Số phức và các phép biến đổi đồng dạng

M zz zwzw z.wz.w x,y x,y,gọilà LấyhệtọađộđềcácvuônggócOxytrongmặtphẳng,kíhiệuEthìmỗi mỗicặpsốthựcx,y đềutươngứngvớimộtđiểmM củaE... Kíhiệu E1:điểmđơnvị;O,E,M khôngthẳnghàn

Lờicảmơn

Emxingửilờicảmơnchânthànhtớicácthầygiáo,côgiáotrongkhoaToánđãtạocơhộichoemlàmkhoáluậnnày

Emxincamđoankếtquảnghiêncứutrongđềtàinàyđíchthựclàcủaem.Đềtàinghiêncứucủaemkhôngtrùngvớikếtquảnghiêncứucủacáctácg i ả khác

Nếucógìkhôngtrungthực,emxinhoàntoànchịutráchnhiệm

HàNội,

ngày05tháng05n ă m 2010Tácgiả

Trang

Lờinóiđầu……… 1A Mởđầu……….31.L

ýdochọnđềtài………3

2.Nhiệmvụnghiêncứu……… 3

3.Phươngphápnghiêncứu………

… 3B.Nộidung………

… 4Chương1.Cơsởlýthuyết……… 4

1.Sơlượcvềsốphức………

41.1.Địnhnghĩasốphức……… 4

1.2.Dạngđạisốcủasốphức……… 6

1.3 Dạnglượnggiáccủasốphức………6

1.4 Đườngthẳngtrongmặtphẳngphức……… 9

1.5.ánhxạafin,biếnđổiafin……… …….11

2 Phépbiếnđổiđồngdạngtrongmặtphẳngphức………

132.1.Phépvịtự………

132.2.Phépđồngdạng……… 1

6 Chương2.ứngdụngphépđồngdạngvàogiảitoánbằngcôngcụsốphức…………

………

……… 261.Nhữngbàitoánápdụng………

……….…

…….262 Bàitậpluyệntập………

…….41

3 Hướngdẫngiảibàitậpluyệntập………

…… 42Tàiliệuthamkhảo………

…… 49

Lờinói đầu

Sốphức,từkhirađời,đãthúcđẩytoánhọctiếnlênvàgiảiquyếtđượcmộtsốvấnđề

vềkhoahọcvàkỹthuật.Chẳnghạn,ứngdụngsốphứcthểhiệntrongđạisốlàmọiphươngtrìnhbậchaiđềucónghiệm,tronghìnhhọc,sốphứccũngcónhữngứngdụngquantrọng.Nótỏrahữuíchđốivớilớpcácb à i toánvềphépbiếnhìnhtrongmặtphẳng

Trongkhuônkhổkhoáluậnnàyemxingiớithiệuviệcápdụngsốphứcnghiêncứuvềbiếnđổiđồngdạngvàápdụngnóđểgiảiquyếtmộtsốbàitoánhìnhhọc

Nộidungcủaluậnvănnàybaogồmhaichương:

Chương1.Cơsởlýthuyết

Chươngnàygồmhaiphầnnhằmtrangbịnhữngkiếnthứccơbảnvềsốphứcvàphépđồngdạngtrongmặtphẳngphứcđểápdụnggiảitoán

1 Sơ lượcvềsốphức

Phầnnàytrìnhbàyvềlýthuyếtcơbảnvềsốphứcvàmốiliênhệgiữalýthuyếtsốphứcvàhìnhhọc

2 Phépbiếnđổiđồngdạngtrongmặtphẳngphức

Phầnnàygiớithiệuvềphépvịtự,phépbiếnđổiđồngdạnggồmđịnhnghĩa,tínhchấtvàcáckiếnthứcliênquan,phầnnàylà

kiếnthứctrọngtâmđểápdụngchocácbàitoántrongchươngtiếptheo

Chương2.ứngdụngphépđồngdạngvàogiảitoánbằngcôngcụsốphức

Chươngnàyđưaracácbàitoánápdụngsốphứctrongphépbiếnđổiđồngdạnggồmcácnhậnxétnêurađượcsựhữuíchkhisửdụngsốphức,sauđólàbàitậpluyệntậpcóhướngdẫnlờigiải

A MởĐầU

1 Lýdochọnđềtài

Trongviệcgiảitoán,sửdụngnhiềuphươngphápkhácnhaugiúpchoviệchiểubàitoánmộtcáchthấuđáocặnkẽ.Sử dụngsốphứcđểgiảitoánhìnhhọcphẳnglàmộtphươngphápmớivàtỏrahữuích

Sửdụngsốphứcnghiêncứuvềphépbiếnhìnhtrongmặtphẳnglàmộtphươngphápcầnthiết,giúphọcsinhdiễnđạtbàitoántheonhiềuhướngkhácnhau,thoátliđượcnhữngảnhhưởngkhôngcólợidotrựcgiác.Trongkhuônkhổbàikhoáluậnnàyemtiếpcậnsâuvềlýthuyếtvàcácbàitoánvềphépđồngdạngtrongmặtphẳngdùngcôngcụsốphức.Đólàlýdomàemchọnđềtài:

x l à phầnthựccủa z , k í hiệu Rez ;

x,0x',0xx',0

x,0.x',0x.x',0.Từđócóthểđồngnhấttậphợp cácsốthựcx vớitậphợp concủa

gồmcácphầntửx,0;

viết xx,0

b) Tínhchấtcủaphépcộng,nhânsốphức

-Vớimọi

z1,z2,z3:.z1z2

z2z1

(giaohoán)

.z1z2z3  z1z2 z3(kếthợp).z100z1z1

z2.z3

(kếthợp)

.1.z1z1.1z1(tức1làphầntửđơnvịcủaphépnhân).-Tínhchấtphânphốicủaphépcộngvàphépnhân

Vớimọi z

1,z2,z3thì

.z1z2.z3  z1.z3z2.z3,.z1.z2z3z1.z2z1.z3

Vậyzlàsốthựckhivàchỉkhizz và làsốthuầnảoKhivàchỉkhi zz

*Vớimọi z,w:

M

zz

zwzw z.wz.w

x,y (x,y),gọilà

LấyhệtọađộđềcácvuônggócOxytrongmặtphẳng,kíhiệuEthìmỗi

mỗicặpsốthực(x,y) đềutươngứngvớimộtđiểmM củaE.

Tađồngnhất M(x,y) vớisốphứczx

iy

vàgọiz l àtọavịcủađiểm

Mđốivớihệtọađộđó.Viết M(z) vàgọiE (vớih ệ toađộO x y )l à mặtphẳngphức,đồngnhấtM vớitọavịcủanó,tứcđồngnhấtEvới.

 ĐiểmthuộcOxc ótọavịthực,Oxgọilàtrụcthực

 ĐiểmthuộcOyc ótọavịthuànảo,Oygọi là trụcảo

 Điểm E(1)thuộcOx ,gọilàđiểmđơnvị.

z0,gọiđiểmM cótọavị z trongmặtphẳngphức.

ĐiểmM hoàntoànxácđịnhbởi

thì

zwcoscossinsincossin

A B

,gócquayOx,OP  ,sốđoargw.

Kíhiệu E(1):điểmđơnvị;O,E,M khôngthẳnghàngvà P khác O ,tam

giácOPf(M) đồngdạngthuậnvớitamgiácOEM,tỉsốđồngdạngw.

Tươngtự ta m giác

đồngdạngz.

OMf(M) đồngdạngthuậnv ới ta m giácOEP,t ỉ số

Vídụ:Chohaiđiểmphânbiệt A,B cótọavịtheothứtựlà,.Tìmtọa

(2) làphươngtrìnhtổngquátcủađườngthẳng

b)Tỉsốđơn

Tỉsốđơncủabộbađiểmphânbiệt M

0,M1,M 2 trongmặtphẳngphức,cótọavịtheothứtựlà z

0 1 2

f1 f2 1z1z1 2z2

z2,zCholầnlượt z0,

1,i thìcóđược12;1 2;1 

2.Điềungượclạilàhiểnnhiên

0 '

B'c ótọavịlà

* Tậphợpcácphépvịtựcùngtâmlàmthànhmộtnhómgiaohoán

* Xéthaiphépvịtự:

p k k1 lầnđộdàiđoạnthẳngcho

Khiđóta có:

Tích V

J,k h1 làbiếnđổiđồngdạngbảotồnhướngxácđịnhbởicôngthức:

zz'kz(1 k)z

hay zz'

 z; , ,0vớik;(1 k)z0

Từđótađiđếnđịnhnghĩa:

a) Định nghĩa

Biếnđổicủamặtphẳngphứcxácđịnhbởicôngthức

zz'z,(0) (1)hoặc zz'

* Biếnđổiđồngdạngxácđịnhbởi(2)đảohướngcủamặtphẳnggọi làbiếndổiđồngdạngloạihai.

b)Tínhchất

Biếnđổiđồngdạngl àmộtbiếnđổib ảo giác:biếnđổiđồngdạngloạimộtbảotồnsốđocủagócđịnhhướng,biếnđổiđồngdạngloạihaibiếngóc

cósốđothànhgóccósốđ

o



Địnhlý1.7.Biếnđổiđồngdạngloạimột f bảotồntỉsốđơncủabađiểmphânbiệt(không nhấtthiếtthẳnghàng)

Chứngminh.Giảsử P,Q,Rl à b ađiểmphânbiệttuỳý củamặtphẳng

Chứngminh.Biếnđổiđồngdạngloạihaixácđịnhbởi:

zz' 

z,(0)Khiđó:

z'z' z z

2

 2

 ' '

tứcglàbiếnđổiđồngdạng

Hệquả1.2.Phépđồngdạng biếnmộttamgiácthànhtamgiácđồngdạngvớinó Địnhlý1.10.Biếnđổiđồngdạnghệsố k biếnđươngtrònbánkính R thànhđườngtròn bánkính kR

Chứngminh.Suytrựctiếptừđịnhnghĩa.

Ngượclại,tacóđịnhlý:

Địnhl ý 1.11.Biếnđổiafinbiếnđườngtrònthànhđườngtrònl à biếnđổiđồngdạng.

Chứngminh.

i

' '

1 1

1 1

Chứngminh.Giảsử A,B,A'

,B' cótọavịthứtựlà z,z ,z',z'.Biếnđổifc ầ ntìmxác địnhbởi:

Gọig l àbiếnđổiđồngdạngloạihaixácđịnhbởi:

zz'z;1

điểmbấtđộngcủaQnên J làtâmcủaQ.

zkz 2) GiảsửV J,k ĐĐV J,k

z0làtọavịcủađiểmbấtđộng(duynhất)J

(2)và(3)tacómpnq (4)

k(c1a1)(1 k)(ca) k(d1b1)(1 k)(db)

Vậykhik diđộngthìquỹtíchcủaI làđườngthẳngJK.

*Nhậnxét:

Trongcâua)chứngminhtứgiáclàhìnhthoitheocáchdùngsố

phứctac h ỉ cầnchỉrahaiđườngchéocủatứgiácđócóchungtrungđiểmtứclà

thoảmãnhệthức(4)vàdễdàngchứngminhđượcchúngcònvuônggócvớinhaudựavàotínhtọavịcủacác vectơ

Hơnnữa,bằngcáchchỉra

hệthứcliênhệgiữatâmI cầntìmquỹtíchvàtâmhaihìnhthoichotrướcgiúptacómộthìnhảnhrõràngvềquỹtíchtâmI củahìnhthoi

Bàitoán2.Cho tamgiác ABC Dựngphía ngoàitamgiáccáchìnhvuông

ABMN,BCIJ,CAKL cótâmlầnlượtlà P,Q,R .

Chứngminh:

Lờigiải:

AQ,BR,CP đồngquytạitrựctâmcủatamgiác PQR

Trongmặtphẳngphức,gọi ,,lầnlượtlàtọavị

củatamgiácABClàchiềuthuận

Z2(B)Q

Tươngtự ,tacókếtquả:BRvuông gócvớiPQ, CPvuông gócvớiQR

Vậy AQ,BR,CP làc á c đườngthẳngchứac á c đườngc a o củacáct a m

giácPQRn ê nchúngđồngquytạitrựctâmcủa tamgiác

*Nhậnxét:

Bằngcáchdùngsốphứctatínhđượcngaytọavịcủa P,Q,R nhờviệcápdụngphépđồng

dạngtâmtạicácđỉnhtamgiácABC.Lưuý,tachỉcầntínhđượctọavịcủamộtđỉnhP ,hoánvịđitacóđượctọavịcácđỉnhcònlạivàdođócácvectơnhanhchóngtìmđược

tọavị,sauđóchứngminhcáccặpđườngthẳngvuônggócvớinhau,giúpchobàitoántrởnênđơngiảnhơn

O

A' K

B''

B'Trongmặtphẳngphức.C o i đườngtrònngoạitiếpt a m g i á cABCl àđườngtrònđơnvị

Gọatọavịcủa I,J,K l ầ n lượtlàtrungđiểmcủa BC,CA,AB

Coi A,B,C c ó tọavịlầnlượtlà z

0,z1,z2,O :làgốctọađộ.

Khiđó:

A'cóđượcdoA quayquanhgốc O gócquay

Tacó:ĐườngthẳngACc óphươngtrình zz0z2zz0

1 1

1

zcos2isinz0z 2 zcos

isinz0z2Tọavịcủa

B'' làgiaocủaAC v à

A'

C'là

tròncótọavịlà,theomộtcôngth

ức

zz

.Từđótínhđược

B'

P

A

Bàitoán4.Chotamgiác ABC Dựngbênngoàitamgiáccáctamgiácvuôngtại A ,c

2

Z2:z2iz(1 2i)

Z2(A)A Z(B)C'

Suyra C'cótọavịlà2i(1 2i)

*Nhậnxét:Theocáchdùngsốphức,bàitoántrêntrởnênđơngiảnhơn.Bàitoántrênc

ũnglàmộttrongnhữngdạngtoáncơbảnchocáchdùngsốphứckhichứngminhhaiđườngthẳngvuônggócvớinhau

Bàitoán5.Chotứgiác ABCD Dựngbênngoài tứgiáccáctamgiác

D

C

J B

O

ápdụngtươngtự nhưbà i toán4t a cókếtquảcủabàitoánnày,dùngcáchsốphứclờigiảitrởnênngắngọnvàsángsủahơn

Quađây,ta cóthểápdụngđểmởrộngchocác bàitoánkhác

Bàitoán6.Chotamgiác ABC Dựngtamgiác đều

ABA'và

A'

CA'' Gọi O là tâmtam giác

Gọi A,B,C có tọavịlầnlượtlà,,

Khiđó: A'c ó đượcdoquayBquanhA gócquay

A'

Bàitoán7.Chotamgiác ABC nộitiếpđườngtròn(O).Gọi H làtrựctâm

A',B',C';

E

I B' A

O

N Q

B

Dođó, phépbiếnđổiđồngdạng Z:z2z3

22 biếnB'điểmthànhE,biến

*Nhậnxét: C'

thành

Đốivớibàitoántrên,việcsửdụngsốphứcđểgiảitoánlàrấtcầnthiếtvìhìnhvẽkháphứctạp,dođógiảiquyếtbàitoánbằngcáchhìnhhọclàrấtkhó

Bàitoántrênphảilậpkhánhiềuphươngtrìnhđườngthẳngquahaiđiểmtrênđườngtrònđơnvịmàtađãbiếtởbàitoántrước,làcơsởđểtasửdụngphépđốixứngtrục

Bàitoán8.Chotamgiác ABC Dựngbênngoàitamgiác ABC cáctamgiác

I

44

PhùngThịNgọc

ápdụngvàobàitoántacó:

Gọi a,b,c,,,lầnlượtlàtọavị

phức, chiềucủatamgiácABClàchiều thuận

Bàitập2.Chotamgiác ABC Vớimỗiđiểm P c ủ a mặtphẳng,gọi P,Q,R làđ i ể m đốix

Bàit ậ p 5 Chot ứ giáclồi ABCD Dựngvàophíatrongtứgiáchaihìnhvuông ABMN

àđỉnhcủamộthìnhvuônghoặccóthểtrùngnhau.

Bàitập6.Chotamgiác ABC nộitiếpđườngtròn (O) Từđiểm K trênđườngtròndựngc

lượt qua đườngthẳng B1C1,C1A1,A1B1.Chứngminh:



VìD f (D)c ó tọavịlàb nên Df(D)b

Dođó f(D) thuộcđườngthẳngDC (vì ABCD )Vậy f(D) chínhlàC .

 1

w0 w

Bàit â p 5 Gọi a,b,c,d,m,n,l,k lầnlượtl à tọav ị của A,B,C,D,M,N,L,K

trongmặtphẳngphức.SửdụngphépquaytâmOgócquay

2SuyratọavịcủađiểmNl à nibaaib(1 i

2

2 2

Bàitập6.CoiđườngtrònngoạitiếptamgiácABC làđườngtrònđơnvịcủa

mặtphẳngphức.Gọi A,B,C cótọavịtheothứtựlà,, vàw làtọavịcủ

xácđịnhbởi zz

, 1,làphépđốixứngtrượt

b) Đườngthẳngd chínhlàtrụccủađốixứngtrượttrênvàđốixứngtrượtđóbiếnO thành O1

O;B'(1)

D'

i vàC'1i

 2   2Giảsử

D'iC'1i.Gọitọavịcủa A,Bó: lầnlượtlà,.Khiđ

2  2

TọavịcủaD lài

 vàtọavịcủaC là

z 

Tacó :

f(A)

A'f(B)

B'f(D)

D'f(C)

Trongkhoáluận“Sốphứcvàcácphépbiếnđổiđồngdạng’’,đãsơlượccáckiế

nthứcvềsốphức,đưaracáckháiniệmvề

đườngthẳngvàbiếnđổiafintrongmặtphẳngphức,đặcbiệtlàsửdụngsốphứcđểnghiêncứucácphépbiếnhìnhtrongmặtphẳng,

trongđótiếpcậnsâuhơnvềphầnbiếnđổiđồngdạnggồmđịnhnghĩa,cáctínhchấtvàbàitoánápdụngsửdụngcôngcụsốphức

Dothờigianhoànthànhnghiêncứuvànănglựccònhạnchếnênkhoáluậnchỉđạtđượcmộtsốkếtquảnhấtđịnh.Kínhmongsựđónggópcủacácthầycô,

cácbạnsinhviên,cácbạnđọc

Quanghiêncứuvềđềtài“Sốphứcvàcácphépbiếnđổiđồngdạng’’emcóđiềuk

iệncủngcố

cáckiếnthứcvềsốphức,phépđồngdạngvàcócáchnhìntổngquáthơnvềcácbàitoánhìnhhọcphẳng.Emmongmuốnsẽcóđiềukiệntiếptụcnghiêncứusâuhơnvềnộidungnày