Luận văn sư phạm Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Sinh viên: Phan Th Chi n... Sinh viờn: Phan Th Chi n... Bài toán Cauchy ..... Bài toán Cauchy... Tích phân t ng quát.

Phan Th Chi n 2 K 30 E Toán

L i c m n

hoàn thành khóa lu n này, em đã nh n đ c s giúp đ t n tình, t m

c a Th y giáo- Ti n s Nguy n V n Hùng c ng nh các th y, cô trong t gi i

tích khoa Toán, Tr ng i h c S Ph m Hà N i 2

Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành và sâu s c nh t đ n Th y

Nguy n V n Hùng, ng i đã tr c ti p h ng d n và ch b o em trong su t

quá trình làm khóa lu n ng th i em xin chân thành c m n các th y, cô

giáo trong khoa đã d y d em trong su t b n n m qua đ em hoàn thành bài

khóa lu n này

B ng s n l c h t s c c a b n thân, bài khóa lu n này đã đ c hoàn

thành Song trong khuôn kh th i gian có h n và n ng l c b n thân còn nhi u

h n ch nên bài khóa lu n khó tránh kh i thi u sót Em r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y, cô và các b n sinh viên đ b n thân có th ti p

t c hoàn thi n h n n a trong quá trình h c t p và gi ng d y

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 04 n m 2008

Sinh viên:

Phan Th Chi n

Phan Th Chi n 3 K 30 E Toỏn

L i cam đoan

Quỏ trỡnh nghiờn c u khúa lu n v i đ tài: “Ph ng trỡnh đ o hàm riờng

c p m t’’ đã giỳp em hi u sõu s c h n v b mụn gi i tớch hi n đ i, đ c bi t

là v ph ng trỡnh vi phõn đ o hàm riờng Qua đú c ng b c đ u giỳp em làm

quen v i cụng tỏc nghiờn c u khoa h c

Bờn c nh đú em c ng nh n đ c s quan tõm, t o đi u ki n c a cỏc th y

cụ giỏo trong khoa, đ c bi t là s h ng d n nghiờm kh c, t n tỡnh c a th y Nguy n V n Hựng

Vỡ v y, em xin cam đoan k t qu c a đ tài: “Ph ng trỡnh đ o hàm

riờng c p m t’’ khụng cú s trựng l p v i k t qu c a cỏc đ tài khỏc

Em r t mong đ c s đúng gúp ý ki n c a quý th y, cụ và cỏc b n sinh

viờn để khúa lu n hoàn thi n h n

Hà N i, thỏng 04 n m 2008

Sinh viờn:

Phan Th Chi n

Phan Th Chi n 4 K 30 E Toán

M c l c

L i c m n

L i cam đoan

M c l c

L i m đ u

Ch ng 1: Khái ni m m đ u và các ki n th c c s

1 Khái ni m m đ u 5

1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng và ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 5

1.2 Nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 5

1.3 Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng 6

1.4 Bài toán Cauchy 7

2 Các ki n th c c s 7

2.1 Ph ng trình vi phân 7

2.2 Ph ng trình vi phân c p m t 8

2.3 H ph ng trình vi phân 12

Ch ng 2: Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 1 Ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m t 16

1.1 Ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t c p m t 17

1.2 Ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t c p m t 26

2 Ph ng trình phi tuy n c p m t 37

2.1 H hai ph ng trình phi tuy n c p m t 37

2.2 Ph ng trình Pfap 40

2.3 Ph ng pháp Lagrang – Sacpi 42

Ch ng 3: Bài t p v n d ng

Phan Th Chi n 5 K 30 E Toán

L i nói đ u

C ng nh các môn khoa h c khác, ph ng trình đ o hàm riêng xu t hi n

trên c s phát tri n c a khoa h c k thu t và nh ng yêu c u đòi h i c a th c

t Ph n l n các bài toán ph ng trình vi phân đ o hàm riêng đ c rút ra t

các v n đ trong th c ti n nên ph ng trình vi phân đ o hàm riêng đ c coi

là chi c c u n i gi a toán h c và ng d ng

Th c t cho th y có r t nhi u d ng ph ng trình vi phân đ o hàm riêng

khác nhau và không t n t i m t ph ng pháp chung nào đ gi i t t c các

ph ng trình đó i v i cácph ng trình đ o hàm riêng nãi chung, ph ng

trình đ o hàm riêng phi tuy n nói riêng chúng ta ch ch ng minh đ c s t n

t i nghi m còn vi c tìm ra công th c nghi m thì h i khó Tuy nhiên đ i v i

ph ng trình đ o hàm riêng c p m t thì vi c tìm ra công th c nghi m th ng tuân theo m t s ph ng pháp nh t đ nh Chính vì th em ch n đ tài: Ph ng

Phan Th Chi n 6 K 30 E Toán

Ch ng 1

Khái ni m m đ u và các ki n th c c s

1 Khái ni m m đ u

1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng và ph ng trình đ o hàm riêng c p m t

1.1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng

nh ngh a 1.1 M t ph ng trình liên h gi a n hàm u(x1, x2,…,xn) các

bi n đ c l p x1, x2, …,xn và các đ o hàm riêng c a nó đ c g i là ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Nó có d ng

Phan Th Chi n 7 K 30 E Toán

t c cùng v i các đ o hàm riêng c p m t c a nó trong mi n D c a không gian

n chi u đ c g i là nghi m c a ph ng trình (1.1) trong D n u:

Thông th ng khi ta tích phân ph ng trình đ o hàm riêng ta tìm đ c

h nghi m ph thu c vào nh ng hàm s b t kì Gi s ph ng trình (1), u là hàm 2 bi n (n = 2): u = u(x1, x2) Khi đó nghi m u = u(x1, x2) s t ng ng

v i m t m t cong trong không gian ba chi u ( x1, x2, u) M t cong này g i là

hàm z = x2 + y2 s là nghi m xác đ nh v i m i x, y Nghi m trên đ c bi u

di n b i m t paraboloit (là m t cong do parabol z = y2, trong m t ph ng (y, z)

t o lên khi quay quanh tr c oz)

ii) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i là phi tuy n tính n u nó không tuy n tính

iii) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i là t a tuy n tính (hay á tuy n tính) n u nh nó tuy n tính đ i v i t t c các hàm cao nh t c a hàm ph i tìm

Phan Th Chi n 8 K 30 E Toán

1.4 Bài toán Cauchy: Tìm nghi m u = (x1, x2, …, xn) c a ph ng

trình (1.2) sao cho khi x1 x10 thì u = (x1, x2, …,xn) trong đó  là m t hàm cho tr c Ta có th thay vai trò x1b ng m t trong các bi n còn l i

Phan Th Chi n 9 K 30 E Toán

nh ngh a2.1.3 Nghi m c a ph ng trình vi phân là m i hàm th a mãn

ph ng trình đó t c là m i hàm kh vi sao cho thay vào ph ng trình đó nó

tr thành đ ng nh t th c

Ví d 2.4 Ph ng trình dy 2y

dx có nghi m là hàm y = ce2xxác đ nh trên kho ng ,  ( c là h ng s tùy ý)

Trong ph ng trình (2.3) f là m t hàm 2 bi n, hàm này xác đ nh trong

mi n D nào đó c a không gian hai chi u

nh ngh a 2.2.2 Hàm y = (x) xác đ nh và kh vi trên kho ng

I = (a,b) đ c g i là nghi m c a ph ng trình (2.2) n u

a) (x, (x),  ’(x))  D v i m i x  I

b) F(x,(x), ’(x))  0 trên I

Phan Th Chi n 10 K 30 E Toán

2.2.2 Bài toán Cauchy

Tìm nghi m y = y(x) c a ph ng trình (2.3) sao cho x = x0 thì y = y0

Trong đó x0, y0là các giá tr tùy ý cho tr c mà ta g i là các giá tr ban đ u

i u ki n nghi m ph i tìm y = y(x) nh n giá tr y = y0 khi x = x0 g i là

đi u ki n ban đ u và kí hi u là: y(x0) = y0ho c yx0= y0

Ví d 2.6 :Xét ví d 2.5 ta th y đi u ki n ban đ u c a bài toán là: x0 = 0

và y0 = 2

2.2.3 nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy

nh lý 2.2.3 Xét ph ng trình (2.3) và các giá tr ban đ u (x0, y0)

Gi s hàm f(x, y) và f’y(x, y) xác đ nh và liên t c trên mi n D Khi đó

t i lân c n c a đi m x0ph ng trình (2.3) t n t i và duy nh t m t nghi m y =

y(x) c a bài toán Cauchy có ngh a là nghi m đó th a mãn ph ng trình

( , )

dy

f x y

dx và y(x0) = y0

Phan Th Chi n 11 K 30 E Toán

Gi s D là mi n trong R2 mà t i m i đi m M(x, y) c a nó đi u ki n c a

đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ c th a mãn Khi đó hàm y = y(x, c) (2.4) có đ o hàm riêng theo x đ c g i là nghi m t ng quát c a ph ng trình (2.3) n u nó th a mãn 2 đi u ki n sau:

Phan Th Chi n 12 K 30 E Toán

b) Trong th c t ng i ta th ng đ ng nh t nghi m t ng quát và tích phân t ng quát v i nhau

c) V ph ng di n hình h c thì tích phân t ng quát và nghi m t ng quát

đ u là h đ ng cong th a mãn ph ng trình (2.3)

2.2.6 Khái ni m nghi m riêng

Nghi m y = y(x) đ c g i là nghi m riêng c a ph ng trình (2.3) n u t i

m i đi m c a nó đ u có đi u ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ c

Nh n xét: Nghi m riêng th ng tìm đ c t nghi m t ng quát

Gi s nghi m t ng quát c a ph ng trình (2.3) là y = y(x, c) đ tìm nghi m riêng c a ph ng trình (2.3) v i giá tr ban đ u (x0, y0) ta tìm c0 =

 (x0, y0) Sau đó thay y0 = y(x, c0) = y(x, (x0, y0))

2.2.7 Nghi m kì d

Phan Th Chi n 13 K 30 E Toán

Nghi m y = y(x) đ c g i là nghi m kì d n u mi n D t n t i đi m t i đó tính duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ c vi ph m

, , ,

n n

n

dy

f x y ydx

dy

f x y ydx

dy

f x y ydx

fdx

2.3.2 Nghi m c a h ph ng trình vi phân chu n t c c p m t

Nghi m c a h ph ng trình vi phân chu n t c c p m t (2.5) là t p h p n hàm kh vi y1 = y1(x), y2 = y2(x) ,…, yn(x) trên m t hàm nào đó sao cho chúng

Phan Th Chi n 14 K 30 E Toán

th a mãn t t c các ph ng trình c a h (2.5) hay nói cách khác khi thay chúng vào h (2.5) ta đ c các đ ng nh t th c

2.3.3 Bài toán Cauchy v s t n t i và duy nh t nghi m c a h vi phân chu n t c c p m t

a) Bài toán Cauchy c a h vi phân (2.5) đ c hi u nh sau

( )( )

( )n

Phan Th Chi n 15 K 30 E Toán

, , , ,

n n

, , ,

n n

Nghi m riêng c a h ph ng trình vi phân (2.5) là nghi m c a h (2.5)

và t i m i đi m c a nó đi u ki n duy nh t nghi m c a đ nh lý Cauchy đ c

th a mãn

Nh n xét: Nghi m riêng c a h (2.5) c ng có th tìm t nghi m t ng quát

b ng cách cho các h ng s c1, c2,…, cncác giá tr nào đó

2.3.4.3 Tích phân t ng quát

Gi i h ph ng trình vi phân (2.5) nhi u khi ta ch tìm đ c các h th c

Phan Th Chi n 16 K 30 E Toán

Nghi m c a h ph ng trình vi phân (2.5) mà t i m i đi m c a nó đi u

ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy không đ c th a mãn

Phan Th Chi n 17 K 30 E Toán

Trong đó các hàm X1, X2, …,Xn không ph thu c bi n u, không đ ng

th i tri t tiêu t i b t kì đi m nào c a mi n đang xét Ngoài ra ta gi thi t trong

ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t B i v y ta luôn gi

thi t r ng các hàm Xj, R kh vi liên t c và các hàm Xj không đ ng th i tri t

tiêu trong mi n bi n thiên đang xét c a các bi n X1, X2, …,Xn, u

Ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t c p m t đ c

vi t d i d ng:

Phan Th Chi n 18 K 30 E Toán

Do X1, X2, …,Xn không ph thu c vào bi n u, không đ ng th i tri t tiêu

t i b t c đi m nào c a mi n đang xét và các hàm này liên t c cùng v i t t c các đ o hàm riêng c p m t c a chúng nên h (1.4) th a mãn các đi u ki n c a

, , ,

n n

Trong không gian (x1, x2,…,xn) h tích phân đ u đ c l p này xác đ nh m t

h đ ng cong ph thu c n - 1 tham s g i là đ ng đ c tr ng c a ph ng trình (1.2) T đó m i liên h gi a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t c p m t và h ph ng trình vi phân th ng d ng đ i x ng t ng

ng đ c xác đ nh qua các đ nh lý sau:

Phan Th Chi n 19 K 30 E Toán

nh lý 1.1 V trái c a tích phân đ u b t kì x x1, 2, ,xnclà nghi m không t m th ng c a ph ng trình (1.2)

x2,…,xn) thu c mi n đang xét i u này ch ng t hàm u    x x1, 2, , xn là

nghi m c a h (1.4) Ta có đi u ph i ch ng minh

nh lý 1.2 Gi thi t u    x x1, 2, , xn là nghi m không t m th ng

Phan Th Chi n 20 K 30 E Toán

Phan Th Chi n 21 K 30 E Toán

V y u1 xz u , 2 x y là các nghi m không t m th ng c a ph ng trình đ o hàm riêng c p m t

1.1.2 Nghi m t ng quát c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính

V i  là hàm b t kì có các đ o hàm riêng theo 1, , n1 liên t c s

cho ta nghi m t ng quát c a ph ng trình (1.2)

Phan Th Chi n 22 K 30 E Toán

1 1

00

0

n i

n i

n

n i

XxXx

Xx

th ng V y đ nh th c Grame c a hêi ph i b ng không, t c là

n n

Phan Th Chi n 23 K 30 E Toán

M t khác, các tích phân đ u c a h

1 x x1, 2, ,xn c1

  ,2x x1, 2, ,xnc2,…,n1x x1, 2, ,xncn1 đ c l p nên có ít nh t m t đ nh th c c p n-1 d ng

1, 2, , 1

0( , , )

n

nD

  là nghi m t ng quát c a ph ng trình trong đó

 là hàm kh vi, liên t c theo các bi n x1, x2,…,xn Ch ng h n u có th là các

hàm sau:

2 3

Phan Th Chi n 24 K 30 E Toán

1.1.3 Bài toán Cauchy

Tìm nghi m u = u(x1, x2, …,xn) c a ph ng trình (1.2) th a mãn đi u

ki n ban đ u

u u x x   1, 2, , xn1 khi xn  xn0

Trong đó u là hàm kh vi liên t c cho tr c c a các bi n x1, x2, …,xn (t c

là v i m t giá tr c đ nh c a m t trong các đ i s thì nghi m u tr thành hàm

đã cho c a các đ i s còn l i)

Cách gi i:

Ta th y n u 1( , x x1 2, , xn), 2( , x x1 2, , xn), , n( , x x1 2, , xn) là

các tích phân đ u đ c l p cu h ph ng trình vi phân th ng (1.4) thì nghi m t ng quát c a ph ng trình có d ng

u     1, 2, , n

Phan Th Chi n 25 K 30 E Toán

Do đó bài toán tìm nghi m u = u(x1, x2, …,xn) c a ph ng trình (1.2)

, , , ,

n n n n

, , ,

n n

xx

Phan Th Chi n 26 K 30 E Toán

y   x (1.22’)

H (1.22’) có m t tích phân đ u là x2

+ y2 = c

Phan Th Chi n 27 K 30 E Toán

Thay x = 1 vào các tích phân đ u đ c l p c a h (1.23’) ta đ c

Phan Th Chi n 28 K 30 E Toán

V y nghi m th a mãn đi u ki n ban đ u trên là u 1 2 hay

Ta có quy t c tìm nghi m t ng quát nh sau:

B c 1: L p ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t

, , , ,

n n

Phan Th Chi n 29 K 30 E Toán

vx

Phan Th Chi n 30 K 30 E Toán

, , , ,

n n

Cu i cùng ta đi ch ng minh v i các gi thi t đã nêu trên trong mi n

bi n thiên đang xét c a các bi n x1, x2 ,…, xn, u m i nghi m b t kì:

1

( , , , ) 0

X x x u  Khi đó t i lân c n đi m  0 0 

1, , n, 0

x x u h ph ng trình (1.26) có n tích phân đ u đ c l p

Phan Th Chi n 31 K 30 E Toán

, , , ,

n n

Phan Th Chi n 32 K 30 E Toán

Phan Th Chi n 33 K 30 E Toán

H ph ng trình này có n tích phân đ u đ c l p là

2

1 3

1

1 1

xcxucx

1 1 1 1

, , , n, 0

mx

Phan Th Chi n 34 K 30 E Toán

Ph ng trình (1.3) không có nghi m đ c bi t khi X1,…,Xn không đ ng

th i tri t tiêu trong mi n đang xét và cùng v i R có đ o hàm riêng liên t c trong mi n kín gi i h n n i D

Phan Th Chi n 35 K 30 E Toán

1.2.3 Bài toán Cauchy

Ta xét bài toán Cauchy d i dây đ i v i ph ng trình (1.3)

Phan Th Chi n 36 K 30 E Toán

V n đ đ t ra là ph i tìm hàm  sao cho h th c (1.38) cho ta nghi m

c a bài toán Cauchy

, , , ,

n n n n

n n

Phan Th Chi n 37 K 30 E Toán

, , ,, , ,

n n

n

xx

xu

22

Phan Th Chi n 38 K 30 E Toán

2 2 1 14x

Phan Th Chi n 39 K 30 E Toán

Cho x = 2 ta đ c

2

422

yz

yz

z

A x y zx

z

B x y zy

Phan Th Chi n 40 K 30 E Toán

Trong đó c(y) là hàm kh vi liên t c b t kì

Ch n c(y) sao cho hàm z th a mãn ph ng trình (2) c a h (2.1)

V y t n t i hàm c(y) th a mãn các đi u ki n trên ta có

Tr c h t, ta đi tích phân ph ng trình th nh t c a h khi c đ nh y Ta tìm đ c h nghi m c a ph ng trình th nh t c a h là:

Phan Th Chi n 41 K 30 E Toán

T đây ta suy ra: c’(y) = 0 hay c(y) = c = const

V y nghi m c a h ph ng trình trên là

2 2 yx

z Ce x y

Ví d 2.2 Gi i h 2 ph ng trình phi tuy n:

zyzxzxzy

Ta c ng nh n th y h hai ph ng trình phi tuy n (2.6) th a mãn đi u

ki n t ng thích (2) trên toàn m t ph ng (x, y) Do đó ta có th tích phân h

c y e c y xe xc y e  c y e '( ) yx 0

Phan Th Chi n 42 K 30 E Toán

Gi s các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) kh vi liên t c t i lân c n nào đó c a đi m (x0, y0, z0) cho tr c và không đ ng th i tri t tiêu t i đi m

N u đi u ki n (2.9) đ c th a mãn t i m i đi m (x, y, z) trong lân c n

đi m (x0, y0, z0) thì nó đ c g i là đi u ki n kh tích hoàn toàn c a ph ng

trình Pfap (2.7)