Luận văn sư phạm Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Sinh viên Nguy n Th Thu... Sinh viên Nguy n Th Thu... Vì nên suy ra... Ch ng minh: Hi n nhiên theo trên.

Nguy n Th Thu 1 K31G – SP Toán

L i c m n

Trong th i gian h c t p t i khoa Toán, Tr ng i h c s ph m Hà

N i 2, đ c s d y d , ch b o t n tình c a các th y cô giáo em đã ti p thu

đ c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m và ph ng pháp khoa h c m i,

b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Tr c s b ng và

g p nhi u khó kh n khi m i làm quen v i công vi c đó, em đã nh n đ c s giúp, đ ng viên c a các th y cô và b n bè trong khoa Qua đây em xin g i l i

c m n t i toàn th các th y các cô và b n bè trong khoa c bi t em xin g i

l i c m n sâu s c t i cô giáo, Th c s Hà Th Thu Hi n, ng i đã t n tình

giúp đ đ em hoàn thành khoá lu n này

Qua đây em c ng xin g i l i c m n t i cô giáo, Th c s Nguy n Th

Ki u Nga

Hà N i, tháng 05 n m 2009

Sinh viên

Nguy n Th Thu

Nguy n Th Thu 2 K31G – SP Toán

L i cam đoan

Khoá lu n c a em đ c hoàn thanh d i s h ng d n c a cô giáo,

Th c s Hà Thi Thu Hi n cùng v i s c g ng c a b n thân Trong quá trình

nghiên c u và th c hi n khoá lu n, em có tham kh o, k th a m t s k t qu

c a các tác gi trong m t s tài li u (có nêu trong m c tài li u tham kh o)

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khoá lu n này là thành qu nghiên c u n l c c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác

N u sai em xin ch u hoàn toàn trách nhi m

Hà N i, tháng 05 n m 2009

Sinh viên

Nguy n Th Thu

Nguy n Th Thu 3 K31G – SP Toán

Nguy n Th Thu 4 K31G – SP Toán

M đ u

1 Lý do ch n đ tài:

i s là m t nghành chi m v trí quan tr ng trong khoa h c Toán h c

Nó góp ph n thúc đ y s phát tri n c a toán h c hi n đ i Ngày nay nhu c u

h c h i c a sinh viên khoa Toán, các th y cô d y Toán và nh ng ng i quan tâm t i Toán h c nói chung và môn i s nói riêng, ngày càng gia t ng V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b môn này, d i góc đ m t sinh viên s

ph m Toán và trong ph m vi c a m t khoá lu n t t nghi p cùng v i s giúp

đ c a cô giáo, Th c s Hà Th Thu Hi n, em xin trình bày nh ng hi u bi t

c a mình v đ tài:” Nh p môn lý thuy t bi u di n n a nhóm”

2 M c đích nghiên c u:

Quá trình nghiên c u th c hi n đ tài đ giúp em b c đ u làm quen

v i vi c nghiên c u khoa h c và có c h i tìm hi u sâu h n v đ i s , đ c bi t

là v n a nhóm thông qua bi u di n c a nó

3 Nhi m v nghiên c u:

tài này đ c nghiên c u nh m đi sâu khai thác làm n i b t các đ c

tr ng c a m t n a nhóm giao hoán, các bi u di n b t kh qui chính c a m t

Nguy n Th Thu 5 K31G – SP Toán

Trong su t quá trình nghiên c u, đ c s giúp đ t n tình c a cô giáo,

Th c s Hà Th Thu Hi n, em đã hoàn thành khoá lu n này M t l n n a cho

Nguy n Th Thu 6 K31G – SP Toán

+ Phép toán hai ngôi ( ) trên t p đ c g i là k t h p n u , ,

Nguy n Th Thu 7 K31G – SP Toán

2, T p h p các ma tr n vuông c p cùng v i phép toán tích các ma

tr n là m t n a nhóm

nh ngh a 1.1.3 N a nhóm con

Cho ( , ) là m t n a nhóm, khi đó đ c g i là n a nhóm con c a , n u ,

nh ngh a 1.1.4 Ph n t không

Cho là m t n a nhóm, ph n t đ c g i là ph n t không bên trái, bên ph i n u t ng ng = , = , z đ c g i là ph n t không n u nó v a là ph n t không bên trái v a là ph n t không bên ph i

nh ngh a 1.1.5

N a nhóm v i ph n t không đ c g i là n a nhóm v i phép nhân không n u = 0 ,

Nguy n Th Thu 8 K31G – SP Toán

+ , giao t t c các iđêan trái c a , ch a là m t iđêan trái c a

ch a và đ c ch a trong m i iđêan trái khác có tính ch t đó Ta g i nó là iđêan trái c a sinh b i , kí hi u < > D th y < > = = 1

+ T ng t ta c ng có iđêan ph i c a sinh b i , kí hi u < > và iđêan sinh b i , kí hi u < > Ta c ng d th y < > = = 1 và

+ N u = thì ta g i = 1 ; = 1; = 1 1

t ng ng là các iđêan chính trái, ph i, hai phía c a sinh b i

+ M t iđêan hai phía, trái, ph i, c a n a nhóm đ c g i là t i ti u

n u t ng ng nó không ch a th c s các iđêan hai phía, trái, ph i, khác c a

+ N u có m t iđêan t i ti u hai phía thì đ c g i là h t nhân c a

ch a m t iđêan ph i, iđêan trái th c s nào

N a nhóm đ c g i là đ n n u nó không ch a m t iđêan th c s nào

Nguy n Th Thu 9 K31G – SP Toán

Nguy n Th Thu 10 K31G – SP Toán

Cho là n a nhóm, đ c g i là ph n t chính qui n u

N a nhóm đ c g i là chính qui n u , thì là ph n t chính qui

Nguy n Th Thu 11 K31G – SP Toán

= ( ) T c , cùng sinh ra iđêan chính trái c a

Nguy n Th Thu 12 K31G – SP Toán

g i là chu i chính c a n u gi a các , +1 không có iđêan nào c a n a

T p t t c các ma tr n ì ma tr n đ n th c theo dòng trên 0 là m t

n a nhóm

+ ì ma tr n Rix trên 0 là ma tr n trên 0 có không quá m t ph n

t khác không

Nguy n Th Thu 13 K31G – SP Toán

M t n a nhóm là 0 đ n hoàn toàn khi và ch khi nó đ ng c u v i m t

n a nhóm ma tr n Rixo chính qui trên m t nhóm v i ph n không

Nguy n Th Thu 14 K31G – SP Toán

ng đó b o t n s kh qui và s phân tích Do đó tính kh qui hoàn toàn đúng

đ i v i các bi u di n c a khi và ch khi [ ] là n a đ n Trong muc 2.1 chúng ta tóm t t lý thuy t v các đ i s n a đ n Sau đó ta đi tìm đi u ki n

c n và đ v m t n a nhóm h u h n sao cho [ ] là n a đ n, và đi u đó

Nguy n Th Thu 15 K31G – SP Toán

Phép nhân vô h ng trong : ì tho mãn:

Nguy n Th Thu 16 K31G – SP Toán

Nguy n Th Thu 17 K31G – SP Toán

nh ngh a 2.1.8

M t đ i s h u h n chi u trên tr ng là đ n khi và ch khi nó đ ng

c u v i ( ) v i là m t đ i s chia đ c trên , H n n a đ c xác đ nh m t cách duy nh t b i và đ c xác đ nh duy nh t sai khác nhau

Nguy n Th Thu 18 K31G – SP Toán

N u không ch a m t không gian con b t bi n nào th c s khác 0, thì

bi u di n à và chính không gian đ c g i là b t kh qui

Nguy n Th Thu 19 K31G – SP Toán

V i à là bi u di n b c c a trên , là không gian bi u di n cho à Khi đó chu i h u h n 0 = 0 1 = (3) các không gian con

b t bi n c a sao cho gi a 1 , không có không gian con b t bi n

(4) là s thu g n t i đa c a à b i các b ph n b t kh qui à c a nó

c bi t khi = , , là các không gian con b t bi n c a

Khi đó Ã 21 = 0 ,

Ch ng minh:

Ta có Ã = Ã1( ) 0

Ã21( ) Ã2( ) thì Ã( ) ,

Nguy n Th Thu 20 K31G – SP Toán

Khi đó ta có Ã1( ) 0

(*)

Thì Ã = Ã1 Ã2 Ã Và Ã đ c g i là hoàn toàn kh qui

VD: Cho là đ i s đ n, khi đó m i đ ng c u t vào ( ) là bi u di n

b t kh qui c a

B đ Sua

Gi s Ã, Ä là các bi u di n b t kh qui trên đ i s , n u t n t i h ng

ma tr n ( ) : Ã = Ä thì ho c = 0 ho c không suy bi n và Ã, Ä là t ng đ ng

Th t v y: Ta ch ng minh nó tho mãn đi u ki n là m t đ ng c u đ i s

Nguy n Th Thu 21 K31G – SP Toán

M i bi u di n chính qui c a là hoàn toàn kh qui và m i bi u di n

b t kh qui khác không c a đ c ch a trong (t c t ng đ ng v i bi u

di n c m sinh b i trong m t iđêan ph i t i ti u nào đó c a)

Nguy n Th Thu 22 K31G – SP Toán

Cho là m t đ i s chi u trên , Ã là m t bi u di n b c c a trên , v i là s nguyên d ng b t k V i m i ma tr n ( ) ( ) Ta

ii, Ã [( ) + ( )] = Ã [( + )]

=(Ã(aij + bij)) =(Ã( )) + (Ã( ))

Nguy n Th Thu 23 K31G – SP Toán

Khi đó , là không gian con b t bi n th c s c a thì ( )

Do là bi u di n chính qui bên ph i nên = nên là iđêan ph i c a

Nguy n Th Thu 24 K31G – SP Toán

Ngh a là = 1, t c = 1 V y là đ i s đ n

B đ 2.1.18

Gi s là đ i s h u h n chi u trên tr ng N u không ph i

là c bên ph i (trái) c a không thì ch a m t đ n v ph i (trái) sao cho

Nguy n Th Thu 25 K31G – SP Toán

Gi s là m t đ i s h u h n chi u trên tr ng không ph i là c bên ph i và c bên trái c a 0 thì ch a m t ph n t đ n v và là m t

ph n t kh ngh ch, t c là = =

H qu 2.1.20

Gi s là m t đ i s h u h n chi u trên tr ng , là m t s nguyên d ng P ( ) N u không ph i là c bên ph i và bên trái c a không trong ( ) Thì có m t ph n t đ n v và không suy bi n

Nguy n Th Thu 26 K31G – SP Toán

L y = ( 2 2 1 2), X2là ma tr n c p ì khác không trên

B đ 2.2.3

Nguy n Th Thu 27 K31G – SP Toán

Gi s là m t iđêan c a , th thì [ ] [ ] đ ng c u v i đ i s co rút 0[ / ]c a trên

V i = 1 2 +1 = (1) là chu i chính c a n a nhóm

Ch ng minh:

T ng ng v i chu i (1) ta có chu i các iđêan c a [ ]

Theo b đ 2.2.3 ta có [ ] [ +1] 0[ / +1] = 1, 1

M t khác theo b đ 2.1.6 [ ] là n a đ n khi và ch khi [ ] [ +1]

là n a đ n Theo b đ 2.2.4 ta có đi u ph i ch ng minh

H qu 2.2.6

N u [ ] là n a đ n thì là n a đ n

Nguy n Th Thu 28 K31G – SP Toán

N u +1 là n a nhóm v i phép toán nhân không thì 0[ +1] là

đ i s v i phép nhân không, khi đó nó không th là n a đ n

Ch ng minh:

Gi s ta đ ng nh t các ph n t không c a và [ ] và các ph n t không c a và Vì nên suy ra

, A= ( ) v i [ ]

= ; , ( ; , ),

= =1 =1 =1 ; , ( )

Nguy n Th Thu 29 K31G – SP Toán

V y m i ph n t thu c là m t t h p tuy n tính khác không ( )

T ng t v i > , t n t i ma tr n 0 c p ì trên mà = 0 mâu thu n v i =

V y không có c bên ph i và bên trái c a không trong ( ) Theo

đ nh lí 2.1.20, là đ n v và không suy bi n

Ng c l i gi s có đ n v và không suy bi n Theo đ nh ngh a

c a ma tr n không suy bi n suy ra =

Gi s 1 là ngh ch đ o c a trong ( ) Suy ra = 1 là đ n v

c a

Nguy n Th Thu 30 K31G – SP Toán

i s Man = ( ; , ; ) trên đ i s h u h n chi u trên là

n a đ n khi và ch khi là n a đ n và không suy bi n Trong tr ng h p

Nguy n Th Thu 31 K31G – SP Toán

Ch ng minh:

Gi s à là bi u di n chính qui c a Khi đó theo đ nh lí bi u di n c

b n đ i v i các đ i s n a đ n thì à có d ng “ô k chéo”, m i à có m t ít

nh t m t l n trong à , = 1,

Nh v y à có th chuy n t i d ng “ô k chéo” m i à đ c thay th

b i à Vì v y à không suy bi n khi và ch khi à không suy bi n = 1,

Theo b đ 2.2.11 suy ra đi u ph i ch ng minh

nh lí 2.2.13

Gi s {Ã / = 1, } là t p t t c các bi u di n b t kh qui không t ng

đ ng c a m t đ i s n a đ n trên tr ng , gi s ( ) là ma tr n không suy bi n V i m i = ( ; , ; ), gi s à = Ã

Nguy n Th Thu 32 K31G – SP Toán

P là ma tr n không suy bi n, coi [ ]

Nguy n Th Thu 33 K31G – SP Toán

Suy ra trong ( [ ]) , , là t ng c a ma tr n Rix ( ) ( = 1,�฀)

Khi à là m t đ ng c u t lên ( ) , thì à đ c g i là bi u di n trung thành

VD: 1, Cho n a nhóm = { , 2, 3, }, là m t tr ng V i m i Xét à : ,

Nguy n Th Thu 34 K31G – SP Toán

tho mãn khi và ch khi m i chu i gi m th c s các iđêan chính

c a là h u h n (T c t ng đ ng v i đi u ki n ng t đo n các chu i

gi m đ i v i các iđêan chính)

Nguy n Th Thu 35 K31G – SP Toán

V i m i –l p c a ta kí hi u ( ) = 1 1 \ Ta bi t r ng 1 1chính là iđêan c a sinh b i H n n a ta c ng có ( ) là iđêan c a và do

Nguy n Th Thu 36 K31G – SP Toán

M t khác là ph n t lu đ ng không suy bi n duy nh t c a ( ) Suy ra = Vì Ã = Ã( ) , là t p h u h n

đ c g i là đ nh c a Ã

Suy ra là bi u di n chính v i đ nh à 0

: thì Ã = 0 Cho là m t –l p c a , Ã là m t bi u di n b c c a trên sao cho:

nh lí 2.4.3

Cho là n a nhóm, là tr ng

Nguy n Th Thu 37 K31G – SP Toán

ph ng trình (2.4.4) giúp ta xác đ nh m t m r ng chính b t kh qui à c a Ã

C, Hai bi u di n chính b t kh qui c a là t ng đ ng khi và ch khi

i, Chúng có chung đ nh .Và

ii, Chúng c m sinh các bi u di n t ng đ ng trong ( )

D, N u tho mãn thì m i bi u di n b t kh qui khác không c a trên là bi u di n chính

Ch ng minh:

A, Do à = [Ã( 1 1)] rõ ràng à là m t iđêan không tri t tiêu

c a à Theo gi thi t suy ra à là m t đ i s b t kh qui c a ( ) Theo đ nh lí 2.1.17 suy ra à là đ i s đ n Suy ra à = Ã

Ta vi t ( ) theo (2.4.2) à = à , suy ra à là b t kh qui và khác không

Suy ra à là đ i s đ n nên là 0 đ n ho c đ n, theo đ nh ngh a suy ra là 0 đ n

Nguy n Th Thu 38 K31G – SP Toán

Theo b đ 2.4.2 b ng vi c thay b i Nh v y sao cho:

Nguy n Th Thu 39 K31G – SP Toán

Ã1 = Ã2 1, ( )

Theo A, [ ] sao cho Ã2 = , , Ã2( ) = Ã2( ),

th thì Ã1 = Ã2 1 =

Ã1 = Ã1 = Ã2 1 = Ã2 1Suy ra Ã1, Ã2 t ng đ ng

D, Gi s tho mãn , Ã là bi u di n b t kh qui khác không b c trên

Vì Ã 0 nên t p các –l p không thu c Ã11(0) là khác r ng Theo

Nguy n Th Thu 40 K31G – SP Toán

Ch ng minh:

Nguy n Th Thu 41 K31G – SP Toán

Nguy n Th Thu 42 K31G – SP Toán

M i à khác không là bi u di n chính theo đi u ki n M và theo đ nh lí

2.4.3(D)

Gi s là đ nh c a à , là ph n t t i ti u trong t p các đó Nói cách khác, à khác không và n u à c ng khác không thì

N u sao cho < thì rõ ràng v i m i mà Ã khác không Do đó Ã = 0 v i m i nh v y, và do dó = 1, thì Ã = 0

Theo b đ 2.4.5 suy ra à = 0

Gi s = , ( = đ i v i h t nhân c a ) là th ng chính

c a liên k t v i Vì, nh ta đã ch ng t , à = 0 v i ( ), t đó suy ra à = Ã( ) v i 1 � 1 là m t bi u di n à c a , trong

đó là đ ng c u t nhiên t 1 1 lên

H n n a, Ã khác không vì Ã khác không trên , và Ã ch a bi u di n

à c a c m sinh b i à Theo gi thi t à là hoàn toàn kh qui và theo

đ nh lí 2.4.3(A), Ã là b t kh qui Do đó là h ng ma tr n không suy bi n

Nguy n Th Thu 43 K31G – SP Toán

Ã12 = 0 Nh v y à phân tích thành hai bi u di n Ã11 và Ã22 Vì c hai

bi u di n này có b c nh h n b c c a Ã, nên đ u có s b ph n b t kh qui ít

v

nh ngh a 2.5.2 Iđêan nguyên t

Nguy n Th Thu 44 K31G – SP Toán

Iđêan c a đ c g i là nguyên t n u \ là n a nhóm con c a

Qui c : là iđêan nguyên t c a

không là iđêan nguyên t c a

, là các iđêan nguyên t c a thì là iđêan nguyên t c a ,

nh ng thì ch a ch c

Khi đó t p t t c các iđêan nguyên t c a là n a đàn đ i v i phép

h p

( N a đàn hay b ng giao hoán chính là n a đàn d i đ i v i th t b

ph n t nhiên trên : Trên đ c s p th t b ph n " " đ c g i là

n a đàn d i n u m i t p con , c a có “giao” trong

T p , ph n t đ c g i là c n d i c a n u

Nguy n Th Thu 45 K31G – SP Toán

Th t v y: Theo đ nh ngh a c a thì rõ ràng nó là m t đ c tr ng c a

M t khác 2 = = 0 n u a P

1 n u a S\P Suy ra iđêan tri t tiêu c a chính là

M t khác n u là ph n t lu đ ng c a thì = 0 ho c 1 a S (do )

D th y v i , là 2 iđêan nguyên t c a thì =

B đ 2.5.3

T n t i m t đ ng c u gi a n a đàn các lu đ ng c a v i n a đàn các iđêan nguyên t c a sao cho n u ng v i thì là iđêan tri t tiêu c a Và chính là đ c tr ng c a \

Ch ng minh: Hi n nhiên theo trên

V i là iđêan nguyên t c a , ta đ nh ngh a:

= , = là t p g m t t c các đ c tr ng c a tri t tiêu đúng trên