Luận văn sư phạm Nhập môn đại số Lie

Lý do chọn đề tài Đại số Lie là một khái niệm có nguồn gốc từ giải tích.Ví dụ cơ bản của đại số Lie là không gian các phép đạo hàm trên một đại số.. Nó là một đại số quan trọng được sử d

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục 1

Mở đầu 3

Chương 1 Một số khái niệm cơ sở 5

1.1.Trường 5

1.1.1.Định nghĩa trường 5

1.1.2.Iđêan và đồng cấu 6

1.2.Không gian véctơ 6

1.2.1.Khái niệm 6

1.2.2.Các tính chất 9

1.2.3.Không gian véctơ con 9

1.2.4.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 9

1.3.Ánh xạ tuyến tính 11

1.3.1.Định nghĩa 11

1.3.2.Một số tính chất của ánh xạ tuyến tính 11

1.3.3.Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính 12

1.3.4.Tích tenxơ của các không gian véctơ 12

Chương 2 Đại số Lie 14

2.1 Định nghĩa đại số Lie 14

2.2 Một số khái niệm liên quan 17

2.2.1 Đại số Lie con 17

2.2.2 Iđêan và đại số thương 19

2.2.3 Đồng cấu của đại số Lie 22

2.2.4 Môđun trên đại số Lie 23

Chương 3 Đại số bao phổ dụng của đại số Lie 25

3.1 Tích tenxơ và đại số tenxơ 25

3.1.1 Tích tenxơ 25

3.1.2 Đại số tenxơ 26

3.2 Đại số bao phổ dụng của một đại số Lie 28

3.2.1 Khái niệm 28

3.2.2 Cấu trúc của U(L) 30

3.2.3 Định lý Poincare-Birkhoff-Witt 36

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Đại số Lie là một khái niệm có nguồn gốc từ giải tích.Ví dụ cơ bản

của đại số Lie là không gian các phép đạo hàm trên một đại số Nó là

một đại số quan trọng được sử dụng trong nghiên cứu về lý thuyết

phương trình đạo hàm riêng.Ở các năm học trong trường đại học, sinh

viên chúng em chưa được học về đại số Lie, xuất phát từ sự ham hiểu

biết về mối liên hệ của các ngành toán học, em đã lựa chọn đề tài:" Nhập

môn đại số Lie" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp Trong nội dung khóa

luận này em muốn trình bày một cách khái quát nhất những gì về đại số

Lie

Dựa trên những tính chất về trường, không gian véctơ và một số

khái niệm đại số đã biết để đi xây dựng một đại số Lie, từ đó có cách

định nghĩa cụ thể về đại số Lie, nắm được các tính chất của đại số Lie

Đưa ra một số vấn đề liên quan đến đại số Lie như: đại số Lie con, iđêan

của đại số Lie, đồng cấu của đại số Lie, đại số Lie giao hoán,

môđun các khái niệm này được định nghĩa tương tự như các khái niệm

về đại số con, iđêan, đồng cấu, môđun, giao hoán trong ánh xạ tuyến tính

và trong một đại số.Trình bày định lý cơ sở quan trọng nhất của lý thuyết

đại số Lie.Ngoài ra, dựa vào định nghĩa và các khái niệm liên quan trọng

đại số tenxơ để đưa ra định nghĩa về đại số bao của đại số Lie Từ đó, ta

nghiên cứu về tính phổ dụng của nó để thấy được rằng từ tính phổ dụng

của đại số bao ta có thể xây dựng một cấu trúc đại số Hopf Như vậy,

bên cạnh việc được sử dụng trong nghiên cứu về lý thuyết đạo hàm, đại

số Lie còn có liên hệ mật thiết với đại số Hopf

II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

1.Tìm hiểu khái quát về đại số Lie

2.Tìm hiểu một số vấn đề liên quan tới đại số Lie như:

- Đồng cấu đại số Lie

-Tích tenxơ của hai đại số

- Đại số bao phổ dụng của đại số Lie

III Các phương pháp nghiên cứu chính

1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các kiến thức liên quan tới đề tài

- Nghiên cứu ứng dụng của kiến thức đưa ra

2 Phương pháp phân tích, tổng hợp

IV Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo, nội dung

khóa luận được chia làm 3 chương:

Chương 1 Một số khái niệm cơ sở

Trong chương này, em trình bày một số khái niệm liên quan cần

dùng trong các chương sau như:trường, không gian véctơ, ánh xạ tuyến

tính

Chương 2 Đại số Lie

Chương này trình bày khái niệm đại số Lie, đại số Lie con, đồng

cấu đại số Lie và một số tính chất của đại số Lie

Chương 3 Đại số bao phổ dụng của đại số Lie

Trong chương này, em trình bày khái niệm đại số bao phổ dụng

của một đại số Lie, sự tồn tại, và tính duy nhất của đại số bao phổ dụng

của một đại số Lie

Cho tập hợp K có ít nhất hai phần tử Trên K có hai phép toán là

phép cộng (ký hiệu là +) và phép nhân (ký hiệu là hoặc ´) K cùng với

hai phép toán đó được gọi là một trường nếu thỏa mãn 9 tính chất sau:

1 Phép cộng có tính chất kết hợp:

(a + b) + c = a + (b + c), a, b, c Î K

2 Có phần tử 0 Î K sao cho: 0 + a = a + 0 = a,  a Î K Phần tử 0

được gọi là phần tử trung lập

3 Với mỗi phần tử a Î K luôn tồn tại một phần tử a' Î K sao cho:

a + (a') = (a') + a = 0

4 Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a,  a, b Î K

5 Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c),  a, b, c Î K

6 Có phần tử 1 Î K sao cho với mọi phần tử a ta có: a.1 = 1.a = a

Phần tử 1 được gọi là phần tử đơn vị của phép nhân trên K

7 Với mỗi phần tử a  0 luôn có phần tử a' Î K sao cho:

a.a' = a'.a = 1

Phần tử a' được gọi là phần tử nghịch đảo của a và được ký hiệu là a-1

8 Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a,  a, b Î K

9 Phép nhân phân phối đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c và

(b + c).a = b.a + c.a,  a, b, c Î K

Các tính chất trên còn được gọi là các tiên đề của trường

1.1.2 Iđêan và đồng cấu

1 Iđêan của một trường

Định nghĩa 1.2

Cho X là một trường, I là một trường con của X Khi đó I là một

iđêan của trường X

Cho X là một trường, A là một iđêan của X Khi đó nếu A  

thì sẽ

 x Î A, x ≠ 0   x-1 Î X: x.x-1 = e Khi đó x ÎX, x  0 ta có x = e.x Î A ( Do A là iđêan ) Vậy A= X Từ đó

suy ra một trường có thể có nhiều trường con nhưng chỉ có 2 iđêan là

Vậy một đồng cấu trường hoặc là đơn cấu, hoặc là đồng cấu q

1.2 Không gian véctơ

1.2.1 Khái niệm

Định nghĩa 1.4

Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: , , , K

là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z, Trên V

ta xét hai phép toán:

 Phép cộng hai phần tử của V:

+ : V ´ V → V (, )   + 

nhân vô hướng):

K ´ V → V (x, )  x.

Giả sử đối với mọi , ,  Î V, mọi x, y Î K các điều kiện sau được thỏa

mãn:

1) (  + ) +  =  + ( + ),

2) Tồn tại véctơ q sao cho q +  =  + q = ,

3) Với mỗi  có một phần tử ' sao cho  + ' = ' +  = q,

4)  +  =  + ,

5) x.( + ) = x. + x.,

6) ( x + y ). = x. + y.,

7) (x.y). = x.(y.),

8) 1. = , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó, ta nói rằng V là một không gian véctơ trên trường K (hoặc V là

K- không gian véctơ) Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên

trường K

Chú ý

1 Các phần tử của V được gọi là các véctơ Phần tử q được gọi là

véctơ không, ' được gọi là phần tử đối của  và được kí hiệu là (-)

Ta sẽ viết  + (-) là - và gọi là hiệu của hai véctơ , 

2 Khi K= ฀ ( tương ứng K = ฀ ) ta nói V là không gian véctơ thực

( tương ứng không gian véctơ phức)

3 Khi ta nói V là một không gian véctơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang

nói đến V cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và

phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K

4 Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân

một phần tử x thuộc trường K với một véctơ  thuộc V là x thay vì viết

x.

Các ví dụ:

1 Tập hợp V các véctơ ⃗ , ⃗, ⃗ chung gốc O trong không

gian (mà ta học ở trường phổ thông) cùng với phép cộng hai véctơ và

phép nhân một véctơ với một số thực là một không gian véctơ Nó được

gọi là không gian véctơ hình học

2 Mỗi trường K là một không gian véctơ trên K đối với phép cộng

và phép nhân trên K

3 Trường số thực ฀ là một không gian véctơ trên trường số hữu tỉ

฀

4 Trường số phức ฀ là một không gian véctơ trên trường số thực ฀

và cũng là một không gian véctơ trên trường ฀

5 Giả sử K là một trường số, tập hợp K[x] các đa thức của ẩn x với

hệ số trong K, cùng với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với

một số, là một K-không gian véctơ

6 K = K ´ K ´ ´ K là tích Đề các của n phiên bản K Trên K , ta

xác định phép cộng hai phần tử và phép nhân một phần tử của K với

một số thuộc K như sau: với α = ( , , , ), β = ( , , , ) thuộc

K và số r ∈ K,

( , , , ) + ( , , , ) = ( + , + , , , ),

r( , , , ) = (r , r , , r )

Khi đó K là một K-không gian véctơ Từ đây trở đi, mỗi khi nói đến

không gian K ta hiểu rằng hai phép toán trong đó đã được định nghĩa

như trên Từ định nghĩa không gian véctơ ta suy ra ngay một số tính chất

đơn giản của nó

1.2.2 Các tính chất

Giả sử V là một không gian véctơ trên trường K, khi đó

1 Véctơ không θ là duy nhất

2 Với mỗi α ∈ V, vectơ đối của α là duy nhất

9 Nếu α + γ = β + γ thì α = β, ∀α, β, γ ∈ V (Luật giản ước)

10 Nếu α + β = γ thì α = γ − β, ∀α, β, γ ∈ V (Quy tắc chuyển vế)

1.2.3 Không gian véctơ con

Định nghĩa 1.5

Giả sử V là một không gian véctơ trên trường K Tập con W khác

rỗng của V được gọi là không gian véctơ con (hay không gian con) của

không gian véctơ V nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 ∀α, β ∈ W : α + β ∈ W

2 ∀α ∈ W : xα ∈ W (∀x ∈ K )

Tính chất

Tập W khác rỗng của V là không gian con của K − không gian véctơ

V khi và chỉ khi với mọi α, β ∈ W, mọi x, y ∈ K ta có: xα + yβ ∈ W

1.2.4 Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.6

Cho m véctơ 1, 2, , m của không gian véctơ V trên trường K ,

m > 1

1 Hệ véctơ 1, 2, , m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn

tại m phần tử , , , ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

x11 + x22 +· · · + xmm = θ

2 Hệ véctơ 1, 2, , m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó

không phụ thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương:

x11 + x22 +· · · + xmm = θ  = = · · · = = 0

3 Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn

của S đều độc lập tuyến tính

Tính chất 1

1 Hệ gồm một véctơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α  θ

2 Mọi hệ véctơ chứa véctơ θ đều phụ thuộc tuyến tính

3 Mọi hệ véctơ chứa hai véctơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến

tính

4 Một hệ gồm m véctơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

có một véctơ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ còn lại

Tính chất 2

Nếu hệ gồm các véctơ 1, 2, , m độc lập tuyến tính và β là một

véctơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ đã cho thì hệ véctơ

1, 2, , m , β cũng độc lập tuyến tính

Tính chất 3

1 Nếu ta thêm một số véctơ bất kỳ vào một hệ véctơ phụ thuộc tuyến

tính thì được một hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính

2 Nếu bớt đi một số véctơ bất kỳ của một hệ véctơ độc lập tuyến

tính thì được một hệ véctơ độc lập tuyến tính

1.3 Ánh xạ tuyến tính

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K Ánh xạ f : U → V

được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K, θV là véctơ

"không" của V Ánh xạ ϑ : U → V xác định bởi ϑ(α) = θV với mọi α ∈ U

là ánh xạ tuyến tính và được gọi là đồng cấu không

2 Cho A là một không gian con của K −không gian véctơ V

Ánh xạ i : A → V là ánh xạ tuyến tính và là đơn cấu

α ↦ α

Nói riêng, khi A = V thì ta có ánh xạ tuyến tính idV : V → V , đó là một

tự đẳng cấu của V và được gọi là ánh xạ đồng nhất trên V

Giả sử U, V và W là ba không gian véctơ trên trường K , f : U → V

và g : V → W là hai ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ hợp thành:

g o f : U → W cũng là ánh xạ tuyến tính

Tính chất 3

Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K và f : U → V

1.3.3 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính

Nhắc lại rằng nếu f : X → Y là một ánh xạ, A là một bộ phận của X, B

là một bộ phận của Y Tập hợp {y | ∃a ∈ A, f(a) = y} được gọi là ảnh của

A qua f và ký hiệu là f(A) Tập hợp {x ∈ X | f(x) ∈ B} gọi là ảnh ngược

của B qua f và ký hiệu là (B)

Tính chất 1:

Cho U và V là hai K −không gian véctơ trên trường K , f : U → V

là ánh xạ tuyến tính, khi đó:

1 Nếu U′ là không gian con của U thì f(U′) là không gian con của V

Giả sử U và V là hai không gian véc tơ trên trường K , f : U → V là

ánh xạ tuyến tính và  ,  , ,  (1) là một hệ véc tơ trên U Khi đó

nếu hệ f( ), f( ), , f( ) (2) là độc lập tuyến tính hệ (1) cũng độc

lập tuyến tính

Tính chất 4

Cho U và V là hai K −không gian véctơ và f : U → V là ánh xạ tuyến

tính Khi đó, dim U = dim im f + dim ker f

1.3.4 Tích tenxơ của các không gian véctơ:

Định nghĩa: ( định nghĩa về ánh xạ đa tuyến tính)

Giả sử E và F là những không gian véctơ trên trường K, k là một số

nguyên dương Ta gọi ánh xạ

Cho E1, E2, …, Em là các không gian véctơ và ( f, F ) là ký hiệu một

ánh xạ đa tuyến tính f : E1 ´ E2 ´ … ´ Em  F Giả sử có ( f, F ), ( g, G)

Nếu ℓ : F  G và g = ℓo f thì ta nói rằng ℓ là một đẳng cấu của ( f, F )

vào ( g, G ) Bằng cách này, ta có một tập hợp gồm tất cả các ( f, F ) vào

trong một phạm trù Muốn một đối tượng trong phạm trù này là một đối

tượng với đẳng cấu duy nhất vào trong mọi đối tượng khác Vì vậy muốn

một cặp ( t, Γ ) trong đó Γ là một không gian véctơ và:

t : E1 ´ E2 ´ … ´ Em  Γ

là một ánh xạ đa tuyến tính, và với mọi ( f, F ) có duy nhất một cặp ánh

xạ tuyến tính ℓf : Γ  F sao cho f = ℓf o t

Chương 2

ĐẠI SỐ LIE

2.1 Định nghĩa về đại số Lie

Định nghĩa 2.1:

Cho L là một không gian véctơ trên trường K, L được gọi là đại số

Lie trên K nếu tồn tại phép toán:

[ , ] : L ´ L → L (x, y) [x, y]

Số chiều, dimK(L), gọi là số chiều của đại số Lie L, [ , ] gọi là tích Lie

Nếu K = ฀ thì L là đại số Lie thực

Nếu K = ฀ thì L được gọi là đại số Lie phức

Khi dấu móc Lie [ , ] là song tuyến tính, ta có:

0 = [ x + y, x + y ] = [ x, x ] + [ x, y ] + [y, x ] + [ y, y ]= [ x, y ] + [y, x ]

 [ x, y ] = - [y, x ] , x, y Î L

Đại số Lie được gọi là giao hoán nếu [ x, y ] = 0, x, y Î L

Nhận xét 2.1:

1) Mỗi không gian véctơ V trên trường K là một đại số Lie giao

hoán với tích Lie [ x, y ] = 0, x, y Î V

2) Cho L là một đại số (không nhất thiết kết hợp), xác định

[ , ] : L ´ L → L (x, y) [x, y] = xy - yx

Khi đó L là một đại số Lie Thật vậy, [ , ] thỏa mãn 3 điều kiện trên

gian véctơ 3 chiều thực Xác định [A, B] = AB - BA, A, B Î L Lúc

đó L là đại số Lie 3 chiều thực, ký hiệu L = so(3)

Mệnh đề 2.1:

Tích trực tiếp hay tổng trực tiếp của hữu hạn các đại số Lie là một

đại số Lie

Chứng minh

Giả sử L1, L2, …, Ln là các đại số Lie Đặt L = L1 ´ … ´ Ln Ta có

thể dễ dàng chỉ ra L là một không gian véctơ Xét

[ , ] : L ´ L → L (x, y) [x, y] = ([x1, y1], …, [xn, yn]),

trong đó x = ( x1, …, xn), y = (y1, …, yn), xi, yi Î Li, i = 1, …, n Ta đi

kiểm tra [,] là một ánh xạ thỏa mãn 3 điều kiện trở thành tích Lie

 Với mọi x, y Î L, [x, y]Î L và nếu (x, y) = (x’, y’) thì x = x’, y = y’,

nên [ x, y ] = [ x’, y’] Do đó [,] là một ánh xạ Hơn nữa,

+[[yn, zn], xn] + [[ zn, xn ], yn])

= (0, …, 0)

= 0

Ta cũng có kết quả trên với tổng trực tiếp vì chúng là đẳng cấu

 Bổ đề 1

Cho L là một đại số Lie Ta có

i) [ v, 0 ] = 0 = [ 0, v ], vÎ L

ii) Giả sử rằng x, y Î L thỏa mãn [ x, y ] 0 Khi đó  x, y  là hệ độc

lập tuyến tính trên trường K

Chứng minh:

i) vÎ L, ta có: [ v, 0 ] = [ v, v - v ] = [ v, v ] - [ v, v ] = 0 suy ra

[ v, 0 ] = 0 (1) Tương tự ta có:

[ 0, v] = 0, v Î L (2)

Từ (1) và (2) suy ra [ v, 0 ] = 0 = [ 0, v ] vÎ L

ii) Với x, y Î L mà [ x, y ]  0  x  y  0 Xét đẳng thức

x + y = 0 (3), lần lượt lấy dấu móc Lie với x, y ta có:

0 = [ x, x + y ] = [ x, x ] + [ x, y ] = [ x, y ]   = 0

Tương tự ta có  = 0 Khi đó hệ  x, y  là hệ độc lập tuyến tính □

2.2 Một số khái niệm liên quan

2.2.1 Đại số Lie con

Định nghĩa 2.2

Cho đại số Lie L, L’ L Khi đó L’ được gọi là đại số Lie con nếu

a L’ là không gian con ;

b x, y Î L’, ta có [x,y] Î L’

Với L1, L2  L, ta kí hiệu [L1,L2] = [x,y]  x Î L1, y Î L2  L Lúc đó

(b.) có dạng [L’,L’]  L’

Nhận xét 2.2:

1 Ta có 0, L là các đại số Lie con của L

2 Mỗi đại số Lie con là một đại số Lie với tích Lie cảm sinh

3 Xét L = gl(n, K), L’ = A = (aij)nAt = -A  L Khi đó:

 L’ là không gian véctơ con vì A, BÎ L’, ,  Î K ta có

(A + B)t = At + Bt  A + B Î L’

 Với mọi A, B Î L’,

[A, B]t = (AB – BA)t = (AB)t – (BA)t = BtAt – AtBt

= - B.(-A) – (-A).(-B) = - (AB - BA) = -[A,B]

[A, B] Î L’ hay [L’, L’]  L’ Ký hiệu L’= so(n, K) Đại số Lie so(3)

ở nhận xét 2.1 là một trường hợp riêng của L’, nó là một đại số Lie con

của gl(n,฀ )

4 Xét K = A Î gl(n, K)Tr A = 0 (Tr A là vết của A) là 1 đại số

Lie con của L Thật vậy, theo tính chất nhân và cộng của ma trận ta dễ

dàng suy ra K là một không gian con của gl(n, K) Hơn nữa, Tr A =  aij,

A, B Î L ta có

Tr AB = aijbij = bijaij = Tr BATr [A,B] = 0, A,B Î L

Do đó [K, K]  K Kí hiệu K := sl(n, K)

5 Xét L = su(2) = X Î gl(2, ฀ )  X* + X = 0, với X* = t là liên

hợp phức của chuyển vị của X, là một đại số Lie thực 3 chiều với cơ sở

0

Ta có thể xem nó là đại số Lie con của đại số Lie gl(2,฀ ) Thật vậy, L là

một không gian véctơ con của gl(2,฀ ) vì x, y Î L,  Î ฀ , ta có

(x +y)* = x* + y*,(x)* = x*,Tr(x + y) = Trx +Try, Tr(x) = Try

Hơn nữa, x, yÎ L,

[x,y] = xy - yx  [x, y]* + [x, y] = (xy – yx)* + xy – yx

= ( − )t +xy – yx = ( ) – ( )t + xy – yx = (xy)* + xy – ((yx)* + yx) = 0,

và Tr([x, y]) = Tr(xy – yx) = 0 Suy ra [x, y] Î L

6 Cho L là một đại số Lie, L1 là một không gian véctơ con của L

đặt Nl(L1) = x Î L  [x, y] Î L1, y Î L1 là đại số Lie con, gọi là chuẩn

tắc hóa của L1 trong L và Zl(L1) = x Î L  [ x, y ] = 0, y Î L1 dựa vào

tính song tuyến tính của tích Lie ta suy ra được Nl(L1), Zl(L1) là các

không gian véctơ con của L Ngoài ra, x, y Î Nl(L1), z Î L1, ta có

[[x, y], z] = -([[y, z], x] + [[z, x], y]) Î L1 Suy ra [x,y] Î Nl(L1) Tương tự cho Zl(L1) Rõ ràng, Zl(L1)  Nl(L1) Đặc

biệt, L1 = L ta kí hiệu ZL = ZL(L1) gọi là tâm của L Với L = gl(n, K),

x Î ZL  xy = yx, y Î L, khái niệm tâm trở về khái niệm tâm thông thường

2.2.2 Iđêan và đại số thương

Định nghĩa 2.3

Cho đại số Lie L, L1  L Ta gọi L1 là iđêan của L nếu

a, L1 là không gian véctơ con;

b, [L1, L]  L’

Iđêan L1 được gọi là iđêan cực tiểu nếu L1  0 và L2 là một iđêan của L

sao cho: 0  L2  L1 thì L2 = 0 hoặc L1 = 0

Iđêan L1 được gọi là iđêan cực đại nếu L1  L và là một iđêan của L sao

cho L1  L2  L thì L2 = L1 hoặc L2 = L

Nhận xét 2.3

1.Nếu L’ là iđêan thì L’ là đại số Lie con

2.Có 0, L gọi là các iđêan của L

3.Tâm của L, ZL, là một iđêan của L vì

x Î ZL, y Î L, [ x, y ]= 0Î ZL Mệnh đề 2.2

Cho L1, L2 là các iđêan của L Khi đó L1 L2, L1 + L2, [L1,L2] là

[ x, y + y’] Î L1, [x’, y + y’] Î L2  [x + x’, y + y’] Î L1 + L2

Ta đi chứng minh [ L1, L2 ] là một iđêan của L Ta gọi [ L1, L2 ] là

một không gian véctơ con của L Với mọi x Î L1, yÎL2, z ÎL, ta có

Hệ quả: Ta có [ L, L ] là iđêan của L

Mệnh đề 2.3:

Cho L là một đại số Lie, L’ là một iđêan của L Khi đó, không gian

véctơ thương L/L’ =  x + L’ x Î L là đại số Lie với phép toán

[ x + L’, y + L’] = [ x, y ] + L’

Chứng minh:

[ x - x’, y ] + [ x - x’, y’ ] + x’, y - y’ ] + [ x’ , y - y’ ] Î L’,

hay 2[ x, y ] - 2[ x’, y’] Î L’ Suy ra [x, y] + L’ = [ x’, y’] + L’ Vậy [ , ]

Đại số Lie cho ở mệnh đề 2.3 gọi là đại số Lie thương của L theo L’

Nghĩa là: Xét không gian thương L/I, với , Î L/I, đặt

[ , ] := [ , ] I = [ , ]

Ta có cấu trúc ( L/I, [ ] ) là đại số Lie thương của L xác định bởi I

*Chuẩn hóa tử: Cho L’  L, NL(L’) =  x Î L  [ x, L’ ]  L’  gọi là

chuẩn hóa tử của L’ trong L Ta có:

i) L’  NL(L’)  L’

ii) Nếu L’ = NL(L’) ta nói L’ tự chuẩn hóa

*Tâm hóa tử : Cho X là tập con của đại số lie L Đặt

CL(X) = x Î L  [x, X] = 0 ,