÒA DẠNG PHỨC VÀ SỰ TRUYỀN

SÓNG ĐIỆN TỪ

Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

MSSV: 1060186

SP VẬT LÍ 02 - K32

LỜI CẢM ƠN



Lí thuyết trường ñiện từ là cơ sở cho nhiều ngành khoa học kĩ thuật như vật lí, ñiện tử, ñiện kĩ thuật, viễn thông, kĩ thuật ñiều khiển,…vì vậy việc nghiên cứu lí thuyết và các phương pháp tính trường ñiện từ cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng của nó có ý nghĩa thực tế to lớn Tuy vậy, lí thuyết trường ñiện từ là một lí thuyết khó, muốn nghiên cứu nó một cách cặn kẽ ñòi hỏi phải có kiến thức vật lí và toán học thật tốt Trong chương trình học của mình thì tôi cũng không ñược tiếp cận một cách ñầy ñủ nội dung của lí thuyết này, do vậy trong quá trình viết ñề tài thì tôi cũng ñã gặp không ít khó khăn, vướng mắc Nhưng ñược sự giúp ñỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Văn Tuấn tôi ñã vượt qua những khó khăn này và hoàn thành ñề tài luận văn của mình Qua ñây tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn ñến thầy, thầy ñã tận tình hướng dẫn ñề tài luận văn cho tôi

Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn ñến thầy

Đoàn Hòa Minh, thầy ñã ñóng góp nhiều ý kiến quí báu

cho luận văn của tôi

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến quí thầy cô bộ môn vật lí, ñã truyền ñạt cho tôi những kiến thức về vật lí cũng như toán học vô cùng bổ ích, giúp tôi có ñủ tự tin ñể viết

ñề tài luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến tất cả bạn bè của tôi, ñã luôn tạo niềm tin và ñộng lực cho tôi hoàn thành luận văn

Mặc dù ñã có nhiều cố gắng, nhưng trong quá trình thực hiện vẫn không sao tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quí thầy cô và các bạn

Chân thành cảm ơn !

Sinh viên Nguyễn Anh Văn

MỤC LỤC

Phần I: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn ñề tài: 2

2 Mục ñích ñề tài: 2

3 Đối tượng nghiên cứu: 2

4 Phạm vi nghiên cứu: 2

5 Phương pháp thực hiện: 2

6 Các bước tiến hành: 3

Phần II: NỘI DUNG 4

1 Khái quát chung về trường ñiện từ: 5

2 Biểu diễn phức các ñại lượng ñiều hòa: 6

3 Hệ phương trình Maxwell dạng phức: 8

3.1 Các phương trình Maxwell: 8

3.2 Hệ phương trình Maxwell dạng phức: 11

3.3 Thế vectơ và thế vô hướng của trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa: 12

4 Biểu diễn phức các ñại lượng trung bình: 13

5 Định lí Poynting dạng phức: 14

6 Nguyên lí tương hỗ: 15

6.1 Bổ ñề Lorentz: 15

6.2 Nguyên lí tương hỗ: 16

7 Các phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình Maxwell: 17

7 1 Phương trình sóng cho các vecto cường ñộ ñiện trường: 17

7.2 Phương trình sóng cho thế ñiện ñộng: 18

7 3 Phương trình sóng cho vecto Hezt: 19

7.4 Tìm nghiệm phương trình sóng: 20

7 5 Khảo sát bức xạ trường ñiện từ của lưỡng cực ñiện (nguyên tố anten thẳng): 23

7 6 Khảo sát bức xạ trường ñiện từ của lưỡng cực từ (nguyên tố anten vòng): 27

8 Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc: 30

8 1 Nghiệm phương trình sóng ñối với sóng phẳng ñơn sắc: 31

8.2 Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc trong môi trường ñiện môi lí tưởng: 34

8.3 Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc trong môi trường dẫn ñiện tốt: 36

8 4 Sự phân cực của sóng phẳng ñơn sắc: 37

8 5 Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng ñơn sắc: 38

9 Truyền sóng ñiện từ: 45

9.1 Khái quát chung về truyền sóng ñiện từ: 45

9.2 Ống dẫn sóng: 48

9.3 Hộp cộng hưởng: 57

Phần III: KẾT LUẬN: 66

Tài Liệu Tham Khảo 67

Phụ Lục 68

………

………

………

………

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hiện tượng ñiện từ rất phổ biến và giữ vai trò cực kì quan trọng trong tự nhiên Hầu hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học ñều là kết quả của tương tác ñiện từ giữa các nguyên tử, phân tử Đối với thực tế ñời sống và kĩ thuật, tương tác ñiện từ giữ vai trò chủ yếu Trong các thiết bị vô tuyến ñiện, kĩ thuật ñiện, có các quá trình biến ñổi và truyền năng lượng ñiện từ Trong lí thuyết mạch, các thông số của mạch như ñiện trở R, ñiện cảm L, ñiện dung C, coi như ñã cho Tuy nhiên ñể tính những thông

số này cần biết những khái niệm và cách tính của lí thuyết trường ñiện từ Đối với các hiện tượng như bức xạ ñiện từ, truyền sóng ñiện từ, hiệu ứng bề mặt, thì khái niệm mạch không còn ý nghĩa nữa, các hiện tượng ñó chỉ có thể nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết trường ñiện từ

Sự phát và thu sóng vô tuyến gắn liền với sự tồn tại trường ñiện từ trong không gian giữa anten phát và anten thu Hiện tượng cảm ứng ñiện từ ñược áp dụng ñể chế tạo các máy phát

ñiện, ñộng cơ ñiện Và còn nhiều lĩnh vực ứng dụng nữa từ lí thuyết trường ñiện từ Nói tóm

lại, việc nghiên cứu lí thuyết và các phương pháp tính trường ñiện từ, cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng của nó có ý nhĩa thực tế to lớn

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:

 Nghiên cứu lí thuyết trường ñiện từ

 Tìm các phương pháp giải hệ phương trình Maxwell

 Nghiên cứu các ñặc tính của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc

 Nghiên cứu quá trình truyền sóng ñiện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật

 Vận dụng khảo sát bức xạ trường ñiện từ của nguyên tố anten thẳng, nguyên tố anten vòng và một số ñặc trưng của sóng ñiện từ

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

 Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa dạng phức

 Xây dựng cơ sở của lí thuyết trường ñiện từ: Nghiên cứu lí thuyết từ tài liệu dẫn ra

hệ phương trình Maxwell, một số ñại lượng ñặc trưng và nguyên lí cơ bản của trường ñiện từ (biểu diễn dưới dạng phức) Từ ñó áp dụng các phương pháp toán lí ñưa ra các phương pháp giải hệ phương trình Maxwell và vận dụng vào khảo sát bức xạ trường ñiện từ của nguyên tố anten thẳng, nguyên tố anten vòng ñể minh họa phương pháp và rút ra một số nhận xét  Giải hệ phương trình Maxwell ñể dẫn ra các vectơ cường ñộ trường của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc, từ ñó ñi khảo sát các ñặc tính của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc lan truyền trong các môi trường

 Giải hệ phương trình Maxwell ñể ñưa ra phương trình truyền sóng ñiện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật dưới hai dạng: sóng ñiện từ kiểu TE và sóng ñiện từ kiểu TM, từ ñó khảo sát các ñặc tính của quá trình truyền sóng ñiện từ trong ống dẫn sóng Nghiên cứu một số ñặc tính của hộp cộng hưởng

………

………

6 CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH:

 Nhận ñề tài

 Sưu tầm tài liệu, tiến hành nghiên cứu lí thuyết, chọn lọc, sắp xếp nội dung ñề tài

 Lập ñề cương thông qua giáo viên hướng dẫn

 Nghiên cứu lí thuyết, viết ñề tài, ñánh máy, nộp bản thảo cho giáo viên hướng dẫn, chỉnh sửa

 Nộp ñề tài cho giáo viên phản biện , tham khảo ý kiến, chỉnh sửa

 Viết tóm tắt ñề tài báo cáo

 Bảo vệ ñề tài luận văn

………

………

………

………

1 KHÁI QUÁT VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ:

Hiện tượng ñiện từ rất phổ biến và giữ vai trò cực kì quan trọng trong tự nhiên Hầu hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học…ñều là kết quả tương tác ñiện từ giữa các nguyên tử và phân tử Các hiện tượng về ñiện và từ ñã ñược con người quan sát, phát hiện rất sớm và dần dần theo thời gian từ ít ñến nhiều, từ ñơn giản ñến phức tạp, từ hiện tượng ñền bản chất, con người ñã nghiên cứu, thực nghiệm rồi xây dựng thành môn lí thuyết trường ñiện từ

 Trường ñiện từ là một dạng ñặc biệt của vật chất Nó có tính hai mặt là liên tục

dưới dạng sóng và gián ñoạn dưới dạng lượng tử (phôtôn) Trường ñiện từ thể hiện sự tồn tại

và vận ñộng của nó qua tương tác với các hạt mang ñiện ñứng yên hay chuyển ñộng những lực phụ thuộc vào khoảng cách và vận tốc của chúng Phân tích tương tác của trường ñiện từ lên môi trường chất trong một hệ qui chiếu quán tính ta thấy trường ñiện từ có hai luật tương tác với các hạt hoặc vật nhỏ mang ñiện tùy theo cách chuyển ñộng của vật trong hệ: lực ñiện chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật không phụ thuộc vào vận tốc của vật ; lực từ chỉ tác ñộng khi vật chuyển ñộng Đó là các lực Lorentz của trường ñiện từ tác dụng lên vật mang ñiện Ta nói trường ñiện từ có hai mặt thể hiện và gọi hai mặt thể hiện ấy lần lượt là ñiện trường và từ trường Việc chia trường ñiện từ thành ñiện trường và từ trường chỉ mang tính tương ñối, phụ thuộc vào ñiều kiện quan sát, ñiện trường và từ trường có thể chuyển hóa lẫn nhau, ñiện trường biến ñổi theo thời gian sinh ra từ trường và ngược lại từ trường biến ñổi theo thời gian sinh ra ñiện trường Trường ñiện từ là một thực thể thống nhất, toàn vẹn ta chỉ có thể khảo sát từng mặt tác dụng ñiện hoặc từ, chứ không thể tách riêng ñiện trường và từ trường thành hai thực thể khác nhau

 Trường ñiện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng ñiện từ lan truyền trong

không gian Khi lan truyền trường ñiện từ mang theo năng lượng và tín hiệu xác ñịnh Năng lượng này có thể chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác như năng lượng hóa học, nhiệt, chuyển ñộng cơ học….Trạng thái và tính chất của trường ñiện từ ở mỗi ñiểm trong không gian và thời gian nào ñó ñược xác ñịnh bởi các phương trình cơ bản, ñó là các phương trình Maxwell Các phương trình Maxwell thể hiện rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa trường ñiện

và trường từ: trường ñiện phụ thuộc vào trường từ qua sự biến ñổi của trường từ theo thời gian và trường từ phụ thuộc vào trường ñiện qua sự biến ñổi của trường ñiện qua thời gian

Ta có hệ thống sau:

Trường ñiện từ tĩnh là trường ñiện từ thỏa mãn hai ñiều kiện sau:

 Các ñại lượng ñiện từ E,D,B,H,J

Trường ñiện từ biến thiên là trường ñiện từ mà các thông số cơ bản của trường

,,,

liên tục thay ñổi theo thời gian

Trong bài nghiên cứu này chúng ta chỉ quan tâm khảo sát trường ñiện từ biến thiên theo qui luật ñiều hòa Việc nghiên cứu trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa có ý nghĩa thực tiễn và

cơ bản lớn bởi vì trong thực tế thường gặp các ñại lượng ñiện từ biến thiên theo qui luật ñiều

………

………

hòa Hơn nữa về mặt nguyên tắc mọi quá trình biến ñổi tuần hoàn không ñiều hòa ñiều có thể biểu diễn giải tích bởi chuỗi hay tích phân Fourier như là sự xếp chồng của các quá trình

ñiều hòa

2 BIỂU DIỄN PHỨC CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐIỀU HÒA:

Để mô tả cấu trúc trạng thái của trường ñiện từ người ta sử dụng các ñại lượng vật lí

cơ bản là: vectơ cường ñộ ñiện trườngE

, vectơ cảm ứng ñiện D

, vectơ cường ñộ từ trườngH

, vectơ cảm ứng từ B

Nguồn trường ñiện từ là ñiện tích và dòng ñiện ñược ñặc trưng bởi ñại lượng: ñiện tích Q hoặc mật ñộ ñiện tíchρ; dòng ñiện I hoặc mật ñộ dòng ñiện

J

Tính chất của môi trường vật chất ảnh hưởng ñến trường ñiện từ ñược ñặc trưng bởi các tham số ñiện từ của nó như: ñộ ñiện thẩm hay hằng số ñiện môi ε, ñộ từ thẩm hay hằng số từ môiµ, ñộ dẫn ñiện riêng σ Nói chung các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñiện từ và nguồn của nó là các hàm vectơ hay vô hướng của tọa ñộ không gian và thời gian Các tham số ñiện

từ của môi trường có thể là hằng số hay hàm số của tọa ñộ Một trạng thái rất quan trọng của trường ñiện từ là trạng thái khi các ñại lượng cơ bản của trường và nguồn biến thiên ñiều hòa với tần số gócω nào ñó Khi ñó ñể ñơn giản hóa việc giải các bài toán trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa người ta thường sử dụng phương pháp số phức, biểu diễn các ñại lượng ñiều hòa bằng những ñại lượng phức Sử dụng số phức cho ta nhiều thuận lợi trong tính toán nhất

là trong các phép lấy ñạo hàm và tích phân

 Ví dụ:

Gọi f(t), f1(t), f2(t) là các ñại lượng ñiều hòa theo thời gian có tần số gócω và các ñại lượng phức tương ứng là Fɺ,Fɺ1,Fɺ2 các phép tính trên các ñại lượng phức thỏa các tính chất sau:

 Bây giờ ta biễu diễn các ñại lượng cơ bản của trường ñiện từ dưới dạng phức:

 Đối với trường ñiện từ ñiều hòa tại mọi ñiểm (x, y, z) ba thành phần theo ba trục

biến thiên theo qui luật ñiều hòa

+ Ví dụ: như xét cho vectơ E

)]

,,(cos[

),,(

)],,(cos[

),,()]

,,((cos[

),,()

,,,(

z y x t

z y x E k

z y x t

z y x E j z y x t

z y x E i t z y x E

Z Z

Y Y

X X

ψω

ψωψ

ω

+

++

++

 Ở các ñiểm mà tại ñó ψX =ψY =ψZ =ψ các thành phần EX(t), EY(t), EZ(t) biến thiên tỉ lệ nhau nên vectơ E

= E

không phụ thuộc vào thời gian t

2 1 2

1( ) ( )

1)

(

))((

)(

F F t f t f

F i dt t f

F i dt

t f d

F k t kf

ɺɺɺɺɺ

Z t

i Y t

i

X e j E e k E e E

i t

z y x

E
=
ω+ψ +
ω+ψ +
ω+ψ

e z y x E t

z y x

i

Xe j E e k E e E

i z y x

ɺ

+ +

= ) , , (

Eɺ

ñược xác ñịnh như trên gọi là biên ñộ phức của cường ñộ ñiện trường

 Đối với các ñại lượng vectơ ñiều hòa khác như D,B,H,J

ɺ

ɺ

ɺ

một cách tương tự

 Đối với ñại lượng vô hướng như mật ñộ ñiện tích khối

)cos(

),,()

),,,

 Khi khảo sát trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa, người ta biểu diễn các ñại lượng

ñiều hòa bởi các vectơ biên ñộ phức hoặc biên ñộ phức tương ứng

),,(),,,

 Phép lấy tích phân theo thời gian sẽ tương ứng với phép nhân 1iω với các biên ñộ phức

Ví dụ: E

i dt t z y x

,,,(

 Như vậy ñốivới trường ñiện từ ñiều hòa việc tính toán các ñại lượng của trường trên các biên ñộ phức sẽ ñơn giản hơn Cuối cùng các giá trị tức thời cần tìm cho các ñại lượng của trường sẽ nhận ñược bằng cách lấy phần thực của tích giữa biên ñộ phức ñã thu ñược của trường với thừa số thời gian e iωt

………

………

3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL DẠNG PHỨC:

Trên cơ sở nghiên cứu các ñịnh luật thực nghiệm về ñiện từ Maxwell ñã khái quát hóa chúng chỉ ra tác dụng tương hỗ giữa ñiện trường và từ trường, ñưa ra khái niệm dòng ñiện dịch và xây dựng ñược các phương trình cơ bản của lí thuyết trường ñiện từ Hệ thống các phương trình cơ bản của lí thuyết trường ñiện từ ñược mang tên của ông – hệ phương trình Maxwell

3.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL:

3.1.1 PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ NGUỒN CỦA VECTƠ ĐIỆN CẢM:

+ Ta có thể xuất phát từ ñịnh luật Gauss:

“Thông lượng của vectơ cảm ứng ñiện D

gửi qua mặt kín S bất kì bằng tổng các ñiện tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S”

(3.1) + Trường hợp ñiện tích q phân bố liên tục trong thể tích V bao bởi mặt kín S:

=∫

V dV

q ρ (3.2) Thay vào: ∫ =∫

V

S D
S
ρdV (3.3) + Áp dung ñịnh lí Divergence ñối với vế trái:

 Nếu: ρ=0⇒Trong thể tích V không có nguồn của D

 Nếu: ρ ≠0⇒ Nguồn của D

là ñiện tích, ñường sức của D

bắt ñầu ở ñiện tích dương

)0

(ρ > và kết thúc ở ñiện tích âm (ρ<0)

3.1.2.PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ FARADAY:

Ta có thể xuất phát từ ñịnh luật Farady với nội dung như sau:

“Sức ñiện ñộng cảm ứng có trị bằng và ngược dấu với tốc ñộ biến thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây”

dt

dφ

ξ =− (3.7) + Sức ñiện ñộng cảm ứng có thể ñược xem như lưu thông của vectơ trường ñiện theo vòng dây dẫn kín l

S

dt

d l d E

S =

∫

E rot

S S

t

B E

3.1.3 PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ DÒNG TOÀN PHẦN:

Định luật về dòng toàn phần ñược phát biểu như sau:

“Lưu số của vectơ cường ñộ từ trường H

dọc theo ñường cong kín l tùy ý bằng tổng

ñại số cường ñộ các dòng ñiện chảy qua diện tích bao bởi ñường cong kín l”

H d l I

l =

∫

(3.13) Tích phân vòng ñược lấy theo qui tắc vặn ñinh ốc thuận so với chiều của dòng toàn phần

+ Trường hợp I chảy qua diện tích S phân bố liên tục với mật ñộ dòng J

, ñịnh luật lưu

= (3.16) + Phương trình trên chỉ ñúng ñối với dòng ñiện không ñổi Đối với dòng ñiện không

t J div
ρ

(3.17)

Ta có: div J =0

(3.18) + Hệ thức (3.16) phù hợp với phương trình này:

divrot H =div J =0

(3.19) + Hệ thức (3.18) chứng tỏ các ñường dòng dẫn không ñổi khép kín hoặc ñi ra xa vô cùng Chúng không có ñiểm bắt ñầu và kết thúc

+ Đối với dòng ñiện biến ñổi từ (3.17): ≠0

(3.20)

 Hệ thức (3.20) chứng tỏ các ñường dòng của các dòng dẫn biến ñổi không khép

kín chúng bắt ñầu và kết thúc ở những ñiểm ở ñó có mật ñộ ñiện tích biến ñổi theo thời gian chẳng hạn tại các cốt của tụ ñiện Dòng ñiện biến ñổi ñi qua ñược mạch có tụ dù không tồn tại dòng ñiện dẫn trong lớp ñiện môi giữa hai cốt tụ.do ñó cần giả thiết : có một quá trình nào

ñó tương ñương với sự có mặt của dòng ñiện dẫn giữa hai cốt tụ ñiện.theo Maxwell giữa hai

cốt tụ tồn tại dòng ñiện dịch khép kín dòng ñiện dẫn trong mạch Chính ñiện trường biến ñổi theo thời gian tạo nên dòng ñiện dịch này

+ Từ (3.6): div D=ρ

………

………

( )

t

D div

(3.21)

+ Thay (3.20) vào: ( )=0

∂

∂+

t

D J div

J tp

∂

∂+

+ Vectơ mật ñộ dòng dẫn: J E

γ

= (3.24) + Và vectơ dòng dịch:

S

t

D J l

d H

S l

∫

∫ = +∂∂ (3.26) + Áp dụng ñịnh lí Stokes ta có:

t

D J H rot

∂

∂+

Dòng ñiện dịch chỉ tương ñương với dòng ñiện dẫn về phương diện tạo nên từ trường

3.1.4 PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA TỪ THÔNG:

Ta thấy rằng các ñường sức của từ trường xung quanh một dòng ñiện luôn liên tục nghĩa là nó không có ñiểm bắt ñầu và ñiểm kết thúc Như vậy: “Thông lượng vectơ cảm ứng

(3.30)

 Phương trình (3.30) là một trong các phương trình Maxwell dạng vi phân chứng

tỏ: vectơ cảm ứng từB

không có nguồn

 Tóm lại các vectơ ñặc trưng cho trường ñiện từ E,D,B,H,J

t

D J H rot

∂

∂+

divD
=ρ (3.31.d)

………

………

 Chỉ có phương trình Maxwell (3.31.a) và (3.31.b) là ñộc lập, hai phương trình

(3.31.c) và (3.31.d) có thể suy ra từ hai phương trình (3.31.a) và (3.31.b) Do vậy ñể xác ñịnh

= (3.32)

B H

µ

= (3.33)

J E

γ

ɺ

ω

+

= (3.35) rot E i Bɺ

ɺ

ω

−

= (3.36) div Bɺ =0

(3.37)

ɺ ρɺ

=

D div (3.38) + Trong ñó ñạo hàm theo thời gian các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñược thay

tương ứng với phép nhân iω Tương tự ta suy ra các phương trình chất dạng phức như sau:

D Eɺ

ɺ

ε

= (3.39)

B Hɺ

ɺ

µ

= (3.40)

J Eɺ

ɺ

γ

= (3.41) + Phương trình Maxwell (3.35) có thể viết dưới dạng:

rot H E i D E i E i i Eɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

)(

ωγεωωεγ

ω

=+ Ta ñặt:

ωγε

εɺ= −i gọi εɺ là ñộ thẩm ñiện phức thì : rot H i Eɺ

ɺɺ

εω

= (3.42) + Phương trình Maxwell (3.38) có thể viết lại ở dạng:

( ) ( ωρ)

ωρ

ɺ

i

i E

div D div = = = − + Mặt khác theo phương trình liên tục:

ωρɺ

i J div =− + Thay vào ta ñược:

div( E) i div J div(i J) div(i Eɺ)

ɺ

ɺ

ɺ

γωω

 Tóm lại ta có phương trình Maxwell phức:

rot H i Eɺ

ɺɺ

εω

= (3.44)

………

………

rot E i Bɺ

ɺ

ω

−

= (3.45) div Bɺ =0

(3.46) div( Eɺ)=0

ɺ

ε (3.47) + Phương trình (3.47) có thể suy ra từ phương trình (3.44), thậy vậy lấy div hai vế của phương trình (3.44) ta có:

divrot H div(i Eɺ)

ɺɺ

εω

= Vì: divrot A=0

với A

bất kì nên:

−

=

⇔0 Hay : div Bɺ =0

3.3 THẾ VECTƠ VÀ THẾ VÔ HƯỚNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN:

Việc khảo sát một số bài toán trường ñiện từ biến thiên sẽ ñược tiện lợi và ñơn giản hơn rất nhiều nếu các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñiện từ như E B D H

qua hai ñại lượng trung gian là thế vectơ và thế vô hướng

+ Bởi vì divrot của một vectơ bất kì luôn bằng không nên từ phương trình Maxwell thứ ba (div Bɺ =0

) ta có thể biểu diễn:

B rot Aɺ

ɺ

bởi (3.48) vào phương trình Maxwell thứ hai (rot E i Bɺ)

ɺ

ω

−

= ta ñược:

(rot E i rot Aɺ)

ɺ

ω

−

= ⇔ rot(E+i Aɺ)=0

ɺ

ω (3.49) + Mặt khác ta biết rằng rotgrad của một vô hướng bất kì luôn bằng không Từ phương trình (3.49) ta có thể biểu diễn vectơ (E i Aɺ)

ɺ

ω

+ qua gradient của một hàm vô hướng ϕ:

ωɺ ϕɺ

ɺ

grad A

i

E+ =−

E grad i Aɺ

ɺɺ

vế phải của (3.50) khác không chứng tỏ trường ñiện E

của trường ñiện từ biến thiên không phải là trường thế, công thực hiện bởi trường ñiện này khi dịch chuyển ñiện tích giữa hai

ñiểm nói chung phụ thuộc vào ñường ñi

+ Vì các thế A

,ϕ là các hàm chọn tùy ý nên ta có thể chọn chúng bằng cách ñưa thêm các ñiều kiện phụ xác ñịnh Trong ñiện ñộng lực học người ta ñưa vào ñiều kiện phụ Lorentz như sau:

ɺ+ ωµεϕɺ =0

i A div (3.51)

………

………

Với việc chọn ñiều kiện bổ sung này các phương trình dẫn xuất sẽ ñơn giản ñi nhiều

4 BIỂU DIỄN PHỨC CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH:

Đối với trường ñiện từ ñiều hòa, thường trong thực tế người ta quan tâm ñến giá trị

trung bình của chúng trong một chu kì hơn là giá trị tức thời Vì vậy ta tìm cách biễu diễn phức một số ñại lượng trung bình của trường quan trọng như vectơ poyting P (t)

, mật ñộ năng lượng trường ñiện WE(t), mật ñộ năng lượng trường từ WM(t), mật ñộ công suất tiêu tán

Ptt(t) Ta có thể viết các ñại lượng phức và liên hợp phức của nó như sau:

ɺ

ɺ

2

e H e H x e E e

4

e H x E e

H x E H

x E H x

=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ (4.3) + Vì (E x Hɺ)

ɺ

∗ là liên hợp phức của (E x Hɺ∗)

ɺ

;(E∗x Hɺ∗e−i 2 tω )

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

(4.4)

E x H e i2ωt E x H e i2ωt 2Re(E x Hɺe i2ωt)

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

=+ ∗ ∗ − (4.5) + Do ñó:

2

1)Re(

2

1)

ɺ

ɺ

ɺ

+

= ∗ (4.6)

 Số hạng thứ nhất của vế phải của (4.6) là ñại lượng không thay ñổi theo thời gian,

còn số hạng thứ hai là ñại lượng biến thiên hình sin theo thời gian với tần số 2ω, do ñó giá trị trung bình của P (t)

trong một chu kì T

Re( )

2

1)(

1)(

0

H x E dt

t P T t P

T

ɺ

ɺ

(

1)(

0

=

= ∫ (4.7) Với P E x Hɺ

ɺ

ɺ

2

1

= gọi là vectơ Poyting phức

 Chứng minh một cách tương tự, ta có mật ñộ năng lượng trường ñiện WE(t):

)

4

1Re(

)(

1)()

()

(2

1)(

D t E t

W

T E E

E

ɺ

ɺ

Vì:E D∗ = E Eɺ∗

ɺ

ɺ

ɺ

ε là số thực nên:

4

1.4

1)

W = εɺ

ɺ∗ = ε

(4.8)

1

4

1)(

1)()

()

(2

1)

T M M

T t W t

H t B t

W =

⇒ = ∫ = ɺ

ɺ∗ = µ
ɺ ɺ
∗ = µ

(4.9) Với: 2 2 2 2

=

γ

γ

22

1.2

1)(

1)(

2 2

0

m m T

tt tt

J E J

E dt t P T t

P = ∫ =
ɺ
ɺ∗ = =

(4.10) Với 2 2 2 2

m J J J J J

J =
ɺ
ɺ∗ = + +

5 ĐỊNH LÍ POYTING DẠNG PHỨC:

Định lí Poyting thiết lập mối quan hệ giữa sự thay ñổi năng lượng ñiện từ trong thể

tích V với dòng năng lượng ñiện từ chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích này Định lí Poyting là một ñịnh lí quan trọng của lí thuyết trường ñiện từ, là dạng phát biểu toán học của

ñịnh luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng ñối với trường ñiện từ

+ Ta có vectơ Poyting phức ñược ñịnh nghĩa như sau:

P E x Hɺ

ɺ

ɺ

2

1

= (5.1) + Lấy div hai vế của (5.1) ta ñược:

div P= div E x H∗ = H∗rot E− E rot Hɺ∗

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

2

12

1)(2

1

(5.2) Mặt khác: rot E i Bɺ

ɺ

ω

−

= rot H =J +i D⇒rot H∗ =J∗ −i Dɺ∗

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

= H i B E J i D P

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ωω

= i E D∗− B H∗ − E Jɺ∗

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

.2

1).4

1.4

1(

+ Từ (4.8), (4.9), (4.10) suy ra:

−div P
ɺ=2iω(W M − W E )+ P tt

(5.3) + Lấy tích phân thể tích hai vế của (5.3) theo thể tích V bao bởi mặt kín S trong ñó có trường ñiện từ, sau ñó áp dụng ñịnh lí divergence cho vế trái ta ñược:

P S P dV i W W E dV

V M V

tt S

)(

 Phương trình (5.4) gọi là ñịnh lí Poyting phức ở miền không có nguồn ngoài ta

phân tích sơ về ý nghĩa của phương trình (5.4)

+ Lấy phần thực hai vế của phương trình (5.4) ta ñược:

P S P dV

V tt S

………

………

S S

S

ɺ

ɺ

 Do ñó vế trái của (5.5) là công suất trung bình chảy vào thể tích V qua bề mặt S

+ Lấy phần ảo hai vế của phương trình (5.4) ta ñược:

V M S

)(

1)Re(

2

1

ɺ

1)Im(

2

1

ɺ

bổ ñề Lorentz

6.1 BỔ ĐỀ LORENTZ:

Gọi(E1,Hɺ)

ɺ

,(E2,Hɺ)

ɺ

theo thứ tự là 2 trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa cùng tần số góc

ω gây ra bởi 2 nguồn là hai phân bố dòng ñiện ngoàiJɺ 1

vàJɺ 2

ñộc lập nhau Giả sử môi

trường chung quanh là dồng nhất và ñẳng hướng với các tham số (ε,µ,γ) Các trường này thỏa mãn các phương trình Maxwell :

rot H1 J n1 E1 i E1 J n1 i Eɺ1

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εωωε

+

= (6.1) rot E1 i Hɺ1

ɺ

ωµ

−

= (6.2) rot H2 J n2 E2 i E2 J n2 i Eɺ2

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εωωε

+

= (6.3) rot E2 i Hɺ2

ɺ

ωµ

−

= (6.4) + Nhân vô hướng hai vế của phương trình (6.2) với Hɺ2

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εω

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

−

= (6.6) + Từ (6.5) và (6.6) ta ñược:

div(E1x H2) i H1H2 J n2E1 i E1Eɺ2

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εω

−

= (6.7)

………

………

+ Tương tự nhân vô hướng hai vế của phương trình (6.4) với Hɺ1

và hai vế của phương trình (6.1) với Eɺ2

sau ñó lập hiệu của chúng ta ñược:

H1rot E2 E2rot H1 i H1H2 J n1E2 i E1Eɺ2

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εω

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

−

= (6.9) + Từ (6.8) và (6.9) ta có:

div(E2x H1) i H1H2 J n1E2 i E1Eɺ2

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

εω

−

= (6.10) + Lấy (6.7) trừ (6.10) ta ñược:

div[(E1x H2) (E2x H1)] J n1E2 J n2Eɺ1

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

−

=

− (6.11)

 Biểu thức (6.11) gọi là bổ ñề Lorentz dạng vi phân Nếu lấy tích phân hai vế của

(6.11) theo thể tích V hữu hạn, sau ñó áp dụng ñịnh lí divergence cho vế trái ta nhận ñược dạng tích phân của bổ ñề Lorentz:

E x H E x H S J n E J n E dV

V S

)(

)

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

 Trong trường hợp V là miền vô hạn, bề mặt S là mặt cầu bán kính vô cùng lớn nếu

hai nguồn trường phân bố trong miền hữu hạn V1 và V2 như hình vẽ thì tích phân mặt ở vế trái của (6.12) sẽ tiến tới 0

∫(J n1E2 −J n2E1)dV =0

V

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

có dạng:

J E dV J E dV

V n V

2 2 2

1 1

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

∫

∫ = (6.14)

 Hệ thức trên là mô tả toán học của nguyên lí tương hỗ

Để thấy rõ ý nghĩa của nguyên lí tương hỗ ta xét ví dụ sau:

+ Trong thể tích V1 ñặt 1 nguyên tố anten thứ I, thẳng, dài l1, tiết diện S1 mang dòng

ñiện Iɺ1.Trong thể tích V2 ñặt 1 nguyên tố anten thứ II, thẳng, dài l2, tiết diện S2 mang dòng

ñiện Iɺ2 Gọi Eɺ1

………

………

J E dV J E dV

V V

1 2 2 2

1 1

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

∫

∫ = (6.15) Với: I J S

S

ɺ

ɺ = ∫

1 1

1 (6.16)

I J S

S

ɺ

ɺ = ∫

2 2

2 (6.17) + Và E d l

l

ɺ

ɺ =∫

1 2 1

ξ (6.18) là suất ñiện ñộng cảm ứng trên anten l1 gây ra bởi dòng

ɺ = ∫

2 1 2

ξ (6.19) là suất ñiện ñộng cảm ứng trên anten l2 gây ra bởi dòngIɺ1 trên anten l1

+ Từ các phương trình (6.15), (6.16), (6.17), (6.18), (6.19) ta suy ra:

Iɺ1ξɺ2 =Iɺ2ξɺ1 (6.20)

+ Nếu hai anten có kích thước giống nhau và mật ñộ dòng ñiện trong chúng bằng nhau thì từ (6.20) ta ñược: ξɺ1 =ξɺ2 (6.21)

 Hay tác dụng của nguyên tố anten thứ I lên anten thứ II cũng bằng tác dụng của

anten thứ II lên anten thứ I

 Từ nguyên lí tương hỗ ta rút ra một kết luận quan trọng là các thông số và ñồ thị ñịnh hướng của một anten khi dùng làm anten thu cũng giống như các thông số và ñồ thị ñịnh hướng khi nó ñược dùng làm anten phát Trong kĩ thuật rañar người ta dùng cùng một

anten lúc thì làm anten phát, lúc thì làm anten thu

7 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL :

Để tìm các vectơ cường ñộ của trường ñiện từ trong các bài toán ñiện từ, nói chung ta

phải giải các phương trình Maxwell tức là tích phân chúng Phần này trình bày các phương pháp tích phân các phương trình Maxwell trên cơ sở chuyển chúng về dạng các phương trình sóng cho các vectơ cường ñộ trường, các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt Sau ñó áp dụng các phương pháp phổ biến trong vật lí toán chúng ta tìm ñược nghiệm của các phương trình sóng trên và dẫn ra biểu thức cho các vectơ cường ñộ trường Trường ñiện từ bức xạ của lưỡng cực ñiện, lưỡng cực từ ñược tìm theo các phương pháp trên là một trong những ví dụ minh họa

7.1 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC VECTƠ CỦA CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG:

Ở ñây ta sẽ dẫn ra những phương trình truyền ñối với E H

µ =const, ɺ= −i Ta có các phương trình Maxwell dạng phức: rot H i Eɺ

ɺɺ

εω

= (7.1) rot E i Hɺ

ɺ

ωµ

−

= (7.2) div( Hɺ)=0

µ (7.3) div( Eɺ)=0

ɺ

ε (7.4)

………

………

+ Lấy rot hai vế của phương trình (7.1) ta ñược:

rotrot H rot(i Eɺ)

ɺɺ

εω

= graddiv H H i rot Eɺ

ɺɺ

ɺ

εω

=

∆

−

⇔ (7.5) (vì εɺ=const) + Mặt khácµ =constnên theo phương trình (7.3) ta có

00

)

ɺ

ɺ

εω

=

∆

− (7.6) + Thay phương trình (7.2) vào (7.6) ta ñược:

∆H+ 2 Hɺ =0

ɺɺ

µε

ω (7.7) + Tương tự lấy rot hai vế của phương trình (7.2) ta ñược:

rotrot E rot( i Hɺ)

ɺ

ωµ

−

= graddiv E E i rot Hɺ

ɺ

ɺ

Do ñó (7.8) trở thành: E i rot Hɺ

ɺ

ωµ

−

=

∆

− (7.9) + Thế phương trình (7.1) vào phương trình (7.9) ta ñược:

∆E+ 2 Eɺ =0

ɺɺ

µε

ω (7.10)

 Hai phương trình (7.7) và (7.10) là hai phương trình sóng cho các vectơ cường ñộ

trường Khi tồn tại nguồn ta sẽ chuyển các phương trình Maxwell về các phương trình sóng cho các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt sẽ ñơn giản và thuận lợi hơn cho việc tìm nghiệm của chúng

7.2 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC THẾ ĐIỆN ĐỘNG:

Xét một trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa gây ra bởi nguồn là ñiện tích và dòng ñiện phân bố trong thể tích V hữu hạn Với mật ñộ ñiện tích là ρɺS và mật ñộ dòng ñiện là JɺS

Giả

sử môi trường là ñồng nhất và ñẳng hướng,ε,µ =const,γ =0bên ngoài V Bây giờ chúng ta thiết lập các phương trình ñối với các thế A

ɺ

ɺ

ɺ

bởi (3.48) và Eɺ

bởi (3.50) vào phương trình (7.11) ta ñược:

rotrot A J S i ( grad i Aɺ)

ɺɺ

ɺ

ωϕωµε

= graddiv A A J S i grad Aɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

µεωϕωµε

ɺ

ɺ

i A div grad J

A A JɺS

ɺ

ɺ

µµε

+

(7.14)

= (7.15) + Thay Eɺ

bởi (3.50) vào (7.15) ta ñược : div gradϕ iωAɺ ρɺSε

A div

ɺ ωµεϕɺ

i A div =−+ Do ñó (7.16) trở thành:

ε

ρϕµεω

∆A+ 2 Aɺ=0

ɺ

µεω ∆ϕɺ+ω2µεϕɺ=0

 Đây là các phương trình sóng ñối với A

,ϕ

7.3 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC VECTƠ HETZ:

Lần ñầu tiên Hetz chỉ ra rằng có thể tích phân các phương trình Maxwell khi chuyển chúng về phương trình sóng cho chỉ một hàm vectơ gọi là vectơ Hetz Các vectơ cường ñộ trường ñiện từ ñược biểu diễn qua vectơ Hetz bằng các phép tính vi phân cơ bản Trong mục này chúng ta sẽ xét các phương trình sóng cho các vectơ Hetz

+ Vectơ Hetz ñược kí hiệu là Γ
và ñược ñưa vào theo biểu thức sau:

+ Đặt (7.18) vào phương trình B rot Aɺ

ɺ

= ta ñược:

ɺ = Γ
ɺ

rot i

B ωµε (7.19) + Thay giá trị của Aɺ

ở phương trình (7.18) vào ñiều kiện phụ Lorentz (7.13) ta ñược:

0)(

0)

(

=+Γ

⇔

=+

Γ

ϕωµε

ϕωµεωµε

ɺɺ

ɺɺ

div i

i i

div

⇒ϕɺ =−divΓ
ɺ (7.20)

ϕɺ là biên ñộ phức của thế vô hướng ϕ của trường Bây giờ ta ñặt phương trình (7.18)

và (7.20) vào biểu thức:

………

………

ϕ

ɺ

grad A i

+ Đặt phương trình (7.18) vào phương trình :

A A JɺS

ɺ

ɺ

µµε

ɺ

µε

µω

ɺ

∫

−

=Γ+

+ Ta ñặt P=∫t J S dt

0

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

−

=Γ+

Γ

(7.22)

 Từ phương trình (7.22) ta nhận thấy vectơ phân cực là nguồn tạo ra vectơ Hetz

nên ta còn gọi Γ
là thế vectơ phân cực ñiện Từ kết quả trên ta nhận thấy rằng dùng phương pháp vectơ Hetz so với các thế ñiện ñộng trong trường hợp chung có ñơn giản hơn vì số phương trình xác ñịnh chỉ cho một hàm vectơ Hetz và các vectơ cường ñộ trường cũng chỉ biểu diễn qua một vectơ này Trong khi ñó dùng các thế ñiện ñộng chúng ta cần xác ñịnh phương trình sóng biểu diễn các vectơ cường ñộ trường qua hai hàm thế vectơ và thế vô hướng

7.4 TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG:

Ở những mục trước ta ñã chuyển các phương trình Maxwell về dạng các phương trình

sóng Phần này chúng ta sẽ tìm các giải chúng, ñối với phương trình sóng cho các vectơ của cường ñộ trường ta sẽ giải ở phần sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc Ở ñây ta giải phương trình sóng cho các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt Ta nhận thấy rằng phương trình sóng cho các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt có dạng giống nhau Do vậy ta chỉ cần tìm nghiệm của một phương trình sóng nào ñó ñặc trưng, sau ñó ta suy ra nghiệm của phương trình sóng còn lại

 Chẳng hạn ta tìm nghiệm của phương trình sóng:

A A JɺS

ɺ

ɺ

µµε

+

(7.23) + Để giải phương trình sóng này ta vận dụng hàm Green Gɺ(r
,r
')hàm này thỏa mãn phương trình Helmholtz của ñại lượng vô hướng:

∆Gɺ(r
,r
′)+k2Gɺ(r
,r
′)=−δ(r
,r
′) (7.24)

+ Ở ñây δ(r
,r
′)ñược xem là hàm Dirac của trường mô tả các nguồn ñiểm phân bố

trong một thể tích V nào ñó, k =ω µε gọi là hệ số truyền sóng

+ Giả sử rằng ( , ')

r r

Gɺ

ñã biết khi ñó nghiệm của phương trình (7.23) có thể ñược viết

dưới dạng: = ∫∫∫ ′ ′

V G r r J r dV r

A( ) ( , ).ɺ(
)

ɺ

ɺ

µ (7.25)

………

………

+ Để có ñược kết quả như phương trình (7.25) ta phải ñi tìm nghiệm của phương trình (7.24), thu ñược biểu thức của ( , ')

r r

Gɺ

+ Đầu tiên ta tìm nghiệm của phương trình thuần nhất:

∆Gɺ(r
,r
′)+k2Gɺ(r
,r
′)=0 (7.26)

+ Đối với trường hợp nguồn ñiểm ñặt ở gốc tọa ñộ, vì trường của nguồn ñiểm có tính

ñối xứng cầu nên hàm ( , ')

r r

Gɺ

chỉ phụ thuộc vào tọa ñộ R Trong tọa ñộ cầu ta tính ñược:

dR

G d R dR

G d dR

G d R dR

d R G

ɺɺ

ɺ

)(

1

2

2 2

=

∆ Mặt khác:

dR

G d R dR

G d G dR

G d R dR

d R dR

G R d R

ɺɺ

ɺɺ

)(

1)(1

2 2

2

2

+

=+

=+ Vậy: 2

2

)(1

dR

G R d R G

G R

(7.27) + Đặt ψɺ =R ɺ G khi ñó phương trình (7.27) trở thành:

2 2 0

2

=+ ψ

k dR

d

(7.28) + Đây là phương trình vi phân bậc 2, nghiệm của phương trình này có dạng:

R

e B R

e A G

iKR iKR

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng trở lại nguồn

+ Vì nguồn ñiểm ñặt ở gốc tọa ñộ và vùng không gian rộng vô hạn nên từ ý nghĩa vật

lí ta thấy trường của nguồn ñiểm phải có dạng sóng cầu phân kì ñi từ nguồn ra xa vô cùng

Do vậy ta chọn nghiệm của phương trình (7.26) có dạng là:

R

e A r r G

iKR

−

=

),(

'

ɺ (7.30) Trong ñó:R
=r
−r
′

r
là vectơ xác ñịnh vị trí tại ñó tính trường

r
′là vectơ xác ñịnh vị trí của ñiểm nguồn

+ Ta ñã tìm ñược nghiệm của phương trình thuần nhất (7.26) theo biểu thức (7.30) Nhưng tại gốc tọa ñộ nơi ñặt nguồn thì hàm Gɺ(r
,r
') lại tiến tới vô hạn khi R = 0 Do ñó biểu thức (7.30) không thỏa mãn phương trình thuần nhất tại gốc tọa ñộ, nhưng nó phải thỏa mãn phương trình (7.24) tại gốc tọa ñộ

+ Xét vùng không gian xung nguồn ñiểm với bán kính a Lấy tích phân hai vế của phương trình (7.24) với hàm Gɺ(r
,r
') cho bởi biểu thức (7.30) ta ñược:

dV R

e k R

e

A ( ) 2 1 (7.31) + Áp dụng ñịnh lí Divergence cho biểu thức ñầu dưới dấu tích phân ta ñược:

R

e R

S R

e n dV R

S iKR

S r V

iKR

)()

()

(

iKR

R

e R

4 2π+ Lấy giới hạn biểu thức trên khi a tiến về 0 ta ñược:

iKR

e R a

+ Tích phân biểu thức thứ hai của phương trình (7.31) ta ñược:

R dR k dR

R

e k

a iKR

0

2

Re4

r G

ɺ (7.32) Thế biểu thức hàm ( , ')

r r

Gɺ

cho bởi biểu thức (7.32) vào phương trình (7.25) ta ñược nghiệm của phương trình (7.23) như sau:

dV

R

e r J r

ɺ

ɺ

πµ+ Chúng ta có thể viết lại ở dạng:

dV

R v

R t r J t

r A

V

4),(

v

R

t′= Với t′chính là khoảng thời gian ñể trường truyền từ nguồn ñến ñiểm quan sát cách một khoảng R với vận tốc là v Như vậy trường ở ñiểm quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian là t′ Nên nghiệm (7.33) ñược gọi là thế chậm của trường ñiện từ

+ Giải tương tự ta cũng tìm ñược:

dV

R

e r r

ɺ

πεϕ

dV

R

e r P r

ɺ

ɺ

πε

+ Lưỡng cực ñiện ñược quan niệm là một ñoạn dây dẫn thẳng, mảnh, hở hai ñầu, mang dòng ñiện biến thiên ñiều hòa với tần số ωcó ñộ dài rất nhỏ so với bước sóng

cho lưỡng cực ñiện và lưu ý r>>l nên ta xem gần ñúng R≈r ta có:

r

e I z

dv r

e J z

A z A

l

ikr m v

µ

4

0 0

m ikr

e r

I l

Ở ñây ta ñưa ñược cả biểu thức dưới dấu tích phân ra ngoài ñược là do giả thuyết biên

ñộ và pha của dòng ñiện có giá trị như nhau trên toàn lưỡng cực, ñồng thời do r >>l nên ta

coi khoảng cách từ ñiểm tính trường M ñến bất kì một ñiểm nào trên lưỡng cực ñều bằng nhau và bằng khoảng cách từ ñiểm M ñến ñiểm giữa của lưỡng cực là r

+ Trong tọa ñộ cầu ta có:

z
0 =n
r cosθ −n
θ sinθ+ Như vậy: Aɺ Aɺr n
r Aɺθn
θ

ikr m

r

e r

I l A

e r

I l A

π

θ

θµ

θ

4sin4cos

ɺɺ

ɺɺ

+ Vectơ cường ñộ từ trường ñược tính theo công thức:

H B rot Aɺ

ɺ

ɺ

µµ

k kr

i lk I

ϕ

ɺ

ɺ (7.34) + Để tìm vectơ cường ñộ ñiện trường có thể dung phương trình Maxwell thứ I:

H rot i E

E i H rot

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ikr m

r

e r

k r k

i kr

lk I i E

e r

k r k

i lk I i E

.sin11

4

.cos1

2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

θπωε

θπωε

θ

ɺɺ

ɺɺ

(7.35)

 Từ (7.34) và (7.35) ta nhận thấy mỗi thành phần cường ñộ ñiện trường và từ

trường gồm nhiều số hạng giảm theo khoảng cách r nhanh chậm khác nhau (tỉ lệ với 1/kr

;1/k2r2; 1/k3r3) Tùy theo vùng gần r <<λ(nhưng r >>l) hay vùng xa r >>λcó thể chỉ xét những số hạng lớn và bỏ qua những số hạng khác

Bây ta khảo sát ñặt tính của trường bức xạ trong hai miền: miền gần và miền xa

Miền gần: là miền thỏa r <<λtừ ñây ta suy ra =2 <<1; 1 >>1

kr r

kr

λ

π

Do ñó có thể xem gần ñúng −ikr ≈1,

e và trong các biểu thức của E Hɺ

ɺ

, chỉ cần giữ lại số hạng tỉ lệ với lũy thừa bậc cao nhất của 1/kr bỏ qua các số hạng bậc thấp Khi ñó các phương trình (7.34) và (7.35) trở thành:

.cos2

3

3

θπωε

θπωε

θ

r

l I i E

r

l I i E

m

m r

ɺɺ

ɺɺ

(7.37)

Nếu nhân các biểu thức (7.36) và (7.37) với i t

e ω và lấy phần thực ta nhận ñược các giá trị tức thời của các vectơ cường ñộ trường của lưỡng cực ñiện như sau:

H t Hϕ t n
ϕ

)()

E t E r t n
r Eθ t n
θ

)()

()

………

………

Với: sin cos( )

4)

sin4

)(

)sin(

cos2

)(

3

2

ψωθπωε

ψωθπωε

r

l I t E

t r

l I t E

m

m r

 Ta nhận thấy rằng vectơ Poyntinh biến thiên với tần số 2ωgiá trị trung bình của

nó trong một chu kì bằng không

Miền xa: là miền thỏa r >>λdo vậy =2 >>1; 1 <<1

kr

r kr

λπ Do ñó trong các biểu thức của E Hɺ

lk I i

Eɺ = ɺm −ikr = c ɺ

.sin4

εµ

ω

= k

Z c gọi là trở kháng sóng của môi trường

+ Nếu nhân các biểu thức (7.40) và (7.41) với i t

e ω và lấy phần thực ta nhận ñược các giá trị tức thời của các vectơ cường ñộ trường của lưỡng cực ñiện như sau:

H t Hϕ t n
ϕ

)()( = (7.42)

E t Eθ t n
θ Z c Hϕ t n
θ

)()

()( = = (7.43) Với: sin sin( )

4)

)

2cos(

sin4

πψω

sin2

πψω

c c

r

Z

E H Z t H t E t P

2 2

)()

()

)

2(

cos.sin4

2 2 2 2

2 2

8)(

1)(

r

l I Z dt t P T t

r

………

………

Công suất bức xạ và ñiện trở bức xạ:

Công suất bức xạ và ñiện trở bức xạ là các tham số rất quan trọng của bất kì hệ bức

xạ nào, nhất là trong lí thuyết và kĩ thuật anten

 Công suất bức xạ ñược ñịnh nghĩa là:

P P t d S P t dS

S r S

2 2 2

2

2 2

.sin sin8

2

d r

r

l I Z

P bX c m

2 2

 Công suất bức xạ của lưỡng cực ñiện giống như công suất tiêu tán trung bình trên

một ñiện trở khi có dòng ñiện chạy qua

hz ñến 3.108 hz Trong vô tuyến truyền hình dùng tần số cao hơn nữa

 Các phương trình (7.42) và (7.43) nêu rõ ở vùng xa lưỡng cực ñiện ta có sóng cầu, vì phương truyền sóng ( phương của vectơ Poynting) thẳng góc với mặt cầu có tâm ñặt ở lưỡng cực ñiện Một mặt ñẳng pha với giá trị pha xác ñịnh ñược miêu tả bởi phương trình:

 Các mặt ñẳng pha là các mặt cầu r = const ñồng tâm, lan truyền với vận tốc pha:

=

θ ( trên trục z) Ta nói trường bức xạ có tính

ñịnh hướng theo phương θ

+ Gọi i(t)=I m cos(ωt+ψ)là dòng ñiện trên vòng dây, biên ñộ phức là: iψ

+ Chúng ta áp dụng phương pháp thế chậm ñể tìm trường bức xạ của vòng dây Thế chậm tại ñiểm khảo sát Q của vòng dây ñược tính theo:

π

µ 4

Ở ñây r’ là khoảng cách từ ñiểm Q ñến vi phân vòng dây d l

+ Ta có: dV = S.dl ; J m dv J m Sd l I m d l

ɺ

ɺɺ

v

r ik m

ɺ

qua ñiểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây Mỗi yếu tố vi phân d l

ñối

xứng nhau qua mặt phẳng P lại ñược phân tích thành hai vi phân: d l
′ hướng vuông góc với mặt phẳng P và d l
′′hướng song song với mặt phẳng này Khi tính ñến chiều của dòng ñiện chảy trong vòng dây ta nhận thấy rằng thế vectơ do các yếu tố vi phân d l
′′tạo ra ở ñiểm Q có cùng giá trị nhưng hướng ngược nhau nên triệt triêu nhau, còn thế vectơ do các yếu tố vi phân d l
′tạo ra ở Q có cùng giá trị và cùng hướng nên tăng lên gấp ñôi Do ñó tích phân (7.47) chỉ cần lấy theo các yếu tố d l
′hơn nữa do tính ñối xứng của d l
′ñối với mặt phẳng P

nên tích phân trên chỉ cần lấy theo nữa vòng dây và kết quả nhân ñôi là ñược

+ Ta lại có: d l′=dlcosϕ=Rcosϕdϕ

r ik

OA AB

AB AQ

………

………

2 2 2 2 sinθcosϕ

Rr R

ϕθ

cossin1

1

cossin

2

r

R r r

R r r

+ Theo giả thiết 2πR<<λ nên = 2 <<1

kR

=1 ikR+ sinθcosϕ

+ Từ các hệ thức trên ta tính ñược tích phân của (7.48) như sau:

ik R

r r

e d

e R I n A

ikr

m

1 sin 4

µ

ɺ

 Cường ñộ từ trường Hɺ

là:

θ θ

H ɺ ɺr
r ɺ

ɺ

ikr m

r

e k

r r

ik r

R I H

e r

ik r r

R I H

.sin1

4

.cos1

2

2 2 2

2 2

θ

θ

θ

ɺɺ

ɺɺ

ikr m

r

e r

k r k

i kr

S k I H

e r

k

i r k

S k I H

.sin11

4

.cos1

2

3 3 2 2 3

2 2 3 3 3

θπ

θπ

θ

ɺɺ

ɺɺ

e r

k kr

i S k I i

ωµ

ϕ

ɺ

ɺ (7.50) + So sánh (7.49), (7.50) với (7.34), (7.35), ta thấy biểu thức Hɺ

của nguyên tố anten vòng có dạng giống với biểu thức Eɺ

của nguyên tố anten thẳng, biểu thức Eɺ

của nguyên tố anten vòng giống với biểu thức Hɺ

của nguyên tố anten thẳng Vì vậy cấu trúc trường của nguyên tố anten vòng và nguyên tố anten thẳng hoàn toàn giống nhau, chỉ khác Hɺ

và Eɺ

hoán vị cho nhau

Trường bức xạ ñiện từ ở miền xa (r >>λ) của nguyên tố anten vòng:

+ Lập luận tương tự như ñối với anten thẳng, ta dược biểu thức E (t)

Với: () 2 sinθcos(ω ψ)

Với: P r(t)=−Eϕ.Hθ =Z c Hθ2 ≥0

 Thay Hθ vào ta ñược: ( ) 4 2 sin2 cos( )

2 2 2

ψω

θλ

r

I S Z t

r

I S

Z c m

sinsin

2

2

0 2

0 2 2

4

2 2 2

∫ ∫

=

2 2 2

(7.51)

Với

λ

πλ

l Z I

P

R (7.52)

 Các nhận xét ñối với anten thẳng cũng ñúng với nguyên tố anten vòng Bây giờ ta

thử so sánh công suất bức xạ của nguyên tố anten thẳng có chiều dài l với nguyên tố anten vòng có chu vi 2πR=l

………

………

Từ (7.45) và (7.51) ta có:

1

/2

2 2

R l

l P

P

e bxv

bxt

πλλ

ππ

Vì R<<λ

 Ta thấy trong các diều kiện như nhau về chiều dài anten, dòng ñiện kích thích

trong anten, nguyên tố anten thẳng với cấu trúc hở bức xạ với công suất lớn hơn rất nhiều lần nguyên tố anten vòng có cấu trúc khép kín Đó là vì anten thẳng có cấu trúc hở dòng ñiện dẫn trong ñoạn dây ñược khép kín mạch bởi dòng ñiện dịch chảy trong ñiện môi xung quanh dây, do ñó từ trường và ñiện trường cùng phân bố trong không gian xa rộng xung quanh dây Còn ñối với anten vòng dòng chảy khép kín từ trường tập trung nhiều hơn ở gần vòng dây,

do ñó hiện tượng bức xạ yếu hơn



 Ví dụ: So sánh công suất bức xạ và ñiện trở bức xạ của 2 nguyên tố anten thẳng và

anten vòng , khi chúng có cùng chiều dài là l =2πR=1m và cùng cường ñộ hiệu dụng I = 1A, tần số 3.106

10.3

6

8

m f

4 2

l Z R

- Công suất bức xạ của nguyên tố anten vòng là:

10

tưởng của sóng ñiện từ, có dạng sóng ñơn giản nhất, ñơn giản về hình thái truyền và về công

cụ khảo sát Nhưng chính qua ñó lại thể hiện rõ nhất những hiện tượng cơ bản về truyền sóng: tốc ñộ truyền, tổng trở sóng, năng lượng…

………

………

 Về mặt toán học: nghiên cứu sóng phẳng ñơn giản hơn nhiều so với sóng trụ và

sóng cầu song kết quả nghiên cứu trong một số trường hợp về mặt ñịnh lượng vẫn có thể áp dụng ñược cho sóng trụ và sóng cầu

 Về mặt vật lí: thường người ta chỉ khảo sát một phần rất nhỏ của không gian có

sóng ñiện từ và ở rất xa nguồn bức xạ Trong trường hợp ñó một phần nhỏ của mặt trụ hay mặt cầu có thể coi là phẳng và sóng trong miền này có thể coi là sóng phẳng

 Sóng ñiện từ phẳng là sóng ñiện từ có mặt ñồng pha là mặt phẳng, phương truyền

sóng ở mọi nơi ñều vuông góc với mặt phẳng sóng

 Sóng ñiện từ ñơn sắc (ñiều hòa) nếu các vectơ cường ñộ ñiện trường và từ trường

biến thiên ñiều hòa theo qui luật hình sin (hoặc cosin) theo thời gian với một tần số f xác

, có giá trị như nhau ở mọi ñiểm thì sóng phẳng ñược gọi là ñồng nhất

8.1 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐỐI VỚI SÓNG PHẲNG ĐƠN SẮC:

Chúng ta xét quá trình lan truyền của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc ñồng nhất trong môi trường ñẳng hướng ñồng nhất (ε,µ,γ =const) Và giả sử trong môi trường không có nguồn ngoài (J
S,ρS =0), nguồn gây ra sóng ñiện từ ở rất xa miền khảo sát Để tìm nghiệm các phương trình Maxwell và phương trình sóng cho sóng phẳng chúng ta sử dụng hệ tọa ñộ Descartes với trục z trùng với phương truyền của sóng phẳng và vuông góc với các mặt ñồng pha của sóng Khi ñó các vectơ cường ñộ trường E

và H

của sóng phẳng ñồng nhất có giá trị như nhau ở mọi ñiểm trên mặt phẳng ñồng pha ( song song với mặt phẳng 0xy), và không phụ thuộc vào tọa ñộ x và y Chúng chỉ là hàm của z và thời gian t

rot H i Eɺ

ɺɺ

εω

= rot E i Hɺ

ɺ

ωµ

−

=+ Khai triển hai phương trình này trong hệ tọa descartes ta ñược:

z y x

E i z

H y

ɺɺ

ɺ

εω

H z

εω

H x

εω

E y

E z

E x

2

(8.5) + Thay (8.2.a) vào (8.5) và (8.2.b) vào (8.4) ta ñược:

2 2 0

2

=+

∂

∂

x x

E z

ɺ

ɺ

εµ

ω (8.6)

2 2 0

2

=+

∂

∂

y y

E z

ɺ

ɺ

εµ

∂

∂

x x

E k z

∂

∂

y y

E k z

ikz x

y ikz

y e ik B e i H A

ikɺ + ɺ = ωµ ɺ

ikz y

x ikz

x e ik B e i H A

ikɺ + ɺ =−ωµɺ

Hay: ikz

y c

ikz y c

Z e

A Z

Hɺ =− 1 ɺ − + 1 ɺ (8.10)

ikz

x c

ikz x c

Z e

A Z

Hɺ = 1 ɺ − − 1 ɺ (8.11)

………

………

+ Trong ñó

ε

µωµ

ɺ

=

=

k

Z c (**) gọi là trở sóng phức của môi trường.(ñơn vị là Ω)

 Số sóng phức có thể ñược viết lại ở dạng ñại số như sau:

εµωβα

2

2 2 2

+ Giải hệ này ta ñược:

2 1

2 2

2

11

=

εω

γεµ

ωα

2 1

2 2

2

11

=

εω

γεµ

ωβ

+ Trong ñó α ñược gọi là hệ số tắt dần hay hệ số hấp thụ, nó ñặc trưng cho mức ñộ tắt dần của sóng trong môi trường (sự tắt dần của sóng là kết quả của quá trình hấp thụ sóng của môi trường do môi trường có tiêu tán) Và β ñược gọi là hệ số pha (rad/m)

+ Trở sóng phức có thể ñược viết lại ở dạng như sau:

γωε

+ Vậy:

4 1

2 2 2

2 2

x x

i y y

i y y

i x x

i x x

e B B e A A

e B B e A A

ϕ ψ

ϕ ψ

ɺ ɺ

ɺ ɺ

;

;

(8.14) + Thế (8.12), (8.13) và (8.14) vào các phương trình (8.8), (8.9), (8.10), (8.11) ta ñược:

−

−

+ +

−

−

) (

) (

) (

) (

.

.

.

.

Y Y

X X

Z i Z y Z

i Z y

y

Z i Z x Z

i Z x

x

e e B e

e A E

e e B e

e A E

ϕ β α

ψ β α

ϕ β α

ψ β α

− +

−

−

− +

− +

−

−

) (

) (

) (

) (

.

.

.

.

θ ϕ β α θ

ψ β α

θ ϕ β α θ

ψ β α

X X

Y Y

Z i Z

c

x Z

i Z

c

x y

Z i Z

c

y Z

i Z

c

y x

e e z

B e

e z

A H

e e z

B e

e z

A H

ɺ ɺ

………

………

 Nếu nhân các biểu thức trên với i t

e ω và lấy phần thực ta nhận ñược các giá trị tức thời của các vectơ cường ñộ trường như sau:

+

−

=

+++

)cos(

)cos(

)

(

)cos(

)cos(

)

(

t E

Z t e

B Z

t e

A t E

Z t e

B Z

t e

A t E

z

Y Z

y Y

Z y y

X Z

x X

Z x x

ϕβωψ

βω

ϕβωψ

βω

α α

α α

−

−+

−

=

−+++

−+

)cos(

)

cos(

)

(

)cos(

)

cos(

)

(

t H

Z t e

z

B Z

t e

z

A t H

Z t e

z

B Z

t e

z

A t

H

z

X Z

c

X X

Z c

X y

Y Z

c

Y Y

Z c

Y x

θϕβωθ

ψβω

θϕβωθ

ψβω

α α

α α

 Từ kết quả trên ta nhận thấy các thành phần của các vectơ cường ñộ trường gồm hai

số hạng:

 Các số hạng thứ nhất là các hàm ñiều hòa với tần số f, chúng mô tả sóng

phẳng ñơn sắc lan truyền theo phương và chiều dương trục z gọi là sóng thuận hay sóng tới Khi lan truyền biên ñộ sóng giảm theo qui luật hàm mũ ( Z

e−α )

 Các số hạng thứ hai cũng là các hàm ñiều hòa với tần số f, chúng mô tả sóng

phẳng ñơn sắc lan truyền theo phương và chiều âm trục z gọi là sóng ngược hay sóng phản xạ Khi lan truyền biên ñộ sóng cũng giảm theo qui luật hàm

của sóng ngược dịch chuyển theo chiều âm của trục z

 Ta nhận thấy các số hạng α,β,V P ñiều phụ thuộc vào tần số f như vậy trong cùng một

môi trường các sóng ñiện từ có tần số khác nhau sẽ lan truyền với các vận tốc khác

nhau và mức ñộ tắt dần cũng khác nhau

8.2 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG ĐƠN SẮC TRONG MÔI TRƯỜNG ĐIỆN

MÔI LÍ TƯỞNG:

Chúng ta nghiên cứu các tính chất của sóng ñiện từ phẳng ñồng nhất truyền dọc theo

chiều dương trục z (sóng thuận) trong môi trường ñiện môi lí tưởng ñồng nhất và ñẳng

hướng Theo ñịnh nghĩa ñiện môi có ñộ dẫn ñiện γ =0ñược gọi là ñiện môi lí tưởng

Thay γ =0vào

ω

γε

εɺ= −i ta ñược εɺ=ε + Ta có số sóng phức: k=ω εɺµ

………

………

+ Trở sóng phức:

ε

µɺ

2 2

2

11

=

εω

γεµ

ωα

+ Hệ số pha:

2 1

2 2

2

11

=

εω

γεµ

ωβ

εµω

0

=

θ+ Ta có vận tốc pha:

εµβ

bằng vận tốc ánh sáng truyền trong chân không

 Ta có các biểu thức tức thời của các vectơ cường ñộ trường E (t)

và H (t)

của sóng

ñiện từ phẳng ñơn sắc truyền trong môi trường ñiện môi lí tưởng như sau:

+

−

=

j Z

t z

A i Z

t z

A t

H

j Z

t A

i Z

t A

t E

X c

X Y

c Y

Y Y

X X

.)

cos(

.)

(

)cos(

.)

cos(

.)(

ψβωψ

βω

ψβωψ

βω

Nhận xét:

 Sóng ñiện từ lan truyền trong môi trường ñiện môi lí tưởng có biên ñộ không bị tắt

dần α =0 Môi trường không tổn hao năng lượng.,

.H (t)

= ExHx + EyHy = 0

 Mật ñộ năng lượng ñiện trường bằng mật ñộ năng lượng từ trường

Thật vậy:

2 ( 2 2)

2

1)(2

1)

W = ε
= ε +