Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Tuy nhiên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp một thì việc tìm ra công thức nghiệm thường tuân theo một số phương pháp nhất định.. Phan Thị Chiến 7 K 30 E Toán tục cùng với các đạo

**************

Phan thị chiến

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

Ts Nguyễn văn hùng

Hà nội - 2008

Phan Thị Chiến 2 K 30 E Toán

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ của Thầy giáo- Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cũng như các thầy, cô trong tổ giải tích khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy Nguyễn Văn Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình làm khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa đã dạy dỗ em trong suốt bốn năm qua để em hoàn thành bài khóa luận này

Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân, bài khóa luận này đã được hoàn thành Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập và giảng dạy

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2008

Sinh viên:

Phan Thị Chiến

Phan Thị Chiến 3 K 30 E Toỏn

Lời cam đoan

Quỏ trỡnh nghiờn cứu khúa luận với đề tài: “Phương trỡnh đạo hàm riờng cấp một’’ đã giỳp em hiểu sõu sắc hơn về bộ mụn giải tớch hiện đại, đặc biệt

là về phương trỡnh vi phõn đạo hàm riờng Qua đú cũng bước đầu giỳp em làm quen với cụng tỏc nghiờn cứu khoa học

Bờn cạnh đú em cũng nhận được sự quan tõm, tạo điều kiện của cỏc thầy

cụ giỏo trong khoa, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiờm khắc, tận tỡnh của thầy Nguyễn Văn Hựng

Vỡ vậy, em xin cam đoan kết quả của đề tài: “Phương trỡnh đạo hàm riờng cấp một’’ khụng cú sự trựng lặp với kết quả của cỏc đề tài khỏc

Em rất mong được sự đúng gúp ý kiến của quý thầy, cụ và cỏc bạn sinh viờn để khúa luận hoàn thiện hơn

Hà Nội, thỏng 04 năm 2008

Sinh viờn:

Phan Thị Chiến

Phan Thị Chiến 4 K 30 E Toán

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Lời mở đầu

Chương 1: Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở

1 Khái niệm mở đầu 5

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng và phương trình đạo hàm riêng cấp một 5

1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp một 5

1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 6

1.4 Bài toán Cauchy 7

2 Các kiến thức cơ sở 7

2.1 Phương trình vi phân 7

2.2 Phương trình vi phân cấp một 8

2.3 Hệ phương trình vi phân 12

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp một 1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một 16

1.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một 17

1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một 26

2 Phương trình phi tuyến cấp một 37

2.1 Hệ hai phương trình phi tuyến cấp một 37

2.2 Phương trình Pfap 40

2.3 Phương pháp Lagrang – Sacpi 42 Chương 3: Bài tập vận dụng

Phan Thị Chiến 5 K 30 E Toán

Lời nói đầu

Cũng như các môn khoa học khác, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực

tế Phần lớn các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng được rút ra từ các vấn đề trong thực tiễn nên phương trình vi phân đạo hàm riêng được coi

là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng

Thực tế cho thấy có rất nhiều dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khác nhau và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải tất cả các phương trình đó Đối với cácphương trình đạo hàm riêng nãi chung, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng chúng ta chỉ chứng minh được sự tồn tại nghiệm còn việc tìm ra công thức nghiệm thì hơi khó Tuy nhiên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp một thì việc tìm ra công thức nghiệm thường tuân theo một số phương pháp nhất định Chính vì thế em chọn đề tài: Phương trỡnh đạo hàm riờng cấp một với mong muốn được hiểu rõ hơn về các phương pháp này Nội dung khóa luận gồm ba chương:

Chương 1: Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Chương 3: Bài tập vận dụng

Nội dung chính và tài liệu dùng theo tài liệu [1] và [2] phần tài liệu tham khảo

Phan Thị Chiến 6 K 30 E Toán

Chương 1

Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở

1 Khái niệm mở đầu

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng và phương trình đạo hàm riêng cấp một

1.1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , x 2 ,…,x n ) các

biến độc lập x 1 , x 2 , …,x n và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng Nó có dạng

trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng u, có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình Chẳng hạn phương trình

là phương trình đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến

1.1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa 1.2 Từ định nghĩa 1.1 ta có thể suy ra được rằng: Phương

trình đạo hàm riêng cấp một là phương trình có dạng

1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp một

Giả sử có phương trình đạo hàm riêng cấp một (1.1) và giả sử miền F xác định trong miền G của không gian 2n + 1 chiều Hàm u = u(x 1 , x 2 , …, x n ) liên

Phan Thị Chiến 7 K 30 E Toán

tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của nó trong miền D của không gian

n chiều được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) trong D nếu:

Thông thường khi ta tích phân phương trình đạo hàm riêng ta tìm được

họ nghiệm phụ thuộc vào những hàm số bất kì Giả sử phương trình (1), u là

hàm 2 biến (n = 2): u = u(x 1 , x 2 ) Khi đó nghiệm u = u(x 1 , x 2 ) sẽ tương ứng

với một mặt cong trong không gian ba chiều ( x 1 , x 2 , u) Mặt cong này gọi là

mặt cong tích phân Chẳng hạn đối với phương trình

Hàm Z = F(x 2 + y 2 ) với F là khả vi liên tục bất kì cũng là nghiệm của

Phan Thị Chiến 8 K 30 E Toán

1.4 Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u = (x 1 , x 2 , …, x n ) của phương

trình (1.2) sao cho khi x1 x10 thì u = (x 1 , x 2 , …,x n ) trong đó  là một hàm

cho trước Ta có thể thay vai trò x 1 bằng một trong các biến còn lại

2 Các kiến thức cơ sở

2.1 Phương trình vi phân

2.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa

biến độc lập, hàm phải tìm và đạo hàm của hàm phải tìm

Phan Thị Chiến 9 K 30 E Toán

2.1.2 Cấp của phương trình vi phân

Định nghĩa 2.1.2 Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo

hàm của hàm phải tìm có mặt trong phương trình đó

Ví dụ 2.3 Phương trình vi phân ở ví dụ 2.2 là phương trình vi phân cấp

ba

2.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Định nghĩa2.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm thỏa mãn

phương trình đó tức là mọi hàm khả vi sao cho thay vào phương trình đó nó trở thành đồng nhất thức

Ví dụ 2.4 Phương trình dy 2y

dx có nghiệm là hàm y = ce 2x xác định trên khoảng ,  ( c là hằng số tùy ý)

2.2.Phương trình vi phân cấp một

2.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 2.2.1 Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng

Trong đó hàm F xác định trong miền D  R 3

Nếu trong miền D, từ phương trình (2.2) ta có thể giải được y’

thì ta được phương trình vi phân cấp một giải ra đạo hàm

Trong phương trình (2.3) f là một hàm 2 biến, hàm này xác định trong miền D nào đó của không gian hai chiều

Định nghĩa 2.2.2 Hàm y = (x) xác định và khả vi trên khoảng

I = (a,b) được gọi là nghiệm của phương trình (2.2) nếu

a) (x,(x),  ’(x))  D với mọi x  I

b) F(x,(x), ’(x))  0 trên I

Phan Thị Chiến 10 K 30 E Toán

Mặt khác, ta lại có y(0) = 2 nên suy ra y 2cosx4

Vậy nghiệm của phương trình đầu là y 2cosx4

2.2.2 Bài toán Cauchy

Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (2.3) sao cho x = x 0 thì y = y 0

Trong đó x 0 , y 0 là các giá trị tùy ý cho trước mà ta gọi là các giá trị ban đầu

Điệu kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y = y 0 khi x = x 0 gọi là

điều kiện ban đầu và kí hiệu là: y(x 0 ) = y 0 hoặc y

0

x = y 0

Ví dụ 2.6 :Xét ví dụ 2.5 ta thấy điều kiện ban đầu của bài toán là: x 0 = 0

và y 0 = 2

2.2.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Định lý 2.2.3 Xét phương trình (2.3) và các giá trị ban đầu (x 0 , y 0 )

Giả sử hàm f(x, y) và f’ y (x, y) xác định và liên tục trên miền D Khi đó

tại lân cận của điểm x 0 phương trình (2.3) tồn tại và duy nhất một nghiệm y =

y(x) của bài toán Cauchy có nghĩa là nghiệm đó thỏa mãn phương trình

( , )

dy

f x y

dx  và y(x 0 ) = y 0

Phan Thị Chiến 11 K 30 E Toán

2.2.4 ý nghĩa hình học

a) ý nghĩa hình học của định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Tại mỗi điểm (x 0 , y 0 )  D tồn tại và duy nhất một đường cong y = y(x)

thỏa mãn phương trình (2.3) đi qua

b) ý nghĩa hình học của phương trình vi phân

Xét phương trình (2.3) trên miền D, giải phương trình (2.3) trên miền D

tức là tìm một họ đường cong mà tại mỗi điểm của nó ta đã biết hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó

Vậy cho phương trình (2.3) có nghĩa là cho một trường hướng trên miền

D

2.2.5 Nghiệm tổng quát

Giả sử D là miền trong R 2

mà tại mỗi điểm M(x, y) của nó điều kiện của

định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa mãn

Khi đó hàm y = y(x, c) (2.4) có đạo hàm riêng theo x được gọi là nghiệm tổng

quát của phương trình (2.3) nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

i) Với mọi điểm (x, y)  D từ phương trình (2.4) ta giải được duy nhất

đối với c

ii) Hàm y = y(x) thỏa mãn phương trình (2.3) với mọi giá trị của hằng số

c khi điểm (x, y) chạy khắp miền D

Nhận xét:

a)Khi giải phương trình vi phân (2.3) nhiều khi ta không tìm được

nghiệm của (2.3) dưới dạng y = y(x, c) mà ta chỉ tim được một biểu thức

( , , )x y c 0

Biểu thức dưới dạng ẩn này được gọi là phương trình tổng quát của phương trình vi phân (2.3)

Phan Thị Chiến 12 K 30 E Toán

b) Trong thực tế người ta thường đồng nhất nghiệm tổng quát và tích phân tổng quát với nhau

c) Về phương diện hình học thì tích phân tổng quát và nghiệm tổng quát đều là họ đường cong thỏa mãn phương trình (2.3)

2.2.6 Khái niệm nghiệm riêng

Nghiệm y = y(x) được gọi là nghiệm riêng của phương trình (2.3) nếu tại

mỗi điểm của nó đều có điều kiện duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa mãn

Ví dụ 2.7 Giải phương trình dy dx

y   x , y(2)3 (2.4) Giải phương trình (2.4) ta được

 là nghiệm riêng của phương trình đã cho

Nhận xét: Nghiệm riêng thường tìm được từ nghiệm tổng quát

Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình (2.3) là y = y(x, c) để tìm nghiệm riêng của phương trình (2.3) với giá trị ban đầu (x 0 , y 0 ) ta tìm c 0 =

(x 0 , y 0 ) Sau đó thay y 0 = y(x, c 0 ) = y(x, (x 0 , y 0 ))

2.2.7 Nghiệm kì dị

Phan Thị Chiến 13 K 30 E Toán

Nghiệm y = y(x) được gọi là nghiệm kì dị nếu miền D tồn tại điểm tại đó

tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được vi phạm

2.3 Hệ phương trình vi phân

2.3.1 Định nghĩa hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một

Định nghĩa 2.3.1.1 Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một là hệ phương trình có dạng

f dx

Nhận xét: Trong vế phải của hệ phương trình (2.5) với mọi phương trình

đều giải được đối với đạo hàm dy1

dx (i = 1,2,…)

Còn vế phải không chứa đạo hàm của hàm cần tìm

2.3.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một

Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một (2.5) là tập hợp n

hàm khả vi y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x) ,…, y n (x) trên một hàm nào đó sao cho chúng

Phan Thị Chiến 14 K 30 E Toán

thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (2.5) hay nói cách khác khi thay chúng vào hệ (2.5) ta được các đồng nhất thức

2.3.3 Bài toán Cauchy về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ vi phân chuẩn tắc cấp một

a) Bài toán Cauchy của hệ vi phân (2.5) được hiểu như sau

y x  y y x  y y x  y trong đó x y0, 10, ,y là các giá trị cho n0

trước tùy ý mà ta gọi đó là các giá trị ban đầu

b) Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.3.3 Giả sử hệ phương trình vi phân (2.5) có các hàm f i

(i = 1, 2, …) liên tục và có các đạo hàm riêng

trong miền D nào đó D R n+1

Khi đó tại một lân cận của điểm x 0 sao cho hệ phương trình (2.5) tồn tại một hệ nghiệm:

1 1

2 2 3

( )( )

thỏa mãn điều kiện Cauchy (2.7)

2.3.4 Các loai nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một

Phan Thị Chiến 15 K 30 E Toán

2.3.4.1: Nghiệm tổng quát

Định nghĩa 2.3.4.1 Giả sử miền D  R n+1 là miền trong đó các điều

kiện của định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đươc thỏa mãn (2.5), (2.7)

, , , ,

n n

phụ thuộc n hằng số c 1 , c 2 ,…, c n có đạo hàm riêng liên tục theo x được gọi là

nghiệm tổng quát của hệ vi phân (2.5) nếu:

i) Với mọi (x, y 1 , y 2 , …,y n )  D Từ hệ phương trình (2.8) với mọi

(x, y 1 , y 2 , …,y n )  D ta giải được duy nhất đối với c 1 , c 2 ,…, c n với

, , ,

n n

Nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân (2.5) là nghiệm của hệ (2.5)

và tại mỗi điểm của nó điều kiện duy nhất nghiệm của định lý Cauchy được thỏa mãn

Nhận xét: Nghiệm riêng của hệ (2.5) cũng có thể tìm từ nghiệm tổng quát

bằng cách cho các hằng số c 1 , c 2 ,…, c n các giá trị nào đó

2.3.4.3 Tích phân tổng quát

Giải hệ phương trình vi phân (2.5) nhiều khi ta chỉ tìm được các hệ thức

Phan Thị Chiến 16 K 30 E Toán

Phan Thị Chiến 17 K 30 E Toán

Chương 2

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một Xét phương trình đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa: Phương trình (2) được gọi là phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính thuần nhất cấp một nếu (1.1) được viết dưới dạng

Trong đó các hàm X 1 , X 2 , …,X n không phụ thuộc biến u, không đồng

thời triệt tiêu tại bất kì điểm nào của miền đang xét Ngoài ra ta giả thiết trong

miền đó các hàm X 1 , X 2 , …,X n liên tục cùng với tất cả các đạo hàm riêng cấp

một của chúng

Định nghĩa: Phương trình (1.1) được gọi là phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính cấp một không thuần nhất nếu các hệ số X j có thể chứa u và vế phải

có hàm R Khi R 0 nhưng có một hàm X j chứa u thì phương trình vẫn coi là

phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất Bởi vậy ta luôn giả

thiết rằng các hàm X j , R khả vi liên tục và các hàm X j không đồng thời triệt

tiêu trong miền biến thiên đang xét của các biến X 1 , X 2 , …,X n , u

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một được

viết dưới dạng:

Phan Thị Chiến 18 K 30 E Toán

Cùng với phương trình (1.2) ta xét hệ phương trình vi phân thường dưới dạng đối xứng sau

Do X 1 , X 2 , …,X n không phụ thuộc vào biến u, không đồng thời triệt tiêu

tại bất cứ điểm nào của miền đang xét và các hàm này liên tục cùng với tất cả các đạo hàm riêng cấp một của chúng nên hệ (1.4) thỏa mãn các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Vì vậy có thể tìm được hệ n tích phân đầu độc lập của hệ (1.4)

, , ,

n n

Trong không gian (x 1 , x 2 ,…,x n ) hệ tích phân đầu độc lập này xác định một

họ đường cong phụ thuộc n - 1 tham số gọi là đường đặc trưng của phương

trình (1.2) Từ đó mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng được xác định qua các định lý sau:

Phan Thị Chiến 19 K 30 E Toán

Định lý 1.1 Vế trái của tích phân đầu bất kì x x1, 2, ,x nclà nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2)

Tại mỗi điểm (x 1 , x 2 ,…,x n ) của miền đang xét đều có một đường cong

tích phân của hệ (1.4) đi qua nên đồng nhất thức (1.7) thỏa mãn với mọi (x 1 ,

x 2 ,…,x n ) thuộc miền đang xét Điều này chứng tỏ hàm u    x x1, 2, , xn là nghiệm của hệ (1.4) Ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 Giả thiết u    x x1, 2, , xn là nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2) Khi đó hệ thức

 x x1, 2, , xn c

là một tích phân đầu độc lập của hệ (1.4)

Thật vậy, theo giả thiết ta có

Phan Thị Chiến 20 K 30 E Toán

là tích phân đầu của hệ (1.4)

Từ mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng ta có các bước tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2) như sau:

Bước 1: Tìm hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng

với phương trình đạo hàm riêng đang xét

Bước 2: Tìm các tích phân đầu độc lập

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phan Thị Chiến 21 K 30 E Toán

Vậy u1 xz u , 2 x y là các nghiệm không tầm thường của phương trình đạo hàm riêng cấp một

1.1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một

Việc chứng minh định lý này được tiến hành như sau:

Chứng minh vế phải của (1.11) là nghiệm của (1.2)

Chứng minh nghiệm của phương trình (1.11) chứa mọi nghiệm của phương trình (1.2), tức (1.11) là nghiệm tổng quát của (1.2)

Thật vậy, thay (1.11) vào (1.2) ta có

Phan Thị Chiến 22 K 30 E Toán

Giả sử u    x x1, 2, , xn là một nghiệm của phương trình (1.2) Ta đi chứng minh có một hàm  có các đạo hàm riêng liên tục sao cho

1 1

00

0

n i

n i

n

n i

X x X x

X x

Ta coi hệ phương trình (1.12) như hệ n phương trình đại số tuyến tính

thuần nhất đối với X 1 , X 2 , …,X n không đồng thời triệt tiêu nên hệ phương trình

(1.12) tại mỗi điểm (x 1 , x 2 ,…,x n ) của miền đang xét có nghiệm không tầm

thường Vậy định thức Grame của hêi phải bằng không, tức là

Phan Thị Chiến 23 K 30 E Toán

Mặt khác, các tích phân đầu của hệ

n

n D

Vậy định lý được chứng minh

Nhận xét: Nhận thấy việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)

tương đương với việc tìm n tích phân đầu độc lập của hệ (1.4)

  là nghiệm tổng quát của phương trình trong đó

 là hàm khả vi, liên tục theo các biến x 1 , x 2 ,…,x n Chẳng hạn u có thể là các

hàm sau:

2 3

Phan Thị Chiến 24 K 30 E Toán

1.1.3 Bài toán Cauchy

Tìm nghiệm u = u(x 1 , x 2 , …,x n ) của phương trình (1.2) thỏa mãn điều

kiện ban đầu

u u x x   1, 2, , xn1 khi xn  xn0

Trong đó u là hàm khả vi liên tục cho trước của các biến x 1 , x 2 , …,x n (tức

là với một giá trị cố định của một trong các đối số thì nghiệm u trở thành hàm

đã cho của các đối số còn lại)

Cách giải:

Ta thấy nếu 1( , x x1 2, , xn), 2( , x x1 2, , xn), , n( , x x1 2, , xn) là các tích phân đầu độc lập cuả hệ phương trình vi phân thường (1.4) thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng

u     1, 2, , n

Phan Thị Chiến 25 K 30 E Toán

Do đó bài toán tìm nghiệm u = u(x 1 , x 2 , …,x n ) của phương trình (1.2)

thỏa mãn điều kiện

, , , ,

n n

n n

Phan Thị Chiến 26 K 30 E Toán

là nghiệm của bài toán Cauchy cần giải

Đặc biệt với n = 2, nghĩa là phương trình (1.2) có dạng

y y

z    x

Về mặt hình học điều này có nghĩa là tìm mặt cong tích phân của phương

trình (1.21) đi qua đường cong cho trước z = (x), y = y 0 nằm trong mặt

Giải:

Phương trình (1.22) có hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng là

dy dx

Hệ (1.22’) có một tích phân đầu là x 2

+ y 2 = c

Phan Thị Chiến 27 K 30 E Toán

Phan Thị Chiến 28 K 30 E Toán

Vậy nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu trên là u 1 2 hay

Ta có quy tắc tìm nghiệm tổng quát như sau:

Bước 1: Lập phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất

Bước 2: Tìm n tích phân đầu độc lập của hệ phương trình vi phân thường

dạng đối xứng tương ứng với phương trình đạo hàm riêng vừa lập

Bước 3: Kết luận nghiệm

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.3) dưới dạng ẩn là:

Phan Thị Chiến 29 K 30 E Toán

Cụ thể việc thực hiện các bước được tiến hành như sau:

Ta tìm nghiệm của phương trình (1.3) dưới dạng ẩn

 ít nhất trong một miền nào đấy của x 1 , x 2 ,…, x n , u với

giả thiết đó ta có nghiệm của (1.24) là

v x

Đây chính là phương trình tuyến tính thuần nhất đối với hàm phải tìm

Hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng với (1.25) là: