Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu hopf lax oleinik cho nghiệm nhớt

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 1 - SVTH: Thân Văn Tài Lời Cảm ơn Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, em nhận được sự hướng dẫn và chỉ bảo hết sức nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S

Trang 1

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 1 - SVTH: Thân Văn Tài

Lời Cảm ơn

Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, em nhận được sự hướng dẫn và chỉ

bảo hết sức nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng giảng

viên tổ Toán Giải tích, cùng toàn thể các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin chân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo hướng

dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cùng toàn thể quý thầy, cô trong khoa Toán đã

giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân, bài khoá luận đã được hoàn thành Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên bài khoá luận khó tránh khỏi sai sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập và giảng dạy

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên

Thân Văn Tài

Trang 2

Lời cam đoan

Quá trình nghiên cứu khoá luận với đề tài: “Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” đã giúp em hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hiện đại, đặc biệt

là về phương trình vi phân ĐHR Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Em xin cam đoan bài khoá luận được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo hết sức

nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy,

cô trong tổ Toán Giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2 Và đây cũng là một

đề tài không trùng với các đề tài của các tác giả khác

Thân Văn Tài

Trang 3

Mục lục

Lời cảm ơn ……… 1

Lời cam đoan ……… 2

Mục lục ………3

Lời nói đầu ……….4

Chương 1: Các ký hiệu và kiến thức mở đầu ……… 6

1.1 Ký hiệu ……….6

1.2 Kiến thức về giải tích thực………8

1.3 Kiến thức về giải tích hàm ……… 9

1.4 Kiến thức về lý thuyết Tôpô-Độ đo-Tích phân ……… 10

1.5 Một số bất đẳng thức ……… 11

Chương 2: Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một …12 2.1 Mở đầu ……… 12

2.2 Khái niệm nghiệm nhớt ……… 13

2.3 Tính duy nhất của nghiệm nhớt ……… 18

2.4 Các công thức Hopf-Lax ………23

Chương 3: Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29

3.1 Các ký hiệu thường dùng………29

3.2 Công thức Hopf-Lax cổ điển ……….30

3.3 Hamiltonian lồi và phụ thuộc vào u ……… 32

3.4 Hamiltonian phụ thuộc u và dữ kiện ban đầu tựa lồi ………34

Kết luận ……….43

Tài liệu tham khảo ……… 44

Trang 4

Lời nói đầu

1 Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như ta đó biết phương trỡnh vi phõn ĐHR núi chung và phương trỡnh

phi tuyến núi riờng cú ứng dụng rất rộng rói trong thực tế Cú rất nhiều lĩnh vực nghiờn cứu hiện đại mà trong đó phương trỡnh vi phõn ĐHR đóng một

vai trũ hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhúm nhiều chiều, lý

thuyết trường lượng tử, lý thuyết cỏc khụng gian thuần nhất và vật lý toỏn

Mặc dự đó được đề cập từ rất lõu (khoảng thế kỷ 18 và 19), nhưng lý

thuyết cỏc phương trỡnh phi tuyến cho đến nay cơ bản vẫn chưa được hoàn thiện Từ đầu thế kỷ 20 đến nay do nhu cầu nghiờn cứu một cỏch chặt chẽ những phương trỡnh vi phõn ĐHR đó kớch thớch sự phỏt triển cỏc phương

phỏp cơ bản của Giải tớch thực,Giải tớch hàm và Tụpụ

Một bài toỏn phương trỡnh vi phõn ĐHR, nếu cú ý nghĩa thực tiễn thỡ chắc chắn cú nghiệm, vấn đề là nghiệm đó hiểu theo nghĩa nào mà thụi Cú rất nhiều phương trỡnh vi phõn ĐHR mà ta nghiờn cứu, đặc biệt là phương trỡnh phi tuyến đều khụng cú nghiệm cổ điển Vấn đề đặt ra là ta cố gắng xõy dựng

lý thuyết cỏc nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chỳng, và đặc biệt là tớnh

duy nhất nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tế)

Khi nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR cấp một thỡ bằng kỹ thuật

của phương pháp triệt tiêu độ nhớt, ta thu được nghiệm nhớt (một loại nghiệm yếu) của bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi Như

vậy nghiệm nhớt cú ý nghĩa rất lớn trong việc nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR

Vỡ tầm quan trọng rất lớn của nú trong thực tế, trong nghiờn cứu khoa học và nhằm giỳp cho bạn đọc cú cỏi nhỡn tổng quỏt về phương trỡnh vi phõn ĐHR

Trang 5

Nờn trong quỏ trỡnh nghiờn cứu khoỏ luận em đó mạnh dạn lựa chọn đề tài

“Nghiệm nhớt của phương trỡnh đạo hàm riêng cấp một và cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” đây là một phần nhỏ của lý

thuyết phương trỡnh vi phõn ĐHR

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong khuụn khổ thời gian cú hạn nờn khoỏ luận của em chủ yếu đi sõu vào một số nội dung chớnh sau:

Chương 1: “Ký hiệu và kiến thức mở đầu” Nhằm mục đích cung cấp

cho người đọc những ký hiệu thường dựng và cỏc kiến thức cú liờn quan để tiện theo dừi cỏc phần tiếp theo

Chương 2: “Nghiệm nhớt của phương trỡnh đạo hàm riờng cấp một”

Ta sẽ đề cập đến khỏi niệm nghiệm nhớt và cụng thức kiểu Hopf-Lax của chỳng, cựng cỏc ước lượng của nghiệm trong trường hợp khụng cổ điển Chương này ta sẽ đưa ra một cỏi nhỡn tổng quỏt về tớnh duy nhất của nghiệm yếu và cụng thức Hopf-Lax cho trường hợp cỏc Hamiltonian là lồi (dữ kiện ban đầu là lồi)

Chương 3: “Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt”

Chương này cú 4 phần: Phần 1 đưa ra cỏc ký hiệu chung thường dựng cho cỏc phần tiếp theo Phần 2 nhằm thiết lập cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt với phương trỡnh Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian khụng phụ thuộc vào ẩn hàm và hàm ban đầu khụng nhất thiết liờn tục đều Phần 3 thực hiện cụng việc tương tự nhưng đối với Hamiltonian lồi và phụ thuộc vào ẩn hàm cựng gradient theo cỏc biến khụng gian của nú Phần 4 Hamiltonian sẽ chứa biến thời gian và ẩn hàm cựng với gradient theo cỏc biến khụng gian của nú

Trang 6

Chương 1

Kí HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 Kí HIỆU

1.1.1 Ký hiệu hỡnh học

(i)  là khụng gian Euclide thực n chiều n

(ii) U là biờn của U, U U U là bao đóng của U

(vi) B x r( , ) là hỡnh cầu đóng với tõm x và bỏn kớnh r > 0

(vii)n x( ,x x1 2, ,x n) n|x j   0 j 1,2, ,n là nửa khụng gian

mở phớa trờn;    x  |x0

(viii) Một điểm bất kỳ trong n1 thường được ký hiệu

( , )x t ( ,x x1 2, ,x t n, ) và thường dựng t x n1 là biến thời gian

1.1.2 Ký hiệu cỏc hàm số

(i) Nếu u U:  , ta viết u x( )u x x( ,1 2, ,x n) (x U )

Ta núi u là trơn nếu u là khả vi vụ hạn

(ii) u max(u,0), u  min (u,0), uu u, u uu

(iii) Hàm u U:  được gọi là liờn tục Lipschitz nếu

u x( )u y( ) C x y

với hằng số C nào đó và với mọi x y U,  Ta viết

Trang 7

(ii) Ta hay viết

C U k( ) u C U k( ) |D u là liờn tục đều với mọi  k

(ii) L U p( )u U:  |u là đo được Lebesgue, u L U p( )  ,

Trang 8

(ii) f  f hầu khắp nơi khi  0

(iii) Nếu f C U( ), thỡ f  f đều trờn mỗi tập compact của U

(iv) Nếu 1  p và f L p loc( )U thỡ f  f trong L p loc( )U

Trang 9

1.3.1.1 Định nghĩa về khụng gian định chuẩn

Ta gọi khụng gian định chuẩn (hay khụng gian tuyến tớnh định chuẩn)

là khụng gian tuyến tớnh X trờn trường P (P hoặc P ) cựng với một ỏnh xạ từ X vào tập số thực  , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa món cỏc tiờn đề sau:

(i) ( x X) x 0, x   0 x  (ký hiệu phần tử khụng là );

(ii) ( x X) (  P) x   x ;

(iii) (x y, X) x y  x  y

1.3.1.2 Định nghĩa về sự hội tụ trong khụng gian định chuẩn

Dóy điểm ( )x của khụng gian định chuẩn n X gọi là hội tụ tới điểm

Khụng gian định chuẩn X là khụng gian Banach khi và chỉ khi trong khụng gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

1.3.2 Khụng gian Hilber

Cho H là khụng gian tuyến tớnh thực Ánh xạ ( , ) : H  H  được

gọi là tớch vụ hướng nếu :

Trang 10

1.3.3.1 Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Banach

(i) Ánh xạ A X: Y gọi là toỏn tử tuyến tớnh nếu:

1.3.3.2 Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Hilbert

Cho H là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng (,)

(i) Nếu A H: H là toỏn tử tuyến tớnh bị chặn, toỏn tử liờn hợp của

nú là A*:H H thỏa món (Au v, )( , * ),u A v u v, H

(ii) A là đối xứng nếu A*A

1.4 KIẾN THỨC VỀ Lí THUYẾT Tễ Pễ - ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN

1.4.1 Khỏi niệm hầu khắp nơi

Cho một khụng gian độ đo (X, M, ), A  M Ta núi một tớnh chất (T) nào

đó xẩy ra hầu khắp nơi trờn A (viết tắt h.k.n) nếu tồn tại một tập hợp BM

sao cho B  A, (B)0 và tại mỗi điểm xA\B đều cú tớnh chất (T)

Trang 11

Trang 12

Chương 2 NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRèNH ĐẠO

Nhỡn chung bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi

đó được khẳng định là khụng cú nghiệm trơn u với mọi t Nờn trong phần này chỳng ta xột một loại nghiệm suy rộng của (2.1) dựa trờn kĩ thuật của

phương pháp triệt tiêu độ nhớt

Trước hết ta xột bài toỏn xấp xỉ :

u t H t x u Du( , , , )   u 0 trong 0,  n

u f trờn t 0 n với  0 Ta thấy (2.1) chứa phương trỡnh đạo hàm riờng cấp 1 hoàn toàn phi

tuyến cũn (2.2) là bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh parabolic tựa

(2.2) (2.1)

Trang 13

tuyến tớnh mà ta đó biết nú cú nghiệm trơn Thừa số  trong (2.2) là tỏc nhõn

chớnh quy hoỏ của phương trỡnh Hamilton-Jacobi

Ta hi vọng khi cho  0 cỏc nghiệm u của (2.2) sẽ hội tụ tới một loại nghiệm suy rộng của (2.1)

2.2 KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT

Cho H là một hàm liờn tục theo x, , p và đo được theo t ; hơn nữa

Ta cần đưa ra cỏch thiết lập cỏc dạng yếu của (2.1) với uC  0,T n;

ở đây ta chỉ trỡnh bày cỏch thiết lập nghiệm dưới u của

u t H t x u Du( , , , )0 trong 0,  n (2.3) Đối với nghiệm trờn ta tiến hành tương tự Hàm uu t x( , ) là nghiệm của bài toỏn nếu nú vừa là nghiệm trờn vừa là nghiệm dưới

Trang 14

v t x t( ,0 0)F t x u t x( ,0 0, (( ,0 0),Dv t x( ,0 0))0 với ( ,t x0 0) 0,T n (2.6)

Định lí 2.2.1

Cỏc hệ thức (2.3), (2.4), (2.5) và (2.6) là tương đương

Chỳ ý :

+Vỡ K t( )B R nờn với mọi t ta cú (2.4), (2.5) hoàn toàn cú nghĩa

+ Dựa vào định nghĩa nghiệm nhớt do Ishii đưa ra ta cú:

Bõy giờ chỳng ta sẽ đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi dạng đơn giản:

u t H x Du( , )0 trong U: (0, )  (2.7) n

u(0, )x  f x( ) trờn t 0 n (2.8)

Trang 15

Ở đây Hamiltonian H x p( , ) là hàm liờn tục theo ,x p

và

nếu u - v đạt cực tiểu địa phương tại ( ,0 0) (0, )  n

t x thỡ v t x t( ,0 0)H x Dv t x( ,0 ( ,0 0))0

Trang 16

điều đó ta sẽ chứng minh một số kết quả sau

Trang 17

- Áp dụng bổ đề trờn cho u với (n1 thay cho  và n ( ,t x thay cho 0 0) x ), 0

ta khẳng định rằng tồn tại một hàm vC1 sao cho

Trang 18

- Áp dụng bổ đề trờn cho u trong  n1 tỡm được hàm vC1 sao cho

uv đạt cực tiểu địa phương ngặt tại ( ,t x Lý luận tương tự trờn ta cũng 0 0)

cú

u t x t( ,0 0)H x Du t x( ,0 ( ,0 0))0

Kết hợp với (2.15) ta suy ra điều phải chứng minh

2.3 TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM NHỚT

Bổ đề 2.3.1 (Cực trị tại thời điểm cuối)

Giả sử u là một nghiệm nhớt của (2.16), 1   

Trang 19

Chứng minh

Giả sử uv đạt cực đại địa phương tại T x ; ta cú thể giả sử nú là cực , 0

đại địa phương ngặt

Nếu uv đạt cực tiểu tại T x , bằng cỏch làm tương tự ta chứng minh , 0

được bất đẳng thức ngược lại

Ta giả sử rằng hàm Hamilton H thoả món điều kiện Lipschitz :

Trang 20

- Giả sử u u, là hai nghiệm nhớt của (2.16) với cựng một điều kiện ban đầu

(x0 2  y0 2)O(1)

Suy ra

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Giả thiết thờm rằng f là hàm bị chặn Khi đó nghiệm nhớt duy nhất của bài

toỏn Cauchy (2.30) được xỏc định bởi cụng thức (2.31)

Chứng minh

- Dễ thấy hàm u xỏc định bởi (2.31) là liờn tục Lipschitz và u f tại

0

t

Nếu f bị chặn thỡ dễ thấy u cũng bị chặn trong 0,Tn

- Xột v C ((0, )  n) và giả sử uv đạt cực đại địa phương tại

v t x( ,0 0)v t( 0 k x, 0 kq)kL q( )

Trang 25

Chia cả hai vế cho k > 0 và cho k0 ta được:

v t x t( ,0 0)H Dv t x( ( ,0 0))   0

với  0 và với mọi điểm ( , )t x đủ gần tới ( ,t x Từ (1.36) ta cú 0 0)

( , )v t x t Dv t x q( , ) L q( )  (2.38) với mọi ( , )t x gần tới ( ,t x và với mọi 0 0) q n

Trang 26

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp

Chứng minh

(2.42)

Trang 27

- Ta giả thiết thờm trong (2.40) luụn cú

H:n  liờn tục Lipschitz đều (2.44)

- Dễ kiểm tra được ˆu là liờn tục Lipschitz đều trong  n1 với

Duˆ L(n 1)  Df L(n) K2 (với K là hằng số Lipschitz của f ) (2.45) 2

Hơn nữa ˆu là nghiệm nhớt của bài toỏn quy hoạch động của phương trỡnh đạo hàm riờng

với Y B K( 2),Z B K( 1) (K là hằng số Lipschitz của H) 1

Trang 28

1ˆ( , ) inf sup t ( ( ), ( ))

Trang 29

CHO NGHIỆM NHỚT

Việc chứng minh cỏc định lý, bổ đề trong chương này là rất dài và mang tớnh kỹ thuật cao Nờn trong phần này chủ yếu chỳng ta đưa ra cỏc cụng thức, định nghĩa, định lý, bổ đề, hệ quả và chỳ ý để tỡm hiểu về cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	805,44 KB