Luận văn sư phạm Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

L I C M N

th c hi n hoàn thành khóa lu n “Ph ng pháp hình h c t ng h p và

ph ng pháp đ i s v i các đ ng conic trong ch ng trình Toán trung h c

ph thông ” em đã nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a các th y, cô và b n bè

trong l p

Tru c h t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y giáo h ng d n:

Th c s Phan H ng Tr ng, ng i đã giúp em xác đ nh đ tài nghiên c u, t n

tình h ng d n, giúp đ em trong su t quá trình th c hi n khóa lu n này!

Em c ng xin bày t lòng c m n đ n các th y, cô đã gi ng d y em trong

su t b n n m hoc Em xin c m n các th y cô giáo trong t Hình h c đã đóng

góp nhi u ý ki n quý báu cho khóa lu n c a em!

Cu i cùng, em xin g i đ n gia đình, b n bè, nh ng ng i thân đã dành

cho em nh ng tình c m t t đ p, đã giúp đ , đ ng viên em trong su t khóa h c

lòng bi t n chân thành nh t!

M c dù đã c g ng hoàn thành lu n v n v i t t c nh ng n l c c a b n

thân, nh ng lu n v n ch c ch n không th tránh kh i nh ng h n ch , nh ng

thi u sót Kính mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a quý Th y, Cô giáo,

các b n sinh viên và nh ng ai quan tâm đ n n i dung đ c p trong lu n v n này

Xin chân thành c m n!

Hà N i, ngày 20/05/2007

Ng i th c hi n

Ph m V n Gia

Ph m V n Gia Trang 7

M c l c

Ph n m đ u

1 L i c m n 01

2 M c l c 02

3 L i nói đ u 04

Ph n n i dung Ch ng 1: m t s ki n th c chu n b 1 Ph ng pháp đ i s 06

1.1 ng Elip 06

1.2 ng Hypebol 07

1.3 ng Parabol 09

2 Ph ng pháp hình h c t ng h p 10

2.1 ng Elip 10

2.2 ng Hypebol 12

2.3 ng Parabol 13

Ch ng 2 ph ng pháp đ i s và ph ng pháp hình h c t ng h p v i m t s bài toán v các đ ng conic 1.Ph ng pháp đ i s 15

1.1 Ti p tuy n c a 3 đ ng conic 15

1.2 Các bài toán thi t l p các đ ng conic 20

1.3 M t s bài toán gi i tích khác 23

2.Ph ng pháp hình h c t ng h p 25

2.1 Ti p tuy n c a 3 đ ng conic 26

2.2 ng th ng ti p xúc v i 1 conic c đ nh 33

PH L C : t ch c ngo i khóa cho h c sinh

v xây d ng đ nh ngh a các đ ng cônic

1 M c đích 40

2 N i dung 40

3 Chu n b 40

4 Các b c ti n hành 41

5 T ng k t 43

Ph n k t lu n 1.K t lu n 44

2.Tài li u tham kh o 46

Ph m V n Gia Trang 9

Hình h c là m t ph n r t quan tr ng c a toán h c Trong hình

h c, ph ng pháp đ i s đ c nghiên c u và s d ng r ng rãi,nó t ra

đ c bi t có hi u qu khi đã đ i s hóa hình h c, đem các y u t c a

hình h c chuy n sang đ i s ây c ng là m t xu th phát tri n giáo

d c trên toàn th gi i

Trong ch ng trình toán trung h c ph thông, vi c đ a m t s y u

t hình h c gi i tích vào trong ch ng trình THPT là m t trong nh ng

đi u phù h p v i quan đi m s d ng r ng rãi ph ng pháp đ i s đ

nghiên c u hình h c Nó đã t o c h i t t đ h c sinh có thêm công c

m i đ di n đ t, suy lu n, đ làm toán, thoát ly đ c nh ng nh h ng

không có l i cho tr c giác

trung h c ph thông, các đ ng conic đã đ c nghiên c u b i

ph ng pháp t a đ quen thu c Tuy nhiên, n u ta ch nghiên c u các

đ ng conic d i góc đ hình h c gi i tích thì h c sinh s g p nhi u

khi m khuy t v hình nh tr c quan c a các đ ng conic v n là mô

t ng h p và ph ng pháp đ i s v i các đ ng conic trong ch ng trình

Toán trung h c ph thông”

Khóa lu n này trình bày v vi c s d ng 2 ph ng pháp :đ i s và

Ph l c :Trình bày d ki n t ch c bu i h c ngo i khóa v các

đ ng cônic cho h c sinh l p 10

Em xin bày t lòng bi t n chân thành và sâu s c t i th y Phan

H ng Tr ng, ng i đã giúp em xác đ nh đ tài nghiên c u, t n tình

h ng d n, giúp đ , đ ng viên em trong su t quá trình th c hi n khóa lu n

này! ng th i em c ng xin chân thành c m n các th y cô giáo trong t

Hình h c đã đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho khóa lu n c a em!

Hà N i, tháng 5 n m 2007

Sinh viên th c hi n

Ph m V n Gia

Cho hai đi m c đ nh F1 và F2,v i F1F2=2c (c>0)

ng elip là t p h p các đi m M sao cho MF1+ MF2=2a trong đó a là

1s cho tr c l n h n c

Hai đi m F1 và F2 g i là các tiêu đi m c a elip

Kho ng cách 2c đ c g i là tiêu c c a elip

AA’=2a là tr c l n, BB’=2b là tr c nh Khi đó a2=b2+c2

1.1.2.Ph ng trình chính t c c a elip

Cho elip(E) nh trong đ nh ngh a trên.Ta ch n h tr c to đ Oxy có g c là

trung đi m c a F1F2 Tr c Oy là đ ng trung tr c c a F1F2 và F1,F2 n m

trên tr c Ox

Xét đi m M(x;y) trên elip(E) Khi đó ph ng trình chính t c c a (E) là:

1

2 2 2

2



 b

y a xtrong đó a2=b2+c2

y

M(x;y)

1.1.3.Tr c đ i x ng ,tâm đ i x ng c a elip

Elip (E) nh n các đ ng AA’ và BB’ làm tr c đ i x ng

Elip (E) nh n O làm tâm đ i x ng

1.1.4.Ti p tuy n c a elip

+ Xét đi m M(x0;y0) thu c (E) Khi đó ph ng trình ti p tuy n c a (E)

t i đi m M là :

.2  .2  1

b

y y a

1.2.1 nh ngh a

Cho hai đi m c đ nh F1 và F2,v i F1F2=2c(c>0) ng hypebol là

t p h p các đi m M sao cho MF 1  MF 2 =2a ,trong đó a là 1s d ng cho

tr c nh h n c

Hai đi m F1 và F2 g i là các tiêu đi m c a elip

Kho ng cách 2c đ c g i là tiêu c c a elip

Hypebol bao g m 2 nhánh và 2 nhánh này không có đi m chung

Ph m V n Gia Trang 13

Ox là tr c th c ;Oy là tr c o

Cho Hypebol(H) nh trong đ nh ngh a trên Ta ch n h tr c to đ Oxy có

g c là trung đi m c a F1F2 Tr c Oy là đ ng trung tr c c a F1F2và F1,F2

a  b  c

Các đ ng th ng ch a tr c th c và tr c o là các tr c đ i x ng c a (H)

O là tâm đ i x ng c a (H)

1.2.4.Ti p tuy n c a Hypebol

+ Xét đi m M(x0;y0) thu c (H) Khi đó ph ng trinh ti p tuy n c a (H)

t i đi m M là :

x x o2. y y o2. 1

a  b + i u ki n c n và đ đ đ ng th ng Ax+By+C=0 ti p xúc v i ( E) là:

M

Cho m t đi m F c đ nh và m t đ ng th ng  c đ nh không đi qua F

T p h p t t c các đi m M cách đ u F và  đ c g i là đ ng Parabol (hay

y =2px (p>0)

1.3.3.Tâm sai và đ ng chu n c a parabol

-Tâm sai c a parabol là: e=1

- ng chu n c a parabol

:x=-2

p

1.3.4.Ti p tuy n c a parabol(P)

+ Xét đi m M(x 0;y0) thu c (P) Khi đó ph ng trinh ti p tuy n c a (P)

Cho elip (E) có 2 tiêu đi m F 1 và F2, M là 1 đi m n m trên (E) Khi đó

ti p tuy n (d) t i M là đ ng phân giác ngoài c a góc฀

xúc v i 1 đ ng tròn c đ nh (F1)(có tâm F1 bán kính 2a), đ ng th i (M) đi

qua 1 đi m c đ nh F 2 n m ngoài (F1)

Cho Hypebol (H) có 2 tiêu đi m F1 và F2 Khi đó ti p tuy n (d) c a (H) t i

1 đi m M n m trên nó là đ ng phân giác trong c a góc฀

1 2

F MF (Ch ng minh t ng t nh đ i v i elip)

Cho parabol(H) có tiêu đi m F và đ ng chu n  V i m i đi m M n m trên

(E), d ng H là hình chi u c a M trên , khi đó ti p tuy n (d) t i M là đ ng

phân giác trong c a góc HMF฀

O

Do đó MF= EF  MEF cân t i F  MEF฀ =EMF฀

L i có MH฀Ox nên MEF฀ = EMH฀

“màu s c” hình h c gi i tích theo đúng ngh a c a nó Sau đây là 1 s d ng toán:

1.1.Ti p tuy n c a các đ ng conic

Nh n xét: Nh ng bài toán đ c gi i b ng ph ng pháp đ i s th

hi n l i t duy theo ph ng pháp hình h c gi i tích N u chúng đ c

gi i theo ph ng pháp hình h c t ng h p thì s r t r c r i trong vi c

quan sát hình v và bài toán đ a ra c ng không có nhi u d ki n đ

ph c v cho ph ng pháp hình hình h c t ng h p Cho nên trong ph n

này các bài toán đ c đ a ra gi i b ng ph ng pháp đ i s là m t đi u

h p lí

Bài gi i

Bài1 : Cho elip (E): 2 1

2 2

2



 b

y a

x , tr c l n AA '=2a ,hai tiêu đi m là F và F '

V 2 ti p tuy n At và A't’ v i (E). là 1 ti p tuy n di đ ng c a (E), (  At và

 A’t’)

Gi s  c t At và A’t’ t ng ng t i M và M’

1/CMR:Khi  di đ ng thì AM.A’M’=const

2/CMR:Tích các kho ng cách t F và F’ t i  c ng là h ng s

y

M

M’

Ph m V n Gia Trang 23

 đpcm

Nh n xét 1:Trong bài này ta đã s d ng ki n th c v hình h c gi i

tích: đi u ki n ti p xúc c a 1 đ ng th ng v i elip và kho ng cách t 1

đi m t i 1 đ ng th ng…L i gi i b ng ph ng pháp này r t g n và d

hi u và ta nên s d ng ph ng pháp này đ gi i bài toán trên

Nh n xét 2: Có nh ng bài toán mà n u ta s d ng ph ng pháp

hình h c t ng h p thì vi c quan sát và thu nh n ki n th c t hình v r t

khó kh n.Tuy nhiên đ kh c ph c nh ng khi m khuy t y thì trong

nh ng tr ng h p này, ph ng pháp đ i s l i phát huy r t t t vai trò

c a mình Sau đây là 2 ví d minh h a:

Bài gi i

Gi s (E) và (H) có cùng 2 tiêu đi m F và F’ Vì F và F’ trong mi n

gi i h n b i 2 nhánh c a (H) và c ng trong (E) nên hai đ ng cong này c t

nhau t i 4 đi m.Gi s M là 1 trong s 4 đi m đó (v i các giao đi m khác ta

c ng l p lu n t ng t )

G i  là ti p tuy n v i(E) ,thì  là phân giác ngoài c a ฀FMF' G i ’ là

ti p tuy n v i(H) ,thì ’ là phân giác trong c a ฀FMF' Do v y    ' Theo

đ nh ngh a,(E) và (H) tr c giao v i nhau

i u ki n đ đ c ch ng minh

2/ i u ki n c n

Bài 2: Cho elip (E) : 2 1

2 2

2



 b

y a

Gi s (E) và (H) tr c giao v i nhau, G i A( ; x y 0 0 ) =(E)(H)

Khi đó x 0và y0là nghi m c a h sau:

2 (x2; y2) n

y =2px (p>0),M,N,P là 3 đi m n m trên parabol có tung đ

t ng ng là m n p , , Các ti p tuy n v i parabol t i M,N,P đôi m t c t nhau

Tìm qu tích tr c tâm tam giác ABC khi M,N,P di đ ng trên parabol

A:Qu tích c a tr c tâm H là đ ng chu n c a c a parabol đã cho

Bài 2: Cho parabol x2=2py v i tiêu đi m F, d là đ ng th ng b t kì qua F và

c t parabol t i M và N CMR: ti p tuy n t i M và N vuông góc v i nhau

Bài 3:

Trên m t ph ng t a đ cho A(1;0) và B(-1;0).At và Bt’ là 2 tia vuông góc

v i AB và cùng 1 phía đ i v i AB I là đi m c đ nh trên đo n OA M và N

di đ ng trên At và Bt’ sao cho ฀ 90o

MIN 

CMR: MN luôn ti p xúc v i 1 elip c đ nh

1.2.các bƠi toán thi t l p các đ ng conic

Nh n xét: Trong m c này,ta s xét 1 s bài toán tìm qu tích các đi m

2



 b

y a

x ,(a>b) nh n F và F’ làm 2 tiêu đi m,AA’ là tr c l n M là 1 đi m di đ ng trên (E) G i I là tâm đ ng

tròn n i ti p ฀ MFF '

Tìm qu tích c a I

Ph m V n Gia Trang 27

Bài gi i

Gi s M( x y 0; 0 ) n m trên (E) G i I(x 1;y1) là tâm đ ng tròn n i ti p ฀ MFF '

Ta có x 1=OH, đây H là hình chi u c a I lên Ox

2



 b

y a

Gi s M( x y 0; 0 ) n m trên (E) G i H(x H;yH ) là tr c tâm ฀ MAA '

a y b

-N u y 0 0  yH=

2 0 2

Nói tóm l i, qu tích H là toàn b elip cho b i ph ng trình (7) trên

Nh n xét: Nh ng bài toán trên không nên s d ng ph ng pháp hình

h c t ng h p đ gi i b i vì vi c xác đ nh hình d ng c a qu tích trên là

vi c không d dàng, ta khó có th phán đoán ra qu tích c a chúng

M t s bài t p đ ngh :

Bài 1:Cho O là 1 đi m c đ nh trên 1 đ ng th ng d c đ nh ,P,Q theo th t là

các đi m di đ ng trên đ ng tròn (O;a) và (O;b) (a>b),sao cho d là phân giác

trong c aPOQ฀ .Xét đi m M sao cho OM OP OQ 

Tìm qu tích đi m M

Bài 2 (Bài toán Sal )

Cho elip 2 1

2 2

2



 b

y a

x

,tâm O, F và F’ là 2 tiêu đi m ,a>b.M là 1 đi m di đ ng

trên elip , là đ ng th ng qua M và vuông góc v i ti p tuy n t i M

ng th ng qua M vuông góc v i Ox c t đ ng tròn chính (O;a) t i C và D ,

 c t các đ ng th ng OC và OD I và J

Khi M di đ ng ,tìm qu tích c a I và J

1.3 M t s bƠi toán gi i tích khác

Bài gi i

1/ K MPOx=P Ta có OP=OF +FP= c+ FM.cos (1)

Gi s M( x y 0; 0 ) n m trên (E).Vì OP=x0 và FM=a- ex0 nên ta có

2



 b

y a

x , (a>b) nh n F(c;0) và

F’ (-c;0) làm 2 tiêu đi m,AA’ là tr c l n.M là 1 đi m di đ ng trên (E),g i 

là góc c a FM t o v i chi u d ng c a tr c Ox.FM c t elip t i M’

1/ Tính đ dài MF theo ,a,b,c

2/ CMR: 1 1

'

FM  F M = const

3/Tìm  đ MM’ đ t giá tr nh nh t

M t s bài t p đ ngh :

Bài 1:Trên m t ph ng t a đ v i h tr c t a đ Oxy,cho elip (E) có ph ng

trình 2 1

2 2

M( x y0; 0)là m t đi m di đ ng trên (E).Pháp tuy n MN t i M

c t Ox t i N I là chân đ ng vuông góc h t N lên bán kính MF

CMR:MI có đ dài không đ i

Bài 2:Cho hypebol (H)

2 2

2 2 1 3

a  a  , đ nh A thu c nhánh (F) bên ph i (H) và

F’thu c nhánh (F’) bên trái M t đ ng tròn di đ ng qua A và F’ c t (H) t i

M,N,P CMR: Tam giác MNP đ u

Bài 3:Cho tam giác ABC c đ nh và 1 hypebol vuông góc bi n đ i luôn đi qua

A,B,C Tìm qu tích tâm O c a hypebol vuông góc đó

Bài 4: (Bài toán Euler)

Cho tam giác ABC ,H là tr c tâm c a tam giác Tìm qu tích tâm các hypebol

vuông góc đi qua 3 trong 4 đi m A,B,C,H

2 Ph ng pháp hình h c t ng h p i v i các đ ng conic

N u nh ph ng pháp đ i s thu n túy th hi n s c m nh n i t i c a môn

hình h c gi i tích và l i t duy ki u hình h c gi i tích thì nh ng l i gi i b ng

ph ng pháp hình h c t ng h p( có k t h p v i ph ng pháp đ i sô) giúp ta có

m t ph ng pháp khác đ hi u thêm b n ch t hình h c c a bài toán

Trong ph n này, ta s xét các d ng bài toán mà s d ng nhi u đ n các tính

ch t hình h c c a 3 đ ng conic.C th là s d ng đ n các đ nh ngh a c a

đ ng conic, hay s d ng tính ch t hình h c c a các ti p tuy n c a chúng,nó

mang n ng “màu s c” hình h c ph ng h n là hình h c gi i tích Sau đây là 1

Bài1: Cho elip (E) v i 2 tiêu đi m F và F’.M là 1 đi m di đ ng trên(E)

G i là ti p tuy n c a (E) t i M O là tâm c a elip

1/ Qua O v đ ng th ng  ฀ .Gi s P và P t ng ng là giao

đi m c a MF và MF’ v i .CMR: FP= F’P’

2/Qua O v đ ng th ng d฀MF’.Gi s d = P 1.Hãy tìm qu tích P 1

khi M thay đ i

Ph m V n Gia Trang 33

1/ K FI và F’I’ vuông góc v i  Do OF=OF’ nên FI=F’I’

Vì  là ti p tuy n c a (E) nên nó là phân giác ngoài c a ฀' F MF  M฀1= M฀2 (1)

Do  ฀  nên t (1) suy ra F P I ฀' ' '=฀FPI  ฀ F P I ' ' '=฀ FPI (g.c.g)

ra Nó t ra có hi u qu trong vi c gi i bài toán trên.N u bài này s

d ng ph ng pháp đ i s thì công vi c bi u di n các đ i l ng trong bài

a  b  v i 2 tiêu đi m F và F’.M là 1 đi m di

đ ng trên(H) G i là ti p tuy n c a (H) t i M O là tâm c a hypebol

1/ Qua O v đ ng th ng  ฀ .Gi s P và P t ng ng là giao đi m c a

MF và MF’ v i .CMR: FP= F’P’

2/Qua O v đ ng th ng d฀MF’.Gi s d =Q.Hãy tìm qu tích Q khi M

Bài gi i

Do vai trò bình đ ng nên trong su t bài này ta có th luôn cho r ng M n m

trên nhánh ch a F’ c a hypebol (H) N u M n m trên nhánh kia thì lí lu n

Vì  là ti p tuy n c a (H) nên nó là phân giác trong c a F MF ฀'  M฀1= M฀2

L i do FE =N nên ฀ MEFcân t i M ME= MF và NE=NF (3)

Ta có ON là đ ng trung bình c a฀ MEF nên ON=1

1/Do vai trò bình đ ng nên trong su t ph n này ta có th luôn cho r ng M

n m trên nhánh ch a F’ c a hypebol (H) N u M n m trên nhánh kia thì lí

2/Cho parabol (P) v i tiêu đi m F và đ ng chu n d.M là m t đi m di đ ng

trên(P) ,và là ti p tuy n v i (P) t i M G i F’ là nh c a F qua phép đ i

x ng truc

CMR:a/F’ chính là hình chi u c a M lên d

b/Hình chi u c a F lên thu c Oy

Ph m V n Gia Trang 37

Vì  là ti p tuy n c a (H) nên nó là phân giác trong c a ฀' F MF  M฀1= M฀2

G i F 01 là giao đi m c a đ ng th ng vuông góc  k t F v i MF’( H là

Vì  là ti p tuy n c a (P) nên nó là phân giác trong c a ฀HMF

Mà M(P) nên theo đ nh ngh a:MH=MF

F

1 01

F  F