Luận văn sư phạm Ứng dụng lý thuyết hàm biến phức trong một số bài toán về phương trình hàm và phương trình sai phân

Sinh viên Nguy n Th Thúy Vân... Ta áp d ng các ánh x trung gian sau.

TR NG I H C S PH M HÀ N I 2

KHOA TOÁN -

NGUY N TH THÚY VÂN

NG D NG Lụ THUY T HÀM BI N PH C TRONG M T S

HÀ N I 2010

L I C M N

hoàn thành t t đ tài này, tr c tiên em xin bày t lòng c m n sâu s c

t i các th y, cô trong khoa Toán - i h c S ph m Hà N i 2, đã đ ng viên giúp đ em trong su t quá trình h c t p

đi u ki n t t nh t và ch b o t n tình đ em có th hoàn thành đ tài lu n v n

này

không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng ý

ki n đóng góp c a các th y, cô và các b n trong khoa

Em xin chân thành c m n!

Sinh viên

Nguy n Th Thúy Vân

L I CAM OAN

Khóa lu n c a em đ c hoàn thành d i s h ng d n c a th y

Phùng Ế Th ng cùng v i s c g ng c a b n thân em trong quá trình

nghiên c u và th c hi n khóa lu n Em có tham kh o tài li u c a m t s tác

gi (đã nêu trong m c tài li u tham kh o)

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khóa lu n là k t qu nghiên c u

c a b n thân em, không trùng v i k t qu c a các tác gi khác

N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Sinh viên

Nguy n Th Thúy Vân

M C L C

Ch ng 1: S ph c, hƠm bi n ph c

1.1 S ph c 3 1.1.1 nh ngh a 3

1.1.2 Các phép toán trên s ph c 4

1.1.3 D ng l ng giác c a s ph c 6

1.1.4 D ng m c a s ph c 8

1.1.5 Phép khai c n c a m t s ph c 9

1.2 Hàm bi n ph c 10

1.2.1 nh ngh a hàm bi n ph c 10

1.2.2 Tính liên t c, liên t c đ u 10

1.2.3 Hàm gi i tích 11

1.2.4 Ánh x b o giác 12

Ch ng 2: Ph ng trình hƠm v i bi n đ i phơn tuy n tính 2.1 M t s tính ch t c a hàm phân tuy n tính 13

2.2 ng c u phân tuy n tính 15

2.3 Ph ng trình hàm sinh b i hàm phân tuy n tính 29

2.4 Bài t p v n d ng 34

Ch ng 3: S ph c vƠ l i gi i c a ph ng trình sai phơn 3.1 Các ki n th c c b n 36

3.1.1 Các khái ni m c b n v sai phân 36

3.1.2 Ph ng trình sai phân tuy n tính 37

3.1.3 Nghi m c a ph ng trình sai phân tuy n tính 38

3.2 Bài t p v n d ng 42

3.3 Bài t p c ng c 49

K t lu n 51

Tài li u tham kh o 52

L I NịI U

S ph c đóng vai trò quan tr ng nh là m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u bài toán trong l nh v c toán h c, v t lí h c,… Ngoài ra, các tính ch t c b n c a s ph c, hàm bi n ph c còn đ c s d ng trong toán cao c p, toán ng d ng và trong nhi u mô hình th c t

Trong các kì thi h c sinh gi i qu c gia, Olympic sinh viên toàn qu c,

bi n ph c th ng đ c đ c p d i nhi u d ng qua các đ c tr ng và các bi n

đ i khác nhau c a ph ng pháp gi i v a mang tính t ng h p cao v a mang tính đ c thù sâu s c

Vì nh ng lí do trên, em m nh d n ch n đ tài: “ ng ế ng lí thuy t

hàm bi n ph Ế trong m t s bài toán v ph ng trình hàm và ph ng trình

h p đ c bi t Và t t nhiên khi đ a ra lo i s m i này ta c n ph i trang b trên

nó m t s phép toán, mà các phép toán này ph i phù h p v i phép toán đã có trên t p h p s th c Có nhi u ph ng pháp đ xây d ng lo i s m i này, đây ta đ a vào s i ( g i là đ n v o ) là nghi m c a ph ng trình 2

Gi s z2 0, khi đó ta có th tìm đ c s ph c z x iy  sao cho z z2  z1

Theo đ nh ngh a c a phép nhân ta có h ph ng trình sau

Vì z2 0 ngh a là đ nh th c Crame khác 0, nên h ph ng trình trên luôn có

m t nghi m x y,  duy nh t S ph c z x iy  này đ c g i là th ng c a hai s ph c z z 1, 2

r  x  y và góc c c t ng ng  Do đó, m i s

ph c z x iy  có th bi u di n

zr c i  ,

B ng qui n p ta có

1 2 1 2

arg z z zn arg z arg z   arg zn

Bây gi ta gi thi t z1  z2 zn r c osisin Khi đó

cos sin 

n n

z r ni n

cosisinn cosn isinn  n 1

Công th c Moive còn đúng v i c n và 0 n nguyên âm

cosnisinn coskisink

V y cosisinn cosnisinn  Zn

i i

e ei

kkn

n u   t n t i lân c n U c a R 0 z0 sao cho: f z  R,  z U

Hàm f g i là liên t c t i z0 n u m t trong hai đi u ki n sau th a mãn:

trong D sao cho U D  z0

khi và ch khi u v, liên t c t i x y 0, 0

Hàm f đ c g i là liên t c trên D n u nó liên t c t i m i đi m z D

Ch ng 2: PH NG TRỊNH HÀM V I

Ta kh o sát các ph ng trình hàm v i acgumen bi n đ i sinh b i hàm phân tuy n tính th c d ng

2tt

ta th y r ng (2.6) liên t c trên ฀ nh lí đ c ch ng minh

 và 2 t i đi m y Suy ra r ng góc gi a các nh * *

1 , 2

  c a  1, 2 t ng ng qua ánh x (2.6) t i đi m z d

là đ ng c u phân tuy n tính còn D D, * đ c g i là nh ng mi n đ ng c u phân tuy n tính v i nhau

nh lí 2.3 T p h p m i đ ng c u phân tuy n tính l p thành m t nhóm v i

phỨp toán l p hàm h p, ngh a là

1) H p (tích) các đ ng c u phân tuy n tính là đ ng c u phân tuy n tính

2) Ánh x ng c c a đ ng c u phân tuy n tính là đ ng c u phân tuy n tính

Nh n xét 2.1 Hi n nhiên r ng nhóm các đ ng c u phân tuy n tính là nhóm

không giao hoán Th t v y, gi s   1  

Vì qua phép chi u n i c đ ng th ng l n đ ng tròn trên ฀ đ u t ng ng

v i đ ng tròn trên m t c u Riemann nên ta có th qui c g i đ ng th ng

hay đ ng tròn trên m t ph ng ph c đ u là “đ ng tròn” trên ฀ (ta xem

đ ng th ng trên ฀ là đ ng tròn trên ฀ đi qua đi m ) và g i hình tròn,

V i m i 0 D t n t i duy nh t đi m z0 sao cho B  z0  0

Gi s U z 0  là lân c n c a đi m B z (hì0 nh tròn v i tâm z 0 n u z0  ,

ho c ph n ngoài hình tròn n u z0  )

Khi đó, theo đ nh lí 2.4 ta có U z 0  là “hình tròn” ch a đi m 0 cùng v i

m t lân c n nào đó c a nó

Nh v y, 0 là đi m trong c a D và do đó D là t p h p m

2 Ch ng minh D là t p h p liên thông

Vì B là t p h p liên thông nên t đ nh lí 2.1 suy ra r ng D là t p h p liên

thông

Nh v y, D là t p h p m và liên thông, ngh a là D là mi n

nh lí 2.1, 2.2, 2.4 là nh ng tính ch t đ c tr ng c a ánh x phân tuy n tính Ngoài tính b o giác và b o toàn đ ng tròn, nhóm các đ ng c u phân tuy n tính còn có nh ng b t bi n khác n a

ng c u phân tuy n tính (2.6) ch a ba tham s ph c là t s c a ba trong b n

h s a b c d, , , v i h s th t khác 0 Các tham s này đ c xác đ nh đ n tr

b i đi u ki n: ba đi m cho tr c z z z 1, 2, 3 c a m t ph ng ph c  z bi n thành

ba đi m   1, 2, 3 c a m t ph ng ph c   i u đó đ c suy ra t đ nh lí sau đây

nh lí 2.6 T n t i duy nh t đ ng c u phân tuy n tính bi n ba đi m khác

đ c g i là t s phi đi u hòa c a b n đi m z z z z , , ,1 2 3

N u b n đi m z z z z , , ,1 2 3 n m trên m t đ ng tròn (ho c đ ng th ng) thì t

s phi đi u hòa là m t s th c Th t v y

T đ nh lí 2.6 ta rút ra m t tính ch t quan tr ng n a c a đ ng c u phân tuy n tính

H qu 2.1 T s phi đi u hòa là m t b t bi n c a nhóm các đ ng c u phân

2 M i đi m trên đ ng tròn  đ c xem là đ i x ng v i chính nó qua 

T đ nh ngh a 2.2 suy ra r ng các đi m đ i x ng qua đ ng  liên h v i nhau b i h th c

2 0

0

Rz

Trong hình h c s c p, ta bi t r ng hai đi m z và z * đ i x ng v i nhau qua

đ ng tròn  khi và ch khi m i đ ng tròn   ฀ đi qua *

,

z z đ u tr c giao

v i  Ta có đ nh lí sau

Ta minh h a vi c áp d ng tính b t bi n c a các đi m đ i x ng qua đ ng c u

phân tuy n tính b ng các đ nh lí sau đây

Gi s đ ng c u phân tuy n tính    z ánh x n a m t ph ng trên

Imz 0 lên hình tròn  1 sao cho   0 Im  0

Ta nh n xét r ng đi m  và 0   s t ng ng v i các giá tr liên h p

Gi s cung tròn đi qua đi m z1 đ c kí hi u là  và cung tròn đi qua 1

đi m z là 0 2 Ta áp d ng các ánh x trung gian sau

Vì góc gi a hai cung tròn  1, 2 t i các đi m a c ng nh *

    

 

  và hi n nhiên đó ch là

m t trong các hàm th hi n ánh x c n tìm

Ta kh o sát bài toán t ng quát (2.11) trong ba tr ng h p đi n hình sau đây:

(i) Ph ng trình  x  có hai nghi m th c phân bi t x

(ii) Ph ng trình  x  có m t nghi m kép (th c) x

(iii) Ph ng trình  x  khx ông có nghi m th c

Nh n xét r ng, ph ng trình trong tr ng h p (iii) t ng đ ng v i ph ng

Ta chuy n bài toán t ng quát 3.1 v bài toán t ng quát sinh b i hàm b c nh t

fxaf x   ฀b, x , (2.12)

trong đó  , , ,a b a 0, 0 là các h ng s th c

ho c v d ng bài toán t ng quát sinh b i phép đ i h p b c n d ng sau đây

Ti p theo ta minh h a cách gi i t ng ng v i các tr ng h p qua các bài

L i gi i

Nh n xét r ng ph ng trình 1

2 xx

 

 có m t nghi m kép (th c) x 1Thay x 1 vào (2.14) ta đ c f 1  1

  

 và ph ng trình sinh t ng ng  t  có hai nghi m thu n o t i

T đây v sau ta g i t t sai phân h u h n là sai phân

c p 1 c a x n và nói chung sai phân c p k c a x n là sai phân c a sai phân c p

kC

i k i





b) Tính ch t c a sai phơn

TC1 Sai phân các c p đ u có th bi u di n qua các giá tr c a hàm s

TC2 Sai phân m i c p c a hàm s là m t toán t tuy n tính

TC3 Sai phân c p k c a m t đa th c b c m là

3.1.2 Ph ng trình sai phơn tuy n tính

nh ngh a 3.3 Ph ng trình sai phân tuy n tính là m t h th c tuy n tính

th c tuy n tính gi a các giá tr c a hàm x n t i các đi m khác nhau

a x0 n k a x1 n k 1  a xk n  (3.2) fn

trong đó a a0, , ,1 aka0 0,ak  là các h ng s ho c các hàm s c a 0 n

n

x : là giá tr c n tìm đ c g i là n

Ph ng trình (3.2) đ c g i là ph ng trình sai phân tuy n tính c p k

vì đ tính đ c t t c các giá tr c a x n ta ph i bi t k giá tr liên ti p c a x , n

r i tính các giá tr còn l i theo công th c truy h i (3.2)

Hàm s ฀

n

x ph thu c k tham s th a mãn (3.3) đ c g i là nghi m t ng quát

c a (3.3) N u các giá tr ban đ u x x0, , ,1 xk1 ta đ u xác đinh đ c duy nh t các h ng s C C1, 2, ,Ck thì nghi m x n tr thành nghi m riêng c a (3.3) v a

th a mãn (3.3) v a th a mãn ฀x0  x x0,฀1 x1, ,฀xk1 xk1

k

x c a (3.3) và m t nghi m riêng *

Nh n xét r ng khi ph ng trình đ c tr ng (3.4) có đ k nghi m th c, trong

đó có nghi m j là nghi m b i b c s thì công th c nghi m t ng quát c a

ph ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t (3.3) s là

thì (3.4) có nghi m liên h p ph c j   a bi r c osisin

Khi đó ta có nj rncosnisinn ; jn rncosnisinn là các

2 N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m  b i 1 s thì

, ,s

N u q1 thì  x n là c p s c ng công sai p nên xn  a np

V y nghi m c a ph ng trình sai phân tuy n tính c p 1 là

n n

V y ph ng trình đã cho có nghi m t ng quát là

n n

6 5 4 3 2

3,4

5,6

12

,

trong đó a a b b c c 1, 2, , , ,1 2 1 2 là các h ng s tùy ý

Trong các bài t p sau ta kí hi u  là n c a ph ng trình đ c tr ng, f n là  

v ph i c a ph ng trình sai phân tuy n tính đã cho, *

1, 2,

C C là các h ng s th c

Bài 3.6 Gi i ph ng trình sai phân

x0 7, xn115xn 14n (3.7) 1

n1 a n 1 bn an b   2n 1 n 2a2n     a b 1 0 n

  

n n

Ch ng minh r ng, n u đa th c P x  ch có duy nh t m t nghi m th c

và không có nghi m b i thì dãy s  an có vô s nghi m âm

Bài 3.4 Tìm công th c t ng quát c a dãy s  x n xác đ nh b i

0 1, 1 0, 2 0, n 3 2 n 2 3 n 1 2 n

1 1 2

K T LU N

Trên đây là toàn b n i dung c a đ tài: “ ng d ng lí thuy t hàm bi n

ph c trong m t s bài toán v ph ng trình hàm và ph ng trình sai phân”

N i dung chính c a đ tài đ c p đ n là

1 Các khái ni m c b n v s ph c, hàm bi n ph c và m t s tính ch t c

b n c a lí thuy t hàm s ph c

2 M t s tính ch t c a hàm phân tuy n tính, ph ng trình hàm sinh b i hàm

phân tuy n tính và m t s bài toán c th

3 Các khái ni m c b n v sai phân, ph ng trình sai phân, nghi m c a

ph ng trình sai phân tuy n tính và cách gi i m t s ph ng trình sai

TÀI LI U TảAM Kả O