Luận văn sư phạm Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf - lax - oleinik cho nghiệm nhớt

Em xin chân tr ng g i l i c m n sâu s c c a mình t i th y giáo h ng

d n: Th.S Tr n V n B ng cùng toàn th quý th y, cô trong khoa Toán đã

giúp đ và t o đi u ki n t t nh t cho em hoàn thành t t bài khoá lu n này

B ng s n l c h t s c c a b n thân, bài khoá lu n đã đ c hoàn thành Song trong khuôn kh th i gian có h n và n ng l c c a b n thân còn nhi u

h n ch nên bài khoá lu n khó tránh kh i sai sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y, cô và các b n sinh viên đ b n thân có th ti p

t c hoàn thi n h n n a trong quá trình h c t p và gi ng d y

Em xin chân thành c m n !

Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên

Thân V n Tài

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 2 - SVTH: Thân V n Tài

L i cam đoan

Quá trình nghiên c u khoá lu n v i đ tài: “Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t vƠ công th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t” đã giúp em hi u sâu h n v b môn Gi i tích hi n đ i, đ c bi t

là v ph ng trình vi phân HR Qua đó c ng giúp em b c đ u làm quen

v i công tác nghiên c u khoa h c

Em xin cam đoan bài khoá lu n đ c hoàn thành là do s c g ng n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân cùng v i s h ng d n, ch b o h t s c

nhi t tình c a th y giáo h ng d n: Th.S Tr n V n B ng c ng nh các th y,

cô trong t Toán Gi i tích c a tr ng HSP Hà N i 2 Và đây c ng là m t

đ tài không trùng v i các đ tài c a các tác gi khác

Thân V n Tài

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 3 - SVTH: Thân V n Tài

M c l c

L i c m n ……… 1

L i cam đoan ……… 2

M c l c ………3

L i nói đ u ……….4

Ch ng 1: Các kỦ hi u vƠ ki n th c m đ u ……… 6

1.1 Ký hi u ……….6

1.2 Ki n th c v gi i tích th c………8

1.3 Ki n th c v gi i tích hàm ……… 9

1.4 Ki n th c v lý thuy t Tôpô- đo-Tích phân ……… 10

1.5 M t s b t đ ng th c ……… 11

Ch ng 2: Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t …12 2.1 M đ u ……… 12

2.2 Khái ni m nghi m nh t ……… 13

2.3 Tính duy nh t c a nghi m nh t ……… 18

2.4 Các công th c Hopf-Lax ………23

Ch ng 3: Công th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t ……….29

3.1 Các ký hi u th ng dùng………29

3.2 Công th c Hopf-Lax c đi n ……….30

3.3 Hamiltonian l i và ph thu c vào u ……… 32

3.4 Hamiltonian ph thu c u và d ki n ban đ u t a l i ………34

K t lu n ……….43

TƠi li u tham kh o ……… 44

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 4 - SVTH: Thân V n Tài

L i nói đ u

1 Lí DO CH N TÀI

Nh ta đó bi t ph ng tr nh vi phõn HR núi chung và ph ng tr nh phi tuy n núi ri ng cú ng d ng r t r ng rói trong th c t Cú r t nhi u l nh

v c nghi n c u hi n đ i mà trong đó ph ng tr nh vi phõn HR đóng m t vai tr h t s c quan tr ng nh : lý thuy t bi u di n nhúm nhi u chi u, lý

thuy t tr ng l ng t , lý thuy t c c kh ng gian thu n nh t và v t lý to n

M c d đó đ c đ c p t r t lõu (kho ng th k 18 và 19), nh ng lý thuy t c c ph ng tr nh phi tuy n cho đ n nay c b n v n ch a đ c hoàn thi n T đ u th k 20 đ n nay do nhu c u nghi n c u m t c ch ch t ch

lý thuy t c c nghi m suy r ng ho c nghi m y u c a ch ng, và đ c bi t là t nh

duy nh t nghi m (do nhu c u ng d ng th c t )

Khi nghi n c u ph ng tr nh vi phõn HR c p m t th b ng k thu t

c a ph ng pháp tri t tiêu đ nh t, ta thu đ c nghi m nh t (m t lo i nghi m y u) c a bài to n Cauchy đ i v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi Nh

v y nghi m nh t cú ý ngh a r t l n trong vi c nghi n c u ph ng tr nh vi phõn HR

V t m quan tr ng r t l n c a nú trong th c t , trong nghi n c u khoa h c và

nh m gi p cho b n đ c cú c i nh n t ng qu t v ph ng tr nh vi phõn HR

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 5 - SVTH: Thân V n Tài

N n trong qu tr nh nghi n c u kho lu n em đó m nh d n l a ch n đ tài

“Nghi m nh t c a ph ng tr nh đ o hƠm riêng c p m t vƠ c ng th c

ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t” đây là m t ph n nh c a lý

ch ng, c ng c c c l ng c a nghi m trong tr ng h p kh ng c đi n

Ch ng này ta s đ a ra m t c i nh n t ng qu t v t nh duy nh t c a nghi m

y u và c ng th c Hopf-Lax cho tr ng h p c c Hamiltonian là l i (d ki n ban đ u là l i)

Ch ng 3: “C ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t”

Ch ng này cú 4 ph n: Ph n 1 đ a ra c c ký hi u chung th ng d ng cho c c

ph n ti p theo Ph n 2 nh m thi t l p c ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi trong tr ng h p Hamiltonian kh ng ph thu c vào n hàm và hàm ban đ u kh ng nh t thi t

li n t c đ u Ph n 3 th c hi n c ng vi c t ng t nh ng đ i v i Hamiltonian

l i và ph thu c vào n hàm c ng gradient theo c c bi n kh ng gian c a nú

Ph n 4 Hamiltonian s ch a bi n th i gian và n hàm c ng v i gradient theo

c c bi n kh ng gian c a nú

 (iii) T ng t

1.3.1.2 nh ngh a v s h i t trong kh ng gian đ nh chu n

Dóy đi m ( )x cn a kh ng gian đ nh chu n X g i là h i t t i đi m

1.3.1.3 nh lỦ v không gian Banach

Kh ng gian đ nh chu n X là kh ng gian Banach khi và ch khi trong

kh ng gian X m i chu i h i t tuy t đ i đ u h i t

1.3.2 Kh ng gian Hilber

Cho H là kh ng gian tuy n t nh th c Ánh x ( , ) : H  H  ฀ đ c

g i là t ch v h ng n u :

(ii) Cho kh ng gian đ nh chu n X và Y To n t tuy n t nh A t

kh ng gian X vào kh ng gian Y g i là b ch n, n u t n t i h ng s C sao cho:

Ax C x ,  x X

1.3.3.2 T o n t tuy n t nh b ch n trong kh ng gian Hilbert

Cho H là kh ng gian Hilbert v i t ch v h ng (,)

Nh n chung bài to n gi tr ban đ u đ i v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi

đó đ c kh ng đ nh là kh ng cú nghi m tr n u v i m i t N n trong ph n này ch ng ta x t m t lo i nghi m suy r ng c a (2.1) d a tr n k thu t c a

tuy n c n (2.2) là bài to n gi tr ban đ u đ i v i ph ng tr nh parabolic t a

(2.2) (2.1)

Ti p theo ta ch ng t m t nghi m nh t đ tr n là nghi m c đi n có

(x0 2  y0 2)O(1)

Suy ra

Ch ng minh

(2.42)

1ˆ( , ) inf sup t ( ( ), ( ))

Vi c ch ng minh c c đ nh lý, b đ trong ch ng này là r t dài và mang

t nh k thu t cao N n trong ph n này ch y u ch ng ta đ a ra c c c ng th c,

đ nh ngh a, đ nh lý, b đ , h qu và ch ý đ t m hi u v c ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t

lim ( )

p

H pp

  , (3.3) nghi m nh t duy nh t c a (3.1)-(3.2) đ c x c đ nh b i c ng th c Hopf-Lax

nh lỦ 3.2.1

Gi thi t H là l i và đ i h u h n, f li n t c H n n a, gi s r ng v i m i

0   r , t n t i m t s N sao cho

   (3.6) Khi đó (3.4) x c đ nh m t nghi m nh t Lipschitz c a bài to n (3.1)-(3.2)

x yH

N N

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 32 - SVTH: Thân V n Tài

Bài làm

Ta ki m tra c c gi thi t c a h qu 3.2.1 đ u tho món T nh tr c ti p ta

đ c nghi m nh t Lipschitz c a bài to n (3.7)-(3.8) là

D a vào h qu 3.2.2 ta suy ra nghi m nh t c a bài to n (3.9)-(3.10) là

2

2

, 2

X t bài to n Cauchy đ i v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi d ng

u H u D u( , x ) 0

t

 trong U , (3.11)

Gi s r ng (i)-(ii) th a món và f BUC(฀n) Khi đó u đ c xác đ nh

b i (3.13) là nghi m nh t duy nh t c a bài to n (3.11)-(3.12) trong kh ng

Hi n nhi n d ki n ban đ u ( )f x  kh ng b ch n Bài to n (3.14) cú m t xnghi m nh t đ c t nh theo c ng th c (3.13),

L V Ta s ch ng minh ( )L i V v i m i i đ l n

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 36 - SVTH: Thân V n Tài

V ( )L V n n t n t i x L ( )  T gi thiV t f kh ng đ t c c ti u trong V, s t n t i xV sao cho

X t bài to n Cauchy đ i v i ph ng tr nh đ o hàm ri ng phi tuy n c p

m t trong đó Hamiltonian ph thu c vào , ,t u D u : x

n u

t p

t p

Nh v y, ( ,t x là m0 0) t đi m trong c a Eu,0 và do đó là đi m trong c a 

T đó ta suy ra k t lu n trong tr ng h p này

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 43 - SVTH: Thân V n Tài

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 44 - SVTH: Thân V n Tài

K T LU N

Tr n đây là toàn b n i dung c b n c a kho lu n “Nghi m nh t c a

ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t vƠ công th c ki u

Hopf-Lax-Oleinik ch o nghi m nh t”

Trong quá trình tìm hi u, nghiên c u khoá lu n em đó b c đ u làm quen

v i cách th c làm vi c cú khoa h c và đ t hi u qu cao Qua đây em c ng

Trong khu n kh th i gian cú h n, n ng l c c a b n thõn c n nhi u h n

ch và c ng là l n đ u ti n em làm quen v i vi c nghi n c u khoa h c n n bài kho lu n khú tr nh kh i sai sút Em k nh mong quý th y, c và c c b n sinh vi n đóng gúp ý ki n cho bài kho lu n c a em th m hoàn ch nh

M t l n n a em xin bày t l ng bi t n sõu s c c a m nh t i th y gi o

h ng d n: Th.S Tr n V n B ng c ng toàn th c c th y, c trong khoa

To n tr ng HSP Hà N i 2 đó nhi t t nh gi p đ và t o đi u ki n t t nh t cho em hoàn thành bài kho lu n này

Em xin chân thành c m n !

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 45 - SVTH: Thân V n Tài

GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 46 - SVTH: Thân V n Tài

TÀI LI U THAM KH O

[1] Nguy n Ph Hy, (2006), Gi i t ch hàm, Nxb Khoa h c và K thu t

[2] Nguy n Xuõn Li m, (1994), T p đ i c ng - đ đo - t ch phõn, Nxb

Gi o d c

[3] Tr n c Vân, (2005), Lý thuy t ph ng tr nh vi phõn đ o hàm riêng,

Nxb i h c Qu c gia Hà N i

[4] Tr n c Vân, (2005), C ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho ph ng

tr nh Hamilton- Jacobi, Nxb i h c Qu c gia Hà N i