Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf - lax - oleinik cho nghiệm nhớt

HàNội, tháng05năm2007 SinhviênThânVăn Tài... 5 Mộtsốbấtđẳngthức……… ………...11 Chương2:Nghiệmnhớtcủaphươngtrìnhđạohàmriêngcấpmột… 122... MộtbàitoỏnphươngtrỡnhviphõnĐHR,nếucúýnghĩathựctiễnth

HàNội, tháng05năm2007

SinhviênThânVăn Tài

Emxincamđoanbàikhoáluậnđượchoànthànhlàdosựcốgắngnỗlựctìmhiểu,nghiêncứuc ủ a bảnthâncùngvớis ự hướngdẫn,chỉbảohếtsứcnhiệttìnhcủathầygiáoh

ướngdẫn:Th.S

TrầnVănBằngcũngnhưcácthầy,c ô trongtổToánGiảitíchcủatrườngĐHSPHàNộ

i2.Vàđâycũnglàmộtđ ề tàikhôngtrùngvớicácđềtàicủacáctácgiảkhác

Emrấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủaquýthầy,côvàcácbạnsinhviênđểbảnkhoáluậnđượchoànthiệnhơn

HàNội,tháng05năm2007SinhviênThânVănTài

Lờicảmơn……… 1

Lờicamđoan ……… 2

Mụclục………

3Lờinóiđầu ……….4Chương1:Các kýhiệuvàkiếnthứcmởđầu……… 61.1Kýhiệu………

……….6

1.2 Kiếnthứcvềgiảitíchthực………8

1.3 Kiếnthứcvềgiảitíchhàm……… 9

1.4 KiếnthứcvềlýthuyếtTôpô-Độđo-Tíchphân……… 101 5 Mộtsốbấtđẳngthức………

……… 11

Chương2:Nghiệmnhớtcủaphươngtrìnhđạohàmriêngcấpmột… 122 1Mởđầu……… 12

2.2Kháiniệmnghiệmnhớt……… 13

2.3Tínhduynhấtcủanghiệmnhớt……… 18

2.4CáccôngthứcHopf-Lax.………23

Chương3:CôngthứckiểuHopf-Lax-Oleinikchonghiệmnhớt……….29

3.1 Cáckýhiệuthườngdùng………29

3.2 CôngthứcHopf-Laxcổđiển……….30

3.3 Hamiltonianlồivàphụthuộcvàou……… 32

3.4 Hamiltonianphụthuộcuvà dữkiệnbanđầutựalồi………

34K ế t luận……… 43Tàiliệuthamkhảo……….4 4

Lờinói đầu

1 LíDOCHỌNĐỀTÀI

Nhưtađ óbiếtphươngtrỡnhviphõnĐHRnúichungvàphươngtrỡnhphituyếnnúiriờngcúứngdụngrấtrộngróitrongthựctế.Cúrấtnhiềulĩnhv ựcnghiờncứuhiệnđạimàtrongđóphươngtrỡnhviphõnĐHRđóngmộtv a i trũhếts ứcquantrọngnhư:lýth

uyếtbiểudiễnnhúmnhiềuc h i ề u ,lýthuyếttrườnglượngtử,lýthuyếtcỏckhụnggian

thuầnnhấtvàvậtlýtoỏn.

Mặcd ựđóđượcđ ề cậpt ừrấtlõu(khoảngthếk ỷ1 8 và1 9 ) , nhưnglýthuyếtcỏcphươngtrỡnhphituyếnchođếnnaycơbảnvẫnchưađượchoànthiện.Từđầuthếkỷ20đếnnaydonhucầunghiờnc ứumộtcỏchchặtchẽnhữngphươngtrỡnhviphõnĐHRđó

kớchthớchsựphỏttriểncỏcphươngphỏpcơbảncủaGiảitớchthực,Giảitớchhàmvà

Tụpụ.

MộtbàitoỏnphươngtrỡnhviphõnĐHR,nếucúýnghĩathựctiễnthỡchắcchắncúnghiệm,vấnđềlà

nghiệmđóhiểutheonghĩanàomàthụi.CúrấtnhiềuphươngtrỡnhviphõnĐHRmàtanghiờncứu,đặcbiệtlàphươngtrỡnhphituyếnđềukhụngcúnghiệmcổđiển.Vấnđềđặtr

alàtacốgắngxõydựnglýthuyếtcỏcnghiệmsuyrộnghoặcnghiệmyếucủachỳng,vàđ ặcbiệtlàtớnhduynhấtnghiệm(donhucầuứngdụngthựctế).

hớtcủaphương Lax-

trỡnhđạohàmriêngcấpmộtvàcụngthứckiểuHopf-Oleinikc h o n g h i ệ m n h ớ t ” đ â yl à mộtphầnnhỏc ủalýthuyếtphươngtrỡn

hviphõnĐHR

2 NỘIDUNGĐỀTÀI

Trongkhuụnkhổthờigiancúhạnnờnkhoỏluậncủaemchủyếuđisõuvàomộtsốnộidungchớnhsau:

Chương1:“Kýhiệuvàkiếnthứcmởđầu”.Nhằmmụcđíchcungcấpchongườ

iđọcnhữngkýhiệuthườngdựngvàcỏckiếnthứccúliờnquanđểtiệntheodừicỏcphầntiếptheo

Chương2:“Nghiệmnhớtcủaphương trỡnh đạo hàmriờng cấpmột”.Tas ẽđ ề cậpđếnkhỏin i ệmn g h i ệmn h ớtv à cụngt h ứckiểuHopf-

Laxcủachỳng,cựngc ỏcướclượngcủanghiệmtrongtrườnghợpkhụngcổđ iển.ChươngnàytasẽđưaramộtcỏinhỡntổngquỏtvềtớnhduynhấtcủanghiệmyếuvàcụngthứcHopf-LaxchotrườnghợpcỏcHamiltonianlàlồi(dữkiệnbanđầulàlồi)

Chương3:“Cụngt h ứ c

racỏckýhiệuchungthườngdựngchocỏcphầntiếptheo.Phần2nhằmthiếtlậpcụngthứckiểuHopf-Lax-Oleinikchonghiệmn h ớtvớiphươngtrỡnhHamilton-

Jacobitrongt r ườnghợpHamiltoniankhụngphụthuộcvàoẩnhàmvàhàmbanđầukhụngnhấtthiếtliờntụcđều.Phần3thựchiệncụngviệctươngtựnhưngđốivớiHamiltonianlồivàphụthuộcvàoẩnhàmcựnggradienttheocỏcbiếnkhụnggiancủanú.Phần4Hamiltoniansẽchứabiếnthờigianvàẩnhàmcựngvớigradienttheoc ỏcbiếnkhụnggiancủanú

 thườngđượckýhiệu

(x,t)(x1,x2,

,x n ,t)

1.1.2 Kýhiệucỏchàmsố

Lipu:

sup

x,yU ,xy

x i

3u

(iii) Tươngtự x

x i x j ,

xx

x i x j x k ,

|ul à đođượcLebesgue,

u L(

U)

 ,

m

n

x nx

1.4.1 Khỏiniệmhầukhắpnơi

Chomộtkhụnggianđộđo(X,M,),AM.Tanúimộttớnhchất(T)nàođóxẩyrahầukhắpnơitrờnA(viếttắth.k.n)nếutồntạimộttậphợpBMsaochoB

A,

(B)0vàtạimỗiđiểm

xA\Bđềucútớnhchất(T)

A k k1

f 

 U udx

U

f(u)dx.

làtrungbỡnhcủau trờnU.

tuyếntớnhmàtađóbiếtnúcúnghiệmtrơn.Thừasốtrong(2.2)làtỏcnhõn

mthửvn h ưsau:

lànghiệmcủabài



0,(t

đạtcực đạiđịaphươngtại (t0,x0),thỡtađược(2.6)

BõygiờchỳngtasẽđưarađịnhnghĩanghiệmnhớtcủabàitoỏnCauchyđốivớiphươngtrỡnhHamilton-Jacobidạngđơngiản:

u tH(x,Du)

u(0,x)

f(x) trờnt0n (2.8)

Tiếptheotachứngtỏmộtnghiệmnhớtđủtrơnlànghiệmcổđiển Đểcó

ulàmộtnghiệmnhớtcủa(2.16),vC1 0,Tn

và u–v đạtcựcđại(cựutiểu)địaphươngtạiđiểmt0,x00,T Khiđó

v t (t0,x0)H(x0,Dv(t0,x0))

0

Ởđâytacúthểxộtt0T.

nh lí2.3 1

Vớig i ảthiết(2.18),bàitoỏnCauchy(2.16)c ú khụngquỏmộtnghiệmnhớt.

Chứngminh

(2.25)vàđiềukiệnb a n đầu.Nờnt a cúthểl ấyđượckếtquảsau

x y u(t,x)mintL

H(p)

p n

(qn ).TasẽchứngminhcụngthứcHopf-

y n ts 

Đị

nh lí 2.4.1(C ụngthứcHopf-Laxxỏcđịnhnghiệmnhớt)

Giảthiếtthờmrằngflàhàmbịchặn.KhiđónghiệmnhớtduynhấtcủabàitoỏnCauch y(2.30)đượcxỏcđịnhbởicụngthức(2.31).

v t (t0,x0)H(Dv(t0,x0))0. (2.37)Giảsử(2.37)sai, nghĩalàtacú

v t (t0,x0)H(Dv(t0,x0))0với 0vàvớimọiđiểm(t,x)đủgầ

x0x1u(t0,x0)kL

(

k

)u(t0 k ,x1)

k

Khiđó(2.39)lạichota

)k.

, y()M tađặt

t x(t):x  y(s)ds

Khiđóuˆ

0

lànghiệmnhớtliờntục đềuduynhấtcủa(2.42).

Chứngminh

với

y()Mt 0

(y,z)ty.zt H(y)

Theobổđề2.4.3tacú

f(xtz).

racỏccụngthức,địnhnghĩa,địnhlý,bổđề,hệquảvàchỳýđểtỡmhiểuvềcụngthứckiểuHopf-Lax-Oleinikchonghiệmnhớt

U:(0,T)

n dođó U0,Tnvớicácsốchotrước a,b,r0,N

W),

W

mở,bịchặnsaocho WD,

D) :v

liêntụcđềutrongliờntụcđềutrong

nh lý 3.2.1

GiảthiếtHlàlồivàđốihữuhạn,fliờntục.Hơnnữa,giảsửrằngvớimỗi

0r ,tồntạimộtsốNsaocho

f (x)x

(t,x)(0,T)B(0;r)

x2,

 1

L:(,+)2

sup

sup

p,x p,x p,x

p i

1,

Vớic

ỏcgiảthiết(i)-(iii).Khiđóhàmu(t,x)x (3.17).

( t,x) n, pS(0;1).Gọi S0làtậpchỉsốtácđộng tại (t0,x0)U,tứclàtậpcỏcchỉsố pS(

liờntụcđềutrờn 01,01S(

0;1),dẫnđếnhọ

0

(G(,p)) p1liờntụcđồngbậctrong  01,0

1.Theobổđề3.4.2,họ

 0 0

Khoáluậnđượctrìnhbàyv ớinhữngc ốgắngbướcđầunhằmđ ạ t đượcnhữngmụcđíchvàyêucầusau:

1 Trỡnhbàycú hệthốngcáckýhiệuvàkiếnthứccơbảncủagiảitích

2 Mộtmặtcungcấpchobạnđọckhỏiniệmnghiệmnhớttrờncơs ởkỹthuậtcủaphươngphỏptriệttiờuđộnhớt.MặtkhỏckhẳngđịnhlạimộtlầnnữatớnhduynhấtnghiệmcủaphươngtrỡnhviphõnĐHR

3 Đưar a cỏcĐịnhnghĩa,Địnhl ý,Cụngthức, vv.TươngứngvớitừngtrườnghợpcủaHamiltoniantrongphươngtrỡnhviphõnĐHR

Trongkhuụnkhổthờigiancúhạn,nănglựccủabảnthõncũnnhiềuhạnc h ếvàcũnglàlầnđầutiờnemlàmquenvớiviệcnghiờncứukhoahọcnờnb à i khoỏluậnkhútrỏnhkhỏisaisút.Emkớnhmongquýthầy,cụvàcỏcbạnsinhviờnđónggúpýkiếnchobàikhoỏluậncủaemthờmhoànchỉnh

Mộtlầnnữaemxinbàytỏlũngbiếtơnsõusắccủamỡnhtớithầygiỏohướngdẫn:

T h S TrầnVănBằngcựngtoànthểcỏcthầy,cụtrongkhoaToỏntrườngĐHSPHàN

ội2đónhiệttỡnhgiỳpđỡvàtạođiềukiệntốtnhấtchoemhoànthànhbàikhoỏluậnnày

Emxinchânthànhcảmơn !