Luận văn sư phạm Phương trình nghiệm nguyên

Ph ng trình nghi m nguyên..... Ph ng trình nghi m nguyên.. tho mƣn ph ng trình đó... nh n các giá tr nguyên.

hƠ n i - 2010

L i c m n

hoƠn thƠnh đ tƠi nƠy em đƣ nh n đ c s giúp đ t n tình c a các

th y cô giáo, cùng các b n sinh viên khoa toán tr ng i H c S Ph m HƠ

N i 2, đ c bi t lƠ cô giáo D ng Th Luy n, ng i tr c ti p h ng d n em

lƠm đ tƠi nƠy

Em xin g i l i c m n sơu s c, chơn thƠnh t i cô giáo D ng Th Luy n, các th y cô vƠ các b n sinh viên khoa toán tr ng i H c S Ph m

HƠ N i 2 đƣ giúp đ em hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy

Tuy đƣ r t c g ng song ch c ch n đ tƠi v n không tránh kh i còn có

nh ng thi u sót, chính vì v y em r t mong đ c s góp ý c a các th y cô, các

b n sinh viên vƠ các b n đ c đ đ tƠi nƠy đ c hoƠn thi n h n n a

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên th c hi n Nguy n Th H ng H nh

L i cam đoan

Em xin cam đoan : Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a quá trình h c

t p, nghiên c u n l c c a em cùng v i s giúp đ c a các th y cô , các b n sinh viên khoa toán tr ng i H c S Ph m HƠ N i 2, đ c bi t lƠ s h ng

d n t n tình c a cô giáo D ng Th Luy n Trong quá trình lƠm khoá lu n

em có tham kh o nh ng tƠi li u có liên quan đƣ đ c h th ng trong m c tƠi

M c l c

Trang

Ph n I M đ u 5

1 Lí do ch n đ tƠi 5

2 M c đích, yêu c u c a đ tƠi 5

3 i t ng, ph m vi nghiên c u 5

4 Nhi m v nghiên c u 6

5 Ph ng pháp nghiên c u 6

Ph n II N i dung 7

Ch ng 1 các khái ni m c b n 7

1.1 Tính chia h t trong t p s nguyên 7

1.2 c chung l n nh t vƠ b i chung nh nh t 7

1.3 ng d 8

1.4 VƠi đ nh lí c b n c a s h c 9

1.5 Thu t toán clit 10

1.6 Ph ng trình nghi m nguyên 10

1.7 Liên phơn s 11

1.8 Công th c t ng quát c a dƣy đ c bi t 14

Ch ng 2 Ph ng trình iôph ng 16

2.1 Ph ng trình b c nh t hai n 16

2.2 Ph ng trình b c nh t nhi u n 24

Ch ng 3 Ph ng trình Pell 27

3.1 Ph ng trình Pell lo i I 27

3.2 Ph ng trình Pell lo i II 33

Ch ng 4 Ph ng trình Pitago 42

4.1 Gi i ph ng trình Pitago 42

4.2 M t vƠi tính ch t c a b ba Pitago nguyên th y 45

4.3 Ví d s d ng b s Pitago 45

Ch ng 5 Ph ng trình Fermat 50

5.1. ch ng minh đ nh lí l n Fermat v i n = 4 50

5.2. L ch s v ch ng minh đ nh lí l n Fermat 54

Ch ng 6 Ph ng trình đ ng d m t n 57

6.1 Các khái ni m 57

6.2 Ph ng trình b c nh t ax b ( mod m) 57

6.3 Ph ng trình đ ng d f(x) 0 ( mod m) 60

K t lu n 66

TƠi li u tham kh o 67

Ph n I m đ u

1 Lí do ch n đ tƠi

Toán h c lƠ m t trong nh ng ngƠnh khoa h c ra đ i s m nh t, vƠ s h c

lƠ m t trong nh ng n n t ng cho s ra đ i toán h c M t khác ph ng trình nghi m nguyên lƠ đ tƠi lí thú c a s h c, nó đƣ lôi cu n nhi u đ c gi nghiên

c u, trong l ch s toán h c đƣ có r t nhi u nhƠ toán h c l n nghiên c u v

v n đ nƠy nh iôph ng hay Fermat v i nh lí l n Fermat lƠ bƠi toán đ các nhƠ toán h c nghiên c u, tìm tòi cách gi i su t h n ba th k

Tuy nhiên trong ch ng trình ph thông hi n nay ph ng trình nghi m nguyên ch a đ c dƠnh nhi u th i gian c ng vì th mƠ h c sinh th ng r t lúng túng khi gi i các bƠi toán v ph ng trình nghi m nguyên, đ c bi t lƠ trong các kì thi h c sinh gi i

Ph n l n ph ng trình nghi m nguyên không có cách gi i t ng quát

M i bƠi toán, đòi h i có cách gi i quy t v n đ riêng, có m t cách gi i riêng phù h p Do đó đòi h i các em h c sinh ph i t duy, sáng t o trong vi c gi i

ph ng trình nghi m nguyên Song v n có m t s ph ng trình nghi m nguyên có các cách gi i riêng : ph ng trình b c nh t m t n, ph ng trình Pitago, ph ng trình Pell, nh ng chúng ch a đ c h th ng m t cách đ y

đ , rõ rƠng

V i nh ng lí do trên em đƣ ch n đ tƠi ph ng trình nghi m nguyên

2 M c đích, yêu c u c a đ tƠi

tƠi nh m h th ng đ y đ vƠ chính xác các cách gi i c a m t s

ph ng trình nghi m nguyên: Ph ng trình iôph ng( b c nh t hai n vƠ b c

nh t nhi u n), ph ng trình Pell ( lo i I vƠ lo i II), ph ng trình Pitago,

ph ng trình Fermat, ph ng trình đ ng d m t n

3 i t ng, ph m vi nghiên c u

i t ng nghiên c u: Ph ng trình nghi m nguyên

Ph n II N i dung

Ch ng 1 Các khái ni m c b n

1.1 Tính chia h t trong t p s nguyên

nh ngh a 1 Gi s a vƠ b lƠ 2 s nguyên Ta nói b chia h t a hay a

chia h t cho b n u nh có s nguyên q sao cho a = bq Khi y ta còn nói b lƠ

c c a a hay a lƠ b i c a b vƠ vi t b a hay a b

nh ngh a 2 M t s t nhiên p > 1 đ c g i lƠ s nguyên t n u nó

1.2 c chung l n nh t ( CLN) vƠ b i chung nh nh t (BCNN),

nh ngh a 3 a) M t s nguyên d đ c g i lƠ c chung c a các s

nguyên a1, a2, ,ann u d lƠ c c a m i s nguyên đó

b) M t c chung d c a các s nguyên a1, a2, ,an sao cho m i c chung

c a a1, a2, ,an đ u lƠ c c a d , đ c g i lƠ c chung l n nh t c a các s

đó Kí hi u d = (a1, a2, ,an)

c) Các s nguyên a1, a2, ,an đ c g i lƠ nguyên t cùng nhau n u c chung

l n nh t c a chúng b ng m t

nh ngh a 4 a) Gi s a1, a2, ,an lƠ nh ng s nguyên khác 0 S nguyên b đ c g i lƠ b i chung c a a1, a2, ,an n u b lƠ b i c a m i s nguyên đó

b) M t b i chung m c a các s nguyên khác không a1, a2, ,an sao cho m i

b i chung c a a1, a2, ,an đ u lƠ b i c a m, g i lƠ b i chung nh nh t c a các s đó Kí hi u : m = [a1, a2, ,an]

*) Các tính ch t c b n c a CLN và BCNN

1) V i 2 s nguyên d ng a, b ta có : (a,b)[a,b] = ab

2) Cho m ≠ 0 ta có (ma1,ma2, ,man) = m(a1,a2, ,an)

[ma1,ma2, ,man] = m[a1,a2, ,an]

3) V i m i s nguyên a, b luôn t n t i các s nguyên r, s sao cho

nh ngh a 5 Cho m lƠ m t s nguyên d ng Ta nói hai s nguyên a vƠ

b đ ng d v i nhau theo môđun m n u trong các phép chia a vƠ b cho m ta

a b (mod m1), a b (mod m2), , a b (mod mk) thì ta có

a b (mod m) v i m = [m1, m2, , mk]

nh ngh a 6 T p th ng c a t p h p các s nguyên Z trên quan h đ ng d

theo môđun m đ c g i lƠ t p h p các l p th ng d môđun m vƠ kí hi u lƠ

Zm.M i ph n t c a Zmg i lƠ m t l p th ng d môđun m

N u A  ZmvƠ a lƠ m t s nguyên thu c A thì ta còn kí hi u :

A = a(mod m)

nh ngh a 7 Cho m lƠ m t s nguyên d ng T p h p H g m nh ng s

nguyên l y ra m i l p th ng d c a Zm m t vƠ ch m t s đ c g i lƠ m t

h th ng d đ y đ môđun m

VD: V i m = 7 ta có {0,1,2,3,4,5,6} lƠ m t h th ng d đ y đ môđun 7

1.4.VƠi đ nh lí c b n c a s h c

1.4.1 nh lí c b n c a s h c.( nh lí c b n v s nguyên t )

Cho n lƠ s nguyên d ng (n>1) Khi đó n luôn có th bi u di n đ c

m t cách duy nh t ( không tính đ n vi c s p x p th t các nhơn t ) d i

Cho m lƠ s t nhiên khác 0 vƠ a lƠ m t s nguyên nguyên t v i m Khi

đó ta có : a (m) 1 ( mod m)

(m) lƠ s các s nguyên d ng nh h n m vƠ nguyên t v i m

1.5.Thu t toán clit

Nh v y , CLN c a hai s a vƠ b lƠ s d cu i cùng khác 0 trong thu t toán clit th c hi n trên a vƠ b

1.6 Ph ng trình nghi m nguyên

Gi i ph ng tình ch a các n x, y, z, v i nghi m nguyên lƠ tìm t t c các b s nguyên (x, y , z ) tho mƣn ph ng trình đó

Khi gi i ph ng trình nghi m nguyên do ph i l i d ng các tính ch t c a t p

h p Z nên ngoƠi vi c bi n đ i t ng đ ng , ta còn dùng đ n các bi n đ i mƠ giá tr c a n ch tho mƣn đi u ki n c n c a nghi m Trong tr ng h p nƠy

ta c n ki m tra l i các giá tr đó b ng cách th tr c ti p vƠo ph ng trình đƣ

cho

M t ph ng trình nghi m nguyên có th vô nghi m, có h h n nghi m,

có vô s nghi m Trong tr ng h p có vô s nghi m nguyên, các nghi m nguyên c a ph ng trình th ng đ c bi u th b ng công th c có ch a tham

1

1 1 1 1

Trong đó aolƠ s nguyên, a1, a2, , an lƠ các s nguyên d ng vƠ an > 1 S

n g i lƠ đ dƠi c a liên phơn s Kí hi u liên phơn s (1) d i d ng

[ao;a1,a2, ,an]

1.7.2 nh ngh a liên phơn s vô h n

M t liên phơn s vô h n lƠ m t bi u th c có d ng

1

2 3

1

1 1 1 1

1

o

n

n

a a a a

Trong đó ao, a1, a2, lƠ dƣy vô h n các s nguyên v i ai > 0 ,i >0,

i N

1.7.3 nh ngh a gi n phơn

Cho liên phơn s [ao;a1,a2, ,an,…] h u h n ho c vô h n

Xét bi u th c:

1

2 3

1

1 1 1 1

Phân s nƠy đ c g i lƠ gi n phơn c p k c a liên phơn s đƣ cho

*) Công th c tính gi n phơn

Cho liên phơn s [ao;a1,a2, ,an,…] h u h n ho c vô h n

Gi s hai dƣy s nguyên d ng Po, P1, , Pn và Qo, Q1, , Qn đ c xác

Liên phơn s vô h n [ao;a1,a2, ] đ c g i lƠ tu n hoƠn, n u dƣy {an} là

tu n hoƠn k t m t ch s nƠo đó T c lƠ : t n t i các s nguyên d ng N vƠ

k sao cho an = a n + kv i m i s nguyên d ng n ≥ N

d ng m t liên phơn s vô h n

Tính ch t 4 S vô t có th bi u di n liên phơn s tu n hoƠn khi vƠ

ch khi nó lƠ s vô t b c hai

Chú ý 1: N u lƠ s vô t b c hai thì nó có th bi u di n d i d ng

Gi s = o = o

o

P dQ



và (d – P o

2)  Qo

t ao= [ o]

P1 = aoQo– Po , Q1 =

2 1 o

d PQ



, 1 = 1

1

P dQ

k = k

k

P dQ

1.8 Công th c t ng quát c a dƣy đ c bi t

Bài toán : Cho a,b,p,q tho mƣn p2+ 4q ≥ 0

Dƣy s {un} xác đ nh nh sau : u1 = a, u2 = b, un + 2 = pun + 1 + qun , n = 1,2, Hãy tìm công th c t ng quát un

Gi i

+ Tr c h t ta ch ra n u t n t i dƣy trên thì nó lƠ duy nh t

Th t v y, gi s có 2 dƣy (un) vƠ (u’n) tho mƣn đ bƠi Khi đó u1 = u1’ = a, u2

= u2’ = b vì th theo công th c trong bƠi suy ra u3 = u3’, u4 = u4’, ,un = un’

V y dƣy s trên t n t i lƠ duy nh t

+ Bơy gi xét ph ng trình b c hai x2 – px – q = 0, Ä = p2 + 4q ≥ 0 nên

ph ng trình có 2 nghi m lƠ x1, x2

Gi s r ng vn= x1

n + õx2 n , xét vn+2= x1

n+2 + õx2 n+2 (*)

M t khác ta có pvn+1 + qvn= p( x1

n+1 + õx2 n+1) + q( x1

n + õx2 n) (**)

x1, x2lƠ nghi m c a ph ng trình x2– px – q = 0 nên ta có :

CH NG 2 PH NG TRình đIÔPH NG

Ph ng trình iôph ng lƠ ph ng trình có d ng f(x,y,z, )= 0 Trong

đó v trái c a nó lƠ m t đa th c v i h s nguyên vƠ các n x,y,z, nh n các giá tr nguyên đơy ta ch xét ph ng trình iôph ng b c nh t

2.1.Ph ng trình b c nh t hai n.(ph ng trình vô d nh)

LƠ ph ng trình có d ng ax + by = c (1) trong đó a,b,c lƠ các s nguyên, a

vƠ b đ ng th i khác 0 ,x vƠ y lƠ các s nguyên c n tìm

Do d =(a,b) nên t n t i x1,y1thu c Z sao cho ax1+ by1 = d (5)

T (4) vƠ (5) ta có c = (ax1 + by1)c1  c = a(c1x1) + b(c1y1)

Suy ra (c1x1,c1y1) lƠ nghi m nguyên c a (1)

H qu : N u (a,b) = 1 thì ph ng trình (1) luôn có nghi m nguyên

- Tách riêng giá tr nguyên bi u th c c a x

- t đi u ki n đ phơn s trong bi u th c c a x b ng m t s nguyên t1

ta đ c ph ng trình b c nh t hai n theo y vƠ t1

- C ti p t c lƠm nh trên cho đ n khi các n đ u đ c bi u th d i

d ng m t đa th c v i các h s nguyên

Th c ch t c a cách gi i nƠy lƠ thay vi c tìm nghi m nguyên c a ph ng trình

ax +by =c b i gi i các ph ng trình a1x + b1y = c1, a2x+ b2y = c2, trong đó các h s a1,a2, ;b1,b2, có giá tr tuy t đ i nh d n cho đ n khi có m t h s

6 64 3

y = 8 – 3 + 8t + 3t = 5 + 11t

Thay các bi u th c c a x vƠ y vƠo (1) ta đ c nghi m đúng

V y các nghi m c a (1) đ c bi u th b i công th c:

Cách 2: Tìm m t nghi m riêng r i suy ra nghi m t ng quát

nh lý N u (xo,yo) lƠ m t nghi m nguyên c a ph ng trình ax + by = c (1)

thì nó có vô s nghi m vƠ t p h p t t c các nghi m (x,y) c a nó đ c xác

V y m i nghi m (x,y) c a ph ng trình (1) đ u có d ng (I)

Chú ý: (xo,yo) g i lƠ nghi m riêng c a (1)

H (I) g i lƠ nghi m t ng quát c a (1)

Nghi m t ng quát c a (1) còn đ c bi u th d i d ng sau :

ngay nghi m riêng c a nó

2) Dùng thu t toán clit m r ng đ tìm x1 , y 1 : d a vƠo m c 2.1.1 ta

th y ph ng trình (1) luôn có nghi m (c1x1,c1y1) trong đó d =(a,b),c = dc1,

ax1+by1 = d

Nh v y ta s d ng thu t toán clit m r ng đ tìm x1,y1 sao cho

ax1+by1=d

T đó s tìm đ c nghi m riêng c a (1) là (c1x1,c1y1)

3)Dùng liên phân s , đi u ki n (a,b) = 1

Ta có n u (xo,yo) lƠ nghi m riêng c a ph ng trình ax + by = 1,thì

(cxo,cyo) lƠ nghi m riêng c a ph ng trình ax + by = c

Bơy gi ta dùng liên phơn s đ tìm 1 nghi m riêng c a ph ng trình (1)

Ta bi u di n ab thƠnh liên phơn s h u h n ab = [ao ; a1,a2, , an]

G i Cn-1 = 1

1

n n

PQ

Do đó nghi m t ng quát c a (1) lƠ :

Ta tìm x1,y1 sao cho 20x1 + 132y1 = 4

T thu t toán trên ta có : 4 = 12 – 8

N u m ≠ 3t thì (3,m) = 1 , d th y (1) có 1 nghi m riêng lƠ:

xo = m + 1, yo = -3 nên nghi m t ng quát c a (1) lƠ

l n gi m s n nh v y ta l i gi i ph ng trình b c nh t hai n ( nh ng ph i qua tham s ) Nên ta đ c h nghi m ph thu c vƠo n – 1 tham s

Do (a’n-1,a’n) = 1 nên theo h qu m c 2.1.1 suy ra (5) luôn có nghi m nguyên

ch ng h n (x’n-1,x’n) Khi đó rõ rƠng (x’1,x’2, ,x’n-2,x’n-1,x’n) lƠ nghi m nguyên c a (1)

Ta có th k t lu n r ng m i nghi m nguyên c a (1) đ u lƠ nghi m c a (4) v i

Vì t = 3y + 4z nên t (1) ta có 2x + t = 5 , ph ng trình nƠy có 1 nghi m riêng

lƠ (0,5) nên nghi m t ng quát c a nó lƠ :

Do z, t nguyên nên

2

ut = s1 , s1  Z => u – t = 2s1 hay t = u – 2s1

Bơy gi xét ph ng trình 2x + v = 5 ta có (0,5) lƠ 1 nghi m riêng c a ph ng

trình nên nghi m t ng quát c a nó lƠ :

x  dy  n (1) Trong đó d, n lƠ các s nguyên c đ nh

+ Khi d < 0 vƠ n < 0 thì ph ng trình vô nghi m

+ Khi d < 0 vƠ n > 0 thì ph ng trình ch có h u h n nghi m vì t (1) ta có

Trong đó a, b lƠ các s nguyên sao cho n = a.b Tr ng h p nƠy (1) có h u

h n nghi m vì ng v i m i cách phơn tích n = a.b thì h trên ch có nhi u nh t

lƠ 1 nghi m nguyên

Sau đơy ta ch xét ph ng trình (1) v i d nguyên d ng , d không lƠ s chính ph ng vƠ n = ± 1

d PQ

P dQ

Ch ng minh

Theo tính ch t c a liên phơn s , ta có :

1 1

1 1

k k k o

k

P dQ

Bơy gi ta đi tìm công th c nghi m c a ph ng trình Pell lo i I

Gi s chu kì c a bi u di n liên phơn s c a d là r

Ta có Qkr+1 =

2 2

1 1 kr

*) N u r ch n thì : pkr-1

2 – dqkr-1

2= 1 vƠ ph ng trình Pell lo i I có nghi m lƠ:

1

1

kr kr

= (x1 - y1 d )k(x1 + y1 d )k

= (x12– dy12)k = 1

V y (xk,yk) (k = 1,2,3,…) lƠ nghi m c a ph ng trình Pell lo i I

Ng c l i , gi s (X,Y) lƠ 1 nghi m nguyên d ng khác v i (xk,yk) (k =

1,2…) c a ph ng trình Pell lo i I Khi đó t n t i s n sao cho :

Ta gi s s + t d = ( x1 - y1 d )n(X + Y d )

Ta c ng có : s2– dt2

= (s - t d )( s + t d )

= ( x1 - y1 d )n(X + Y d ) ( x1 + y1 d )n(X - Y d ) = (x12– dy12)n(X2– dY2

do (x1,y1) lƠ nghi m nguyên d ng bé nh t c a (1) i u nƠy mơu thu n v i

b t đ ng th c s + t d < x1 + y1 d V y đi u gi s lƠ sai , t c lƠ (X,Y)

ph i lƠ (xk,yk) v i k nƠo đó

Nh n xét : t đ nh lý trên suy ra n u bi t nghi m nguyên d ng bé nh t c a

ph ng trình Pell lo i I : x2 – dy2= 1 thì ta c ng bi t đ c t t c các nghi m nguyên d ng c a ph ng trình Pell lo i I Tuy nhiên vi c tìm nghi m nguyên d ng bé nh t c a ph ng trình nƠy lƠ không đ n gi n

B ng sau đơy cho ta các nghi m nguyên d ng bé nh t c a m t s

Ta th y (2,1) lƠ nghi m nguyên d ng bé nh t c a ph ng trình

Do đó m i nghi m nguyên d ng c a (1) lƠ (xk,yk) tho mƣn :