Luận văn sư phạm Định lí Ceva và định lí Menelaus trong E2

sinACD t: U = CAOsin .HCOsin .AHDsin CADsin .HCDsin .AHDsin .HADsin .CHDsin ACDsin .CHDsin .HADsin... XZ.OBOA Cho AD, BE, CF là các Cevian trong tam giác ABC.. Lúc đó, các Cevian đ ng B

M C L C

Trang

1.1 Vài nét v tác gi Ceva và n i dung đ nh lí Ceva 6

1.2 ng d ng c a đ nh lí Ceva trong gi i toán 9

Ch ng 1: nh lí Ceva

1.1 VƠi nét v nhƠ toán h c Ceva và n i dung đ nh lí Ceva

1.1.1 VƠi nét v nhƠ toán h c Ceva

Giovani Ceva sinh ngày 7 tháng 12 n m 1647 t i Milan, n c Ý.Ông

Thu nh , ông theo h c t i tr ng dòng thiên chúa giáo Milan, l n lên ông

Toán t i tr ng đ i h c Mantua, n i ông g n bó su t cu c đ i

N m 1686, khi m i đ c b nhi m, Giovani Ceva làm vi c d i quy n cai tr

Ph n l n cu c đ i Giovani Ceva giành cho nghiên c u hình h c Ông đã

khám phá ra m t trong nh ng k t qu quan tr ng v tam giác b ng ph ng

pháp hình h c t ng h p nh lí phát bi u r ng các đ ng th ng qua đ nh c a

m t tam giác và c t các c nh đ i di n rõ ràng thì đ ng quy khi tích t s các

đo n th ng chia c nh tam giác b ng 1

nh lí Ceva đ c in trong cu n “ De lineis rectis” (1678)

Ceva cho xu t b n “ Opuscula mathematica” n m 1682 Trong “Geometria

Motus” (1692), trong m t ch ng m c nào đó, ông đã đ c p đ n phép tính vi

phân N m 1711, ông cho ra đ i cu n “Dere Nummeraria”, m t trong nh ng

công trình đ u tiên v toán kinh t , nh m tìm ra đi u ki n cân b ng cho h

th ng ti n t c a bang Mantua

Ceva c ng có nh ng công trình quan tr ng v thu l c h c, tiêu bi u là cu n

“Opus hydro staticum” (1728) Ông là m t viên ch c nh Mantua, và đã

A

F

C E

B

L

K

O G

BE.GB

AOCL

BE.GB

CF.EC

BE.GB

BE.BG

AG1

1 

Mà theo gi thi t ta có: 1

FA

CF.EC

BE.GB

GB

AGB

G

AG1

M t khác:

CH

BKAO

.CH

2

1

AO.BK

SEC

S

SFACF

S

SGBAG

Nh v y:

1FA

CF.EC

BE.GBAG

S

S.S

S.S

SFA

CF.EC

BE.GB

AG

AOB BOC

COA AOB

BOC COA

1.2 ng d ng c a đ nh lí Ceva trong vi c gi i toán hình h c ph ng

1.2.1 Ví d 1 ( Các đi m đ c bi t trong tam giác)

Dùng đ nh lí Ceva, hãy ch ng minh

a) Ba đ ng trung tuy n c a m t tam giác đ ng quy t i m t đi m,

đi m này đ c g i là tr ng tâm

b) Ba đ ng phân giác c a m t tam giác đ ng quy t i m t đi m ( tâm

đ ng tròn n i ti p)

c) Ba đ ng cao c a m t tam giác đ ng quy t i m t đi m, đi m này g i

là tr c tâm

d) G i D, E, F là các ti p đi m tròn n i ti p tam giác ABC ng v i các

c nh BC, CA, AB Ch ng minh r ng: Các đ ng th ng AD, BE, CF giao

nhau t i m t đi m, đi m này đ c g i là đi m Gergonne

e) Cho tam giác ABC v i trung tuy n AM Gi s CAMMAB

Ta nói ASa là m t đ i trung tuy n c a tam giác ABC n u Sa thu c c nh BC

và BASa CAM

Ch ng minh r ng : Trong m t tam giác, ba đ i trung tuy n đ ng quy t i

g) G i Xa là ti p đi m c a c nh BC v i đ ng tròn tâm Ia , là đ ng

bàng ti p góc A c a tam giác ABC nh ngh a t ng t nh th cho các

đi m Xb và Xc trên các c nh t ng ng AC và AB

Ch ng minh r ng: Ba đ ng th ng AXa , BXb , CXc giao nhau t i m t

đi m , đi m này đ c g i là đi m Nagel

Gi i

a)

A

C B

AP.NA

b)

Theo tính ch t c a đ ng phân giác, ta có :

AC

ABDC

BD  ;

BA

CBEA

CE  ;

BC

ACFB

AF 

BC

AC.BA

CB.AC

ABFB

AF.EA

E F

D

Ta có: ACD và BCE là hai tam giác đ ng d ng

)1(AD

BD.AE

AFEA

CE.DC

BD.FB

AD

BE.CF

AD.BE

D

CE.DC

E F

CE.BF

BDFB

AF.EA

CE

Sa B

G i ba đ i trung tuy n c a ABC là ASa , BSb , CSc

Ta tính di n tích tam giác b ng cách s d ng hai công th c

2S = a.b.sinC

2S = c.hc

N

QP

KB

Xb

C

XaXc

Ta có:

a a

a a

a a

a M C A

Sa A

CM

BSCM

.h.2/1

BS.h.2/1S

a a

Ma C A

Sa A

CAMsin

.AC.AM.2/1

ABSsin.SA.AB.2/1S

SAB.Aa a

AC.AM

SA.ABS

S

a a Ma

C A

AS.ACBM

CSS

S

a a

a a

Ma B A

Sa C

a a

a

a

AC

ABCS

BM.CM

BS

 hay

2 2

a

aAC

ABCS

BS  ( do BMa = CMa)

T ng t ta c ng có nh ng đ ng th c nh th cho các đ nh khác:

2 2

b

bBA

BC

ASCS  ;

2 2

c

cBC

ACBS

AS 

B S

S A A S

CS C S

BS

c

c b

b a

a c

c b

c c

a a

b

b

CX

CX.BX

BX.AX

AXA

X

BX.BX

BX.AR

R.R

R

2 1

1 3

3

2 

 Theo ph n đ o c a đ nh lí Ceva ta suy ra AXa , BXb , CXcđ ng quy

1.2.2 Ví d 2

Cho tam giác ABC G i D là trung đi m c a BC E, F l n l t là hai đi m

trên AB và AC Ch ng minh r ng: N u AD, BF, CE đ ng quy thì EF song

C F

D

A

E

B

Vì BD = DC nên 1

FA

CF.EB

CF

FAEB

AE 



Theo đ nh lí Talet, ta có EF song song v i BC (đi u ph i ch ng minh)

1.2.3 Ví d 3

T đi m I thu c mi n trong c a tam giác ABC, k tia AI c t BC D Qua I k

( M, S trên AB; Q, R trên BC; N, P trên AC)

IS

IR.IQ

IP.IN

D Q

N E P

H

S F

IR 



EA

EC.FB

FA.DC

DBIS

IR.IQ

IR

Trong tam giác ABC có ABAC, g i V là giao đi m c a phân giác trong c a

góc A v i c nh BC, D là chân đ ng cao vuông góc h t A xu ng c nh BC

Do đó: BFV và BDA là hai tam giác đ ng d ng

T ng t : CEV vàCDA là hai tam giác đ ng d ng

CB

M t khác do tính ch t đ ng phân giác, ta có:

VC

VB

ACAB )

2(VC

BDCE

CDBF

90VAEAVE

90FAVFVA

0 0

FA.EA

CE.CE

BFFB

FA.EA

CE.DC

FA.EA

Ta s d ng k t qu sau đây :

Kí hi u Y,Z,Y,Z l n l t là s đo các góc XYZ, XZY, YXX’,

Ta có:

Y Z

Z

Ysin

sin.sin

sinZX'

X'Y

'ZX

sin'XX

'ZX

Y

Ysin

sin.sin

Z

Ysin

sin.sin

sinZX'

B1 1 2 



Theo k t qu trên ta đ c:

2sin2

sin.2sin2sinC

B

CA2 1

2 1

C3 là giao đi m c a đ ng th ng CC2 v i c nh AB

CBsin

sin.sin

2 1

B A

sin.2sin2

sin.2sin

2sin

sin.2sin2

sin.2sin2

CB.CA

BA.BC

AC

3 3

3 3

3

3 

Theo ph n đ o c a đ nh lí Ceva, ta đ c AA3, BB3, CC3 đ ng quy

Suy ra AA2, BB2, CC2 đ ng quy

1.2.6 Ví d 6 ( Olympic Toán h c mùa xuân Bulgaria, P11.2, 1997)

Cho t giác l i ABCD thoã mãn: DABABCBCD

G i H, O l n l t là tr c tâm và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

Ch ng minh r ng: H, O, D th ng hàng

)1(90

2

2180ACO

G i H1, H3 l n l t là hình chi u c a A, C lên BC, AB Khi đó: Xét các tam giác vuông: H3BC, H1AB ta có: HCBHAB900  (2)

ACOCAO

Suy ra: O là đi m n m bên trong tam giác HAC

T đó: HAOBACBAHOAC

ACD

)180(

)180(

)90()(90-AOH

0 0

0 0

902

)90(

CADHAC

HAD

CADACO

0 0

0

902

90

90)

180(

)()90(

ACDHCA

sin

HCDsin

sin

CADsin







Nhân các đ ng th c trên v theo v ta đ c

sinAHD sinHCD sinCAD = sinHAD.sinCHD sinACD

t: U =

CAOsin

.HCOsin

.AHDsin

CADsin

.HCDsin

.AHDsin

.HADsin

.CHDsin

ACDsin

.CHDsin

.HADsin

Nên U =

CAOsin

HCDsin

CAOsin

.HCOsin

CADsin

.AHDsin

HADsin

ACOsin

.HAOsin

ACDsin

.HADsin

Do sinHCDsinHADsin(2900)

sinCAO sinACOsin(900 )

Suy ra U = V

Ta g i E, F, G l n l t là giao đi m c a AO, CO, HD v i CH, AH, AC

C A

B

O F

E H

D

Khi đó, ta có:

FC

FACHD

OCsin

HCOsin

sin

CAOsin

CAOsin

.FOCsin

HCOsin

.CHDsin

AHDsin

GA

HG.EH

CE

HG.EH

CE

C B

O

Suy ra đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC chính là đ ng tròn đ ng

kính AC Khi đó, O là trung đi m c a AC

Theo gi thi t DAB =ABC = BCD

0

90BCDDAB 

các đi m trên (T) Các ti p tuy n c a (T) t i C và D c t (d) t i B và A

c a AC và BD, F là đi m n m trên (d)sao cho EF vuông góc v i (d)

Gi i

C

B O

F H A

Qua P, k PH vuông góc v i (d) t i H

Ta có: PAH và OAD là hai tam giác đ ng d ng (theo tr ng h p đ c

bi t c a tam giác vuông)

DO

HPAD

AHBC

BHAD

1CP

PDDA

PD.CP

BC.BC

ADDA

PD.CP

O

C D

B

F, D, C thu c đ ng tròn đ ng kính PO

)1(POCPEC

DOPPFD

1.2.8 Ví d 8 ( Bài đ ngh cho IMO c a n c Anh, 2000)

G i O là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p và H là tr c tâm c a m t tam giác

Ch ng t r ng: T n t i các đi m D, E, F t ng ng n m trên các c nh BC,

CA, AB sao cho: OD + DH = OE + EH = OF + FH

và các đ ng th ng AD, BE, CF đ ng quy

180BAC2

CAK90

LAKCAL

0

1 0

1 1

()A90

(

CBLOBC

OBL

0 0

1 1

OLB

2180BOL

0

0 1

Trong tam giác BOD: BOD1800 2B

Trong tam giác COD: COD1800 2C

Theo đ nh lí hàm s sin, ta có:

OBDsin

ODBOD

ODCOD

OD:

OBDsin

ODOBD

sin

CD:

OCDsin

BODsin

CODsin

OCDsin

CODsin

.CD

B2sinCD

BD 



)C2180sin(

)B2180sin(

C2sinEA

CE  ;

B2sin

A2sinFB

AF 

FB

FA.EA

CE.CD

Theo đ nh lí Ceva : các đ ng th ng AD, BE, CF đ ng quy

1.2.9 Ví d 9 ( Bài đ ngh cho IMO c a Belarusia, 2001)

v i hai đ nh c a hình vuông trên c nh BC Nh th m t trong hai đ nh

c a hình vuông trên c nh AB và đ nh kia trên c nh AC Các đi m B1,

C1 đ c xác đ nh theo cách t ng t cho các hình vuông n i ti p v i hai

đ nh l n l t trên c nh AC và AB Ch ng minh r ng: Các đ ng th ng

CY.XC

Tr c h t ta xét

XCBX

Gi s hình vuông có tâm A1 có c nh là s, các đ nh P, Q l n l t trên các

c nh AB và AC, các đ nh S và T trên c nh BC v i S gi a B và T

Do AX qua tâm c a hình vuông QPST nên n u nó c t c nh PQ c a hình

vuông thành các đo n đ dài u và v thì nó c t c nh ST thành các đo n đ

dài v và u.Ta có th ch ng minh đi u trên m t cách đ n gi n b ng vi c xét

BX

uABAP

AC

AQAB

AP

vXC

uBXv

uCX

BX 



sTc

sBTu

vTC

uvBTXC

1ancots

ancot.s

sancot.sXC

1ancotYA

1ancotZB

1ancot.1ancot

1ancot.1ancot

1ancotZB

AZ.YA

1.2.10 Ví d 10 ( Thi ch n đ i tuy n IMO, H ng Kông, l n 1, 1998)

Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY và CAZ cân và đ ng d ng v i

nhau, chúng ngoài tam giác ABC và tho mãn XA = XB, YB = YC, ZA

X Z

G i x là s đo góc đáy c a các tam giác cân

Gi s AY, BZ, CX c t BC, CA, AB t ng ng t i L, M, N

Khi đó:

ACY

ABYS

SLC

BHAY

.CK.2/1

AY.BH.2/1S

.CA

)xBsin(

.BA)

xCsin(

.CY.CA.2/1

)xBsin(

.BY.BA.2/1S

.BA

)xCsin(

.BCMA

BC

)xAsin(

.CANB

Hai đ ng tròn (O1 , r1 ) và (O2, r2) ti p xúc ngoài t i C và cùng ti p xúc trong

v i đ ng tròn (O, r) theo th t t i A1 , A2 Ti p tuy n chung c a (O1), (O2)

t i C là đ ng th ng l c t (O) t i P K đ ng kính AB c a (O) vuông góc v i

1PB

PAPB

PB

2   

Phép v t tâm A1 bi n đ ng tròn tâm O1 thành đ ng tròn tâm O Do đó,

phép v t tâm A1 bi n đ ng tròn tâm O thành đ ng tròn tâm O1, bi n đi m

PB(O

G i các đi m E, F l n l t là giao đi m c a AC, BC v i (O)

Ta có tam giác AEB vuông, tam giác AEO cân

Suy ra: AEO = OAE = O1CE ( Vì O1C và OA cùng vuông góc v i l)

T đó : O, E, O1 th ng hàng hay EA1

T ng t : FA2 và

2 2 2 2

2

2

r

rOA

OAC

rr

rBA

CA.CA

AAHB

1 2

2 2

COHD

COHD

trên ta có đ nh lí Ceva cho các Cevian.Ta có th phát bi u đ nh lí này trong

tr ng h p t ng quát, khi các đi m D, E, F không ph i ch n m trên các c nh

(t c AD, BE, CF là các Cevian), mà nó có th n m tu ý trên các đ ng th ng

ch a các c nh

M r ng đ nh lí Ceva đ c phát bi u nh sau:

Cho các đi m D, E, F t ng ng n m trên các đ ng th ng BC, CA, AB Lúc

FA

D B

Qua B k đ ng th ng song song v i CF c t AD, AC l n l t K, H

Qua A k đ ng th ng song song v i CF c t BE t i M

BD  ;

AM

OCEM

OEEA

OC.OC

BKEA

CE.DC

BD





1FB

AF.FA

BFFB

AF.OA

KOFB

AF.AM

BKFB

AF

Theo ph n thu n: 1

BF

FA.AE

EC.C'D

'D

Mà theo gi thi t: 1

FB

FA.EA

CE.DC

BD

 nên

CD

DBC'D

'DB

  DD'

 AD, BE, CF đ ng quy (đi u ph i ch ng minh)

1.3.1 Ví d 1 ( Olympic toán h c Châu Á Thái Bình D ng, 1992)

Cho đ ng tròn (C) có tâm O M t đ ng tròn (C’) có tâm là X ti p xúc trong

v i (C) t i A M t đ ng tròn khác có tâm Y, n m bên trong (C), ti p xúc v i

(C) t i B và ti p xúc v i (C’) t i Z Ch ng minh r ng: Các đ ng th ng XB,

YA và OZ đ ng quy

Gi i

(C) (C')

O

Y

X A

B

Z

Xét tam giác OXY có AOX , BOY, ZXY

Ta có:

BO

YB.ZY

XZ.AX

OABO

YB.ZY

XZ

XZ.OBOA

Cho AD, BE, CF là các Cevian trong tam giác ABC Lúc đó, các Cevian đ ng

BADsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBEsin

E

Áp d ng đ nh lí hàm s sin, ta có:

ABDsin

ADBAD

AD:

ABDsin

ADDAC

sin

CD:

BADsin

ACBsin

.DACsin

BADsin

CABsin

.EBA

ABCsin

.FCBsin

ACFsin

FB

FA

FCAsin

.EBAsin

CBEsin

.DACsin

BADsin

FB

FA

CE.DC

BADsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBE

CADsin

.F'ACsin

'BCFsin

.CBEsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBEsin

BCFsin

F'ACsin

'BCFsin

 AD, BE, CF đ ng quy t i K

1.4.1 Ví d 1 ( Thi ch n đ i tuy n IMO c a Rumania, 2002, l n th nh t)

Cho tam giác nh n ABC G i M, N l n l t là trung đi m c a các c nh AB,

AC và P là hình chi u vuông góc c a N trên BC G i A1 là trung đi m c a

ANAsinAA

ANAsin

AA

)Csin(

1 1

1 1

AMAsinAA

AMAsin

AA

)Bsin(

1 1

1 1

Vì MA1 = NA1 nên suy ra

)Bsin(

)Csin(

AMAsin

ANAsin

h21MN

2 2

a

a 2

2

ah

h

a4

1h41

h.2/1MN

NP

NPMP

ha

a



T đó:

)Bsin(

)Csin(

AMAsin

ANAsin

.Bsin

sin.Ccoscos

.Csin

=

Bcos.hBsin.a

Ccos.hCsin.a

Bcos.caAMAsin

ANAsin

2 2 2 2

2 2

2 2 2

cba3

bca3a

2

cbaa

a2

bcaaC

1 =

CNCsin

CPCsin.BPBsin

BMBsin.AMAsin

ANAsin

1 1

1 1

cba

3

bca

acb3

cab3

bac3

abc3

 Tam giác ABC có ít nh t hai c nh b ng nhau nên tam giác ABC là tam

giác cân ( đi u ph i ch ng minh)

1.5 nh lý đ ng quy trong m t ng giác l i

T đ nh lí Tri-Ceva, ta có k t qu m r ng sau đây cho các Cevian đ ng quy

trong m t ng giác l i Tr c h t, cho ABCDE là ng giác l i, vi t theo th

t đó, ta nói CD là c nh đ i th c s (đ phân bi t v i c nh đ i BC, DE) c a

đ nh A Khi đó, đo n th ng n i A và m t đi m trên c nh đ i th c s CD đ c

g i là m t Cevian c a ng giác l i này T ng t nh v y, ta có các Cevian

S đ ng quy trong ng giác l i

Cho ABCDE là ng giác l i và P là đi m n m trong ng giác này sao cho t n

t i các Cevian AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ cùng đi qua đi m P Khi đó, ta nói:

(*)1

A'C

'CE.E'B

'BD.D'A

'AC

D B'

E

C'

2 1

3 4 5 6 7 8 A

C B

D

10 P 9

N u CD là m t Cevian trong tam giác ABC thì ta có:

DCBsin

.BC

ACDsin

.ACDB

AD







Psin.PA

Psin.PE.sin.PE

Psin.PD.Psin.PD

Psin.PC.Psin.PC

Psin.PB.Psin

PB

Psin

PA

A'C

'CE.E'B

'BD.D'A

'AC.C'E

'EB

8 7

6 5

4 3

2 1





o l i, gi s ta có b n Cevian AA’, BB’, CC’ và DD’ đ ng quy

Gi s EP kéo dài c t BC t i E”

A'C

'CE.E'B

'BD.D'A

'AC.C

"

E

"

EB.B'D

'DA

 (1)

A'C

'CE.E'B

'BD.D'A

'AC.C'E

'EB.B'D

'D

T (1),(2) suy ra:

C'E

'EBC

Ta đã bi t m t s đi m đ c bi t trong tam giác đ c d ng lên t giao đi m

c a các đ ng vuông góc, ch ng h n: tâm đ ng tròn ngo i ti p là giao đi m

S d ng k t qu quen thu c sau đây:

Hai đ ng th ng AB và CD vuông góc v i nhau khi và ch khi:

CBAD

AC

0)BDAB)(

DBCD()BACB.(

CBAD)DCAD(AC

0AD.CBCA

CBAD.ACAC

0)ADCA

2 2

ABKP

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

KCKB

PCPB

KAKB

QAQB

KBKA

RBRA

0RBAR

QACQ

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

B'KA'KRBRA

KAKC

QAQC

KCKB

PCPB

CA, AB là đ ng qui khi và ch khi ba đ ng th ng k t A, B, C t ng ng vuông góc v i các đ ng th ng QR, RP, PQ là đ ng quy

P

Q A

+ PC2 – PB2

+ RB2– RA2

=0   ,,  đ ng quy

Ch ng 2: nh lí Menelaus

2.1 VƠi nét v nhƠ toán h c Menelaus vƠ n i dung đ nh lí Menelaus

2.1.1 VƠi nét v nhƠ toán h c Menelaus

Menelaus s ng trong th i đ i đ ch Alexandria T ng truy n r ng ông

đ c sinh ra vào kho ng n m 70 th i đ i Alexandria, Ai C p và m t vào kho ng n m 130 M t quy n sách R p đ c vi t vào th k X đã ghi l i v

Menelaus nh sau: Ông sinh ra tr c Ptolemy, ông y đã vi t “Sách v các

m nh đ kh i c u”, “Ki n th c v các l c và s phân ph i c a các v t th ”, ba

quy n sách v ”Hình h c c b n” và “Sách v tam giác” Các quy n sách c a

Menelaus ch còn l i quy n Sphaerica Nó liên quan đ n các tam giác c u

gi ng nh Euclide đã thi t l p cho các tam giác ph ng Ông đã dùng các cung

đ ng tròn l n thay vì dùng các cung c a các đ ng tròn song song trên m t

áp d ng hình h c c u vào nghiên c u thiên v n Nh ng k t qu áp d ng r ng

rãi nh t là các m nh đ c a Theodosius trong tác ph m Sphaerica Quy n 3

liên quan đ n l ng giác c u và bao g m các đ nh lí c a Menelaus Các đ nh

lí này không đ c bi t đ n đ i v i tam giác ph ng “N u m t đ ng th ng c t

ba c nh bên c a m t tam giác (m t trong nh ng c nh bên đ c kéo dài t m t

c nh c a tam giác), th thì tích ba đo n th ng đ c t o thành b ng tích ba

c nh c a tam giác” Menelaus gi i thích đ nh lí v tam giác c u trên (ngày nay

g i là đ nh lí Menelaus) và đ a vào quy n 3 nh m t m nh đ đ u tiên Các

đ ng th ng có th hi u là giao c a đ ng tròn l n trên m t c u M t s tác

gi R p trong nh ng tác ph m v c h c, r t tin nh ng gi thuy t c a

Menelaus c bi t, Menelaus còn r t thích nghiên c u v tr ng l c và phân

tích h p kim