Luận văn sư phạm Nhập môn đại số Tenxơ

L I C M N

Tôi xin g i l i c m n chân thành t i toàn th các th y giáo cô giáo trong khoa Toán, các th y cô trong t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ tôi trong b n n m h c v a qua c ng nh t o đi u ki n cho tôi

trong quá trình hoàn thành khóa lu n

c bi t, tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y giáo :

L I CAM OAN

Khóa lu n này là k t qu c a cá nhân tôi trong quá trình h c t p, tìm tòi

h c h i và nghiên c u Bên c nh đó đ c s quan tâm t o đi u ki n c a các th y

giáo, cô giáo trong khoa Toán, đ c bi t là giúp đ nhi t tình c a th y giáo Ths

M U

1 LỦ do ch n đ tƠi

i s tenx , đ i s đ i x ng và đ i s ngoài là m t công c h u hi u trong toán h c, c h c l ng t , v t lý lý thuy t,…Nhi u k t qu , hay ph ng pháp nghiên c u c a đ i s tenx còn nh h ng đ n m t s l nh v c khác c a toán h c và đ i s ng, trong nghiên c u khoa h c

V i ni m yêu thích b môn i s , và đ c s giúp đ t n tình c a th y

giáo Ths Nguy n Huy H ng, tôi m nh d n th c hi n kháo lu n t t nghi p v i đ

tài: “ Nh p môn đ i s ten x ”

+ Ph m vi: N i dung ki n th c trong ph m vi c a đ i s tuy n tính

4 Nhi m v nghiên c u: Tìm hi u lý thuy t v tích tenx

5 Ph ng pháp nghiên c u

Phân tích tài li u có liên quan và t ng h p kinh nghi m c a b n thân

6 C u trúc khóa lu n

Ch ng 1, tôi trình bày m t s ki n th c c b n nh không gian véct ,

ánh x tuy n tính, ánh x song tuy n tính Ch ng 2, đây là n i dung chính c a khóa lu n Các khái ni m nh tích tenx c a hai không gian, hai không gian con, hai không gian th ng, tích tenx c a hai ánh x đ c trình bày khá chi ti t

Ch ng 3, tôi trình bày nh ng k t qu m r ng c a ch ng 2 cho nhi u không

gian

(V5) ( +  ) = . +  ,  , K, V

(V6)  (+) = .+., K, ,V

(V7) (()) = (  ),  , K, V

(V8) 1. = , V

Khi đó, V cùng v i hai phép toán đã cho đ c g i là m t không gian véct trên

tr ng K hay K – không gian véct (g i t t là không gian véct )

1.1.2 Ví d

T p X là t p khác r ng, V là m t K - không gian véct T p  g m t t

c các ánh x  : X V v i các phép toán:

( + )(x) = (x) + (x), (. )(x) =. (x)

nh lỦ : Trong không gian véct luôn t n t i c s , hai c s b t k luôn

có cùng l c l ng L c l ng c a nó đ c g i là s chi u c a không gian véct

T ng tr c ti p c a không gian véct : Cho V, W là hai không gian véct trên tr ng : T ng tr c ti p c a V và W đ c t o thành t c p (v , w) ,v  V,

Không gian con: W V đ c g i là không gian con n u W là nhóm con

là m t không gian véct trên tr ng , và đ c g i là không gian véct th ng

c a V theo không gian véct con W

Không gian tuy n tính c a các ánh x tuy n tính: Xét t p h p t t c các ánh x tuy n tính: VW ( gi thi t V, W h u h n chi u), ký hi u là: L(V, W)

L(V, W) c ng là m t không gian véct trên K, v i các phép toán :

Khi G=  thì  thì đ c g i là hàm song tuy n tính

Ta có th ký hi u Im là không gian véct con c a G b i

Bây gi , ta xét B(E,F;G) g m t t c các ánh x song tuy n tính đi t EF

đ n G B ng cách đ nh ngh a phép c ng ánh x 1 và 2:

(  1 2)( ; ) x y  1( ; ) x y  2( ; ), x y

v à ánh x (   ) : ( , ) x y   ( , ), x y x  E y ,  F ,  ,

ta có th đ a ra c u trúc không gian véct trong t p B(E,E;G) Không gian B(E,

F; ) g m t t c các hàm song tuy n tính đ c vi t g i là: B(E, F)

1.2.5 Ánh x song tuy n tính c a không gian con không gian th ng

Cho ánh x song tuy n tính : E x F  G và c p không gian con E1 E

N uE1 vàE F1  F là hai không gian véct con và  1: E x1 F1G là m t ánh

x song tuy n tính  : E x F  G, có h n ch lên E1 x F1 là 1

Ta gi s ánh x :E x F  G là song tuy n tính, và v i các không gian

con E1  và GE 1 G ,  (x1,y ) G1, v i m i x E1, yF 1

Xét  :E E/E và 1  :GG1

ta có đ c c u trúc không gian véct con trong t p L E ( 1 , , E Gp; )

Không gian g m t t c các hàm - tuy n tính đi t E1x…xE p đ c vi t g n là1

( , , p; )

CH NG 2 TệCH TENX C A HAI KHÔNG GIAN VÉCT

ây là ch ng ch a các khái ni m tích tenx c a hai không gian véct ,

tích tenx c a hai không gian con, hai không gian th ng, tích tenx c a các ánh

x tuy n tính và các tính ch t c a chúng

2.1 T ính ch t ph d ng

Cho E và F là hai không gian véct và  là ánh x song tuy n tính t

ExF vào không gian véct T Ta nói  có tính ch t ph d ng n u th a mãn hai đi u ki n sau:

1: các véct xy x( y y, F) sinh ra T, ho c t ng đ ng Im  T 2: n u  là m t ánh x song tuy n tính t E x F vào m t không gian b t

k H, thì t n t i m t ánh x tuy n tính f: TH sao cho bi u đ sau giao hoán:

(2.1)

Hai đi u ki n trên t ng đ ng v i đi u ki n sau:

: V i m i ánh x song tuy n tính  :E x F  H thì t n t i duy nh t m t ánh

x song tuy n tính f: TH sao cho (2.1) giao hoán

Th t v y gi s 1 và 2cùng th a mãn, và cho hai ánh x tuy n tính:

T

Ng c l i, gi s cho  Hi n nhiên 2th a mãn

ch ng minh 1 ta l y T1 là không gian véct con c a T sinh b i các

véct có d ng x y(xE, yF ) Khi đó xác đ nh m t ánh x song tuy n

tính : E x F T1 sao cho i(x, y ) = x y , xE, yF , trong đó i:T1 T

là m t ánh x nhúng T suy ra t n t i m t ánh x tuy n tính f: T  T1 sao cho (x, y )= f(x y),xE, yF Áp d ng i vào trong h th c trên ta đ c:

Cho :E xF  T là m t ánh x song tuy n tính có tính ch t ph d ng

B đ 2.2.1 Cho r véct ai (i=1, r) đ c l p tuy n tính trong E và r véct b t k

(x, y ) =

1

r i i

f



 (x)gi( y ),xE, y F

đó gi là các hàm tuy n tính tùy ý trong F T 2 suy ra t n t i hàm tuy n tính

h trong T sao cho:



 sao cho r là nh nh t N u r=1 thì t tính song tuy n tính

suy ra x1 và 0 y1 0 Bây gi ta gi s r 2 và n u các véct ph thu c tuy n



 , thì ta có

z=

1

r

i i i





Suy ra đi u này trái v i gi thi t r nh nh t Do đó các véct xi đ c l p tuy n

tính Ch ng minh t ng t , ta có các véct yiđ c l p tuy n tính

2.3 Tính duy nh t

Gi s : E x FT và ฀E x F ฀ là hai ánh x song tuy n tính có tính

ch t ph d ng Khi đó, t n t i m t đ ng c u tuy n tính f: sao cho:

ch ng minh s t n t i, ta xét không gian véct t do C( E x F) sinh b i

t p E x F Xét N(E, F) là không gian con c a C(E x F) sinh b i các véct có

d ng:

(x x y, )( , )x y ( , )x y

và

, ,

ki m tra 2, xét m t ánh x song tuy n tính  c a E x F vào không gian

véct H Vì c p(x, y) xE, y F là m t c s c a C(E x F) nên t n t i duy nh t

m t ánh x tuy n tính

g: C(E x F)H sao cho

g(x, y) =  (x, y)

T tính song tuy n tính c a  ch ra r ng N(E, F)ker g

2.5 Tíc h tenx c a hai không gian véct

2.5.1 nh ngh a: Tích tenx c a hai không gian véct E và F là m t c p (T, )

trong đó : E x FT là m t ánh x song tuy n tính có tính ch t ph d ng Không gian đ c xác đ nh duy nh t b i E và F đ n m t đ ng c u, và c ng đ c

Vì 1y = y nên ánh x này th a mãn 1

Ch ng minh 2 : Cho  :   FH là m t ánh x song tuy n tính b t k và xét ánh x tuy n tính f: FH , f(y) =  (1,y) thì ta có:

 y , yF : (,y) =  (1,y) = f(y) = f(y) = f( y)

(f) = f, f L(E  F, G)

T 2 ta d dàng ch ra  là m t toàn ánh vì nó cho bi t b t k m t ánh x song tuy n tính  : E x FG nào đ u có th phân tích thành tích tenx Ta

ch ng minh  là m t phép n i x Gi s f = 0 v i m i ánh x f: E  FG

đã bi t T 1 không gian E  F đ c sinh ra b i tích c a xy do v y f = 0

M i quan h gi a ánh x song tuy n tính  : E  FG trên đ c bi u

di n b i s đ sau:

M nh đ 2.6.1 Cho  : E x F G là m t ánh x song tuy n tính

và f: E  F G là m t ánh x tuy n tính c m sinh Do đó, f là toàn ánh khi và

ch khi  th a mãn 1, và f là đ n ánh khi và ch khi  th a mãn 2

Do v y m i ánh x song tuy n tính  : E x F K c m sinh m t ánh x tuy n

tính g: Im K sao cho  (x, y) = g(x, y) N u f là thác tri n c a g t i m t ánh x tuy n tính f: GK suy ra

 (x, y) = f (x, y).,

E x F  H



f

EF

2.7 Tích tenx c a hai không gian con

Gi s ánh x song tuy n tính : E x FT có tính ch t ph d ng và cho

hai không gian con E1  F; F1  F , ' là h n ch c a  lên E1 x F1

t T1 = Im', ta ch ra r ng (T1

'

,) là tích tenx c a E1 và F1

Tính ch t 1 đ c suy tr c ti p t đ nh ngh a Ch ng minh 2 ta gi s 1: E1

x F1 H là m t ánh x song tuy n tính M r ng 1 thành ánh x song tuy n

tính : E x FH Vì  có tính ch t ph d ng nên t n t i ánh x song tuy n

tính

f : TH sao cho

f(xy ) =  (x, y), xE, y F

Suy ra

f(x1 y' 1 ) = (x1, y1) = 1 (x1, y1) x1E1, y1F1

Do đó 1 phân tích đ c trên 

2.7.1 Ví d

V là không gian véct v i c s {e1, e2}, W là không gian véct c s

{  1, 2, 3}; V1là không gian con c a V sinh b i e1, W1 là không gian con c a W sinh b i 1 Khi đó V1W1 = ke1k1

2.8 Tích ten x c a hai không gian th ng

Cho các không gian con E1  F; F1  F và đ t:

f  f Suy ra

Gi s có hai h không gian tuy n tính E, I và v i m i c p

( , ),(  EF, ) là tích tenx c a E và F Th thì ánh x song tuy n tính

฀:

V là không gian véct c s {  1, 2, 3}, W1 là không gian véct v i c s

{e1, e2}, W2 là không gian véct v i c s { s1,s2, s3} Khi đó:

V( W1V W2) = VW1V W2

2.10 S phơn tích tr c ti p

Gi s c p (E ) là tích tenx c a không gian véct c a E và F F,

Hai phân tích tr c ti p E =E và F =F ta ch ra r ng EF là t ng tr c

ti p c a các không gian con E  : F

Nh ng t đ ng th c này ta ch ra r ng h ánh x m i không gian con E  F

c a E  F lên không gian con i( E  ) c a ฀F G Vì s phân tích

 

 

 và ánh x song tuy n tính : E  Fsao cho c p (G,) là tích tenx c a E và F

ch ng minh 2 ta xét  : E x FH là m t ánh x song tuy n tính tùy ý và

có h n ch lên E  F là  Khi đó, t n t i m t ánh x tuy n tính:

f : G H sao cho

vào E, F và E  F thì E  F đ c sinh ra b i nh ng ph n t riêng bi t

a  b, do đó E  F là t ng tr c ti p c a không gian con m t chi u đ c sinh b i các tích a  b nên tích trên là c s c a EF

c bi t n u E và F h u h n chi u thì EF c ng h u h n chi u và

dim(EF ) = dimE.dimF (2.3)

2.12 Áp d ng cho ánh x song tuy n tính

Cho E, F là các không gian véct v i c s t ng ng là ( )x I và (y ) Jthì a  blà c s c a EF Do đó m i ánh x c a t p h p ( x  y ) lên không gian G có th m r ng duy nh t thành ánh x tuy n tính

đ u có th m r ng thành m t ánh x song tuy n tính duy nh t : EF G và

m i ánh x song tuy n tính  có đ c m t cách t ng t c bi t, không gian

Im đ c sinh ra b i các véct  ( x, y) K t qu này đ c ch ra r ng n u E

và F là h u h n chi u thì dimIm dimE.dimF

D dàng ta xây d ng m t t p c s c a B(E,F;G) v i đi u ki n E và F h u

M nh đ 2.14 Cho L(E, E’) L(F, F’) là tích tenx c a L(E, E’) và L(F, F’)

Khi đó ánh x tuy n tính

f : L(E, E’) L(F, F’)L(EF, E’F’ ),

c m sinh b i ánh x song tuy n tính  là m t đ n ánh

Bây gi , ta ch n véct a  E sao cho 1 a  G i p (p1) là s l n nh t các 0

véct đ c l p tuy n tính rút ra t t p 1 a , ,r a (h con tuy n tính t i đ i

H qu 1 C p (Im , ) là tích tenx c a L(E, E’) và L(F, F’)

H qu 2 Ánh x song tuy n tính: L(E) x L(F)L(EF), cho b i :

2.15 V í d

N u E = F là không gian véct có m t c s đ m đ c và E’= F’= 

Ta có: L(E, E’) = L(F, F’) = L(E) ; L(EF, E’F’) = L(EF) và ánh x song tuy n tính : (f, g)fg, trong đó (f g)(xy) = f(x).g(y)

thu c Eh  h (x0y) = 0,yE Gi s h = Im, th thì không gian th ng

là h p thành c a x và y trong m t c s c a E D dàng th y đ c không gian –

không E= 0 suy ra dim E/ E =  , do đó  Im

  = i, ฀  = i Suy ra, công th c (2.10) tr thành :

:E/ker E’ và  : F/ker F’ thì

  : E/ker F/ker  E’F’

g(1x2y) =  (xy)

=1x 2y = x y, trong đó   =  

Và do  là đ n ánh nên :

Ker(  ) = ker = T(ker, ker ) = ker F+Eker

CH NG III TÍCH TENX C A NHI U KHÔNG GIAN VÉCT

ch ng này, tôi trình bày m t s k t qu m r ng c a ch ng 2 cho nhi u không gian véct và xem xét m t s tính ch t c a chúng

3.1.1 nh ngh a Tích tenx c a các không gian E (i i1,p) là c p (T, )

trong đó: T đ c g i là tích tenx c a các không gianEi, ký hi u là

f:E1E2E 3  (E1E )2 E 3sao cho:

 c m sinh ánh x tuy n tính

gz : E1E2 E1E2 E 3sao cho

gz (xy)xyz (3.2) Xét song tuy n tính

 (u, z) = g(uz), uE1E , z2 E (3.4) 3

T đó, ta xác đ nh duy nh t m t ánh x song tuy n tính:

E (i1,p) thì tích ai1  app là c s c a E1  Ep N u E (i i1,p) và

G h u h n chi u thì :

dimL( E 1 , … , E ; G) = dim p E 1 … dim G

dimL( E 1 , … , E ) = dim p E 1 … dim Fp Tích tenx c a nhi u ánh x tuy n tính c ng đ c đ nh ngh a t ng t

 : (EF) x (E’F’) E’’F’’,

f:E  E’E’’ và g: F F’F’’

Khi đó fg là ánh x tuy n tính c a (EF) (E’F’) lên E’’F’’

Cho S: (EF)  (E’F’)  (E  E’)( F F’),

S(xy; x’y’)  (xx’)(yy’),

là đ ng c u tuy n tính và ánh x song tuy n tính  sao cho:

 (u, v) = (fg)f(uv),  uEF , vE’F’,

th thì  (xy, x’y’) = (fg)((xx’)(yy’))

=f(xx’)(yy’),

=  (x, x’) (y, y’)

Do đó, ta có th bi u di n  b i  

3 3 HƠm song tuy n tính

c bi t v i m i c p hàm song tuy n tính  và  trong E xE’ và F x F’

c m sinh hàm song tuy n tính   đi t (EF)  (E’F’) sao cho:

( )(xy, x’y’) = (x, x’).(y, y’)

Ta ch ra đ c:   không suy bi n khi và ch khi c và đ u không suy

Vì i là đ n ánh nên t (2.17), ta đ c:

Ker = ker(  ) = ker F + F  ker

Các không gian không NE(), NF() và NE F ( ) liên h v i nhau b i công th c:

= L(E), F* = L(F) C m sinh tích vô

h ng trong L(E) L(F) và EF, cho b i :

i: L(E) L(F)  L(EF) xác đ nh b i:

i(fg), (xy ) = f(x).g(y) (3.14)

T (3.11), (3.13), (3.14) ta đ c h th c

< i(fg), (xy ) > = f(x).g(y) = < fg, xy >

Do đó đ n ánh i b o toàn tích vô h ng

3.6 Không gian tích trong

M t không gian tích trong c a không gian véct E là m t hàm song tuy n tính đ i x ng không suy bi n trong E, ký hi u ( , ) c bi t, m i không gian Euclide đ u có m t không gian tích trong

Gi s E và F là không gian tích trong và ký hi u c hai là ( , ) T (3.2)

suy ra có duy nh t m t ánh x tuy n tính ( , ) trong EF th a mãn :

3.7 i s k t h p

Cho E*, E là c p không gian véct đ i ng u Ta đ nh ngh a phép nhân trong

không gian E*E : (x*x)( y*y) = < x*

, y > < y*x > D th y r ng, tích

t E*E lên m t đ i s k t h p (không giao hoán) là m t đ i s giao hoán

Xét ánh x tuy n tính T: E*E L(E, F),

T là đ ng c u tuy n tính ( khi đó T là đ n ánh) Do đó t = T-1(i)là ph n t đ n v

c a đ i s giao hoán hay là tenx đ n v c a E rõ ràng, ta xét tenx đ n v